球坐标距离公式_球心角公式及其应用

π ２
≤θ≤ π ２
，－ π≤$≤π；（
% 称为经度， θ
称 为 纬 度）
， 因此：
" " ｘ１＝ｒ１ｃｏｓθ１ｃｏｓ&１ ｘ２＝ｒ２ｃｏｓθ２ｃｏｓ(２ ｙ１＝ｒ１ｃｏｓθ１ｓｉｎ’１ ， ｙ２＝ｒ２ｃｏｓθ２ｓｉｎ)２ 代入（ １） 并化简可得
图１
ｚ１＝ｒ１ｓｉｎθ１
ｚ２＝ｒ２ｓｉｎθ２
（ ３）
Ｌ＝ !ｒ１２＋ｒ２２－ ２（ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＋ｚ１ｚ２）
（ ４）
Ｌ＝ !ｒ１２＋ｒ２２－ ２ｒ１ｒ２［ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２ｃｏｓ（*２－ +１）＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２］
（４）就是球坐标下的两点距离公式， 简称“球坐标距离公式”。
设#Ｏ$Ｍ １ 与#Ｏ$Ｍ ２ 所 夹 的 角 为 φ， ｜Ｏ#$Ｍ １｜＝ｒ１，｜Ｏ#$Ｍ ２｜＝ｒ２（ 参 照 图 ２） ， 对 ΔＯＭ１Ｍ２ 使 用 余 弦 定 理 得 ： Ｌ＝ !ｒ１２＋ｒ２２－ ２ｒ１ｒ２ｃｏｓφ ； 分 别 与
图２
（７）是向量分析中常用的两向量夹角公式。（ ８） 可看作球坐标 下 起 点 在 坐 标 原
点的两向量夹角公式， 简称为“球心角公式”。
例 １ 北 京 在 东 经 １１６．４°， 北 纬 ３９．９°； 昆 明 在 东 经 １０２．４°， 北 纬 ２５．１°； 求 从 北 京 到 昆 明 的 球 面 距 离（ 大 圆 劣 弧 弧 长） 。
第 １２ 卷第 ２ 期（ ２００７）
甘肃高师学报
Ｖｏｌ．１２ Ｎｏ．２（ ２００７）
球坐标距离公式、球心角公式及其应用
彭康青
李迎祥
（ 陇南师范高等专科学校， 甘肃成县 ７４２５００）（ 甘肃省文县城关中学， 甘肃文县 ７４６４００）
摘 要： 推出球坐标下两点的距离公式和球心角公式并给出它们的几点应用。
关键词： 球坐标； 空间直角坐标； 地理坐标（ 经度、纬度） ； 球心解公式
中图分类号： Ｏ１７５．１
文献标识码： Ａ
文章编号： １００８－ ９０２０（ ２００７） ０２－ ０８３－ ０１
众所周知， 空间直角坐标系下两点 Ｍ１（ｘ１，ｙ１，ｚ１）与 Ｍ２（ｘ２，ｙ２，ｚ２）的距离是：
（ １）
!２
２
２
（ 设地球半径 Ｒ＝６３７０ 千米）
解： 在用本文所选的球坐标计算地理问题时需注意： 东经和北纬的度数为正， 西经和南纬的度数为负。
本题中， 可取 θ１＝３９．９°，.１＝１１６．４°； θ２＝２５．１°，/２＝１０２．４° 代入球心角公式（ ８） 得： φ＝ａｒｃｃｏｓ［ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２ｃｏｓ（0２－ 1１）＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２］≈ａｒｃｃｏｓ０．９４６２＝０．３２９８ 弧度， ∴Ｓ＝Ｒφ＝６３７０×０．３２９８≈２１０１ 千米
Ｌ＝ （ ｘ２ － ｘ１） ＋（ ｙ２ － ｙ１） ＋（ｚ２ － ｚ１ ） ；
点 Ｐ 的直角坐标（ ｘ，ｙ，ｚ） 与点 Ｐ 的球坐标（ γ，!，θ） 之间的关系［１］是
（ ２）
"ｘ＝γｃｏｓθｃｏｓ" ｙ＝γｃｏｓθｓｉｎ#பைடு நூலகம்（ 显然： ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ｒ２）（ 参照图 １）
ｚ＝γｓｉｎθ
其中： ｒ≥０，－
答： 北京到昆明的球面距离约为 ２１０１ 千米。
参考文献： ［１］杨大淳．解析几何．北京师范大学出版社， １９８７．
责任编辑： 蒲向明
收稿日期： ２００７－ ０１－ ２０ 作者简介： 彭康青（ １９６８—） ， 女， 甘肃康县人， 陇南师范高等专科学校数学系副教授。
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（ ３） 和（ ４） 对比， 可得
（ ５）
ｃｏｓφ＝ ｘ１ ｘ２ ＋ｙ１ ｙ２ ＋ｚ１ ｚ２
ｒ１ ｒ２
（ ６） ｃｏｓφ＝ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２ｃｏｓ（ !２－ !１ ）＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２ ；
（ ７）
φ＝ａｒｃｃｏｓ ｘ１ ｘ２ ＋ｙ１ ｙ２ ＋ｚ１ ｚ２
ｒ１ ｒ２
（ ８） φ＝ａｒｃｃｏｓ［ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２ｃｏｓ（,２－ -１）＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２］