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2.3 对数函数
重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换
底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数
或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；②理解对数函数的概念；理解对数
函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；③知道对数函数是一类重要的函数
模型；
④了解指数函数与对数函数互为反函数．
经典例题：已知 f（ logax ） =，其中a＞0，且a≠1．
（1）求 f（ x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数．
当堂练习：
1．若,则（）
A ．
B ．C．D．
2．设表示的小数部分，则的值是（）
A ．
B ．C．0 D ．
3．函数的值域是（）
A ．B． [0,1] C． [0, D ． {0}
4．设函数的取值范围为（）
A ．（－ 1，1）B．（－ 1，+∞）C．D．
5．已知函数，其反函数为，则是（）
A ．奇函数且在（ 0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（ 0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（ - ∞， 0）上单调递减 D ．偶函数且在（ -∞， 0）上单调递增
6．计算=．
7．若 2.5x=1000,0.25y=1000, 求．
8．函数 f(x) 的定义域为 [0,1], 则函数的定义域为．
9．已知 y=loga(2 －ax)在［ 0， 1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是．
10 ．函数图象恒过定点，若存在反函数，则
的图象必过定点．
11．若集合 {x ， xy， lgxy} ＝{0 ， |x|， y} ，则 log8 （ x2＋ y2）的值为多少．
12． (1) 求函数在区间上的最值．
(2) 已知求函数的值域．
13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求 m 的值；
(2)判断 f(x) 在上的单调性,并根据定义证明．
14．已知函数 f(x)=x2 － 1(x ≥1) 的图象是 C1，函数 y=g(x) 的图象 C2 与 C1 关于直线 y=x 对称．
(1) 求函数 y=g(x) 的解析式及定义域M ；
(2) 对于函数y=h(x) ，如果存在一个正的常数a，使得定义域 A 内的任意两个不等的值x1 ，x2 都有 |h(x1) － h(x2)| ≤ a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x) 为 A 的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：
y=g(x) 是 M 上的利普希茨Ⅰ类函数．
参考答案：
经典例题：（1）解：设t=logax ，则t∈R，∴ x=at（ x＞ 0） .则f（ t） = = （at －a－ t）．
（2）证明：∵
奇函数 .
f（－ x）= （a－ x－ ax）=－（ ax－a－ x） =－ f（ x），∴ f （x）为（3）证明：设 x1、x2∈ R，且 x1 ＜ x2，则 f（ x2）－ f（ x1 ）=［（a－a－）－（a
－a－）］
= ；（ a 若 0＜a＜ 1，则－ a）+a－
a2－ 1＜ 0，
a
a－
＞ a
（ a－a）］=（a－a）（1+a－a－，∴ f
（ x2）＞ f（ x1）.∴ y=f （ x）在 R 上为增函数；
）．
若 a＞ 1，则 a2－ 1＞ 0， a＜a.∴ f（ x2）＞ f（ x1） .∴ y=f （ x）在 R 上为增函数．
综上， a＞ 0，且 a≠ 1 时， y=f （ x）是增函数．
当堂练习：
1.A ;
2. A ;
3. B ;
4. D ;
5. D ;
6. 0;
7. ;
8. [0,2];
9. 1 ＜ a＜ 2;10. ;
11.根据集合中元素的互异性，在第一个集合中，x≠ 0，第二个集合中，知道y≠ 0，∴第一个集合中的 xy ≠ 0，只有 lg（ xy）＝ 0，可得 xy ＝ 1①，∴ x＝ y②或 xy＝ y③．由①②联立，解得x＝ y＝ 1 或 x＝ y＝－ 1，若 x＝ y＝ 1，xy＝ 1，违背集合中元素的互异性，若 x＝ y＝－ 1，
则 xy ＝ |x|＝ 1，从而两个集合中的元素相同．①③联立，解得x＝ y＝ 1，不符合题意．∴x ＝－ 1， y＝－ 1，符合集合相等的条件．因此，log8（ x2＋ y2）＝ log82＝．
12.(1) 解:
=,当时,,
而, 所以当时,y有最小值; 当时, y有最大值3.(2)由已知，得
=
13.由图象关于原点对称知它是奇函数,得 f(x)+f(-x)=0, 即,
得m= -1；(2) 由 (1)得,定义域是,
设,得,所以当 a>1 时， f(x) 在上单调递减 ; 当 0<a<1 时， f(x) 在上单调递增．
14.(1) 由 y=x2 － 1(x ≥1)，得 y≥ 0，且 x= ，∴ f － 1(x)= (x≥ 0)，
即 C2： g(x)= ， M={x|x ≥ 0} ．
(2) 对任意的x1， x2∈ M ，且 x1≠ x2，则有 x1－x2≠ 0，x1≥ 0， x2≥ 0．
∴|g(x1) － g(x2)|=|－|=＜|x1－ x2|．
∴y=g(x) 为利普希茨Ⅰ类函数，其中a=．。