图形的变换对称、平移和旋转

第四站，实战演练
（2006,河北） 如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边 分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也 是BD中点）按顺时针方向旋转． （1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN 的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想； 结合初始位置,在三角板旋转过 程中,图中有哪些等量关系? （2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交 于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由． F N D( F ) C O G A( G ) 图1 A B( E ) 图2 M E B A G B D N O C F D C
O来自百度文库
E M
（2008,河北）如图，△ABC的边BC在直线L上，且AC=BC; △ EPF的边FP也在 直线L上，边EF与边AC重合，且EF=FP
(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系；
（2）将EFP沿直线L向左平移到图2所示的位置时，EP交AC于点Q，连结 AP 、 BQ,猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系,请证明你的猜想;
4、将已知点 P 平移 5 cm 后得到点 P?，满足条件的点 P? 构成的图形是 ( ) D A．一个点 B．两个点 C．一条 5 cm 长的线段 PP? D．一个半径为 5 cm 的圆
[解析] 由于点 P 运动的方向不确定，所以点 P′构成的图形是一个 半径为 5 cm 的圆．
1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时 针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在 AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大 小和图中阴影部分的面积分别为（ ） A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
•1.轴对称图形： •如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形,这条直线叫做对称轴. •2. 性质： •1、两个图形全等. •2、对称轴垂直平分两个对应点所连的线段 . •3、两个对应点所连的线段平行(或相交) •4对应点连线被同一直线垂直平分，则该图
二、旋转
•1.旋转： •如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一 个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为 旋转中心,转动的角度称为旋转角. •2.性质： •①旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的 两个图形全等). •②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼 此相等(都是旋转角). •③经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等. •3.旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度.
F
C
A(C)
E
随堂练习
2、已知正方形ABCD和正方形AEFG有 一个公共点A,若将正方形AEFG绕点A按 顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程 中,你能否找到一条线段的长与线段DG的 长始终相等.并说明理由.
D G F A E 图2 B C
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
三、对称
图形的三种主要变换：
平移、旋转、轴对称
共同特征：变换后图形的形状和大小 都没有改变，线段的长度和角的大小 都不变，前后两个图形能完全重合， 即是全等图形.
1、如图，将边长为 的正方形ABCD沿对角 线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处， 得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形 重叠部分（图中阴影部分）的面积是 （ ） A． B． C．1 D．
F A E B D 图2 O C B H E A F O H C D
F A G
B
图1
C
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时， 一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条 直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于 点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足 的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到 图3所示的位置（点F在线段AC上， 且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否 G G 仍然成立？（不用说明理由）
⑵△ABC和△AED都是等腰直角三角形；
E A
D
C
B
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
⑷△ABC和△AED是顶角相等的等腰三角形.
A
E D B C
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6、如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋 转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题 意的是（ ） A．顺时针旋转90° B．逆时针旋转90° C．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45°
第二站 热身训练
3、如图所示是重叠的两个直角三角形。将其中 一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果 AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部 由平移前后图形面积不变 分的面积为________．
可知: 阴影部分的面积就可以转 换成图中可求的哪个图形 的面积？
A D 3 8 B 4 H 5 E C F
2、如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC（ ） A．把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B．把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C．把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D．把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位
3、如图，矩形ABCD的对角线AC=10， BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为 （ ） A．14 B．16 C．20 D．28
3、图形的轴对称
探索它的基本性质，能正确区分并找到对称轴。
一、平移
•1.平移： •如果一个图形沿某个方向平移一定的距离， 这样的图形运动称为平移. •2.性质： •①平移不改变图形的形状和大小(即平移前 后的两个图形全等). •②对应线段平行且相等,对应角相等. •③经过平移,两个对应点所连的线段平行且 相等. •3.平移两要点:平移的①方向,②距离.
P'
P C
由旋转变换性质可知图中有哪些等 量关系？进而可以判断△P‘AP什么 特殊三角形？
A
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
⑶△ABC和△AED都是等边三角形；
E
A D
B
A C D C E B
例：请你根据条件找出图形中的 旋转后能重合的两个三角形，并 指出旋转中心和旋转的角度。
⑴四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形；
G D C A F
B
E
4，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB ＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得 6 到△P‘AB ，则点P与点P’ 之间的距离为_______， ∠APB＝______． 150°
B
已知△APP′是等边三角形，由三边的长度可 以判定△BPP′是什么特殊三角形？
一、复习目标： 1、图形的平移
①通过具体实例认识平移，探索它的基 本性质，理解对应点连线的性质。 ②能按要求作出简单平面图形平移后的图 形。 ③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平 移在现实生活中的应用。
2、图形的旋转
①通过具体实例认识旋转,探索它的基本性质,
理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点 与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。 ②了解常见的中心对称图形。 ③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
S=(8+5) ×4÷2=26
4,如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现 将△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA ． 则△ABC所扫过的图形面积为________．
由平移变换特征可知图中有哪些三角形 全等？ △ABC≌ABF ≌ △AEF ∴ △ABC所扫过的图形面积=3×3=9
B
(3)将EFP沿直线L向左平移到图3所示的位置时， EP的延长线交 AC的延长线于点Q,连结AP,你认为(2)所猜想的BQ与AP所满足的 数量关系还成立吗?若成立请给出证明;若不成立,请说明理由. A
A (E )
E Q
A
E P
B
C(F)
P
B F
C
P
F
B
C
Q
3, （2007,河北） 在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA 交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图 15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F， 一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边 恰好经过点B． （1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的 长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系， 然后证明你的猜想；