行测数量关系之容斥问题
行测技巧：行测备考之容斥问题
行测备考之容斥问题上海市考即将来临，面对行测试卷中的数量关系，很多考生觉得自己数学基础较弱选择全部放弃。
但是数量关系的题量、分值真实存在，大家要克服心理障碍，接受数量关系，由浅及深，不断突破。
在数量关系中有一些较简单易得分的知识点包括容斥、鸡兔同笼、整除、利润等。
今天我们先来学习容斥问题，所谓容斥，从字面意思上理解，就是包容与排斥，容斥问题的本质是研究集合与集合之间的关系。
一、方法1.文氏图法：利用有着重叠区域的圆圈来表示不同的集合，每个区域代表不同的概念。
2.公式法：常见题型有可以直接代入的公式，公式法直观且节省时间，只需明确核心为“保留为一层”。
二、题型（一）两者容斥公式：I=A+B-A∩B+Y例题：40人参加期末考试，某科目只有理论和实验均及格方为通过。
在理论考试中有34人及格，实验有32人及格，两次考试中，都没有及格的有4人。
通过该考试的有多少人？A.30人B.32人C.34人D.36人中公解析：设既没通过理论考试又没通过实验的人数为x，根据两者容斥公式得：34+32-x+4=40，解的x=30，因此选择A。
（二）三者容斥公式1：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+x公式2：I=A+B+C-两者交集-2×三者交集+x例题1：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这三个项目都参加。
三个项目都没有参加的有多少名？A.1人B.2人C.3人D.0人中公解析1：利用公式I=A∪B∪C+x=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+x，本题要求的是x，把数据代入公式18=8+10+12-4-6-5+2+x，解得x=1，因此选择A。
例题2：对某儿童服装生产厂的52件儿童衣物进行质量抽检，其中有8件衣物纤维含量不合格，10件衣物的PH值不达标，9件衣物不符合绳带安全要求，两项都不合格的有7件，有1件产品这三项都不合格。
2021国家公务员考试行测数量关系：容斥“最值”知多少？
2021国家公务员考试行测数量关系：容斥“最值”知多少?近年来，行测对于知识点的考察绝对不再仅仅局限于表面上的公式的基本运用，在当今的国家公务员考试中更多的测查考生的一个理解与灵活运用能力，而对于国考行测中经常出现的一类问题-容斥问题，我们现如今的考点也已经从基本公式向着更多的变形考点去延伸，呈贡中公教育专家给大家带来的是关于利用方程思想解决容斥“最值”问题的基本方法。
一、容斥问题基本公式二者容斥：I=A+B-A∩B+m三者容斥：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+m二、容斥“最值”问题的题型特征：1. 区域出现重叠;2. 出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。
三、经典例题例1. 有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。
那么至少有()人参加了不止一个项目的比赛。
A.7B.10C.15D.20【答案】B。
中公解析：设参加两项的有x人，参加三项的有y 人，则参加不止一项的为x+y人。
根据容斥原理可得：50+40+30-x-2y=100，则x+2y=20。
题目要求是x+y尽可能小，根据x+2y=(x+y)+y，要想保证x+y尽可能小，那么y要尽可能大，又因为x+2y等于定值，所以要想y尽可能大，则x尽可能小，x最小为0，此时y最大为10，此时x+y取得最小值为0+10=10，所以答案为B。
例2. 同学们参加周末兴趣小组，每个小组各有50人参加，已知音乐和美术都参加的有20人，体育和美术都参加的有12人，音乐和体育都参加的有15人，问只参加一个兴趣小组的最少有多少人?A.3B.56C.92D.103【答案】B。
中公解析：设参加三个兴趣小组的人为x人，只参加一个兴趣小组的有y人，有y=(50-20-12+x)+(50-12-15+x)+(50-20-15+x)，y=56+3x，要想y最小，即让x最小，x最小为0，此时y取得最小值为56。
3招秒杀容斥原理-2022公务员联考行测解题技巧
3招秒杀容斥原理-2022公务员联考行测解题技巧在数量关系题型中，常考的有两种题型，分别是二集合容斥原理和三集合容斥原理。
解决容斥原理常用的方法有公式法和画图法，其中公式法解决容斥原理是特别快速的解题方法，只要学会公式，理解并能够娴熟应用公式，那么容斥原理是考场中比较简单拿分的一种题型。
两集合容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数－两者都满意的个数＝总个数－两者都不满意的个数；三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种。
三集合标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数+满意条件2的个数+满意条件3的个数-满意两个条件的个数+三者都满意的个数=总个数-三者都不满意的个数。
三集合非标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数+满意条件2的个数+满意条件3的个数-“只”满意两个条件的个数-2×三者都满意的个数=总个数-三者都不满意的个数。
【例1】学校有300个同学选择参与地理爱好小组，生物爱好小组或者两个小组同时参与。
假如80%同学参与地理爱好小组，50%同学参与生物爱好小组。
问同时参与地理和生物爱好小组的同学人数是多少？A.240B.150C.90D.60答案：C【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。
其次步，共两个爱好小组，其中80%的同学参与地理爱好小组、50%的同学参与生物爱好小组，依据两集合容斥原理公式：满意条件1的个数＋满意条件2的个数－两者都满意的个数＝总个数－两者都不满意的个数，设同时参与两个爱好小组的同学占比为x，则有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那么同时参与两个爱好小组的共有300×30%＝90（人）。
因此，选择C选项。
【例2】学某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期刊的有73人，订阅3种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种。
公务员考试行测数量关系：容斥原理和抽屉原理练习题及答案
公务员考试行测数量关系：容斥原理和抽屉原理练习题及答案1.某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?A.148B.248C.350D.5002.36名女生结伴购物，21人买了长裙，24人买了短裙，24人买了超短裙;14人买了长裙和短裙，15人买了短裙和超短裙，13人买了长裙和超短裙;只有一位羞涩的小姑娘一条裙子都没买。
请问，共有几名女生购买了三种裙子?A.1B.5C.8D.93.100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样。
那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加?A.22B.21C.24D.234.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。
问阴影部分的面积是多少?A.15B.16C.14D.185.三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。
如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等，则下列说法正确的是()。
A.A等和B等共6幅B.B等和C等共7幅C.A等最多有5幅D.A等比C等少5幅6.将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公室的桌子数是一样多?A.2B.3C.7D.无法确定7.从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?A.23B.24C.25D.268.10个足球队之间共赛了11场，赛得最多的球队至少赛了几场?A.3B.4C.6D.59.某学校1999名学生去游故宫、景山和北海三地，规定每人至少去一处，至多去两地游览，那么至少有多少人游的地方相同?A.35B.186C.247D.10.将104张桌子分别放到14个办公室，每个人办公室至少放一张桌子，不管怎样分至少有几个办公室的桌子数是一样多?A.2B.3C.7D.无法确定参考答案及解析1.【答案】A。
行测数量关系容斥问题
行测数量关系容斥问题引言：在行测考试中，数量关系容斥问题是一个常见的考点。
掌握了该问题的解题方法，能够帮助考生更好地应对这一类题型。
本文将从概念、解题思路以及实例分析等方面进行详细讲解，以帮助考生更好地理解和掌握数量关系容斥问题。
一、概念解释：数量关系容斥问题是指在求解满足多个条件的情况数量时，通过排除重复计数的方法来得到准确结果。
其基本思想是通过理清各个条件的关系，累加满足每个条件的情况数量，然后再减去同时满足不止一个条件的情况数量，以得到最终结果。
二、解题思路：1.理解问题要求：首先，要明确问题所要求的情况数量。
通常情况下，此类问题要求计算满足多个条件的情况数量。
2.列出条件：将题目中给出的条件进行列举，每个条件单独列成一行。
3.计算满足每个条件的情况数量：对于每个条件，可以单独计算满足该条件的情况数量。
这可以通过排列组合、分类讨论等方法来计算。
4.累加满足每个条件的情况数量：将每个条件满足的情况数量累加起来，得到初步的结果。
5.减去同时满足不止一个条件的情况数量：根据容斥原理，需要减去同时满足不止一个条件的情况数量，以避免重复计数。
通过分类讨论或使用其他方法计算同时满足不止一个条件的情况数量。
6.得到最终结果：将初步结果减去同时满足不止一个条件的情况数量，即可得到最终的结果。
三、实例分析：下面通过一个实例来进一步说明解题思路。
例题：某校有甲、乙、丙三位老师，每位老师选择在星期一至星期五中任意一天进行家访。
如果每位老师至少选择一天进行家访，那么共有多少种家访方式？条件：1.甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；2.甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
解题思路：1.理解问题要求：题目要求计算满足两个条件的家访方式数量。
2.列出条件：条件1：甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；条件2：甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。
3.计算满足每个条件的情况数量：条件1满足的情况数量为3（每个老师有5种选择，共有3个老师）；条件2满足的情况数量为5^3-1（每个老师有5种选择，减去同时不选择任意一天的情况数量）。
2018国家公务员考试行测数量关系经典题目讲解之容斥问题
2018国家公务员考试行测数量关系经典题目讲解之容斥问题在行测数量关系中有许多考点，但有些考点难度不大易于掌握，比如容斥问题、行程问题中的牛吃草模型等，中公教育专家在特为各位考生整理了容斥问题的常见题型及问法：容斥问题从本质上来说是个计数问题，既然是计数问题，那么要去所有的数只能算一次，也就是表明它的计数原则是不重不漏。
它主要有两种常见的题型，具体如下：1.考点一：二者容斥问题。
若用A、B分别表示两个集合元素个数，I表示所有的集合元素个数;那么可得公式： A+B - A ∩B=I -非A非B例题1.有40位同学比赛，答对第一题有27人，答对第二题有25人，两题都答对的有18人，两题都没答对的有多少人?A.8B.10C.6D.4【中公解析】通过题目可以知道这是个二者容斥问题，要求的是非A非B的部分，所以根据公式可知： ,所以都没答对是6人，故此题答案为C。
2.考点二：三者容斥问题。
若用A 、B、C分别表示三个集合的元素个数，I表示全部集合的元素个数，该模型的公式有两种情况：(1)I-非A非B非C=A+B+C-二者部分+A∩B∩C(2)I-非A非B非C=A+B+C-仅二者部分-2 A∩B∩C两个公式之间的差别是在于分清“二者部分”“仅二者部分”，这也是该考点的难点所在。
例题2.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人;准备参加英语六级考试的有89人;准备参加计算机考试的有47人;三种考试都准备参加的有24人;准备选择两种考试都参加的有46人;不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人?A.120B.144C.177D.192【中公解析】根据题干信息可知，这是三者容斥问题，要求的是全集I的部分。
根据题意，参加两种考试，不包含三个考试都参加的部分，所以指的是“仅二者部分”;所以根据公式(2)可得：。
故答案为A。
例题3.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
公务员行测数量关系速算公式归纳
公务员行测数量关系速算公式归纳在公务员行测考试中，数量关系部分往往是让众多考生感到头疼的模块。
然而，掌握一些实用的速算公式，能够帮助我们在考场上快速解题，提高答题效率和准确率。
接下来，就为大家归纳一下常见的公务员行测数量关系速算公式。
一、行程问题1、相遇问题路程和＝速度和 ×相遇时间相遇时间＝路程和 ÷速度和速度和＝路程和 ÷相遇时间例如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为 5 米/秒，乙的速度为 3 米/秒，经过 10 秒相遇，那么 A、B 两地的距离就是（5 ＋ 3）× 10 ＝ 80 米。
2、追及问题路程差＝速度差 ×追及时间追及时间＝路程差 ÷速度差速度差＝路程差 ÷追及时间比如：甲在乙后面 20 米，甲的速度为 7 米/秒，乙的速度为 5 米/秒，那么甲追上乙所需的时间就是 20 ÷（7 5）＝ 10 秒。
3、流水行船问题顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速水速船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷ 2水速＝（顺水速度逆水速度）÷ 2假设一艘船在静水中的速度为 15 千米/小时，水流速度为 3 千米/小时，那么顺水速度就是 15 ＋ 3 ＝ 18 千米/小时，逆水速度就是 15 3 ＝12 千米/小时。
二、工程问题工作总量＝工作效率 ×工作时间工作效率＝工作总量 ÷工作时间工作时间＝工作总量 ÷工作效率例如：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，那么两人合作完成这项工程需要的时间就是 1 ÷（1/10 ＋ 1/15）＝6 天。
三、利润问题利润＝售价成本利润率＝利润 ÷成本 × 100%售价＝成本 ×（1 ＋利润率）成本＝售价 ÷（1 ＋利润率）比如：一件商品的成本是 80 元，售价是 100 元，那么利润就是 10080 ＝ 20 元，利润率就是 20 ÷ 80 × 100% ＝ 25%。
行测技巧：两种方法巧解数量关系“容斥问题”
⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” ⾏测数量的运算⼀直是⾏测考试的重点题型，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题””，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” 容斥问题其实是⼀种在考试中⽐较常见且简单的题型，它考察的是集合之间彼此的交集问题，⼀般来说解决容斥问题最常⽤的两种⽅法就是⽂⽒图法和公式法。
下⾯⼩编为⼤家讲解。
让我们先从⼀个⽣活上的⼩例⼦来理解什么是容斥：AB是两个同居室友，有⼀天A下班回家时在路上买了⾹蕉、苹果、菠萝三种⽔果，B回家路上买了菠萝、葡萄、西⽠三种⽔果，那么家⾥现在⼀共有多少种⽔果？答案很简单，因为尽管两个⼈各买了三种⽔果，但其中菠萝是重复的，所以我们在3+3之后还需要把多算了⼀遍的菠萝减下去，⽽这就是容斥问题的本质：减去多算的，补上空⽩的。
在⾏测的容斥问题⾥，较常考的是三者容斥，也就是三个集合之间的关系，我们把三个集合分别称作A、B、C，三个集合的总集称作U，就可以得到三者容斥的公式： U=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+三者都没有的 在做题的时候只需要找到题⼲中给定的各个条件，选择直接套⽤，然后就可以求出公式中缺少的项，从⽽快速得到答案。
以⼀道题⽬为例：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加⾃由泳，有4名既参加仰泳⼜参加蛙泳，有6名既参加蛙泳⼜参加⾃由泳，有5名既参加仰泳⼜参加⾃由泳，有两名这三个项⽬都参加。
三个项⽬都没有参加的有多少名？ 在题⽬中，ABC即对应仰泳、蛙泳、⾃由泳，那么A、B、C、A∩B，B∩C，A∩B∩C都是已知的，求都没有参加，即求剩下的项，⾸先，我们先把题⽬中已经给的数据填⼊公式： 18=8+10+12-4-6-2+2+x 在这个⽅程中，我们解得x=1，也就是三个项⽬都没有参加的有⼀个⼈。
⽽公式法虽然简单，但有的时候可能会觉得有些眼花缭乱，这种时候⽂⽒图法就显得更为直观，我们⼀起来感受⼀下⽂⽒图法在题⽬中的应⽤： 按照从内向外依次填充的⽅式，在⽂⽒图中填写不同区域对应的数据，这样题⽬⽆论是求哪个部分，⼜或是其中⼀些部分的和、差关系（⽐如只会游⼀种泳的、只会游两种泳的、只会⾃由泳的⼈⽐只会蛙泳的多多少），我们就都不怕了。
2018国考行测：数量关系之容斥原理
2018国考行测：数量关系之容斥原理容斥原理问题是公务员考试中一类常考题型，常见的容斥原理问题有三种：两集合容斥原理，三集合容斥原理标准型，三集合容斥原理非标准型。
在审题时大家要牢牢把握住题型的特征：当题目中出现“都满足”，“都不满足”时，就可以归为容斥问题。
河北省考中容斥问题相对来说不是太难，基本上直接套用公式就能解决，属于易于拿分的题型。
下面给大家整理一下容斥原理这三种题型的公式以及用法。
一、两集合容斥原理公式：A+B-AB=总个数- 两者都不满足的个数。
其中A、B分别代表满足不同条件的数量，AB代表两个条件都满足的数量。
【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两者都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？（）A．28人B．26人C．24人D．22人D【解析】这是一道两集合的容斥问题。
根据公式：60-20=30+32-两者都参加的人，解得答案为D。
二、三集合容斥原理标准型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=总个数-都不满足的个数。
其中A、B、C代表满足不同条件的数量，AB、BC、AC代表分别满足其中两个条件的数量，ABC代表三个条件都满足的数量。
【例2】100个学生只有2人没学过外语，学过英语的有40人，学过德语的有45人，学过法语的有43人，学过英语也学过德语的有15人，学过英语也学过法语的有12人，学过法语也学过德语的有10人。
问：三种语言都学过的有多少人？（）A．4 B．6C．7 D．5C【解析】运用容斥原理可得：40+45+43-（15+12+10）+三种语言都学过的人数＝100-2。
解得三种语言都学过的数量为7，因此，本题答案为C选项。
三、三集合非标准型容斥原理公式：A+B+C-只满足两个条件的数量-2×满足三个条件的数量=总个数-都不满足的个数。
【例3】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。
行测容斥问题公式
行测容斥问题公式行测中的容斥问题可是个有趣的“家伙”，在考试中时不时就会冒出来，给咱们考生带来点小挑战。
咱们先来说说啥是容斥问题。
简单来讲，容斥问题就是研究集合之间重叠部分的情况。
比如说，一个班级里喜欢数学的有一部分同学，喜欢语文的有一部分同学，那么既喜欢数学又喜欢语文的同学有多少呢？这就是一个典型的容斥问题。
容斥问题有几个常用的公式。
两集合容斥公式：A∪B = A + B -A∩B。
这就好比有两个盒子，一个装苹果，一个装香蕉。
把两个盒子里的水果都放到一个大筐里，总数就是两个盒子里水果数的和，减去两个盒子里都有的那种水果（比如既是苹果又是香蕉的水果）。
再说说三集合容斥公式，标准型：A∪B∪C = A + B + C - A∩B -B∩C - C∩A + A∩B∩C 。
这个公式看起来有点复杂，其实就是把三个集合的数量加起来，然后减去两两重叠的部分，再把三个都重叠的部分加回来。
打个比方，咱就说班级里的兴趣小组，有数学小组、语文小组和英语小组。
数学小组有多少人，语文小组有多少人，英语小组有多少人，这都好算。
但是有些同学既参加了数学又参加了语文，有些既参加了语文又参加了英语，有些既参加了数学又参加了英语，还有些同学三个小组都参加了。
要算出班级里一共参加兴趣小组的人数，就得用这个公式。
还有个非标准型的三集合容斥公式：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的 - 2×属于三个集合的。
这个公式呢，理解起来也不难。
还是拿兴趣小组举例，咱们先把三个小组的人数加起来，然后把重复算的只属于两个小组的人数减掉，但是属于三个小组的人数被多减了一次，所以要再加上两倍的属于三个小组的人数。
我记得之前有个学生，在做容斥问题的时候，那叫一个头疼。
题目是这样的：一个班级有 50 名同学，参加数学竞赛的有 25 人，参加语文竞赛的有20 人，其中有10 人既参加了数学竞赛又参加了语文竞赛，问班级里参加竞赛的总人数是多少。
行测数量关系备考：容斥问题
行测数量关系备考：容斥问题行测数量关系备考：容斥问题容斥问题一直是行测数量关系考试当中的“常客”，而如此“文艺”的名字之下，本质研究的其实就只是集合间关系的一类问题。
那么集合间的关系都有哪些呢?一般来说，我们把容斥问题分成三大类研究，分别是二者容斥、三者容斥和容斥极值，其中以三者容斥问题最为常考，也是相对来说最难理解的一类问题。
今天就为大家解释什么是三者容斥?它又难在哪里?【例2】某研究中心就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进展市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人?A.1B.3C.5D.7通过以上两道题目，我们不难发现，容斥问题本身难度并不是很大，只要找到题目中数据描绘的特点，对应正确的公式，还是很容易解决的。
比例统一的方法如下：1.找不同比例当中都出现的不变量(某个量、总量、差量等)2.将不变量的份数统一为最小公倍数3.其他量保持比例不变同倍数变化理解完以上相关的方法，我们就详细来看题目感受一下。
【例1】A：B=2：3，B：C=2：3，C比A多10，那么A+B+C=?A.35B.36C.37D.38【解析】答案：D。
根据题干信息可知，给出了一个实际量C比A多10，那么我们就需要找到实际量10所对应的比例份数进展相关的解题，同时我们可以发现题干给出了两个比例，两个比例都出现了B这个不变量，在和A做比的时候是3份，在和C做比的时候是2份，但是B所代表的实际量是一样的，所以把B分成不同的份数每一份所代表的实际量就不一样。
那么我们将B的份数变成一样即可，所以将B统一为最小公倍数6，那么其他量保持比例不变同倍数变化。
得到A:B:C=4:6:9，可以发现C比A多了5份，这5份正是对应的10，题目求A+B+C，通过比例可以知道共有19份，所以答案为38，选D。
【例2】林先生的水果摊销售苹果、芒果、香蕉三种水果，第一天苹果、芒果、香蕉三种水果的收入之比为8:7:5，第二天的收入之比7:9:14.假设第二天苹果的销售收入减少了100元，但这三种水果的总收入不变，问第二天香蕉的收入为多少元?A.180B.200C.280D.360【解析】答案：C。
公考行测数量关系-容斥原理
1、某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。
其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。
问三项全部合格的食品有多少种：答：本题注意按照不合格得到三个类，进行容斥原理分析，分别设三项全部合格、仅一项不合格的产品有、种，根据题意可得：，，联立解得，，因此三项全部合格的食品有23种。
2、某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个：答：设三种上网方式都使用的客户有x人，根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程1258+1852+932-（352-x）-2x=3542，解得x=148.3、一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。
那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点：答：方法一：设去A、C景点的游客有人，根据容斥原理标准公式可得：，可得；因此恰好去了两个景点的有人（可根据尾数法选择）。
方法二：设有名游客恰好去了两个景点，根据容斥原理非标准公式可得：（可根据尾数法选择），可得人。
4、工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？答：设参加培训的总人数为n。
根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程17+16+14-（n-2）-2×2=n，解得n=27。
容斥原理公式 行测
容斥原理公式行测容斥原理公式在行测中的应用那可是相当重要的哟！咱先来说说啥是容斥原理。
简单来讲，就是在计算多个集合的总数或者某个集合元素的数量时，要把重复计算的部分去掉，把遗漏的部分补上。
这就好比你去超市买水果，苹果、香蕉、橙子都想买，但有的水果可能被你算了两次，这时候就得用容斥原理来算清楚到底买了多少种、多少个水果。
容斥原理公式主要有两个，一个是两集合的容斥原理公式，另一个是三集合的容斥原理公式。
两集合的容斥原理公式是：A∪B = A + B - A∩B 。
比如说，一个班级里喜欢数学的有 30 人，喜欢语文的有 25 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 10 人，那这个班级里喜欢数学或者喜欢语文的同学总数就是 30 + 25 - 10 = 45 人。
三集合的容斥原理公式就稍微复杂点，有标准型和非标准型。
标准型是：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 。
非标准型是：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的元素 - 2×属于三个集合的元素。
给您举个例子吧，就说咱公司组织活动，有喜欢爬山的，有喜欢游泳的，还有喜欢骑自行车的。
喜欢爬山的有 50 人，喜欢游泳的有 40 人，喜欢骑自行车的有 30 人，既喜欢爬山又喜欢游泳的有 15 人，既喜欢游泳又喜欢骑自行车的有 10 人，既喜欢爬山又喜欢骑自行车的有8 人，三个都喜欢的有 3 人。
那用标准型公式来算，参加活动的总人数就是 50 + 40 + 30 - 15 - 10 - 8 + 3 = 90 人。
在行测考试中，容斥原理的题目经常出现，而且形式多种多样。
有的是让你直接用公式计算人数，有的是通过给出一些条件让你推导某个集合的元素数量，还有的会把容斥原理和其他知识点结合起来考，比如概率问题、最值问题等等。
我之前有个朋友考行测，就碰到了一道容斥原理的题目，他当时没搞清楚，结果在这道题上浪费了好多时间，最后也没做对。
国家公务员考试行测：数量关系容斥问题
国家公务员行测考试中会考察到容斥问题，容斥问题的实质就是数数，在数数的时候能准确将题目中所涉及的量明确分类，而且分类的时候不能重复，也不能遗漏。
下面专家为大家讲解容斥问题的几种题型及解题方法，希望能对考生有所帮助。
一、两者容斥问题如上图所示，一个班级的总人数为I人，其中喜欢语文的有A人，喜欢数学的有B人，两者都不喜欢的有Y人，问两者都喜欢的至少有多少人?解析：这个例题很经典，当我们用一般方法去思考时很容易把自己绕进去，所以在这里专家给大家一个很好用的公式，只要把这个模板套进去，式子自然就列出来了，对于这道题，显然题目让求得量是X，那么根据图可得I = A + B - X + Y,在这里要减去X就是因为，A 和B里边都含有X，相加完之后X重复了一次，所以要把多余的这一次减掉，此时，对应着题目所给的量代入，即可求出X的值。
强化练习：电视台向100个人调查昨天收看电视情况，有62人看过一频道，有34人看过六频道，有11个人两个频道都看过，问：两个频道都没有看过的有多少人?A 4B 15C 17D 25解析：这道题和上面讲述的例题一样，只要明白这道题让求得量是Y就可以了，所以直接套公式I = A + B - X + Y，I、A、B、X分别对应100、62、34、11，代入就能求出Y为15，所以答案选B。
二、三者容斥问题如上图所示，这个模型表示的含义是：一个班一共有学生I人，喜欢语文的有A人，喜欢数学的有B人，喜欢英语的有C人，只喜欢语文和数学的有e人，只喜欢语文和英语的有f人，只喜欢数学和英语的有g人，三科都喜欢的有X人，三科都不喜欢的有Y人，对于这个模型可以表示为I = A + B + C - ( e + f + g ) -2X + Y,对于这个式子一定要明白每一个量表示的是什么意思，这样做题的时候就容易知道让我们求得量是谁，到时候直接套公式就行了。
强化练习：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，其中有89人看过甲片，47人看过乙片，63人看过丙片，24人三部电影全看过，20人一部也没看过，则只看过其中两部电影的人数是( )A 69人B 65人 C57人 D 46人解析：这道题的文法跟例题有一点点出入，但变化不大，在公式I = A + B + C - ( e + f + g ) -2X + Y中， e + f + g作为一个整体来看，表示的量就是只看过两部电影的人数，也就是要求的量，所以直接把题目所给出的量代入即可，所求答案为46人，选D。
2020年广东肇庆事业单位考试行测：何为“容斥问题”
2020年广东肇庆事业单位考试行测：何为“容斥问题”在国考和事考当中我们提到数量关系总会望而却步，对于数量关系题目虽然考试数量不多，但是很多小伙伴反应比较难会浪费时间，进而导致答题的时候基本上不给数量关系留“活路”，最终导致分数差强人意。
其实在数量关系当中有这么一类题，不仅运用基本公式求解简单，还可以用画图的方式解决问题，下面就和我一起来了解一下容斥问题当中的一些高频考点和例题。
一、基本概念集合和集合之间相互包容和排斥的关系。
二、容斥问题的解题方法最为常用的解题方法一般为公式法和图解法。
三、容斥问题的常见考点1、两者容斥：例1：某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人?A.28B.26C.24D.22【答案】D。
解析：设同时参加物理、数学两科竞赛的有x人，由两者容斥公式(全集=集合A+集合B-集合A、B交集+补集)可得，30+32-x+20=60，解得x=22。
例2：接受采访的100个大学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没手机的共有多少人?A.25B.15C.5D.3【答案】D。
解析：如图所示，88人有手机，15人有手机没电脑，则88-15=73人既有手机又有电脑，已知76人有电脑，所以有电脑没手机有76-73=3人。
2、三者容斥：例1：某专业有若干学生，现开设有甲、乙、丙三门选修课。
有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，三门课程均未选的有2人。
该专业共有学生多少人?A.48B.50C.52D.54【答案】B。
解析：由三者容斥公式(全集=集合A+集合B+集合C-集合A、B的交集-集合B、C的交集-集合A、C的交集+集合A、B、C的交集+补集)可得，该专业共有学生40+36+30-28-26-24+20+2=50人。
行测容斥问题
行测容斥问题容斥原理是概率论与组合数学中的一种计数方法，用于解决求不相交事件的并集的问题。
容斥原理可以简单地理解为，求多个集合的并集时，先将每个集合的元素个数相加，再减去两个集合之间的交集元素个数，再加上三个集合之间的交集元素个数，以此类推。
在行测中，容斥原理也经常被用于解决一些排列组合问题。
以下是一个行测中常见的容斥问题例子：问题：有5个人，他们分别属于三个不同的俱乐部A、B、C。
现在要从这5人中选出一些人组成一个小组，要求至少要有一个人来自俱乐部A和B，至少要有一个人来自俱乐部B和C，至少要有一个人来自俱乐部A和C。
问有多少种选法？解答：我们可以先计算不满足条件的情况，然后利用容斥原理来计算满足条件的情况。
不满足条件的情况有三种：1. 既没有来自俱乐部A和B的人，也没有来自俱乐部B和C的人，也没有来自俱乐部A和C的人。
2. 没有来自俱乐部A和B的人。
3. 没有来自俱乐部B和C的人。
利用容斥原理，满足条件的情况数目 = 总情况数 - 不满足条件1的情况数- 不满足条件2的情况数- 不满足条件3的情况数。
总情况数：每个人都有三个俱乐部可选，所以总情况数为3^5。
不满足条件1的情况数：每个人都不能选属于其他两个俱乐部的人，所以不满足条件1的情况数为(2^5 - 2)。
不满足条件2的情况数：每个人可以选属于A和C俱乐部的人，也可以选属于C俱乐部的人，所以不满足条件2的情况数为(3^5 - 3^3)。
不满足条件3的情况数：同理，不满足条件3的情况数为(3^5 - 3^3)。
所以满足条件的情况数 = 3^5 - (2^5 - 2) - (3^5 - 3^3) - (3^5 -3^3)。
实际计算时，可以利用容斥原理的推广公式：|A ∪ B| = |A| +|B| - |A ∩ B|，将容斥原理的计算过程化简。
以上就是关于行测容斥问题的解答和解题思路。
国家公务员考试行测容斥问题详解
国家公务员考试行测容斥问题详解国家公务员考试行测容斥问题详解：容斥问题容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。
在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。
国家公务员考试行测容斥问题详解：题目特点题目中给出多个概念，概念之间存在交叉关系。
国家公务员考试行测容斥问题详解：常考题型1、二者容斥问题公式：覆盖面积=A+B-A与B的交集例1:大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?A.6B.7C.8D.9解析：两个概念分别的奥运会志愿者和全运会志愿者，设班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有X人，则有10+17-X+30= 50,所以X=7,即班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有7人。
2.三者容斥问题公式：覆盖面积=A+B+C-两者交-2三者交例2:某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?A、69B、65C、57D、46解析：三个概念分别是甲片、乙片、丙片，假设只看过其中两部电影的人数有X人，则89+47+63-X-224+20=125.所以X=46.即只看过其中两部电影的人数有46人。
3.容斥极值问题容斥极值最常考的就是容斥交集的最小值，我们可以套用公式解决。
①(AB)=A+B-I (I表示全集)②(ABC)=A+B+C-2I③(ABCD)=A+B+C+D-3I例3:小明、小刚、小红、小英四人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了79题，小刚做对了88题，小红做对了91题，小英作对了89.问题：①小明和小刚都最对的题目至少有几题?②小明、小刚、小红都最对的题目至少有几题?③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有几题?解析：①小明和小刚都最对的题目至少有79+88-100=67人②小明、小刚、小红都最对的题目至少有79+88+91-2100=58人③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有79+88+91+89-3100=47人。
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4.24联考公务员行测数量关系的容斥原理
对公务员考试行测中数学运算各个题目进行整理，有一类是“容斥原理”问题，主要包括两集合问题和三集合问题，此类问题是每年必考的题型，现在对此类题目进行汇总，希望能帮助4.24联考的广大考生顺利通过考试。
1、公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。
利用公式法解决问题时要注意公式中每个字母所代表的含义，这是考生经常容易出错的地方。
（1）两个集合：
涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：
1都的个数+ 2都的个数－1、2都的个数＝总－1、2都不的个数“都”是指满足该条件的集合数。
（2）三个集合：
︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱B∩C︱-︱C∩A︱+︱A∩B∩C ︱
2、韦恩图法：用图形来表示集合关系，变抽象文字为形象图示。
因其具有直观性，便捷性和可行性，因此推荐首选文氏画图解题。
（1）两个集合：
（2）三个集合：
针对历年的真题进行讲解。
例1、对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（）。
（2005年国家公务员考试一卷行测第45题）
A.22人
B.28人
C.30人
D.36人
解析：设A=喜欢看球赛的人（58），B=喜欢看戏剧的人（38），C=喜欢看电影的人（52），则有：
A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）
B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）
A∩B∩C=三种都喜欢看的人（12）
A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）
由集合运算公式可知：
C∩A=A+B+C-（A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C）
=148-（100+18+16-12）=26
所以，只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C
=52-16-26+12
=22
注：这道题运用公式运算比较复杂，运用文氏画图法我们很快就可以看出结果。
文氏解法如下：
由题意知：（40-x）+x+（36-x）+6+12+4+16=100，解得x=14；则只喜欢看电影的人有36-x=22。
例2、外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有（）。
（2005年国家公务员考试二卷行测第45题）
A.4人
B.5人
C.6人
D.7人
解析：首先采用公式法解决此题，设A=英语教师（8+5+4-2=15），B=法语教师，C=日语教师（6+5+3-2=12），（但应注意的是在做题之前，我们首先必须了解公式中A,B,C三个集合所代表的含义，并非A=8,C=6.），则
C= A∪B∪C-A-C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
=27-15-12+5+3+4-2=10，那么只能教法语的教师=10-3-4+2=5
另外，此题如果用韦恩图法会相当简单，设只能教法语的人数为X,则依题意得韦恩图（见下图）：
由题意我们有27=8+3+6+2+2+1+X, 解得X=5。
例3、某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种
考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）（2010年国家公务员考试行测第47题）
A.120
B.144
C.177
D.192
解析：同上，我们可以直接利用三个集合并的运算来解决这个集合问题，公式如下：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C, 但是这里的“准备选择两种考试都参加的有46人”并不是我们所说的A∩B+A∩C+B∩C， A∩B+A∩C+B∩C中还包含着选择三种考试的人即A∩B∩C，因此A∩B+A∩C+B∩C=46+ A∩B∩C*3=118，这样A∪B∪C= 63+89+47-118+24=105，总人数为105+15=120.
另外我们也可以用韦恩图：
依题意可得：
A+D+E+G=63
B+D+F+G=89
C+E+F+G=47
D+E+F=46
设参加人数为N，则有N=A+B+C+D+E+F+G+15=120。