大学文科数学试题(附答案)

大学文科数学试题（附答案）

一、 判断题（对画“√”，错画“×”, 共6题，每题3分,共18分）

1.任意修改收敛数列{}n a 的前100项，数列{}n a 仍收敛，且极限不变. ( )

2.若0

lim[()()]0x x f x g x →−=，则必有00

lim ()lim ()x x x x f x g x →→=. ( )

3.函数()f x 在某个区间上的极大值一定大于极小值. ( )

4.当0→x 时，无穷小量34x x −+是关于x 的4阶无穷小量. ( )

5.概率的公理化定义虽然不能用来直接确定事件的概率，但它给了概率所必须满足 的最基本规律，为建立严格的概率理论提供了坚实的基础． ( )

6.微分方程

x

y

x y dx dy tan +=的通解是Cx x y =sin . （ ） 二、填空题（共6题，每题3分，共18分）

1.已知(sin )cos 12x f x =+，则(cos )2

x

f =___________.

2.直线L 与x 轴平行且与曲线y x e x

=−相切，则切点坐标为_____________.

3.已知()f x 的一个原函数是2

x e −，则'()=xf x dx ⎰________________________.

4.利用定积分的几何意义，计算0

=⎰

_________(0)a >，这个结果表示的是

________________________的面积.

5.函数1

x

y x =的极大值点是 ，极大值为 .

6.三台机器在一天内正常工作的概率分别为：第一台0.9，第二台0.7，第三台0.6，且它们发生故障是相互独立的，则三台机器同时发生故障的概率________． 三、计算题（要求有计算过程,共6题，每题4分,共24分）

1.102030(1)(35)lim (611)n n n n →∞−+−;

2.301lim sin 3x x x →+;

3.152lim ()1x

x x x −→+∞++; 4. 设()y y x =是方程cos()0x y e xy +−=所确定的隐函数，求0x dy =;

5.

; 6.dx

x

e

e

⎰1|

ln

|．

四、应用题（共3题，第1题7分，第2题8分,第3题10分，共25分）

1.把长度为l的线段分成两段，分别围成正方形和圆形，问如何分该线段可以使得

正方形和圆的面积之和最小（即求此时正方形的周长和圆的周长）？

2.求曲线3(03)

y x x

=≤≤分别绕x轴和y轴旋转所得到的旋转体的体积.

3.甲、乙、丙三个分厂生产同一批次规格相同的灯管，产量之比为1：2：1.已知

甲、乙、丙三个分厂产品的合格率依次是0.93,0.92,0.98.现任取一灯管，求

(1) 取到不合格灯管的概率；

(2) 若取到不合格灯管,求它是由乙分厂生产的概率.

五、问答题（共3题，每题5分，共15分）

1.叙述函数)

(x

f

y=在]

,

[b

a上的拉格朗日中值定理的作用与几何意义，并画出几何示意图．

2.简述古典概型的特点，并举一个古典概型在教育系统的应用实例．

3.微分方程研究的内容是什么？举几个微分方程在现实应用中的成功实例．

大学文科数学试题 答案

一、判断题（对画“√”，错画“×”, 共6题，每题3分,共18分） 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.√ 二、填空题（共6题，每题3分，共18分）

1．2

2sin 2

x

； 2. ()01,−； 3.22(21)x x e C −−++； 4. 2

4

a π，半径为a 的四分之一的圆的面积； 5. 1,

e

e e ； 6. 0.012.

三、计算题（要求有计算过程, 共6题，每题4分,共24分）

1. 203036；

2. 1

6； 3. 5e −； 4. dx −；

5. ln 1|C −+；

6. 22e

−.

四、应用题（共3题，第1题7分，第2题8分,第3题10分，共25分） 1. 正方形的周长为

44l

π+，圆的周长为4l ππ

+. 2.（1）3

3260

21877

x V y dx x dx π

ππ===

⎰⎰； （2）22727

23

7295

y V x dy y dy π

ππ===

⎰⎰. 3.（1）令B 为任取一件为不合格灯管，i A 分别为任取一件为甲、乙、丙分厂生产的灯管1,2,3i =, 则由全概率公式得

)(B P =3

1()(|)i i i P A p B A ==∑0.250.070.50.080.250.020.0625⨯+⨯+⨯=.

（2）利用贝叶斯公式 31

()()(|)

(|)()

()(|)

i i i i i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ==

=∑, 1,2,3i =. 计算得2(|)P A B =

0.50.08

=64%0.0625

⨯.