自动控制原理第七章第二讲离散系统的稳定性分析

T
G1(s)
T
G2(s)
C (s)
2. 有零阶保持器的情况 (a) G(z)
G1(z)
G(z)
G2(z)
R (s) R (s)
T
T
R*
R* (s)
(Gs)Gh1((sGs))1(s) 1X(essX)s(sT)T
X* (s)
GGp2(G(s)s2()s)
(a)
(b)
等效为：
G(z)
R (s) T
w0
0.158K 2.736-0.158K 1.264 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 即
0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 所以使系统稳定的K值范围是0＜K＜17.3。
结论2：T一定，K越大, 系统的稳定性就越差。
离散系统的稳态误差计算
1. 终值定理法
思路:找出与连续系统稳定性相关性, 用劳斯判据来判断其稳定性。
1）双线性变换
令： z w 1 w 1
则： w z 1 z 1
2）稳定性判据
将 z w1 w 1
代入特征方程中， 应用Routh判据判稳。
例 7-2 判断下图所示系统在采样周期T=1s ，T=4s，系统的稳定性。
离散系统的稳定性
1、 s域和z域的映射关系
j
s平面
jπ T
0

－j
π T
Im z平面
π
T
－1 π 0
T
＝
1 Re
2 、离散系统稳定的充要条件：
系统特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内,
或者所有根的模均小于1, 即│Zi│<1 (i=1, 2, …, n)。
3 、离散系统稳定性判据：
R(s) ＋
－
T
1eTs s
1 s(s1)
C(s)
解：开环脉冲传递函数为：
G(z)Z1esTs s(s11)Z(1eTs) s2(s11) (1z1)Zs12 1ss11(1z1)(zT1z)2 zz1zzeT T(zeT)(z(z1)1()z(zeeT)T)(z1)2
z2+2z+0.927=0
解得极点为z1=-0.73, z2=-1.27。有一个极点在单位圆外, 所以 系统不稳定。
结论1：T越大, 系统的稳定性就越差。
例 7-3 设采样系统如图所示, 采样周期T=0.25s, 求能使系统稳定的K值
范围。 解: 开环脉冲传递函数为
R(s) ＋
－
T
K
C(s)
s(s4)
(a)
(b)
G(z) C(z) R(z)
图(b)情况下, 为了应用脉冲传递函数的概念, 可 以在输出端虚设一个采样开关, 并令其采样周期与输 入端采样开关的相同。
开环脉冲传递函数 1. 串联环节
C R((zz))G1(z)G2(z)G(z)
G(z)
G1(z)
G2(z)
C* (s)
R (s)
第七章 采样系统理论
第二讲 离散系统的稳定性分析 离散系统的稳态误差计算
离散系统的数学模型
脉冲传递函数
脉冲传函定义
脉冲传 递函数
=
离散输出信号的Z变换 离散输入信号的Z变换
零初始条件
G(z)
R(s) R*(s)
C(s) C *(s)
T
G(s)
T
G(z)
R(s) R*(s)
T
G(s)
C *(s) C(s)
R* (s)
1 X(s)
G (s) 1 e sT

(b)
G p(s) G 2s(s )
C* (s) C* (s)
C (s) C (s)
C* (s) C (s)
G(z)ZGps(s)esTGps(s)(1z1)ZGps(s)
闭环脉冲传递函数
R*(s)
R(s) ＋ E(s) E*(s)
G(z)Zs(sK4)ZK41ss14 K4zz1zze4TK4(z11)(ze4Te4T)
闭环传递函数为 (z) G(z) 1G(z)
闭环系统的特征方程为
1 G (z) (z 1 )z ( e 4 T ) K (1 e 4 T )z 0 4
G(s)
－
T
H(s)
C*(s) C(s)
结论： 误差信号e（t）处没有采样开关时，输入采样信号
r（t）便不存在，此时不可能求出闭环离散系统对 于输入量的脉冲传函，而只能求出输出采样信号的 z变换函数c (z)。
简单求解方法：
① 先按连续系统方式，写出Φ(s)和C(s)； ② 然后将s变为z； ③ 再将各环节间没有采样开关的(z)去掉。
R* (s)
X(s) X* (s)
T
G1(s)
T
G2(s)
C (s)
(a)
G1G2(z)≠G1 (z) G2(z)
G(z)
C* (s)
R (s)
R* (s)
X (s)
G (s)
G (s)
T
1
2
来自百度文库
C (s)
(b)
G (z) C R ( (z z ) ) Z [G 1 (s )G 2 (s ) ]G 1 G 2 (z) G 2 G 1 (z)
双线性变换,令 zw1,T0.25s, 代入上式得 w1
w 1 1 w 1 0 .3 6 0 .8 1K 5w 8 1 0
w 1w 1
w 1
整理后可得 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0
Routh表为 w2 w1
R(s) ＋
E(s) E*(s)
C(s)
G(s)
－
T
系统的误差 E(z) 1 R(z) 1G(z)
设闭环系统稳定, 根据终值定理可以求出在输入信号作用下采样 系统的稳态误差终值:
esrlt i m e(t)lz i1m (z1)1G 1(z)R (z)
2. 误差系数法
在离散系统中, 把开环传递函数G(z)具有z=1的极点数ν作为划分 系统型别的标准, ν=0, 1, 2, …的系统称为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统。
闭环传递 (z) G(z)
特征方 T(zeT)(z1)20
函数为：
1G(z) 程为：
即 z2+(T-2)z+1-Te-T=0
① 当T=1 s时, 系统的特征方程为
z2-z+0.632=0
直接解得极点为z1,2=0.5±j0.618。
由于极点都在单位圆内, 所以系统稳定。
② 当T=4s时, 系统的特征方程为