立体几何

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[解] (1)证明：在正三棱柱中， CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥CC1.
又AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1， 且CC1和C1D都在平面BCC1B1内， ∴AD⊥平面BCC1B1.
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(2)由(1)，得 AD⊥BC.在正三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点． B1E 当EC ＝1，即 E 为 B1C1 的中点时，A1E∥平面 ADC1. 1 事实上，在正三棱柱 ABC- 1B1C1 中，四边形 BCC1B1 是矩形， A 且 D、E 分别是 BC、B1C1 的中点，
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5．如图，设AB⊥平面α，CD⊥平面α，
垂足分别为B，D，且AB≠CD.EF
是平面α与平面β的交线，如果增 加一个条件就能推出BD⊥EF，给出四个条件： ①AC⊥平面β； ②AC⊥EF； ③AC与BD在平面β内的射影在同一条直线上；
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④AC与BD在平面β内的射影所在的直线交于一点．
那么这个条件不可能是 ( )
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[例4] 已知四棱锥PABCD的直观图 和三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．
(1)求四棱锥PABCD的体积；
(2)若点E为PC的中点，求证：PA∥平面BDE； (3)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．
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[解]
(1)由三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为
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解：(1)证明：AC＝1，BC＝2，AB＝ 5， ∴AC2＋BC2＝AB2. ∴AC⊥BC. 又∵平面 PAC⊥平面 ABC， 平面 PAC∩平面 ABC＝AC， ∴BC⊥平面 PAC. 又∵PA⊂平面 PAC.∴PA⊥BC.
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(2)该几何体的正视图如图所示： ∵PA＝PC，取 AC 的中点 D，连接 PD， 则 PD⊥AC.又平面 PAC⊥平面 ABC， ∴PD⊥平面 ABC. 1 1 3 ∴几何体侧视图的面积＝2AC· PD＝2×1×PD＝ 4 . 3 ∴PD＝ 2 .易知△PAC 是边长为 1 的正三角形． ∴正视图的面积是上、下底边长分别为 1 和 2，PD 为高 1＋2 3 3 3 的直角梯形的面积．∴S＝ 2 × 2 ＝ 4 .
2
3 2 所以底面积 S△ABC＝ a ＝3 3. 4 其表面积 S＝S 侧＋S 底＝3S△ABC＝9 3.
答案：9 3
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3．在如图所示的几何体中，平面 PAC⊥平面 ABC，PM∥BC，PA＝PC，AC＝1，BC＝2， PM＝1，AB＝ 5，若该几何体的侧视图 3 的面积为 . 4 (1)求证：PA⊥BC； (2)画出该几何体的正视图，并求其面积 S； (3)求出多面体 ABMPC 的体积 V.
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解析：如图所示，设正三棱锥 S－ABC 的底面边长为 a， 斜高为 h′. 1 3 2 因为 S 侧＝2S 底，所以 3×2ah′＝2× 4 a ， 解得 a＝ 3h′. 在△ABC 中，O 为中心，D 为 AB 中点， 3 故 OD＝ 6 a，
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在 Rt△SOD 中，SD2＝OD2＋SO2， 3 2 故 h′ ＝( a) ＋( 3)2，解得 h′＝2，故 a＝2 3. 6
第 二 部 分 命 题 热 点 大 揭 秘
命 题 热 点 一
命题 区间 五
命 题 热 点 二 命 题 热 点 三 命 题 热 点 四 命 题 热 点 五
立 体 几 何
立体几何是考查空间想象能力的主要素材，高考必然 会利用立体几何试题考查考生的空间想象能力，其中，空 间几何体的三视图是考查空间想象能力的最直接的素
A．①②
C．③
B．②③
D．④
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解析：AC⊥平面β时，AC⊥EF，又AB⊥平面α，所以
AB⊥EF，AB∩AC＝A，故EF⊥平面ABDC，从而
EF⊥BD，故条件①可以；AC⊥EF时，同①易知EF⊥平 面ABDC，从而EF⊥BD，故条件②可以；AC与BD在β内 的射影在同一条直线上时，即A、B、D、C四点在平面β 内的射影在同一条直线上，此时EF垂直于BD在β内的射
[解析]
如图①显然正确；由已知可得EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC. 即E、F、B、C共面． ∴②错误；③正确，④正确．
[答案] ①③④
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4．给定下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面 直线； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平 面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
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(3)取 PC 的中点 N， 连接 AN， 由△PAC 是边长为 1 的正三角 形，可知 AN⊥PC，由(1)，知 BC⊥平面 PAC， ∴AN⊥BC，PC∩BC＝C.∴AN⊥平面 PCBM. 3 ∴AN 是四棱锥 APCBM 的高，且 AN＝ 2 . 由 BC⊥平面 PAC，可知 BC⊥PC. 由 PM∥BC，可知四边形 PCBM 是上、下底边长分别为 1 和 2，PC 为高的直角梯形． 3 1 3 其面积 S′＝2，∴V＝3S′· AN＝ 4 .
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8．如图，AB为圆O的直径，点E、F在 圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在 的平面和圆O所在的平面垂直，
且AB＝2，AD＝EF＝1.
(1)求证：AF⊥平面CBF； (2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF； (3)设平面CBF将几何体分成的两个锥体的体积分别为 VFABCD，VFCBE，求VFABCD∶VFCBE的值．
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解：(1)证明：由题意知AF∥BE，BE⊂平面BCE， AF⊄平面BCE， ∴AF∥平面BCE，同理，DF∥平面BCE. 又AF∩DF＝F，AF⊂平面ADF，DF⊂平面ADF，
∴平面ADF∥平面BCE.
∵AD⊂平面ADF，∴AD∥平面BCE.
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(2)证明：∵平面CDFE⊥平面ABEF，
平面CDFE∩平面ABEF＝EF.
所以 MN 綊 AO.
所以四边形 MNAO 为平行四边形．所以 OM∥AN. 又因为 AN⊂平面 DAF， OM⊄平面 DAF， 所以 OM∥平面 DAF.
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(3)过点 F 作 FG⊥AB 于 G，因为平面 ABCD⊥平面 ABEF， 且平面 ABCD∩ABEF＝AB， 1 2 所以 FG⊥平面 ABCD，所以 VF- ＝3S 四边形 ABCD· FG＝3FG. ABCD 因为 CB⊥平面 ABEF， 1 1 1 1 所以 VF- ＝VC- ＝3S△BFE· CB＝3·2EF· CB＝6FG. ( FG)· CBE BFE 所以 VF- ∶VF- ＝4∶1. ABCD CBE
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[例2] 如图是一几何体的平面展开图， 其中四边形ABCD为正方形，E、F分 别为PA、PD的中点，在此几何体中， 给出下面四个结论：
①直线BE与AF异面；②直线BE与CF异面；EF∥平面
PBC；③平面BCE∩平面PAD＝EF. 其中正确的有________(把所有正确结论的序号都填上)．
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∴CE⊥平面ABEF.∴CE⊥AB. 又AB⊥BE，CE∩BE＝E， ∴AB⊥平面BCE.
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(3)∵平面 CDFE⊥平面 ABEF， AF⊥EF， ∴AF⊥平面 CDFE，AF 为三棱锥 ACDE 的高，且 AF＝1. 又 AB＝CE＝2， 1 ∴S△CDE＝2×2×2＝2. 1 2 ∴VC- ＝VA- ＝3×2×1＝3. ADE CDE
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解析：设原棱锥的高为 h，底面面积为 S，则原棱锥的体积 V 1 h ＝3Sh，新棱锥的高为 2，底面面积为 9S，所以新棱锥的体积 V′ 9 1 h 3 V′＝3· 2＝2Sh，则 V ＝2. 9S·
答案： B
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2．设正三棱锥的侧面积等于底面积的2倍，且该正三棱 锥的高为，则其表面积等于________．
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证明：(1)因为ABCD是菱形，AC∩BD＝O，所以O是
BD的中点，又E是PB的中点，所以EO∥PD.
因为EO⊄平面PCD，PD⊂平面PCD， 所以EO∥平面PCD.
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(2)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA.
又因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC. 又因为BD⊂平面PBD 所以平面PBD⊥平面PAC.
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∴B1B∥DE，B1B＝DE.
又B1B∥AA1，且B1B＝AA1，
∴DE∥AA1，且DE＝AA1.
∴四边形ADEA1为平行四边形，所以EA1∥AD. 而EA1⊄面ADC1内，故A1E∥平面ADC1.
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6．如图，在四棱锥PABCD中，底面
ABCD是菱形，AC交BD于点O，
PA⊥平面ABCD，E是棱PB的中点． 求证： (1)EO∥平面PCD； (2)平面PBD⊥平面PAC.
影，即EF⊥BD，条件③也可以；AC与BD在平面β内的射
影所在的直线交于一点时，EF与平面ABDC不垂直，不 能推出BD⊥EF，故条件④不可以． 答案： D 返回
[例 3]
(2012· 南通模拟)如图，在正三棱柱
ABC- 1B1C1 中，点 D 在边 BC 上，AD⊥C1D. A (1)求证：AD⊥平面 BCC1B1； B1E (2)设 E 是 B1C1 上的一点，当EC 的值为多少时， 1 A1E∥平面 ADC1？请给出证明．
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7．(2011· 昆明模拟)如图甲，直角梯形ABCD中， AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且 EF∥AB，已知AB＝AD＝CE＝2，现沿EF把四边形
CDFE折起如图乙，使平面CDFE⊥平面ABEF.
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(1)求证：AD∥平面BCE； (2)求证：AB⊥平面BCE； (3)求三棱锥CADE的体积．
材．本部分内容的高频考点是：三视图、空间几何体的表
面积和体积计算、空间中点、线、面的位置关系、空间中 的平行和垂直、空间向量与立体几何等． ——朱艳青