二、光纤传输基本理论
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开县德阳中学
教师
• 光纤波导中，电磁波在纵向(轴向)以“行波”的形式存 在，在横向以“驻波”的形式存在。其特征是：场分 布沿轴向的变化只体现在相位上，场强度不随轴向传 播距离而变化(假设光纤中无模式耦合，也不存在损耗 与增益)。 若数学处理上，规定光纤轴向为ezj方z 向，则场分布与z 坐标的关系可用指数形式表示为 ，可进一步对亥 姆霍兹方程进行空间坐标纵、横分离，令
界处(光纤纤壁)处电磁场满足边界条件，即
E
与
H 的
切向分量以及 D与 B的法向分量均连续，其数学表达
式为
E1t E 2t H1t H 2t B1t B2t
D1t D2t
电磁场的规律是电场和磁场的交替变化，可以发现麦克斯韦方程中，一
方面，既有电场的量，也有磁场的量；另一方面，既有空间坐标，又有时
间坐标，两者相互影响。求解的基本思路，利用分离变量法进行电、磁矢
量分离和时、空坐标的分离。
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分离变量
• 电矢量与磁矢量分离: 波动方程，是只与 电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与 磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式；
• 时、空坐标分离: 亥姆霍兹方程，是关于 E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；
• 空间坐标纵、横分离：波导场方程，是 关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；
• 空间坐标纵、横分离：波导场方程
亥姆霍兹方程有一个重要的特征： 拉普拉斯算符 2作用在函数 上的结果等于该函 数 与一常数 2 k 2 的乘积。 这一类方程在数学上称为本征方程，常数ｋ称为 本征值。因此，波动理论的实质是对于给定的边 界条件下求本征方程的解－本征解及其对应的本 征值，数学上称为本征值问题。
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（1）几何光学射线法
当光线芯径远大于光波波长 时，可近似认为
,从而将光波近似看成
由)，一以根及光时线延所(色构散成)和。光因强此分，布可等以特用性几。何光学的方0 法来分析光线的入射、传0 播(轨0 迹
优点：简单直观，在分析芯径较粗的多模光纤时可以得到较精确的结果；
缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合，以及光场分布等现象。而且
x, y, z,t x, y, zeit
式中， 可代表E 和 H的任一分量。
再将上式代入标量波动方程(2-3)式，可得
2 x, y, z 2 x, y, z 0 2 4
这就是亥姆霍兹方程，该方程对任何电磁波的传播都适用。加上边界条 件后，即可求出任意波导结构中光波场的场分布。
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有关1的方 D程 式D
1
E
E
2E
E
2E t 2
2 1
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• 同 强样度H的有过关程的对方麦程克式斯韦方程的1式进行处理，可以得到只与磁场
2
H
H
2H t 2
2 2
(2-1)式与(2-2)式称为矢量波动方程，这是一个普遍适用的精确方
程。但在光纤中，折射率(或介电常数)的变化非常缓慢(1μｍ的距
离上折射率变化小于 4104 )，因此可近似认为 0 。矢量波
动方程化简为下述标量波动方程
2 2
E
H
2E t 2 2H t 2
2 3
光纤中的一般问题均可用标量波动方程解决。
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• 时、空坐标分离：亥姆霍兹方程
如果在光纤中传播的是单色波，即电磁波具有确定的 振荡频率f，角频ω=2πｆ，则可时、空坐标分离，令
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基本理论涉及内容
• 光纤模式的激励(或光的入射) • 光纤中的模式分布(或光纤传播轨迹) • 模式的传播速度(或光线的时延) • 模式沿光纤横截面场分布； • 光信号的传输损耗； • 光信号的畸变； • 模式的偏振特性； • 模式的耦合；
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麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
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二、光纤传输基本理论
我们知道光有波粒二重性，就是说即可以 将其看成光波，也可以将其看成是由光子组成 的粒子流。
因此，在描述光的传输特性时相应的也有 两种理论，即波动理论和射线理论（几何光学 方法）。前者描述起来比较复杂，需要麦克斯 韦方程求解，但它可以精确的描述光的传播特 性；后者描述起来比较简单直观，易于理解。
x, y, z x, yLeabharlann Baiduiz
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•上式代入亥姆霍兹方程(2-4)式，得
2
2 z 2
x,
y
2
2
x,
y
t2
x,
y
2 x,
y
0
模光纤。
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适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 主要特点
几何光学方法 << d 光线 射线方程 折射/反射定理 约束光线
波动理论法 ~d 模式 波导场方程 边值问题 模式
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分析思路
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• 光纤传输基本理论的分析，主要是为光纤技 术的应用奠定基础。分析手段上，首先，利 用光线理论来分析光在光纤中的传播特性， 并对光纤中的模式及其基本性质进行初步讨 论；然后，用波动理论来进一步深入分析光 纤中的导波场的特性，依据光纤波导的边界 条件求解波导场方程，导出本征值方程，并 根据导模的截止和远离截止条件对光纤中的 模式特性进行详细讨论。
• 光纤是一种介质光波导，这种波导有如下特点 ：
a). 无传导电流；b). 无自由电荷；c). 线性各向同性
；
H D / t
则其中传播的电E磁波遵从B下/ 列t麦克斯韦方程：
D 0
B 0
同时各量满足物质方程：
D E
B H
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• 光纤中电磁场传播的另一个重要特性是：两种介质交
当工作波长于芯径可比较(单模光纤)，误差较大。
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（2）波动理论法 这是一种严格的分析方法，严格性在于： a.) 从光波的本质特性－电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克
斯韦方程，导出电磁场的场分布，具有理论上的严谨性。 b.) 未作任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模光纤和多
• 边界条件：在两种介质交界面上电磁场 矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续。
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• 电矢量与磁矢量分离：波动方程
H D / t
E
B
/
t
D B
0 0
D
E
B H
对麦克斯韦方程第2式取旋度，并利用矢量关系，可得
E E 2E
E
D
可得到只与电场强度
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• 光纤波导中，电磁波在纵向(轴向)以“行波”的形式存 在，在横向以“驻波”的形式存在。其特征是：场分 布沿轴向的变化只体现在相位上，场强度不随轴向传 播距离而变化(假设光纤中无模式耦合，也不存在损耗 与增益)。 若数学处理上，规定光纤轴向为ezj方z 向，则场分布与z 坐标的关系可用指数形式表示为 ，可进一步对亥 姆霍兹方程进行空间坐标纵、横分离，令
界处(光纤纤壁)处电磁场满足边界条件，即
E
与
H 的
切向分量以及 D与 B的法向分量均连续，其数学表达
式为
E1t E 2t H1t H 2t B1t B2t
D1t D2t
电磁场的规律是电场和磁场的交替变化，可以发现麦克斯韦方程中，一
方面，既有电场的量，也有磁场的量；另一方面，既有空间坐标，又有时
间坐标，两者相互影响。求解的基本思路，利用分离变量法进行电、磁矢
量分离和时、空坐标的分离。
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分离变量
• 电矢量与磁矢量分离: 波动方程，是只与 电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与 磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式；
• 时、空坐标分离: 亥姆霍兹方程，是关于 E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；
• 空间坐标纵、横分离：波导场方程，是 关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；
• 空间坐标纵、横分离：波导场方程
亥姆霍兹方程有一个重要的特征： 拉普拉斯算符 2作用在函数 上的结果等于该函 数 与一常数 2 k 2 的乘积。 这一类方程在数学上称为本征方程，常数ｋ称为 本征值。因此，波动理论的实质是对于给定的边 界条件下求本征方程的解－本征解及其对应的本 征值，数学上称为本征值问题。
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（1）几何光学射线法
当光线芯径远大于光波波长 时，可近似认为
,从而将光波近似看成
由)，一以根及光时线延所(色构散成)和。光因强此分，布可等以特用性几。何光学的方0 法来分析光线的入射、传0 播(轨0 迹
优点：简单直观，在分析芯径较粗的多模光纤时可以得到较精确的结果；
缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合，以及光场分布等现象。而且
x, y, z,t x, y, zeit
式中， 可代表E 和 H的任一分量。
再将上式代入标量波动方程(2-3)式，可得
2 x, y, z 2 x, y, z 0 2 4
这就是亥姆霍兹方程，该方程对任何电磁波的传播都适用。加上边界条 件后，即可求出任意波导结构中光波场的场分布。
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有关1的方 D程 式D
1
E
E
2E
E
2E t 2
2 1
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• 同 强样度H的有过关程的对方麦程克式斯韦方程的1式进行处理，可以得到只与磁场
2
H
H
2H t 2
2 2
(2-1)式与(2-2)式称为矢量波动方程，这是一个普遍适用的精确方
程。但在光纤中，折射率(或介电常数)的变化非常缓慢(1μｍ的距
离上折射率变化小于 4104 )，因此可近似认为 0 。矢量波
动方程化简为下述标量波动方程
2 2
E
H
2E t 2 2H t 2
2 3
光纤中的一般问题均可用标量波动方程解决。
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• 时、空坐标分离：亥姆霍兹方程
如果在光纤中传播的是单色波，即电磁波具有确定的 振荡频率f，角频ω=2πｆ，则可时、空坐标分离，令
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基本理论涉及内容
• 光纤模式的激励(或光的入射) • 光纤中的模式分布(或光纤传播轨迹) • 模式的传播速度(或光线的时延) • 模式沿光纤横截面场分布； • 光信号的传输损耗； • 光信号的畸变； • 模式的偏振特性； • 模式的耦合；
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麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
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二、光纤传输基本理论
我们知道光有波粒二重性，就是说即可以 将其看成光波，也可以将其看成是由光子组成 的粒子流。
因此，在描述光的传输特性时相应的也有 两种理论，即波动理论和射线理论（几何光学 方法）。前者描述起来比较复杂，需要麦克斯 韦方程求解，但它可以精确的描述光的传播特 性；后者描述起来比较简单直观，易于理解。
x, y, z x, yLeabharlann Baiduiz
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•上式代入亥姆霍兹方程(2-4)式，得
2
2 z 2
x,
y
2
2
x,
y
t2
x,
y
2 x,
y
0
模光纤。
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适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 主要特点
几何光学方法 << d 光线 射线方程 折射/反射定理 约束光线
波动理论法 ~d 模式 波导场方程 边值问题 模式
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分析思路
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• 光纤传输基本理论的分析，主要是为光纤技 术的应用奠定基础。分析手段上，首先，利 用光线理论来分析光在光纤中的传播特性， 并对光纤中的模式及其基本性质进行初步讨 论；然后，用波动理论来进一步深入分析光 纤中的导波场的特性，依据光纤波导的边界 条件求解波导场方程，导出本征值方程，并 根据导模的截止和远离截止条件对光纤中的 模式特性进行详细讨论。
• 光纤是一种介质光波导，这种波导有如下特点 ：
a). 无传导电流；b). 无自由电荷；c). 线性各向同性
；
H D / t
则其中传播的电E磁波遵从B下/ 列t麦克斯韦方程：
D 0
B 0
同时各量满足物质方程：
D E
B H
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• 光纤中电磁场传播的另一个重要特性是：两种介质交
当工作波长于芯径可比较(单模光纤)，误差较大。
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（2）波动理论法 这是一种严格的分析方法，严格性在于： a.) 从光波的本质特性－电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克
斯韦方程，导出电磁场的场分布，具有理论上的严谨性。 b.) 未作任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模光纤和多
• 边界条件：在两种介质交界面上电磁场 矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续。
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• 电矢量与磁矢量分离：波动方程
H D / t
E
B
/
t
D B
0 0
D
E
B H
对麦克斯韦方程第2式取旋度，并利用矢量关系，可得
E E 2E
E
D
可得到只与电场强度