第12讲 等势面 电势梯度 静电场中的电偶极子
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电势电势梯度
§ 5-4
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
等势面静电场中的电偶极子
qE l sin qE l sin
2
2
qlE sin
M pE
pE sin
第9章 静电场
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9-4 静电场中的电偶极子
当 p E 时, 90 M最大 M pE
当 p // E , 0 时, M=0
F
(C)
q
4 0 r R
(D)
q
4 0
1 R
1 r
P
R
q
r P＇
［］
第9章 静电场
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9-4 静电场中的电偶极子
3. 如图所示，在匀强电场 E 中取一半径为
R的半球面ACB，求：
（1）通过ACB半球面的电通量；
（2）沿 ACB 路径搬迁电荷q时，电场力所
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9-4 静电场中的电偶极子
V V
V
en
A
B l
E
q 1
dV El dl
电场强度沿 l 方向 的分量，等于电势 沿这个方向空间变 化率的负值.
第9章 静电场
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9-4 静电场中的电偶极子
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9-4 静电场中的电偶极子
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例4：半径为R的无限长圆柱体，电荷按体密
度 分布，分别以（1）轴线处为零电势位
置，（2）圆柱体表面为零电势位置，求圆
2
2
qlE sin
M pE
pE sin
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当 p E 时, 90 M最大 M pE
当 p // E , 0 时, M=0
F
(C)
q
4 0 r R
(D)
q
4 0
1 R
1 r
P
R
q
r P＇
［］
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3. 如图所示，在匀强电场 E 中取一半径为
R的半球面ACB，求：
（1）通过ACB半球面的电通量；
（2）沿 ACB 路径搬迁电荷q时，电场力所
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V V
V
en
A
B l
E
q 1
dV El dl
电场强度沿 l 方向 的分量，等于电势 沿这个方向空间变 化率的负值.
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9-4 静电场中的电偶极子
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例4：半径为R的无限长圆柱体，电荷按体密
度 分布，分别以（1）轴线处为零电势位
置，（2）圆柱体表面为零电势位置，求圆
电势场强微分关系,电偶极子,电介质
UP
k
p cos θ r2
k
p r r3
k
p
r0
r2
28
五、电介质(了解) 无极分子位移极化 有极分子取向极化 极化强度： 描述极化程度
P
pi
V
均匀电介质中的电场：E E0 r r 1 e 0r
29
r2
14
U
k
p r0
k
p cos
r2
r2
电势与p成正比， 与距离的平方成反比， 还与方位有关。
求中垂面上的电势：
U=kq/r+(-kq/r) = 0
U k p cos 0
r2
y
rr
q q l
x
15
A●
B
●
●C
U A 0;UB 0;UC 0
p cos
U k
r2
16
3 电偶极子电场中的场强
a q0E dl
3. 电势：(1)
UA
E dl
A
(2)
Ua
q
4 π 0r
4. 电势差：
b Ua Ub a E dl
2
6.3.1 场强与电势的关系
1 等势面（电势图示法） 等势面：电势相等的点连成的面。
规定任意两相邻等势面间的电势差相等
为什么这么规定？
3
等势面的特征：
➢电荷沿等势面移动时,静电力做功为零
电势沿法线n方向的变
化率： dU dU dn dl
电势沿法线n方向的变化最快
(电势变化率最大)
电势梯度：gradU
dU dn
n0
单位：V/m
9
3 电势与场强的微分关系
q0沿法线n方向从A移到B， 电场力做的功：
静电场的环路定理(北邮)
Wa Aa
W Ua a q0
a
0
q 0 E dl
E
a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少， 能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在 球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U
O
E dl
R
O
E dl E dl
R
E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
W Ua a q0
a
0
q 0 E dl
E
a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少， 能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在 球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U
O
E dl
R
O
E dl E dl
R
E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
04电势梯度、电偶极子-精选文档
（下一页）
5. 基本的电势分布 (1) 点电荷的电势
q Vp 4 0 r
(2) 均匀带电球面的电势
Vin
u (r )
Q 4 0 R
Q Vout(r) 4 0r
0
R
r
（下一页）
§8 - 8 等势面 和电势梯度
一、 等势面 (1)等势面定义 ：由电场中电势相等的点组成的曲面
c
即:等势面与电力线处处正交.
d
E
②电力线指向电势降低的方向; ★沿电力线移动 q d V W W q ( V V ) A E d l 0 ; c c d c d cd
c
V d
（下一页）
③等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方 场强小（证明待后）。
●
F
q
如果电偶极子放在非均匀电场中，所受合力不为零。则电 偶极子不仅要转动，而且还会作平动。 （下一页）
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
q ●
r0
●
F
电势分别为V 和V- 。 + E
Wp = qV+－qV-
r 如图 电偶极子 0 pq 在匀强电场 E 中。 设 q 和 q 所在处的
等势面类比于地形图中的等高线.
(2)等势面的获得:
①利用电势的解析表达式:
V ( x , y , z ) V , i 1 , 2 , 3 ... i
②利用实际测量的方法.
规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等
+
(3)等势面的例子
正点电荷电场 中的等势面 （下一页）
电偶极子的等势面
+
（下一页）
5. 基本的电势分布 (1) 点电荷的电势
q Vp 4 0 r
(2) 均匀带电球面的电势
Vin
u (r )
Q 4 0 R
Q Vout(r) 4 0r
0
R
r
（下一页）
§8 - 8 等势面 和电势梯度
一、 等势面 (1)等势面定义 ：由电场中电势相等的点组成的曲面
c
即:等势面与电力线处处正交.
d
E
②电力线指向电势降低的方向; ★沿电力线移动 q d V W W q ( V V ) A E d l 0 ; c c d c d cd
c
V d
（下一页）
③等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方 场强小（证明待后）。
●
F
q
如果电偶极子放在非均匀电场中，所受合力不为零。则电 偶极子不仅要转动，而且还会作平动。 （下一页）
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
q ●
r0
●
F
电势分别为V 和V- 。 + E
Wp = qV+－qV-
r 如图 电偶极子 0 pq 在匀强电场 E 中。 设 q 和 q 所在处的
等势面类比于地形图中的等高线.
(2)等势面的获得:
①利用电势的解析表达式:
V ( x , y , z ) V , i 1 , 2 , 3 ... i
②利用实际测量的方法.
规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等
+
(3)等势面的例子
正点电荷电场 中的等势面 （下一页）
电偶极子的等势面
+
（下一页）
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
物理 电磁学 第12讲 等势面 电势梯度 静电场中的电偶极子
dn P2
P3
e ˆr
P1
d
E dl Edlcos ( d ) d E cos E l l E x ， E y ， Ez y x z
E En n l max E e ˆn grad n
c
a A
C
0
等势面的疏密反映了场的强弱
设电场中任意两个相邻等势面之 间的电势差为一定的值
Δ
E P n Q
Δ Δ E Δn 或 E Δn
Δn 0
Δ E lim Δn 0 Δn
等势面密的地方场强大
1. 2. 两个基本定理
真空中静电场小结 两个物理量 E
[例] 求均匀带电圆盘 (R， ) 轴线上的场强。
2 0
R x x
2
2
O x P
x ˆ d ˆ i i 1 E 2 2 2 0 dx R x
Some hammerhead sharks can detect electric fields as weak as 50 picovolts per meter!
M p E
讨论： 当 p // E 时， W Wmin pE，M 0；稳定平衡态 当 p // E 时，W Wmax pE， M 0；非稳定平衡态
使电偶极子转向电场强度的方向。 (2) 非匀强电场
电偶极子不会平动 正、负电荷所受的对偶极子中心的力矩之和：
F F F qE qE 0
电偶极子会平动
M p E
一般而言，同时又会有转动，由于 l 很小，在计算力矩 时，可近似认为正、负电荷所在处的电场相同。 故电偶极子在非匀强电场中既有平动又有转动。
P3
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P1
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E En n l max E e ˆn grad n
c
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C
0
等势面的疏密反映了场的强弱
设电场中任意两个相邻等势面之 间的电势差为一定的值
Δ
E P n Q
Δ Δ E Δn 或 E Δn
Δn 0
Δ E lim Δn 0 Δn
等势面密的地方场强大
1. 2. 两个基本定理
真空中静电场小结 两个物理量 E
[例] 求均匀带电圆盘 (R， ) 轴线上的场强。
2 0
R x x
2
2
O x P
x ˆ d ˆ i i 1 E 2 2 2 0 dx R x
Some hammerhead sharks can detect electric fields as weak as 50 picovolts per meter!
M p E
讨论： 当 p // E 时， W Wmin pE，M 0；稳定平衡态 当 p // E 时，W Wmax pE， M 0；非稳定平衡态
使电偶极子转向电场强度的方向。 (2) 非匀强电场
电偶极子不会平动 正、负电荷所受的对偶极子中心的力矩之和：
F F F qE qE 0
电偶极子会平动
M p E
一般而言，同时又会有转动，由于 l 很小，在计算力矩 时，可近似认为正、负电荷所在处的电场相同。 故电偶极子在非匀强电场中既有平动又有转动。
电势梯度、电偶极子课件
2 电偶极子的性质与特点
电偶极子具有矢量性质、具有二极性、具有 偶极矩和偶极矩矩量的概念。
3 电偶极子的电势与电场
电偶极子产生的电势与电场与距离的关系符 合特定的数学表达式。
4 电偶极子的应用与实例
电偶极子的应用广泛，涉及电子学、光学、 化学等多个领域。例如，它可以用于理解分 子极性、光电效应等。
示范演示文稿
电势梯度、电偶极子ppt 课件
本课件将详细介绍电势梯度以及电偶极子的相关知识。电势梯度是指在电场 中单位正电荷移动时电势能变化的快慢程度，与电场强度有密切关系。电偶 极子是指两个相等但异号的电荷之间的一对。通过本课件，您将深入了解电 势梯度与电偶极子的性质、计算方法以及应用实例。
电势梯度的定义
电势梯度
是指在电场中单位正电荷移 动时电势能变化的快慢程度。
电场强度与电势梯度的 关系
电场强度与电势梯度成正比， 即电场强度越大，电势梯度 越大。
电势梯度的计算方法
可以通过导数的定义来计算 电势梯度，即沿电场方向上 的导数。
电偶极子的定义
1 电偶极子
是指两个相等但异号的电荷之间的一对存在 特定距离关系的物理系统。
3 提问与答疑
如果您有任何与电势梯度和电偶极子相关的 问题，请随时提问。
4 结束语
感谢您的阅读，希望本课件能够对您在电学 学习中有所帮助。
总结
通过本课件，您已经了解了电势梯度与电偶极子在电ห้องสมุดไป่ตู้中的重要性。掌握电势梯度的计算方法和电偶极子的定 义、特性以及应用场景，将有助于更深入地理解电场的性质和电学原理。
1 重点回顾
电势梯度是单位正电荷移动时电势能变化的 快慢程度，与电场强度成正比。
2 讲解的要点
等势面静电场中的电偶极子
2ε0r
方向：垂直于轴线向外
r
第9章 静电场
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再求电势
R
9-4 静电场中的电偶极子
（1） 轴 V=0
rR
0
0
V1
E dl
r
r E1dr
r
E1 2ε0
E2
R2
2ε0r
0 r dr r 2ε0
r2
4ε0
第9章 静电场
E
dV dln
en
第9章 静电场
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9-4 静电场中的电偶极子
例1：由点电荷的电势求场强。
解： V q
4πε0r
+q
E
Er
dV dr
d ( q ) dr 4πε0r
q 4πε0r 2
第9章 静电场
q E 4πε0r 2 er
V V
V 0
V
en
A
l
B
E
q 1
单位正电荷由A→B静电力 所做的功
WAB q(VA VB ) qE l
有 V El cos Ell
El
V l
当l 0 时，
El
lim l 0
V l
dV dl
第9章 静电场
z)
第9章 静电场
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定义梯度
9-4 静电场中的电偶极子
方向：垂直于轴线向外
r
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再求电势
R
9-4 静电场中的电偶极子
（1） 轴 V=0
rR
0
0
V1
E dl
r
r E1dr
r
E1 2ε0
E2
R2
2ε0r
0 r dr r 2ε0
r2
4ε0
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E
dV dln
en
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9-4 静电场中的电偶极子
例1：由点电荷的电势求场强。
解： V q
4πε0r
+q
E
Er
dV dr
d ( q ) dr 4πε0r
q 4πε0r 2
第9章 静电场
q E 4πε0r 2 er
V V
V 0
V
en
A
l
B
E
q 1
单位正电荷由A→B静电力 所做的功
WAB q(VA VB ) qE l
有 V El cos Ell
El
V l
当l 0 时，
El
lim l 0
V l
dV dl
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定义梯度
9-4 静电场中的电偶极子
静电场-电势,等势面,电势梯度
rdr
10
4.2 从电场强度计算电势
v vv 1）运用高斯定理电场的分布： E = E(r )
2) 通过电场强度的积分计算电势：
V =∫
∞
a
r r E ⋅ dl
11
例7-12 半径为 R 的均匀带电球面，带电量为q，求 空间的电势分布。
dl
r
rP R P ∞
12
(r ≤ R) 0 解： E = q 4πε r 2 (r > R) 0
33
p均匀带电球面内外的场强
E内 = 0 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球面的电势
Q V内 = 4πε 0 R Q V外 = 4πε 0 r
34
p均匀带电球体内外的场强
Qr E内 = 4πε 0 R 3 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球体外的电势
Q 3R 2 − r 2 V内 = 8πε 0 R 3 Q V外 = 4πε 0 r
dr r O R x P
E
x
25
σ 2 2 解： V = ( x + R − x) 2ε 0 ∂V σ x (1 − ) E = Ex = − = 2 2 ∂x 2ε 0 x +R
26
两均匀带电同心球面，根据电势分布求电场强度分布
27
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
v 2） V = 0 的地方， E = 0 吗？ v v 3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上 E
例7-10 均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ。 求轴线离圆盘中心O距离为x的P点的电势。
dr r O R x P x
9
解：dV =
dq 4πε 0 x 2 + r 2
10
4.2 从电场强度计算电势
v vv 1）运用高斯定理电场的分布： E = E(r )
2) 通过电场强度的积分计算电势：
V =∫
∞
a
r r E ⋅ dl
11
例7-12 半径为 R 的均匀带电球面，带电量为q，求 空间的电势分布。
dl
r
rP R P ∞
12
(r ≤ R) 0 解： E = q 4πε r 2 (r > R) 0
33
p均匀带电球面内外的场强
E内 = 0 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球面的电势
Q V内 = 4πε 0 R Q V外 = 4πε 0 r
34
p均匀带电球体内外的场强
Qr E内 = 4πε 0 R 3 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球体外的电势
Q 3R 2 − r 2 V内 = 8πε 0 R 3 Q V外 = 4πε 0 r
dr r O R x P
E
x
25
σ 2 2 解： V = ( x + R − x) 2ε 0 ∂V σ x (1 − ) E = Ex = − = 2 2 ∂x 2ε 0 x +R
26
两均匀带电同心球面，根据电势分布求电场强度分布
27
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
v 2） V = 0 的地方， E = 0 吗？ v v 3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上 E
例7-10 均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ。 求轴线离圆盘中心O距离为x的P点的电势。
dr r O R x P x
9
解：dV =
dq 4πε 0 x 2 + r 2
静电场之等量异号点电荷和电偶极子的电场课件
电偶极子的电势分布
总结词
电偶极子的电势分布是指电偶极子产生的电势在空间 中的分布情况。
详细描述
电偶极子的电势分布由电偶极子的几何形状、电荷间 距以及与观察点的距离决定。在靠近电偶极子处，电 势变化较为剧烈，而在远离电偶极子处，电势变化较 为平缓。在电偶极子的轴线上，电势从正电荷向负电 荷逐渐减小，而在电偶极子的两侧，由于电荷产生的 电场的叠加作用，使得电势出现最大值和最小值。了 解电偶极子的电势分布有助于进一步理解静电场的性 质和特点。
静电喷涂
利用静电场将涂料粒子吸 附在工件表面，然后进行 喷涂，提高涂层的均匀性 和附着力。
静电纺丝
利用静电场将高聚物溶液 或熔体纺成细丝，制备出 具有特殊性能的纤维材料。
THANKS
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静电场之等量异号点 电荷和电偶极子的电 场课 件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 等量异号点电荷的电场 • 电偶极子的电场 • 点电荷与电偶极子的比较 • 静电场的特性和应用
目录
PART 01
等量异号点电荷的电场
点电荷的电场分布
总结词
点电荷在空间中产生的电场是辐射状的，距离点电荷越远，电场强度越小。
详细描述
点电荷的电场线从正电荷出发，沿径向方向向外辐射，在空间中形成等距的同 心圆。在距离点电荷相同的位置上，各方向的电场强度大小相等，但方向不同。 随着距离的增加，电场强度逐渐减小。
电场强度和电势的变化趋势
点电荷电场强度和电势变化
在等量异号点电荷的连线上，电场强度先增大后减小，中点处场强为零。电势则从正电 荷到负电荷逐渐降低。
电偶极子电场强度和电势变化
在电偶极子周围，靠近正电荷区域电场强度较大，靠近负电荷区域较小。电势则从正电 荷到负电荷逐渐降低。
电势梯度、电偶极子
电势梯度与电偶极子
目录
• 电势梯度概述 • 电偶极子概述 • 电势梯度与电偶极子的关系 • 电势梯度与电偶极子的应用 • 总结与展望
01 电势梯度概述
电势梯度的定义
电势梯度是电场强度在空间中的变化 率，表示电场中电势随位置的变化率。
电势梯度是一个矢量，其方向指向电 势降低的方向，其大小等于电场强度 在该点的负值。
在某些特殊情况下，如强磁场和强电场共同作用时，电偶极子的行为 会更加复杂。
04 电势梯度与电偶极子的应 用
电势梯度在电子设备中的应用
电子设备中的电势梯度用于控制电流和电压的分布，确保电子设备的正常运行。
在集成电路中，电势梯度用于实现信号的传输和处理，提高电路的工作效率和稳定 性。
电势梯度在电子设备的散热设计中也发挥着重要作用，通过合理分布温度场，降低 设备过热的风险。
电偶极子是一对相距一定距离的等量 异号点电荷，它们产生的电场在空间 中形成电偶极场。电偶极场的电场线 从正电荷出发，终止于负电荷，不闭 合也不相交。
电势梯度和电偶极子在电磁学、电化 学、生物医学等领域有着广泛的应用 。例如，在电磁学中，通过研究电势 梯度和电偶极子的分布，可以分析电 磁波的传播和散射特性；在电化学中 ，电势梯度和电偶极子可以影响电解 质的离子迁移和扩散行为；在生物医 学中，电势梯度和电偶极子可以影响 细胞的生长和分化等生命活动。
电势梯度定义为电场强度在某一点的负 值，即$nabla varphi = -E$，其中 $varphi$表示电势，E表示电场强度。
电势梯度的物理意义
电势梯度表示电场中电势随位置 的变化率，反映了电场中电势的
分布情况。
电势梯度的物理意义在于它决定 了电荷在电场中的运动方向和速 率，以及电场力对电荷的作用方
目录
• 电势梯度概述 • 电偶极子概述 • 电势梯度与电偶极子的关系 • 电势梯度与电偶极子的应用 • 总结与展望
01 电势梯度概述
电势梯度的定义
电势梯度是电场强度在空间中的变化 率，表示电场中电势随位置的变化率。
电势梯度是一个矢量，其方向指向电 势降低的方向，其大小等于电场强度 在该点的负值。
在某些特殊情况下，如强磁场和强电场共同作用时，电偶极子的行为 会更加复杂。
04 电势梯度与电偶极子的应 用
电势梯度在电子设备中的应用
电子设备中的电势梯度用于控制电流和电压的分布，确保电子设备的正常运行。
在集成电路中，电势梯度用于实现信号的传输和处理，提高电路的工作效率和稳定 性。
电势梯度在电子设备的散热设计中也发挥着重要作用，通过合理分布温度场，降低 设备过热的风险。
电偶极子是一对相距一定距离的等量 异号点电荷，它们产生的电场在空间 中形成电偶极场。电偶极场的电场线 从正电荷出发，终止于负电荷，不闭 合也不相交。
电势梯度和电偶极子在电磁学、电化 学、生物医学等领域有着广泛的应用 。例如，在电磁学中，通过研究电势 梯度和电偶极子的分布，可以分析电 磁波的传播和散射特性；在电化学中 ，电势梯度和电偶极子可以影响电解 质的离子迁移和扩散行为；在生物医 学中，电势梯度和电偶极子可以影响 细胞的生长和分化等生命活动。
电势梯度定义为电场强度在某一点的负 值，即$nabla varphi = -E$，其中 $varphi$表示电势，E表示电场强度。
电势梯度的物理意义
电势梯度表示电场中电势随位置 的变化率，反映了电场中电势的
分布情况。
电势梯度的物理意义在于它决定 了电荷在电场中的运动方向和速 率，以及电场力对电荷的作用方
大学物理课件---等势面.电势梯度-[福州大学...李培官]
![大学物理课件---等势面.电势梯度-[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/c9b28864b84ae45c3b358cb5.png)
x (1 ) 2 0 R2 x2
p
O R
x
与用叠加原理得到的结果一致。
讨论： 当R时， E 2 0
即无穷大均匀带电平面的电场。
20
【例3】试由电势分布计算电偶极子 (q, l ) 的场强。
解： pr p cos V 3 2 4π 0 r 4π 0 r
x
z
P x E
qx q 4 π ( x 2 R 2 )3 2 2 2 12 x 4 π 0 ( x R ) 0
19
【例2】 计算均匀带电圆盘轴线上的电场。
解： U ( R 2 x 2 x) 2 0 U E Ex x
1
2 dl
A21 ( E p1 E p 2 ) E p 2 E p1 q0 (U 2 U1 ) 0 U 2 U1 0 U 2 U1 E 的方向为电势降低的方向。 E
a
Eb
★课堂练习： 已知 u1 u2 u2 u3 0 由图示的等势面，确定 a、b点的场强大小和方向
u1
b
a
u3
u2
13
二、电势梯度
1.电场强度与电势梯度的关系：
u du
u E dl E cosdl u ( u du) El a E cosdl du E E在 dl方向上的分量 El dl du
du El dl
u Ey y
dl
dAMN
E dl Edlcos 0 E dl
E
M
3)由于规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等势 面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场 强较小。
p
O R
x
与用叠加原理得到的结果一致。
讨论： 当R时， E 2 0
即无穷大均匀带电平面的电场。
20
【例3】试由电势分布计算电偶极子 (q, l ) 的场强。
解： pr p cos V 3 2 4π 0 r 4π 0 r
x
z
P x E
qx q 4 π ( x 2 R 2 )3 2 2 2 12 x 4 π 0 ( x R ) 0
19
【例2】 计算均匀带电圆盘轴线上的电场。
解： U ( R 2 x 2 x) 2 0 U E Ex x
1
2 dl
A21 ( E p1 E p 2 ) E p 2 E p1 q0 (U 2 U1 ) 0 U 2 U1 0 U 2 U1 E 的方向为电势降低的方向。 E
a
Eb
★课堂练习： 已知 u1 u2 u2 u3 0 由图示的等势面，确定 a、b点的场强大小和方向
u1
b
a
u3
u2
13
二、电势梯度
1.电场强度与电势梯度的关系：
u du
u E dl E cosdl u ( u du) El a E cosdl du E E在 dl方向上的分量 El dl du
du El dl
u Ey y
dl
dAMN
E dl Edlcos 0 E dl
E
M
3)由于规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等势 面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场 强较小。
大学物理：8-5 等势面 电场与电势梯度的关系
r′
=
2πkR 2
∑ ∫ ∫ r < R :
q内
=
r 0
ρdV
=
r 0
k ⋅ 4πr′2dr′
r′
=
2πkr 2
<4> 电场强度的大小，方向 ？
由高斯定理：
∫ ∑ r E
s
⋅
r dS
=
1
ε0
q内
∑ E
⋅ 4πr 2
=
1
ε0
q内
得：E外
=
2πkR 2 4π ε0r 2
=
kR 2
2ε 0r 2
E内
=
2πkr 2 4π ε0r 2
ρ o R1 r′
P
V2:取薄球层（半径为r,厚度为dr）
dq = ρ 4πr 2dr
dV2
=
1
4π ε0
dq r
∫ ∫ ( ) V2 =
dV2 =
R2 ρrdr ε r′
0
=ρ 2ε 0
R22 − r′2
V
= V1
+ V2
=
ρ 6ε 0
⎜⎜⎝⎛ 3R22
− r′2
−
2R13 r′
⎟⎟⎠⎞
同理
E3
=
q
4πε0r 2
=
4π
3
R23 − R13
ρ
4πε0r 2
=
R23 − R13 ρ 3ε 0r 2
( ) ( ) (∞)
∫ ∫ ∫ VP =
Edr =
(P)
R2 r 3 − R13 ρ dr + ∞ R23 − R13 ρ dr
r′ 3ε 0r 2
=
2πkR 2
∑ ∫ ∫ r < R :
q内
=
r 0
ρdV
=
r 0
k ⋅ 4πr′2dr′
r′
=
2πkr 2
<4> 电场强度的大小，方向 ？
由高斯定理：
∫ ∑ r E
s
⋅
r dS
=
1
ε0
q内
∑ E
⋅ 4πr 2
=
1
ε0
q内
得：E外
=
2πkR 2 4π ε0r 2
=
kR 2
2ε 0r 2
E内
=
2πkr 2 4π ε0r 2
ρ o R1 r′
P
V2:取薄球层（半径为r,厚度为dr）
dq = ρ 4πr 2dr
dV2
=
1
4π ε0
dq r
∫ ∫ ( ) V2 =
dV2 =
R2 ρrdr ε r′
0
=ρ 2ε 0
R22 − r′2
V
= V1
+ V2
=
ρ 6ε 0
⎜⎜⎝⎛ 3R22
− r′2
−
2R13 r′
⎟⎟⎠⎞
同理
E3
=
q
4πε0r 2
=
4π
3
R23 − R13
ρ
4πε0r 2
=
R23 − R13 ρ 3ε 0r 2
( ) ( ) (∞)
∫ ∫ ∫ VP =
Edr =
(P)
R2 r 3 − R13 ρ dr + ∞ R23 − R13 ρ dr
r′ 3ε 0r 2
静电场环路定理电势电偶极子
第五章 静电场 5-6 静电场的环路定律 电势能
5/16/2011 11:32:38 AM
1
5-6 静电场的环路定理 电势能 一、静电场力所作的功 由功的定义求点电荷电场对试验电荷所作的功。 由功的定义求点电荷电场对试验电荷所作的功。 电场力对试验电荷所作的元功 r r r r 1 qqo r r B F = qo E er ⋅ dl dA = qo E ⋅ dl= 4πεo r 2 α r r r er ⋅ dl = dl cos α = dr dl r rB qo r 1 qq qq 1 1
点电荷系/连续带电体 点电荷系 连续带电体
P o
qi dq V =∑ 或V = ∫ Ω 4πε r i 4πε r o i o
3.由电场分布求电势分布 3.由电场分布求电势分布
V =∫
5/16/2011 11:32:38 AM
P
r r E ⋅ dl 取任意一点Po为零电势点
15
5-7 电势 例题 求均匀带电球面内外的电势分布。 求均匀带电球面内外的电势分布。
qi V =∑ i 4πε r o i
5/16/2011 11:32:38 AM
P
r r1
q1
r r2
q2
r r3
q3
13
5-7 电势 如果带电体上的电荷连续分布， 如果带电体上的电荷连续分布，将带电体分割成 无数个电荷元dq， 点的电势 无数个电荷元 ，P点的电势 dq dq V =∫ dV = Ω 4πε r 4πεor o 上述电势均取无限远处为 零电势。 零电势。 dV r 点电荷 r P 点电荷系 连续带电体
5-7 电势
VA −VB = ∫
B A
r r E ⋅ dl
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第12讲等势面电势梯度
静电场中的电偶极子
电场线与等势面的关系
♉电场线处处垂直等势面
♉电场线指向电势降的方向
♉等势面的疏密反映了场的强弱
电场强度和电势的关系
积分关系式
⎰⋅=b a a l E
d ϕ0
=
b ϕ微分关系式
ϕ
ϕ-∇=-=g ra d E
k z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
电偶极子( )在电场( )中所受的力矩 E
p M ⨯=电偶极子( )在均匀外场( )中的势能 E
p W ⋅-=E p E p 电场中的电偶极子
O 图中所示以 O 为心的各球冠
面为静电场的等势面，已知
ϕ1 < ϕ2 < ϕ3，在图上画出 a 、
b 两点的电场强度的方向，并
比较它们的大小。
E a E b
(填 <、=、>)。
ϕ1 ϕ2 ϕ3 a b = a E b E Q3.12.1
1.若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区
域的电场强度分布是 ；若电势
随空间坐标作线性变化，则该区域的场强分布是 。
处处为零 不为零的恒量(或均匀分布) Q3.12.2
设有两个电偶极矩分别为 和 的电偶极子。
如果它们重叠在一起，此带电系统的电偶极矩为多少？ 答：
1p 2p Q3.12.3
221121l q l q p p p
+=+=
Q3.12.4
电偶极子在均匀电场中总要使自身转向稳定平衡的位置，若此电偶极子处在非均匀电场中，它将怎样运动呢？你能说明吗？
答：见视频。
[Q3.12.5] 证明 Q1.3.7 中的电四极子在它的轴线延长线上的电势为
式中 Q = 2ql 2 叫做它的电四极矩。
利用梯度验证，所得场强公式与Q1.3.7一致。
)(l r r Q >>= π4130εϕ+q P
-2q +q l l r
解： 根据电势的叠加原理
⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=r l r l r q 211π40εϕ+q P
-2q +q l l r
2π422220)
()()()(l r r l r l r r l r r q ---++-=ε)(22202π4l r r l q -=ε当 l << r 时， 3
0π4r Q
εϕ≈r E ∂∂-=ϕ40π43r Q ε=
[Q3.12.5]* 电偶极层： 一厚度 l 均匀的曲面薄壳，两面带
有符号相反的面电荷 。
e σ±求 P 点的电势和场强。
解：由电势叠加原理
⎰
-+⎰''='S S r
S
r S P d π41d π41e 0e 0)()(σεσεϕ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-'=)(S S r r d 11π40e εσ夹角
)，(： ˆ n e r
θθ
cos l r r +≈'r
r
'
S
S 'e
σ-e σ+S
d S '
d n
ˆe θ
l
P
θcos 1
1l r r +≈'⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+=r l r θcos 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈r l r θcos 112
cos 1r l r θ-
=2cos 11r
l r r θ
-=-'⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-'=)()(S S
r r P d 11π40e εσϕ⎰-=)(S S r l d cos π420e θεσ⎰
-=)
(S Ωl d π40e εσr
r ' S
S 'e σ-e σ+S d S 'd n ˆe θ
l
P
平面角
∙
O A B
θ
R
A '
B '
R
B A ''=θ(弧度)
S '
立体角 ∙
O
S
Ω
R
2R
S '
=Ω(球面度)
与 R 无关
Ω
S 'd 面元 S
d ∙
O S
d r
Ω
d 2d d r
S '=Ωn
ˆe r e
ˆθ2
cos d r
S θ=
⎰-=)
()(S Ω
l
P d π40e εσϕ定义电偶极层强度(层矩)：
单位面积上的电偶极矩 l
e e στ≡Ω：曲面 S 对场点 P 所张的立体角
r
r ' S
S 'e σ-e σ+S d S 'd n ˆe θ
l
P
Ω
P 0
e
π4ετϕ-=)(Ω
- P - - - - Ω：曲面 S 对场点 P 所张的立体角
Ω
P 0
e
π4ετϕ-=)(+ 闭合曲面薄壳内： 0
e
ετϕ-
=)(P P '
闭合曲面薄壳外： 0
=')(P ϕ+ + + + + +
+
+ +
- - - - - 心肌细胞静息
讨论 (1) 电偶极层的电势和场强只与它对场点
所张的立体角这一几何性质有关。
Ω：曲面 S 对场点 P 所张的立体角
r
r ' S S
'e σ-e σ+S
d S '
d n ˆ
e θl P ΩP 0
e
π4ετϕ-=)(ΩP E ∇=-∇=0e π4ετϕ)(
(2) 几何上决定，电偶极层两侧
立体角有一 4p 的跃变。
负电荷一侧： ，
2
d cos d r
S Ωθ=
，，0cos 2π
><θθ0d >⎰=-S ΩΩ正电荷一侧： ，，0cos 2π
<>θθ0
d <⎰=+S
ΩΩr
r ' S
S 'e σ-e σ+S d S 'd n ˆe θ
l
P
具体考察图中两点
－
＋ΩP ΩP −−−→−−−−→−-+立体角
立体角
π
4=+=-+-+-ΩΩΩΩ当该两点趋于偶极层表面时，相对应的立体角之差 电偶极层两侧的电势跃变
π4π40e ⨯=ετ)()(-+-P P ϕϕ)(-+--
=ΩΩ0e π4ετ0
e
ετ=。