自动控制原理第七章第二讲离散系统的稳定性分析
自动控制原理第7章线性离散控制系统
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统
目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
自动控制原理第7章离散控制系统
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
第七节 离散系统的稳定性分析
U（S）
K
S (T u S 1)
Y（S）
分析系统的稳定性
开环脉冲传递函数
G（Z）
Z
K
S（T u
S
1 ）
KZ
1
Tu
S T u S 1
K
Z Z 1
Z
Z
e
T
T
u
T
KZ（1 e T u）
T
(z 1)(z e T u )
0.632KZ (Z 1)(Z 0.368)
且当采样周期增大时，系统稳定所允许的最大增益减小。
三。奈氏判据
和劳斯稳定判据一样，奈氏稳定判据不能 直接适用于脉冲传函，方法还是采用复数 双线性变换，这样很容易就可以画出采样 系统的Bode图，举例说明。
例：设开环脉冲传函为G（Z）
2.53Z
,
(Z 1)(Z 0.638)
试用奈氏判据判别闭环稳定性
据劳斯判据条件： a0 , a1, a2 o a0 0 k 0
4。32
4
T
2(1 e Tu )
a2 0 k
T
1 e Tu
2
24 6
T/Tu
T
显然K
2(1
e
Tu T
)
为临界稳定时对应的临界放大系数，如图曲线下方
1 e Tu
就表示稳定的K和T值。可以看出当 T 1时系统允许最大增益K 4.32 Tu
闭环特征方程
1 G（Z） 0
T
T
(z 1)(z e Tu ) KZ（1 e T u） 0
Z 2 4.952Z 0.368 0
Z1 0.076, Z2 4.876
有一特征根在单位园外， 所以系统不稳定
自动控制原理 第七章 第二讲 离散系统的稳定性分析
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
自动控制原理第7章2
2020/12/3
上述变换关系的正确性证明如下： (a)在w平面的虚轴上，Re[w]=0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
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9
(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，则有
w1 w1 即
z w1 1 w 1
列出劳斯表，根据劳斯-赫尔维茨判据可以判定， 系统是稳定的。
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11
(4) z平面上的根轨迹 通常，离散时间系统的闭环特征方程为
1 G(z) 0
其中G(z)为开环脉冲传递函数。离散系统的闭环特征方程式在 形式上，与连续系统的完全相同，因此，z平面上的根轨迹作 图方法与s平面的作图方法相同。需注意：在连续时间系统中， 稳定边界是虚轴，而在离散系统中，稳定边界是单位圆。
根据pj在单位圆内的位置不同，所对应的瞬态分量的形式 也不同，如图7.30所示。只要闭环极点在单位圆内，则对应
的瞬态分量总是衰减的；极点越靠近原点，衰减越快。不过，
当极点为正时为指数衰减；极点为负或为共轭复数，对应为
振荡衰减。
Im
z平面
o
t
o
t
1
0
o
t
o
t
o
t
1 Re
不同闭环极点的瞬态分量
51. 如何分析离散控制系统的稳定性？
51. 如何分析离散控制系统的稳定性？嘿，咱们今天来聊聊怎么分析离散控制系统的稳定性这个事儿。
咱们先得搞清楚啥是离散控制系统。
简单说，就像咱们平时玩的跳格子游戏，一格一格的，不是连续的那种，这离散控制系统啊，也是这样，它的信号不是一直连着的，而是隔一段才有一个值。
那怎么去分析它稳不稳定呢？这可得有点小窍门。
咱们先来说说 z 变换，这可是个重要的工具。
就好比你有一堆杂乱的积木，通过 z 变换，能把它们整理得规规矩矩，更容易看出规律。
比如说，一个系统的传递函数，经过 z 变换，就能得到一个新的表达式，从这里咱们就能开始分析稳定性啦。
还有那个特征方程，这就像是系统的“密码锁”。
如果能解开这个方程，找到它的根，就能知道系统稳不稳定。
要是这些根都在单位圆内，那系统就是稳定的；要是有根跑到单位圆外面去了，那可就麻烦喽，系统就不稳定啦。
给你讲个我之前遇到的事儿吧。
有一次，我带着几个学生一起研究一个离散控制系统的稳定性。
那系统的方程复杂得让人头疼，大家一开始都有点懵。
其中有个学生特别较真儿，不停地尝试各种方法，一会儿画个图，一会儿又算一堆式子。
我就在旁边看着，偶尔给他们一点小提示。
最后啊，经过大家的努力，终于找到了关键所在，成功分析出了系统的稳定性。
那一瞬间，大家的脸上都洋溢着成就感，那种感觉可太棒了！再说说 Jury 判据，这也是个分析稳定性的好帮手。
它就像是一个精准的测量尺，能帮咱们准确判断系统的根是不是都在单位圆内。
总之啊，分析离散控制系统的稳定性，需要咱们掌握好这些工具和方法，多动手多思考。
就像解一道复杂的谜题，只要有耐心，有方法，总能找到答案的。
希望今天讲的这些能让你对分析离散控制系统的稳定性有更清楚的认识，加油哦！。
离散控制系统的性能分析——《自动控制原理-理论篇》第7.4节
C ( s)
R( s)
T
1 e Ts s
K s ( s 1)
C ( s)
解：系统的开环脉冲传递函数为
0G( z ) 0 得： 闭环特征方程为 令 1.264 0.528K 1 ，即： 0 K 2.4 2.736 0.104K 0
K G ( z ) (1 z ) Z 2 s ( s 1 ) 2 0. 632 K (1.264 T T 0.528 TK ) ( 2.736 0.104 K ) 0 (e T 1) z (1 e Te ) K T ( z 1 )( z e ) 0.632K 0
z R( z ) z 1
令K=1, 分别取T=0.1s, 1s, 2s, 4s，做出仿真解
二. 采样周期与开环增益对稳定性的影响
K=1 结论： 开环增益一定时，采样周期 越长，丢失的信息越多，对 离散系统的稳定性及动态性 能均不利，甚至可使系统失 去稳定性。
三、 离散系统的稳态误差
r (t )
1 e lim ( 1 z )E(z ) 或 ss z 1
四. 离散控制系统的型别与静态误差系数
在离散系统中，把开环脉冲传递函数G(z)具有 z
1 的极点
个数ν 作为划分离散系统型别的标准。分为0型, I型,II型等。
(1)单位阶跃输入
R(z )
z z 1
1
z 1 e() lim(z 1) lim lim z 1 z 1 z 1 1 lim G(z ) 1 G(z ) z 1 1 G(z )
K c 2.4
K=1.5
5 K=3
10
15
5
离散控制系统的稳定性分析与设计
离散控制系统的稳定性分析与设计离散控制系统（Discrete Control System）是指将时间划分为离散的、不连续的间隔，并且系统的状态在这些间隔中发生改变的一种控制系统。
离散控制系统广泛应用于各种领域，如工业控制、自动化、机器人技术等。
在设计离散控制系统时，稳定性是一个至关重要的考虑因素。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计。
一、离散控制系统的基本概念离散控制系统由离散信号和离散时间组成。
离散信号是在某一离散时刻上的取值是确定的，而在两个离散时刻之间则可以是任意值。
离散时间是指系统的状态在一系列离散时刻上发生变化。
离散控制系统与连续控制系统相比，更适用于数字化和计算机控制领域。
二、离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性指系统对于输入信号的扰动具有一定的容忍度，系统能够维持在某一稳定状态而不产生不稳定的振荡。
稳定性分析是为了保证离散控制系统的正常工作和控制效果。
常用的稳定性分析方法包括传输函数法、根轨迹法和Lyapunov稳定性方法等。
1. 传输函数法传输函数法是一种基于系统的输入和输出之间的关系来分析稳定性的方法。
通过建立系统的传输函数，可以用频域的分析方法来判断系统的稳定性。
传输函数是输入变量和输出变量之间的比例关系，通常用拉普拉斯变换表示。
2. 根轨迹法根轨迹法是一种几何法，通过追踪系统传输函数的所有极点随参数变化而在复平面上运动的路径，分析系统的稳定性。
当系统的所有极点位于左半平面时，系统是稳定的。
3. Lyapunov稳定性方法Lyapunov稳定性方法是一种基于Lyapunov函数的方法，通过构造Lyapunov函数来分析系统的稳定性。
Lyapunov函数是一个实值函数，满足一定的条件，可以确定系统的稳定性。
若系统的Lyapunov函数对于所有的非零初始条件都是非负的，则系统是稳定的。
三、离散控制系统的稳定性设计在离散控制系统的设计过程中，稳定性是至关重要的考虑因素。
离散控制系统的稳定性分析与设计方法
离散控制系统的稳定性分析与设计方法离散控制系统的稳定性是控制工程中一个非常重要的概念，它涉及到系统的可靠性和性能。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计方法，并讨论如何确保系统的稳定性。
一、稳定性分析离散控制系统的稳定性分析是通过对系统传递函数进行分析来确定系统是否稳定。
常用的稳定性判据有两种：时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法是通过分析系统的时域响应来确定系统的稳定性。
具体方法有零极点判据和步响应法。
零极点判据是通过确定系统传递函数的零点和极点位置来判断系统的稳定性。
一般来说，当系统的所有极点都位于单位圆内部时，系统是稳定的。
步响应法通过观察系统的步响应图来判断系统的稳定性。
当系统的步响应图趋于稳定状态并在有限时间内收敛到稳定值时，系统是稳定的。
2. 频域方法频域方法是通过分析系统的频率特性来确定系统的稳定性。
常用的频域方法有Nyquist判据和Bode图法。
Nyquist判据是通过绘制系统的Nyquist图来判断系统的稳定性。
当系统的Nyquist图不通过虚轴右半平面时，系统是稳定的。
Bode图法是通过绘制系统的Bode图来判断系统的稳定性。
当系统的幅频特性曲线和相频特性曲线满足一定条件时，系统是稳定的。
二、稳定性设计稳定性设计是通过设计控制器的参数来确保系统的稳定性。
通常有两种常见的设计方法：根轨迹法和PID控制器。
1. 根轨迹法根轨迹法是通过绘制根轨迹图来设计控制器的参数。
根轨迹图可以直观地显示系统的稳定性和性能。
设计过程中，可以根据系统的要求来调整控制器的参数，使得系统的根轨迹满足要求。
2. PID控制器PID控制器是一种常用的控制器，它包括比例、积分和微分三个部分。
PID控制器的设计可以根据系统的特性和需求来确定各个参数的取值。
比例部分可以控制系统的静态误差，积分部分可以消除系统的稳态误差，微分部分可以提高系统的动态响应。
通过合理地调整PID控制器的参数，可以实现系统的快速响应和稳定性。
离散控制系统的稳定性分析
离散控制系统的稳定性分析离散控制系统是一种由离散时间事件驱动的系统，它在控制工程中起着重要的作用。
稳定性分析是离散控制系统设计中的关键步骤，它可以帮助我们确定系统是否能够保持在稳定状态，并达到预期的控制效果。
本文将讨论离散控制系统的稳定性分析方法和应用。
1. 离散控制系统概述离散控制系统是一种以时序离散的方式进行操作和控制的系统。
它由输入、输出和状态三个主要部分组成。
其中，输入是指系统接收来自外部的信号或信息，输出是指系统作为响应产生的结果，状态是指系统在运行过程中的内在特征。
2. 稳定性的概念和分类稳定性是指系统在输入变化或干扰下是否能够保持有限范围内的响应。
离散控制系统的稳定性可以分为绝对稳定性和相对稳定性两种情况。
绝对稳定性：系统在任何情况下都能保持有限范围内的响应，不会出现不受控制或不可预测的振荡或失控现象。
相对稳定性：系统在特定条件下能够保持有限范围内的响应，但可能受到输入变化或干扰的影响而出现逐渐增大的响应。
3. 稳定性分析方法离散控制系统的稳定性分析可以使用多种方法，以下是几种常用的方法：3.1 传递函数法传递函数是离散控制系统中描述输入输出关系的数学模型。
通过将系统表示为传递函数的形式，可以使用极点、零点、阶跃响应等特征来分析系统的稳定性。
例如，当系统的所有极点都位于单位圆内时，系统是稳定的。
3.2 极坐标法极坐标法是一种绘制离散控制系统零极点的图形方法。
通过绘制零极点在单位圆上的位置，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于单位圆内，系统是稳定的。
3.3 稳定性判据法稳定性判据法是一种通过计算系统的稳定性判据来判断系统的稳定性的方法。
常用的稳定性判据包括李雅普诺夫稳定性判据、M行列稳定性判据等。
这些判据可以通过计算系统的特征值或特征向量来得到。
4. 稳定性分析的应用稳定性分析在离散控制系统设计和调试过程中有着广泛的应用。
它可以帮助工程师确定系统参数，设计合适的控制策略，并提供有效的故障诊断方法。
自动控制系统—— 第7章-4 离散系统稳定性与稳态误差
若 G(z) 有 z 1的极点，从而 K p , e() 0
这样的系统称为Ⅰ型或Ⅰ以上离散系统
37
（2）单位斜坡输入时的稳态误差
r(t)
t
R(z)
Tz (z 1)2
z 1 R(z)
T
e() lim
lim
z1 z 1 G(z) z1 (z 1)[1 G(z)]
T
T
1
1.264
0
0 2.736 0.632K
0
K 0 2.736 0.632K 0
0 K 4.33
所以 Kc 4.33
18
作业 教材：7-16
19
7.4.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响
离散系统的稳定性受零极点、开环增益K和采 样周期影响
【例7.4.3】如图所示系统，求 1）采样周期T分别为1s, 0.5s时，系统的临界开环增益 2）r(t)=1(t), K=1时，T=0.1s, 1s, 2s, 4s时系统的输出响应
y
1
2
j
(x
2y 1)2
y2
z 1 1
jy z平面
u
x 1
u 0 (x2 y2) 1
u 0 (x2 y2) 1 u 0 (x2 y2) 1
ω变换可以将z平面的特征方程转换为ω平面的特 征方程，从而应用劳斯判据
15
【例7.4.2】设T=0.1s，试求系统稳定时K的临界值
r (t )
2
7.4 离散系统的稳定性与稳态误差
7.4.1 s域到z域的映射 S域与Z域之间的关系是
z esT 设 s j
z e( j)T eT e jT
所以 z eT , z T
《离散系统的稳定性》课件
总结
离散系统稳定性评价的重要性
深入理解离散系统稳定性评价的意义和重要性，以 便于在实际工作中能够应用这些知识。
稳定性综合方案的选择
掌握稳定性综合方案的选择方法，了解如何根据不 同的需求和情况应用不同的方法。
离散系统的稳定性
探索离散系统的稳定性，学习稳定性分析方法、判据和综合方案。深入了解 离散系统的控制和评价，拓展你的知识领域。
概述
基本概念
了解离散系统的简介和基本概念，深化你对这个领域的理解。
稳定性的定义
明确什么是稳定性并学习如何评价离散系统的稳定性。
稳定性分析方法
零极点分布法
深入了解离散系统的零极点分布 法，以及使用该方法进行稳定性 分析的技巧。
根轨迹法
学习使用根轨迹法进行稳定性分 析，了解如何在Байду номын сангаас际中应用该方 法。
Nyquist准则
掌握Nyquist准则的基本知识，学 会使用该方法分析离散系统的稳 定性问题。
稳定性判据
1
判据一：零极点位置判定法
详细介绍零极点位置判定法，学习如何使用该方法确定离散系统的稳定性。
2
判据二：Hurwitz判据
PID控制器设计
深入了解如何使用PID控制器 进行离散系统的稳定性综合， 掌握该方法灵活性的优势。
应用案例
1
离散系统的控制案例分析
通过案例分析掌握离散系统的控制方法和技巧，了解在实际中如何设计稳定的离 散系统。
2
稳定性评价实例
详细介绍如何使用稳定性判据进行离散系统稳定性评价，学习如何在实际中应用 这些知识。
掌握Hurwitz判据的基本原理，了解如何使用它进行离散系统的稳定性分析。
3
2019§.离散系统的稳定性与稳态误差).ppt
内 z平面单位圆 外 的点
2 2
x 2 y 2 1 [z] 单位圆
u 0 对应w平面 u 0
1 x y 1
例１ 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。
D( z ) 45z 3 117z 2 119z 39 0
( z 1) K 1 1 1 ( z 1) K Tz z z Z 2 2 T z s s s 1 z ( z 1 ) z 1 z e
(T 1 e T ) z (1 e T TeT ) T 1 0.368K ( z 0.718) K T ( z 1)(z e ) ( z 1)(z 0.368)
D( z ) z 2 (0.368K 1.368)z (0.264K 0.368) 0
z w 1 w 1
(
w 1 2 w 1 ) (0.368K 1.368)( ) (0.264K 0.368) 0 w 1 w 1
( w 1)2 (0.368K 1.368)(w 1)(w 1) (0.264K 0.368)(w 1)2 0
0.264 K 0.368 1
K 0 2.736 K 26.36 0.1038 1 0.368 K 2.394 0.264
0 K 2.394
例4 系统结构图如图所示, T=0.25, 求使系统稳定的K值范围。
1 e Ts Ke 2Ts G( z ) Z s s 1 K ( z 1) Tz KT 1 2 K (1 z ) z Z 2 2 3 2 z ( z 1) z ( z 1) s
自动控制原理第7章 系统稳定性分析
2017/6/16
劳斯表的第一列存在负值，由劳斯稳定判据 可知，该系统不稳定；则于第一列的符号改 变了两次，因此系统有两个实部为正数的根 ，即有两个根分布在s平面的右半平面。
第7章 系统稳定性分析 23
7.3 劳斯稳定判据
【例7-2】 某单位负反馈系统的开环传 递函数为 K
G(s) s(s 1)(2s 3)
2017/6/16 第7章 系统稳定性分析 22
7.3 劳斯稳定判据
【例7-1】 设某闭环系统的特征方程为 D(s) s4 2s3 3s2 4s 5 0 ，试判断该系统的稳定性。 解：列写劳斯表： 4
s 1 3 s3 s2 s1 s0
5
2 4 0 23 1 4 25 1 0 1 5 2 2 1 4 25 6 0 1 5
一个控制系统，如果受到外界因素或自 身内部的干扰（例如负载的波动、系统 参数的变化等），就可能会偏离原来的 正常工作状态，并且可能会越偏越远， 而在扰动消失后，也不能恢复到原来状 态，这类现象称为系统的不稳定现象。 显然，一个不稳定的系统是无法工作的 ，也没有任何实用价值。 稳定性是控制系统的重要性能，是系统 能够正常工作的首要条件。因此，分析 系统的稳定性，并提出保证系统稳定的 条件，是设计控制系统的基本任务之一 ，在自动控制理论中占有极重要的位置 。 第7章 系统稳定性分析
c1b2 b1c2 c1b3 b1c3 d1 ; d2 ; c1 c1
此过程要一直进行到第n+1行全部算完 为止，其中第n+1行仅第1列有值，且正 好等于特征方程最后一项的系数an，从 劳斯表中可以看出，各系数排列呈上三 角形。
2017/6/16 第7章 系统稳定性分析 21
自动控制原理7.47.5离散系统数学模型,稳定性分析讲诉
G(z)
C(z) R(z)
Z[G1 (s)]
Z[G2
(s)]
G1 (z)
G2
(z)
C(z) X (z) G2 (z) R(z)G1(z) G2 (z)
结论：被理想采样开关隔开的n个线性环节串联时，其脉 冲传递函数为每个环节所对应的脉冲传递函数之积
G(z) Z[G1 (s)]Z[G2 (s)] Z[Gn (s)] G1 (z)G2 (z) Gn (z)
s
s
s
s
Z[G2 (s)] Z[G2 (s) eTss ]
上式第二项可以写为 Z[G2 (s) eTss ] Z[g2 (t Ts )] z 1 Z[G2 (s)]
采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为
G(
z)
Z[G2
(s)]
z
1
Z
[G2
(s)]
(1
z
1 )
Z[
1 s
G(s)]
栗忍
7.4.4、开环系统脉冲传递函数
例：采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。
解：
1 G(s) s
1 s
10 s(s 10)
10 s 2 (s 10)
0.1 s
1 s2
0.1 s 10
Z[1 s
G(s)]
Z[ 0.1 s
1 s2
0.1 ] s 10
[ 0.1z z 1
Ts z (z 1)2
1 s
G2 (s)
s
10 10
G1 ( z )
z
z 1
G2 (z)
z z e10Ts
栗忍
7.4.4、开环系统脉冲传递函数
∴
zz
离散控制系统的稳定性分析方法
离散控制系统的稳定性分析方法离散控制系统是指系统状态的变化是以离散的方式进行的控制系统。
在实际工程中，我们经常需要对离散控制系统进行稳定性分析，以确保系统的可靠性和正常工作。
本文将介绍几种常用的离散控制系统的稳定性分析方法。
一、特征方程法特征方程法是离散控制系统稳定性分析中使用最广泛的方法之一。
特征方程反映了离散系统的稳态响应特性。
对于一个线性离散控制系统，其特征方程可以通过以下公式表示：G(z) = N(z)/D(z)其中，N(z)和D(z)分别是分子和分母多项式。
为了分析系统的稳定性，我们需要求解特征方程的根。
通常情况下，离散系统稳定的充要条件是特征方程的所有根的模都小于1。
二、相位平面法相位平面法是另一种常用的离散控制系统稳定性分析方法。
通过绘制系统的相位平面图，我们可以直观地了解系统的稳定性。
相位平面图以根轨迹的形式表示，根轨迹是特征方程的根随着参数的改变而移动的轨迹。
相位平面图的绘制过程可以通过以下步骤完成：1. 根据特征方程，将根轨迹的初始点和终点确定在单位圆上；2. 根据特征方程的根的个数，确定根轨迹的曲线走向；3. 绘制根轨迹，并观察根轨迹与单位圆的交点。
通过相位平面法，我们可以直观地判断系统的稳定性。
当根轨迹上的点都位于单位圆内部时，系统为稳定。
而当根轨迹上的点位于单位圆外部时，系统为不稳定。
三、频域法频域法是利用频率响应函数来分析系统稳定性的方法。
频率响应函数是指在系统输入为正弦信号时，输出的幅值和相位与输入频率之间的关系。
常用的频域法包括傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等。
在频域法中，我们可以通过绘制系统的频率响应曲线来分析系统的稳定性。
通常情况下，稳定的离散控制系统的频率响应曲线在低频段有较大的增益，而在高频段有较小的增益。
综上所述，离散控制系统的稳定性分析方法包括特征方程法、相位平面法和频域法等。
不同的方法适用于不同的系统，我们可以根据实际需求选择合适的方法进行分析。
通过稳定性分析，我们可以确保离散控制系统的可靠性和正常运行。
离散系统的 稳定性分析
s平面
0 ，虚轴
，左半部分
0
为负常数，虚轴的平行线
0 ，右半部分
0 ，实轴
为常数，实轴的平行线
z平面 r 1 ，单位圆 r 1 ，单位圆内
r为常数，同心圆
r 1，单位圆外
正实轴
端点为原点的射线
稳定性讨论 临界稳定
稳定
稳定
不稳定 不稳定 不稳定
2．离散系统稳定的充要条件
由于在s平面系统稳定的条件是极点 0，故离散系统稳定的条件是 r ，1
【例 7-7】如图所示系统中，设采样周期 T 1 s ， 试分析当 K 4 和 K 5 时系统的稳定性
【解】 系统连续部分的传递函数为
G(s) Ks(s 1)则Fra bibliotekG(z)
Z
K s(s 1)
Kz(1 (z 1)(z
eT ) eT
)
所以，系统 的闭环脉冲传递函数为
cr
(z)
C(z) R(z)
w 1
45
w w
13 1
117
w w
1 2 1
119
w w
1 1
39
0
两边乘 (w 1)3 ，化简后得 D(w) w3 2w2 2w 40 0
由劳斯表
w3
1
2
w2 2 40
w1 18
w0 40
因为第一列元素有两次符号改变，所以系统不稳定。正如连续系统中介绍的那
样，劳斯判据还可以判断出有多少个根在右半平面。本例有两次符号改变，即有两
个根在w右半平面，也即有两个根在z平面的单位圆外。
自动控制原理
因为 z1 ，z2 均在单位圆内，所以系统是稳定的。
（2）将 K 5 ，T 1代入系统的闭环特征方程，得
自动控制原理
特征方程 Dz 1Gz 0
z2 0.632K 1.368 z 0.368 0
将
z w1 w 1
代入上式，得
w w
1 1
2
0.632
K
1.368
w w
1 1
0.368
0
0.632Kw2 1.264w 2.736 0.632K 0
离散系统的稳定性分析
19
0.632Kw2 1.264w 2.736 0.632K 0
临界稳定 (不稳定)
j Z平面
1
不稳定 稳定区域 区域
0
1
离散系统的稳定性分析
9
说明：
设系统的闭环特征方程的根(闭环极点)为pi (i=1,2,…,n)，则在理想单位脉冲函数输入时
[R(z)=1]，输出的 Z变换为
n
C(z)
Ai z
i1 z pi
作Z反变换，得
n
c(kT ) Ai pik i 1
小结
21
离散系统的稳定条件 ➢全部特征根均分布在Z平面上的单位圆内
离散系统的稳定判据 ➢在z域直接求特征根(一阶二阶系统) ➢利用z平面到w平面的双线性变换，在w域
应用连续系统中代数判据(劳斯判据) ➢离散系统的稳定性与系统的结构和参数有
关外，还与采样周期有关
22
s
2
次要带
j 3s 2
Im z平 面
Re
-1
O1
离散系统的稳定性分析
7
s平面上的稳定区域(左半s平面)在z平面上 的映像是单位圆的内部区域，
➢单位圆之内是z平面的稳定区域
➢单位圆之外是z平面的不稳定区域
离散系统的稳定性分析
8
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(a)
(b)
G(z) C(z) R(z)
图(b)情况下, 为了应用脉冲传递函数的概念, 可 以在输出端虚设一个采样开关, 并令其采样周期与输 入端采样开关的相同。
开环脉冲传递函数 1. 串联环节
C R((zz))G1(z)G2(z)G(z)
G(z)
G1(z)
G2(z)
C* (s)
R (s)
闭环传递 (z) G(z)
特征方 T(zeT)(z1)20
函数为：
1G(z) 程为：
即 z2+(T-2)z+1-Te-T=0
① 当T=1 s时, 系统的特征方程为
z2-z+0.632=0
直接解得极点为z1,2=0.5±j0.618。
由于极点都在单位圆内, 所以系统稳定。
② 当T=4s时, 系统的特征方程为
G(z)Zs(sK4)ZK41ss14 K4zz1zze4TK4(z11)(ze4Te4T)
闭环传递函数为 (z) G(z) 1G(z)
闭环系统的特征方程为
1 G (z) (z 1 )z ( e 4 T ) K (1 e 4 T )z 0 4
思路:找出与连续系统稳定性相关性, 用劳斯判据来判断其稳定性。
1）双线性变换
令： z w 1 w 1
则： w z 1 z 1
2）稳定性判据
将 z w1 w 1
代入特征方程中， 应用Routh判据判稳。
例 7-2 判断下图所示系统在采样周期T=1s ，T=4s，系统的稳定性。
T
G1(s)
T
G2(s)
C (s)
2. 有零阶保持器的情况 (a) G(z)
G1(z)
G(z)
G2(z)
R (s) R (s)
T
T
R*
R* (s)
(Gs)Gh1((sGs))1(s) 1X(essX)s(sT)T
X* (s)
GGp2(G(s)s2()s)
(a)
(b)
等效为：
G(z)
R (s) T
R* (s)
X(s) X* (s)
T
G1(s)
T
G2(s)
C (s)
(a)
G1G2(z)≠G1 (z) G2(z)
G(z)
C* (s)
R (s)
R* (s)
X (s)
G (s)
G (s)
T
1
2
C (s)
(b)
G (z) C R ( (z z ) ) Z [G 1 (s )G 2 (s ) ]G 1 G 2 (z) G 2 G 1 (z)
w0
0.158K 2.736-0.158K 1.264 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 即
0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 所以使系统稳定的K值范围是0＜K＜17.3。
结论2：T一定，K越大, 系统的稳定性就越差。
离散系统的稳态误差计算
1. 终值定理法
R(s) ＋
－
T1eTs sFra bibliotek1 s(s1)
C(s)
解：开环脉冲传递函数为：
G(z)Z1esTs s(s11)Z(1eTs) s2(s11) (1z1)Zs12 1ss11(1z1)(zT1z)2 zz1zzeT T(zeT)(z(z1)1()z(zeeT)T)(z1)2
离散系统的稳定性
1、 s域和z域的映射关系
j
s平面
jπ T
0
－j
π T
Im z平面
π
T
－1 π 0
T
＝
1 Re
2 、离散系统稳定的充要条件：
系统特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内,
或者所有根的模均小于1, 即│Zi│<1 (i=1, 2, …, n)。
3 、离散系统稳定性判据：
R* (s)
1 X(s)
G (s) 1 e sT
(b)
G p(s) G 2s(s )
C* (s) C* (s)
C (s) C (s)
C* (s) C (s)
G(z)ZGps(s)esTGps(s)(1z1)ZGps(s)
闭环脉冲传递函数
R*(s)
R(s) ＋ E(s) E*(s)
第七章 采样系统理论
第二讲 离散系统的稳定性分析 离散系统的稳态误差计算
离散系统的数学模型
脉冲传递函数
脉冲传函定义
脉冲传 递函数
=
离散输出信号的Z变换 离散输入信号的Z变换
零初始条件
G(z)
R(s) R*(s)
C(s) C *(s)
T
G(s)
T
G(z)
R(s) R*(s)
T
G(s)
C *(s) C(s)
G(s)
－
T
H(s)
C*(s) C(s)
结论： 误差信号e（t）处没有采样开关时，输入采样信号
r（t）便不存在，此时不可能求出闭环离散系统对 于输入量的脉冲传函，而只能求出输出采样信号的 z变换函数c (z)。
简单求解方法：
① 先按连续系统方式，写出Φ(s)和C(s)； ② 然后将s变为z； ③ 再将各环节间没有采样开关的(z)去掉。
z2+2z+0.927=0
解得极点为z1=-0.73, z2=-1.27。有一个极点在单位圆外, 所以 系统不稳定。
结论1：T越大, 系统的稳定性就越差。
例 7-3 设采样系统如图所示, 采样周期T=0.25s, 求能使系统稳定的K值
范围。 解: 开环脉冲传递函数为
R(s) ＋
－
T
K
C(s)
s(s4)
R(s) ＋
E(s) E*(s)
C(s)
G(s)
－
T
系统的误差 E(z) 1 R(z) 1G(z)
设闭环系统稳定, 根据终值定理可以求出在输入信号作用下采样 系统的稳态误差终值:
esrlt i m e(t)lz i1m (z1)1G 1(z)R (z)
2. 误差系数法
在离散系统中, 把开环传递函数G(z)具有z=1的极点数ν作为划分 系统型别的标准, ν=0, 1, 2, …的系统称为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统。
双线性变换,令 zw1,T0.25s, 代入上式得 w1
w 1 1 w 1 0 .3 6 0 .8 1K 5w 8 1 0
w 1w 1
w 1
整理后可得 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0
Routh表为 w2 w1