曲线拟合与函数插值
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最小二乘法是解决这个问题的一种方法，它起源于以测量和观测为基础的天 文学，有材料表明，高斯（Gauss）和勒让德（Legendre）分别独立地提出了 这种方法.
5.1.1 最小二乘问题
例1 表 5-1 是 1950 至 1959 年我国的人口数据资料 (单位：亿人) ，确定人口 y
与年份 x之间的近似函数关系.
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
系为 y 1.3034 0.1，35其9x误差
10
R (1.3034 0.1359xi yi )2 0.0033 i 1
按照例 1 中的方法，通过使误差的平方和达到最小来确定待定参数， 从而得到近似函数的方法，就是通常所说的最小二乘法.
5.1.1 最小二乘问题
一般情形：
假设需要建立关系的两个变量为 x和 y，根据问题背景和以往经验，经
i 1
i1 j0
取得最小值. 称满足上述条件的 pn (x)为最小二乘拟合多项式.
（5.3）
5.1.2 最小二乘拟合多项式
注意到 S是非负的，且是 a0, a1, , a的n 二次多项式，因此它必有最小
过分析可知二者之间的函数关系近似为 y f，(x)式中 f为(x某) 类函数，含有
待定参数 1,2 , . 观,测m所得数据为
，(xi , yi ) i 1，, 2且, , N
N m. 按照最小二乘法的思想，应选择参数 1,2 , ,，m使误差的平
方和
N
S (1,2 , ,m ) ( f (xi ;1,2, ,m ) yi )2 i 1
5.1.2 最小二乘拟合多项式
在曲线拟合问题中，拟合函数可以有不同的类型，其中较为常用的是多项式.
给定数据点 (xi , yi )， i 1, 2, ,，N求一个 次n 多项式
pn (x) a0 a1x an xn (n N)
使得
N
Nn
S (a0 , a1, , an ) ( pn (xi ) yi )2 ( a j xij yi )2
取得最小值.
10
10
S(a, b) ri2 (a bxi yi )2
i 1
i 1
由多元函数取得极值的必要条件，应有
S
10
a
2
i 1
(a
bxi
yi )
0
S
b
10
2
i 1
(a bxi
yi )xi
0
5.1.1 最小二乘问题
整理，得到如下线性方程组
10
10
10a ( xi )b yi
表5-1 我国50年代人口数据
i
年份 xi
人口 yi
i
年份 xi
人口 yi
1
50
5.52
6
55
6.15
2
51
5.63
7
56
6.28
3
52
百度文库5.75
8
57
6.46
4
53
5.88
9
58
6.60
5
54
6.03
10
59
6.72
5.1.1 最小二乘问题
解 我们想要用一个简单的式子描述人口与年份之间的函数关系. 如果把这10组数 据画在坐标系内，可以看出，这10个数据点大致分布在一条直线上，因此自然想 到用线性函数表示人口与年份之间的关系.
i 1
i 1
10
10
10
( xi )a ( xi2 )b xi yi
i 1
i 1
i 1
经计算，可得
10a 545b 61.02 545a 29785b 3336.8
5.1.1 最小二乘问题
解得 a 1.303，4 b 0.135，9 从而得到人口 与y 年份 之x间的近似函数关
第五章 曲线拟合与函数插值
5.1 曲线拟合的最小二乘法 5.2 插值问题的提出 5.3 拉格朗如插值 5.4 差商与牛顿插值 5.5 差分与等距节点插值 5.6 埃尔米特插值 5.7 分段低次多项式插值 5.8 三次样条插值
引言
在科学研究和工程计算当中，经常需要考察两个变量 x与 y之间的函数关系. 通常，从问题的实际背景和理论分析可知，这种函数关系 y f (x)在某个
对于通过观察或测量得到的一组数据{(xi , yi ),i 1, 2, , m，} 有时可根据数据的
分布或问题的背景确定变量 与x 之y间函数关系的数学模型 (例如线性关系、
指数函数关系、对数函数关系等) ，但模型中有某些参数需要根据所得的数 据来确定. 为了减少随机因素所带来的误差的影响，通常会进行多次观测，因此所得 数据要远远多于所需确定的参数个数，这就是所谓的多余观测问题.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
（5.2）
取得最小值. 这里，函数 f (x)称为拟合函数.
5.1.1 最小二乘问题
从几何的角度看，根据给定数据用最小二乘法确定拟合函数 f (x，) 相当于在平面上给定一些点 (xi , yi，) i 1, 2, ,，N求曲线 y f，(x)使 得它与这些给定点的距离平方和最小.
这又称为曲线拟合.
根据（5.1）式，给定一个年份 x便可计算出相应的人口 ，y 记 yi a bxi
yi 为 yi的近似值. 显然，误差 ri yi yi a bxi 是y衡i 量参数
a 和 b(也就是函数关系 y a b)x好坏的重要标志.
5.1.1 最小二乘问题
可以根据不同的原则来确定参数 a和 b. 通常，我们希望选择 a 和 b，使得误差 ri的平方和达到最小，即求参数 a和 ，b 使得
引言
这种用较简单的函数来近似复杂函数的问题，就是函数逼近问题. 曲线拟合和函数插值是数值分析中常用的两种函数逼近方法.
曲线拟合 要求构造一个简单函数，它表示的曲线与所有给定的数 据点在整体上相合的比较好
函数插值 要求简单函数表示的曲线通过所有给定的数据点
曲线拟合的最小二乘法
5.1.1 最小二乘问题
5.1.1 最小二乘问题
例1 表 5-1 是 1950 至 1959 年我国的人口数据资料 (单位：亿人) ，确定人口 y
与年份 x之间的近似函数关系.
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
系为 y 1.3034 0.1，35其9x误差
10
R (1.3034 0.1359xi yi )2 0.0033 i 1
按照例 1 中的方法，通过使误差的平方和达到最小来确定待定参数， 从而得到近似函数的方法，就是通常所说的最小二乘法.
5.1.1 最小二乘问题
一般情形：
假设需要建立关系的两个变量为 x和 y，根据问题背景和以往经验，经
i 1
i1 j0
取得最小值. 称满足上述条件的 pn (x)为最小二乘拟合多项式.
（5.3）
5.1.2 最小二乘拟合多项式
注意到 S是非负的，且是 a0, a1, , a的n 二次多项式，因此它必有最小
过分析可知二者之间的函数关系近似为 y f，(x)式中 f为(x某) 类函数，含有
待定参数 1,2 , . 观,测m所得数据为
，(xi , yi ) i 1，, 2且, , N
N m. 按照最小二乘法的思想，应选择参数 1,2 , ,，m使误差的平
方和
N
S (1,2 , ,m ) ( f (xi ;1,2, ,m ) yi )2 i 1
5.1.2 最小二乘拟合多项式
在曲线拟合问题中，拟合函数可以有不同的类型，其中较为常用的是多项式.
给定数据点 (xi , yi )， i 1, 2, ,，N求一个 次n 多项式
pn (x) a0 a1x an xn (n N)
使得
N
Nn
S (a0 , a1, , an ) ( pn (xi ) yi )2 ( a j xij yi )2
取得最小值.
10
10
S(a, b) ri2 (a bxi yi )2
i 1
i 1
由多元函数取得极值的必要条件，应有
S
10
a
2
i 1
(a
bxi
yi )
0
S
b
10
2
i 1
(a bxi
yi )xi
0
5.1.1 最小二乘问题
整理，得到如下线性方程组
10
10
10a ( xi )b yi
表5-1 我国50年代人口数据
i
年份 xi
人口 yi
i
年份 xi
人口 yi
1
50
5.52
6
55
6.15
2
51
5.63
7
56
6.28
3
52
百度文库5.75
8
57
6.46
4
53
5.88
9
58
6.60
5
54
6.03
10
59
6.72
5.1.1 最小二乘问题
解 我们想要用一个简单的式子描述人口与年份之间的函数关系. 如果把这10组数 据画在坐标系内，可以看出，这10个数据点大致分布在一条直线上，因此自然想 到用线性函数表示人口与年份之间的关系.
i 1
i 1
10
10
10
( xi )a ( xi2 )b xi yi
i 1
i 1
i 1
经计算，可得
10a 545b 61.02 545a 29785b 3336.8
5.1.1 最小二乘问题
解得 a 1.303，4 b 0.135，9 从而得到人口 与y 年份 之x间的近似函数关
第五章 曲线拟合与函数插值
5.1 曲线拟合的最小二乘法 5.2 插值问题的提出 5.3 拉格朗如插值 5.4 差商与牛顿插值 5.5 差分与等距节点插值 5.6 埃尔米特插值 5.7 分段低次多项式插值 5.8 三次样条插值
引言
在科学研究和工程计算当中，经常需要考察两个变量 x与 y之间的函数关系. 通常，从问题的实际背景和理论分析可知，这种函数关系 y f (x)在某个
对于通过观察或测量得到的一组数据{(xi , yi ),i 1, 2, , m，} 有时可根据数据的
分布或问题的背景确定变量 与x 之y间函数关系的数学模型 (例如线性关系、
指数函数关系、对数函数关系等) ，但模型中有某些参数需要根据所得的数 据来确定. 为了减少随机因素所带来的误差的影响，通常会进行多次观测，因此所得 数据要远远多于所需确定的参数个数，这就是所谓的多余观测问题.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
（5.2）
取得最小值. 这里，函数 f (x)称为拟合函数.
5.1.1 最小二乘问题
从几何的角度看，根据给定数据用最小二乘法确定拟合函数 f (x，) 相当于在平面上给定一些点 (xi , yi，) i 1, 2, ,，N求曲线 y f，(x)使 得它与这些给定点的距离平方和最小.
这又称为曲线拟合.
根据（5.1）式，给定一个年份 x便可计算出相应的人口 ，y 记 yi a bxi
yi 为 yi的近似值. 显然，误差 ri yi yi a bxi 是y衡i 量参数
a 和 b(也就是函数关系 y a b)x好坏的重要标志.
5.1.1 最小二乘问题
可以根据不同的原则来确定参数 a和 b. 通常，我们希望选择 a 和 b，使得误差 ri的平方和达到最小，即求参数 a和 ，b 使得
引言
这种用较简单的函数来近似复杂函数的问题，就是函数逼近问题. 曲线拟合和函数插值是数值分析中常用的两种函数逼近方法.
曲线拟合 要求构造一个简单函数，它表示的曲线与所有给定的数 据点在整体上相合的比较好
函数插值 要求简单函数表示的曲线通过所有给定的数据点
曲线拟合的最小二乘法
5.1.1 最小二乘问题