2020最新中考数学试题分类汇编 知识点30 直角三角形、勾股定理

知识点30 直角三角形、勾股定理

一、选择题

1. （2018山东滨州，1，3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】A

【解析】∵三角形为直角三角形，∴三边满足勾股定理，∴弦为：223+4＝5． 【知识点】勾股定理

2. （2018四川泸州，8题，3分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图3所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ,若ab =8，大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（ ） A. 9 B.6 C. 4 D.3

第8题图 【答案】D

【解析】因为ab=8，所以三角形的面积为

2

1

ab=4，则小正方形的面积为25-4×4=9，边长为3 【知识点】勾股定理，三角形面积，平方根

3. （2018年山东省枣庄市，12，3分）如图，在ABC Rt ∆中，090=∠ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F .若5,3==AB AC ，则CE 的长为（ ）

A ．

23 B ．34 C ．35

D ．5

8 【答案】A

【思路分析】在ABC Rt ∆中， AB CD ⊥， AF 平分CAB ∠，可知CE=CF ，过F 作FH 垂直于AB ，FH=CF ，在Rt △FBH 中设CF=x ，利用勾股定理列方程求出CF 的长，从而得到CE 的长.

【解题过程】解：在ABC Rt ∆中， AB CD ⊥，∴∠ACD=∠B ，∵AF 平分CAB ∠，∴∠CAF=∠BAF ，∴∠CEF=

∠CFE ，CE=CF ，如图，过点F 作FG ⊥AB ，∵AF 平分CAB ∠，∴CF=FG ，AG=AC=3，BG=2，设CF=FG=x ， ∵

5,3==AB AC ，∴BC=4，则BF=4-x ，在Rt △FBG 中，2222(4)x x +=-，解得23=

x ，即CE=CF=2

3

，故选A.

E

C A

B

F

【知识点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形

4. （2018湖南长沙，11题，3分）我国南宋著名数学家秦久韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）

A.7.5平方千米

B.15平方千米

C.75平方千米

D.750平方千米 【答案】A

【解析】将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52

+62

=6.52

，所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米，所以S=

1

2

×6×2.5=7.5(平方千米)，故选A

【知识点】勾股定理的逆定理，三角形面积

5. (2018山东青岛中考，6，3分)如图，三角形纸片ABC ，AB=AC ，∠BAC=90°，点E 为AB 中点．沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕EF 交BC 于点F ．已知3

2

EF

，则BC 的长是（ ）

A ．

32

2

B ．32．3 D ．33【答案】B

【解析】∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠B=45°．由折叠的性质可得∠BEF=90°，∴∠BFE=45°，∴BE=EF=

32

． ∵点E 为AB 中点，∴AB=AC=3．在Rt△ABC 中，22

AB AC +2233+32B ．

【知识点】折叠的性质；等腰三角形的性质与判定；勾股定理；

6.（2018山东省淄博市，12，4分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A 、B 、C 的距离分别

为3、4、5，则△ABC 的面积为

（A ）9+

2534 （B ）9+2532 （C ）18+253（D ）18+253

2

（第12题图）

B

【答案】A

【思路分析】将△APB 绕点A 逆时针旋转60°得到△AHC ，作AI ⊥CH 交CH 延长线于点I ，则△APH 为等边三角形，利用已知线段证明△PHC 为直角三角形，从而得到∠AHC =150°，∠AHI =30°，求得AI 、IH ，进而求得IC ，利用勾股定理求出AC ，再利用正三角形面积公式求出三角形ABC 的面积.

（第12题答案图）

B

【解题过程】将△APB 绕点A 逆时针旋转60°得到△AHC ，作AI ⊥CH 交CH 延长线于点I ，则△APH 为等边三角形，

HA =HP =PA =3，HC =PB =4，∵PC =5，∴PC 2=PH 2+CH 2，∴∠PHC =90°，∴∠AHI =30°，∴AI =

32，

HI =32∴

CI =3

2

，∴AC 2

=（

32）2+

（3

2

）2

△ABC =

4AC 2

=4（

=9+4.

【知识点】图形的旋转的性质；解直角三角形；正三角形的面积；勾股定理及逆定理

1. （2018湖北黄冈，5题，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=

（ ） A.2 B.3 C.4 D.