利息理论 第1章 利息的基础知识

i=
= 11 .1%
3）v=1-d=0.9
作业
1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000 元存款。 1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的 存款。 2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存 款。
。
2、张军94年初在银行帐户上有10，000元存 款。 1）在复利11%下计算90年的现值。 2）在11%的贴现率下计算90年的现值。
d = 1 (1
或：
d (m) m m
)
1 d = (1
d (m) m m
)
d
(m)
= m[1 (1 d ) ]
1 m
3）i(m)与d(m) 的关系
1元钱在年末的累积值 为： 则：
i( m) m (1 + ) m
(1 +
或：
i
(m)
= (1
d (m) m m
)
m
)
m
得：
i( m ) m
6、一年计息m次的实际利率与贴现率
例：期初本金为1元，年利率为10%。 期初本金为1 年利率为10%。 10% 如果一年计息一次，则年末积累值为 如果一年计息一次， 1.10元 1.10元。 如果一年计息两次， 如果一年计息两次，则年末积累值为 1+10%/2） =1.1025元 （1+10%/2）2=1.1025元 即年实际利率为10.25% 即年实际利率为10.25%
3）贴现率与利率
d=
或：
an an1 an
=
(1+i )n (1+i ) n1 (1+i ) n
=
i 1+i
d = i v i=
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1 v
及：
vt = v = (1 d )
t
t
及：
v = 1 d
at = (1 d )
t
日的积累值为1， 例：94年1月1日的积累值为 ，000元，d=10% 年 月 日的积累值为 元 日的现值为多少？ 求：1）90年1月1日的现值为多少？ ） 年 月 日的现值为多少 2）年利率为多少? ）年利率为多少 3）折现因子为多少？ ）折现因子为多少？ 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
1）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 ）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。
设年名义利率为i（m）， 年实际利率为i。 每次计息的实际利率为 ） i（m）/m 。 则：
所以：
i = (1 +
At at = A0
或 : A t = A 0 at
2、利息
投资获得的报酬。 t年内的利息为： I = A A t t 0
= A0 (at a0 )
第n年的利息为：
I n = An An 1 = A0 (an an 1 )
3、利率
单位资本的获得的利息。
A1 A0 第一年：i1 = = a1 1 A0 A2 A1 a2 a1 第二年：i2 = = A1 a1 An An 1 an an 1 = 第n年：in = An 1 an 1
（1）单利 设年利率为i ，期初本金为1
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
2
t
at=1+it
复利
设利率为i，期初本金为1。
1 1+i (1+i)2 (1+i)t
0
1
2
t
at=(1+i)t
单利、复利的比较
（1）单利条件下，每年利息相等，实际 利率减少。 每年的利息：In=An-An-1 =A0(an-an-1)=A0i 每年的利率：
m→∞
(m)
δ = lim m[(1 + i ) 1]
1 m
m →∞
= lim
= lim
m →∞
1 (1 + i ) m 1 m
1
m→∞
= lim
1 ) m2
1 [( 1+ i ) m 1 ( m )'
。
1 ] '
m→∞
1 ln(1+i )(1+ i ) m
(
12 m
= lim (1 + i) ln(1 + i)
n
∫0 δ 1 dt + ∫1δ 2 dt + ∫n 1 δ n dt = e
2
n
=e
δ1 +δ 2 ++δ n
n
=e
∑δ k
k =1
第n年的利率为
。
in =
a(n) a ( n 1 )
1 = e
δn
1
现值函数值为： 现值函数值为：
vn = e
∑δ k
k =1
n
= (1 + i1 ) (1 + i2 ) (1 + in )
an an 1 in = an 1
i = 1 + i (n 1)
（2）、复利条件下，每年利息增大，实际利率不变
实际利息：
I n = A0 (an an1 ) = A0 (1 + i ) n (1 + i ) n1 = A0 (1 + i ) n1 i
实际利率：
[
]
an an1 in = an1 (1 + i)n (1 + i)n1 = =i n1 (1 + i)
2000(1
6% 2 4
) = 1940.45元
或：2）
06 d = 1 (1 0.4 ) 4 = 5.8663%
P = 2000(1 5.8663%)
0 .5
= 1940.45元
7、利息力
瞬时利率。 瞬时利率。度量资本在某一时点上的获 利能力。 利能力。 1）常数利息力 定义 ：
δ = lim i
d
(4)
3 ) 1 d = (1 d
(4)
4
)4
= 0 . 07623
= 0 . 9259
二、利率问题、时间问题求解
利率问题求解 1）解析法 2）线性插值法 3）迭代法
m →∞
1 m
= ln(1 + i )
或：
所以：a）
δ = ln v
b）
i = e 1
δ
v=e
δ
利息力与累积函数
at = (1 + i ) = e
t
δ t
2）常数贴现力
δ = lim d
m→ ∞ m→ ∞ (m )
1 m
= lim m [1 (1 d ) ] = ln( 1 d ) = ln v = δ
1
1
1
设某项投资基金的利息力为， 例：设某项投资基金的利息力为，
+2 δ k = 5100k , k = 1,2,3
其中k为投资年度。 其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多 少资金于该基金时，使得投资在5 少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值 50，000元 为50，000元。
解：
v = 50000 e k = 1 5 5+ 2 k ∑ 100 k =1 = 50000e = 28847.49元
解：
（1）A1=1，000（1+it） =1，000 （1+0.12×2）=1，240元 A2=1，000(1+i)2=1，254.4元 （2）1，500=1，000（1+it1） t1=4.17年 1，500=1，000(1+i)t t2=3.58年
5、现值和贴现率
现值函数。未来t年1单位货币在现在的值。 现值函数 （1）单利：各年1元的现值。
例一
设：at =ct2+d (c、d为常数）， a 5=126 , A0=100 求：A10、 、 i10 A
at = ct 2 + d
解：
a0=1 a5=126 得： c=5 d=1 所以：at=5t2+1 A10=A0a10=50100 i10=(a10-a9)/a9=0.233
4、单利与复利
i
(12 )
i = (1 +
12
) 1
12
d = 1 (1 = 9.63%
d ( 4) 4 4
)
= 12.68%
结论：结转次数越多， 结论：结转次数越多， 实际利率越大， 实际利率越大，实际贴 现率越小。 现率越小。
例
2，000元的本金在6%的名义利率下 投资，如果每年结转4次利息，求： 1）2年零6个月后的积累值； 2）年名义贴现率。
1 (1+i)t
复利条件下：
折现因子：
v=
折现函数：
1 1+i
vt = v
t
贴现率
1）计息的方式。 滞后利息 期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债， 第一种方法：一年后还本付息110元； 10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。---利 元为滞后利息， 元为滞后利息 是期初本金上的增加额。 利 息。
解
1）共计息10次 2）由公式
6% 10 4
At = 2000(1 +
)
i( m ) m
d ( m) m
=
i( m ) m
d ( m) m
得：
0.06 4 d ( 4) 4
= 2321.08元
=
0.06 d ( 4) 4 4
d = 0.05911
( 4)
一张尚需6个月到期的债券 例:一张尚需 个月到期的债券，其面值为 ，000元， 一张尚需 个月到期的债券，其面值为2， 元 如果名义贴现率为6%，一年贴现4次 如果名义贴现率为 ，一年贴现 次，求该债券现在 的价格为多少？ 的价格为多少？ 解：1） P=
或：
(m)
i( m ) m m
) 1
1 m
1 + i = (1 +
i( m ) m m
i
= m[(1 + i ) 1]
)
2）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。 ）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。 名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。 名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。 设年名义贴现率为d(m), 实际贴现率为d， d (m) 则：每次的贴现率为 m 所以：
1 0 1+i 1+2i 1+it
1
1/1+i 1/1+2i
1
1
折 现 过 程
1
vt =
1 1+it
1 1+it
.
（2）复利
设年利率为i 各年1 设年利率为i ，各年1元的
现值。 现值。
1 0 1+i （1+i ）2 （1+i）t ）
1
1 1+ i
1 (1+i ) 2
1
1
折 现 过 程
1
1 vt = (1+i)t
当m → ∞ ，期初付与期末付没有区别。
3）利息力的一般式
定义
δ t = lim
h→ h →0
a (t + h )a (t ) ha ( t )
=
a (t ) a (t )
'
累积函数与利息力
由定义式：
δ t = [ln a(t )]
'
两边积分
∫
t
0
δ s ds = ∫ [ln a ( s ) ]' ds
第二种方法：购买时90元，一年后按面 值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。-元为期初利息， 元为期初利息 是期末值的减少额。 -贴现额。 贴现额。 贴现额
.
2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn =
An An1 An
=
an an1 an
年贴现额=A 年贴现额 ndn=An-An-1 为标准的减少额。 以An为标准的减少额。 年利息=A 年利息 n-1 in=An-An-1 为标准的增加额。 以An-1为标准的增加额。
利息理论
主讲：沈治中
第一章
利息的基础知识
主要内容
一、利息的度量 二、利率问题、时间问题的求解 利率问题、
一、利息的度量
主要内容
累积函数 利息 利率 单利与复利 现值函数 一年计息m次的实际利率与实际贴现率 一年计息 次的实际利率与实际贴现率 利息力
1、累积函数
单位货币经过t 年后的价值。
A0为本金，At为t年后的价值。
(1
d (m) m
)
m
d ( m) m
=
i( m ) m
d ( m) m
一般公式
如果一年结转m次利息与一年贴现n次等 价。 则：
(1 +
i( m) m m
) = (1
d (n) n n
)wk.baidu.com
的实际利率； 例（1）求每月结算的年利率为 ）求每月结算的年利率为12%的实际利率； 的实际利率 的实际贴现率。 （2）求每季结算的年贴现率为 ）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。 的实际贴现率 解（1） （2）
∑
5
δ
k
例：设
1）
1 + i = (1 + i ( 12 2)
)
i = 0.08 求：i
(12 )
, d , δ , v, d值。
( 4)
4）
i ( 12 12
)
)
12
δ = ln( 1 + i )
= 0 . 07696 5) v =
1 1+ i
= 0 . 07721
i 1+ i
d =
= 0 . 074
0
t
= ln a (t ) ln a ( 0 ) = ln a (t )
∫0 δ s ds a (t ) = e
t
。
为常数时： 当 δ s = δ 为常数时：
a(t ) = e
δ t
各年的利息力分别为： 各年的利息力分别为： δ1 , δ 2 δ n时
积累函数值
∫0 δ t dt a (n) = e 1
（3）、图形比较
at=(1+i)t at=1+it
1 1
当t<1时：1+it>(1+i)t 当t≥1时：1+it≤(1+i)t
例二
李刚94年 李刚94年1月1日从银行借款1，000元， 94 日从银行借款1 000元 假设年利率为12% 12%， 假设年利率为12%，试分别以单利和复 利计算： 利计算： 96年 日时， （1）96年1月1日时，他需还银行多少 钱? 几年后需还款1 500元 （2）几年后需还款1，500元？