初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案

，
x y
1 2
1 2
．
【解析】
【分析】
先将第二个方程分解因式可得：x﹣2y=0 或 x+y=0，分别与第一个方程组成新的方程组，解 出即可．
【详解】
y x 1①
解：
x2
x
2y2
0②
由②得：（x﹣2y）（x+y）=0
x﹣2y=0 或 x+y=0
原方程组可化为
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yx x 2y
10，xy
面积的 1 ？若存在，求出所有满足条件的 Q 点的坐标；若不存在，说明理由． 2
【答案】（1）16 3 ；（2）①A（0， 2 3 ），B（2，0），C（6，0）；②存在，满足
条件的 Q 点有（0， 2 3 ），（14，16 3 ），（8， 2 3 ）和（6，0）．
【解析】 【分析】 （1）当⊙P 分别与两坐标轴相切时，PA⊥y 轴，PK⊥x 轴，x 轴⊥y 轴，且 PA＝PK，进而得 出 PK2，即可得出 OP2 的值； （2）①连接 PB，设 AP＝m，过 P 点向 x 轴作垂线，垂足为 H，则 PH＝
（2）解方程组：
3x 4
5y 3 x 10y 6
6x 2 3x 4
（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
2x 1 3
1 2
x
1
【答案】（1）
1 2
x
；（2）
y
0 3 5
；（3）
2 3
x
11 7
.
【解析】
【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再
【详解】
设前年乙厂全年的产值为 x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为 y，根据题意得
x 12 10 x 1 y 6 x 12 10 10 x 1 y2 3.2
解得
x
y
80 20%
80+12=92（万元），
答：前年甲厂全年的产值为 92 万元，乙厂全年的产值为 80 万元，乙厂每年的产值递增的
，根据 DF∥x 轴，得出 F 的坐标，把 F 的坐标代入直线 AB 的解析式即可求出 h 的值，即可得到答案； （3）过 M 作 MT⊥FH 于 T，得到 Rt△MTF∽Rt△AGF，得到 FT：TM：FM=FG：GA：FA=3： 4：5，设 FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出 FN 的值，根据三角形的面积公式求出△MNF 和 △AFH 的面积，根据之间的等量关系即可求出 k 的值，设直线 MN 的解析式为：y=kx+b，把
与 y 轴交于点 D，与直线 AB 交于点 E、点 F（点 F 在点
（1）求直线 AB 的解析式； （2）若线段 DF∥x 轴，求抛物线的解析式； （3）如图，在（2）的条件下，过 F 作 FH⊥x 轴于点 G，与直线 l 交于点 H，在抛物线上是 否存在 P、Q 两点（点 P 在点 Q 的上方），PQ 与 AF 交于点 M，与 FH 交于点 N，使得直线 PQ 既平分△AFH 的周长，又平分△AFH 面积，如果存在，求出 P、Q 的坐标，若不存在，请 说明理由．
∴
＝24，
解得 k＝= 或 k=2 （舍去），
∴FM=6，FT= ，MT= ，GN=4，TG= ，
∴M（ ， ））、N（6，-4），代入得： = k+b 且-4=6k+b，
解得：k= ，b=4，
∴y＝ x+4，
联立 y＝ x+4 与 y＝
,
求得 P（1， ），Q（3，0）．
答：存在 P 的坐标是（1， ），Q 的坐标是（3，0）．
1
，
2
x
x2 y3
y
1
解方程组
2
x2
x
y3
y
1
得，
x 1
y 1
解方程组
2x
x2 y3
y
1得，
x y
1 5 7
．
5
所以原方程组的解为：
x1
y1
1
1
，
x2
y2
1 5 7 5
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②
式得一元二次方程求解．
5．计算：
（1） 3 27 16 2 1 4
∴A（-2，0）．与 y 轴的交点（0， ）与点 B 关于 x 轴对称
∴B（0， ），
∴
解得 k＝ ，b＝ ，
∴直线 AB 的解析式为
.
（2）解：设抛物线的顶点为 Q（h，0），
抛物线解析式为：
∴D（0， ）． ∵DF∥x 轴，
∴点 F（2h， ），
又点 F 在直线 AB 上，∴
，
解得 h1=3，h2＝ （舍去），
x y
1 0
解得原方程组的解为
x
y
21， xy1212
∴原方程组的解是为
x
y
21， xy1212
．
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次
的目的．
4．解方程组：
4
x
2
x2 y3
4xy
y2
1
【答案】
x1 y1
1 ,
1
x2 y2
【点睛】 本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二 元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行 计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
x2 +2 y2 -1 0 7．解方程组：
x y 1 0
【答案】：
x
始终与 y 轴相切，设切点为 A （1）如图 1，⊙P 运动到与 x 轴相切时，求 OP2 的值． （2）设圆 P 运动时与 x 轴相交，交点为 B、C，如图 2，当四边形 ABCP 是菱形时， ①求出 A、B、C 三点的坐标． ②设一抛物线过 A、B、C 三点，在该抛物线上是否存在点 Q，使△QBP 的面积是菱形 ABCP
在数轴上表示解集.
【详解】解：（1）原式=-3+4- 3 = 1 22
3x 5y 3① （2） 4x 10 y 6②
①×2+②，得 x=0
把 x=0 代入①式 y= 3 5
x0
所以，方程组的解是
y
3 5
6x 2 3x 4①
（3）
2x 1 3
1 x 2
1②
由①式得，x≥- 2 3
1 5 7 5
【解析】
分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方
程组，求解即可．
详解： 4x2
x2 y3 ①
4xy y2
1②
由 ② 得 (2x y)2 1 ，
所以 2x y 1③ ， 2x y 1④
由 ①③ 、 ①④ 联立，得方程组：
2
x2
x
y3
y
∴抛物线的解析式为
.
（3）解：过 M 作 MT⊥FH 于 T，
∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
设 FT=3k，TM=4k，FM=5k，
则 FN= AH+HF+AF)-FM=16-5k，
∴S△MNF＝ (AH+HF+AF)-FM=16-5k，
又∵S△MNF＝ S△AFH．
设 AP＝m，过 P 点向 x 轴作垂线，垂足为 H，
则 PH＝sin60°BP 3 m ，P（m， 3 m ），
2
2
将 P 点坐标代入到反比例函数解析式中，
则 3 m2＝8 3 ， 2
解得：m＝4，（m＝﹣4 舍去），
故 P（4，2 3 ）， 则 AP＝4，OA＝2 3 ，OB＝BH＝2，CH＝BH＝2， 故 A（0， 2 3 ），B（2，0），C（6，0）；
sin60°BP 3 m ，P（m， 3 m ），进而得出答案；
2
2
②求直线 PB 的解析式，利用过 A 点或 C 点且平行于 PB 的直线解析式与抛物线解析式联
立，列方程组求满足条件的 Q 点坐标即可．
【详解】
解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO＝∠OKP＝90°．
由②式得，x＜ 11 7
所以，不等式组的解集是 2 x 11 ，
3
7
把解集在数轴上表示：
【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关 解法.
6．如图，在平面直角坐标系中，直线 l：
沿 x 轴翻折后，与 x 轴交于点 A，与 y
轴交于点 B，抛物线 E 的右侧）．
同理，过 C 点作 BP 的平行线交抛物线于点 Q1，
则设其解析式为：y 3 x+e，则 0＝6 3 e，解得：e＝﹣6 3 ，
故其解析式为：y 3 x﹣6 3 ，
其直线与抛物线的交点是方程组
y
3 x2 4 3 x 2
6
3
3
的解，
y
3x 6 3
可求得 Q1（8，2 3 ）和（6，0）．
6 0
或
2x y 6 x y 0
∴原方程组的解为
x 4
y
2
或
x
y
2 2
.
故答案为：
x
y
4 2
或
x
y
2 2
.
【点睛】
本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
2．直角坐标系 xOy 中，有反比例函数 y 8 3 x＞0 上的一动点 P，以点 P 为圆心的圆
又∵∠AOK＝90°，
∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．
∴四边形 OKPA 是矩形．
又∵AP＝KP，
∴四边形 OKPA 是正方形，
∴OP2＝OK2+PK2＝2PK•OK＝2xy＝2×8 3 16 3 ；
（2）①连结 BP，
则 AP＝BP，由于四边形 ABCP 为菱形，所以 AB＝BP＝AP，△ABP 为正三角形，
②设过 A、B、C 三点的抛物线解析式为 y＝a（x﹣2）（x﹣6），
将 A 点坐标代入得，a 3 ， 6
故解析式为 y 3 x2 4 3 x 2 3 ，
6
3
过 A 点作 BP 的平行线 l 抛物线于点 Q，则 Q 点为所求．
设 BP 所在直线解析式为：y＝kx+d，
则
2k
d
0
，
4k d 2 3
【答案】前年甲厂全年的产值为 92 万元，乙厂全年的产值为 80 万元，乙厂每年的产值递 增的百分数是 20%． 【解析】
【分析】
根据题意，设前年乙厂全年的产值为 x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为 y，则甲 厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即 可．
y2
1 3
2 3
【点睛】
此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则
8．前年甲厂全年的产值比乙厂多 12 万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加： 甲厂每年的产值比上一年递增 10 万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去 年甲厂全年的产值仍比乙厂多 6 万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少 3.2 万元．前年 甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？
故所求满足条件的 Q 点有（0， 2 3 ），（14，16 3 ），（8， 2 3 ）和（6，0）．
【点睛】 本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质 等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．
yx 1
3．解方程组：
x
2
xy
2y2
．
0
【答案】
x
y
2 1
初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案
一、选择题
1．
2x y 6
x2
xy
2
y2
0
【答案】
x
y
4 2
或
x
y
2 2
.
【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
解：原方程组变形为
2x y 6
x 2y x y 0
∴
2x x 2
y y
x1 y1
1 ,
0
x2
y2
1 3
2 3
【解析】
【分析】
把(2)変形后代入(1)便可解得答案 【详解】
x2 +2 y2 -1 0①
x
y
1
0②
由②得:x=y-1
代入①得:
y1 y2
0 2 3
,
分别代入②得:
x1
1 1
，
x2
3
故原方程组的解为：
x1 y1
1 ,
0
x2
M
、N（6，-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线 MN 的解析
式，解由方程
和
【详解】
（1）解：设直线 AB 的解析式为 y=kx+b
的解即可得出 P、Q 的坐标．
直线
与 x 轴、y 轴交点分别为（-2，0），（0， ），沿 x 轴翻折，
∵直线
，
直线 AB 与 x 轴交于同一点（-2，0）
解得：
k
3
，
d 2 3
故 BP 所在的直线解析式为： y 3x 2 3 ，
故直线 l 的解析式为 y 3x 2 3 ，直线 l 与抛物线的交点是方程组
y
3 x2 4 3 x 2
6
3
3
的解，
y
3x 2 3
解得：
x1
0
，
x2
14
，
y1 2 3 y2 16 3
故得 Q（0， 2 3 ），Q（14，16 3 ），
【答案】（1） 【解析】 【分析】
；（2）
；（3）（1， ），（3，0）．
（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，先求出直线
与 x 轴、y 轴交点坐标，根据
沿 x 轴翻折，得到 A、B 的坐标，把 A、B 的坐标代入直线 AB 的解析式 y=kx+b，即可求出
直线 AB 的解析式；
（2）设抛物线的顶点为 P（h，0），得出抛物线解析式为：