线弹性断裂力学1

定律应用于裂纹体：
E T W Q
(1)
E 为储存在介质中的内能；T 为动能；Γ为裂纹表面能；
W 为 外力功率；Q 传热率。
作如下假设： • 断裂过程中总体热交换效果可忽略（近似绝热假设），Q 0
• 准静态过程，T≈0，
• 介质为弹性的，E = U
d (U) W
Irwin 小范围屈服理论
前面已指出，裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近：
rrK0.02 a
(1)
小范围屈服是指：
rp rK0.02a
(2)
塑性区形状的估算：
作下列假定： （1）忽略裂纹尖端材料屈服后对塑性区外K场的影响； （2）材料为理想塑性，且遵循 Von-Mises 屈服条件。
Irwin 小范围屈服理论
G Gc
（ 13 ）
这就是著名的Griffith 脆断准则（能量平衡准则）
能量释放率理论
• 事实上，在前面我们利用能量守恒定律来建立裂纹扩展准则时得到下
列关系：
c a 2E'e
E
E
'
E
1 2
或
（c
a）2
E'
2e
由于对于脆性材料断裂准则为： GI GIc2e
同时注意到： 所以
KI a
GI
应变能率：
d dU t4 1 B c2 ad da t
(dda d) dtdd t a
(5)
能量释放率理论
表面能：
4Bea
表面能率:
(6)
d dt
4Be
da dt
外力功率： w 4Ba 0cd ddvt x4Ba 0cc(41)1 2(a2x2)212addatdx
2 1Bc2addat
(7)
(12 )
而塑性区长度 ro 又依赖于应力强度因子 KI ，所以， 考虑小范围屈服修正后的应力强度因子需要迭代计算。
线弹性断裂力学
➢以应力为参数的断裂理论 应力强度因子理论（ Irwin 应力强度因子理论）
➢以能量为参数的断裂理论 能量释放率理论（Griffith脆断理论）
能量释放率理论
σ =
σ
力强度因子 KI 来反映。
Irwin 应力强度因子理论
一般地，I 型裂纹应力强度因子 KI 可以表达为
K Y(g) a
(4)
其中Y(g) 称为几何影响因子。
(4) 裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近.
rrK0.02 a
(5)
Irwin 应力强度因子理论
鉴于裂纹尖端应力场的上述特点，尤其应力强度因子的
Irwin 小范围屈服理论
线弹性裂纹尖端场，其应力场具有 r -1/2 的奇
异性， 该奇异性的幅值大小可用应力强度因子来 表征。但从物理学的角度来看，真正奇异的应力 是不可能的，在裂纹尖端附近的材料必定发生屈 服。
Irwin 研究了小范围屈服的情况，指出在该情
况下应力强度因子K 仍有意义。
Irwin 小范围屈服理论
• 下面把破坏条件（9）普遍化：
把能量守恒定律应用于裂纹体：
将之改写为：
d (U) W dt
(UW) A A
即
A A
(10 )
能量释放率理论
➢ 定义
G＝
(11 )
A
它代表裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为能量释放率；
➢ 同时，定义
Gc
A
(12 )
它表示裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量为裂纹扩展阻力； ➢ 因此裂纹扩展条件可表示为：
sin sin cos
3 2 3 2 3 2
(1)
ui
KI
2
r
2Ui
(,)
UU12II
(
cos )scions22
(2)
为普遍适用的角分布函数 。（渐进解） （几何、加载方式）
无限大中心裂纹板
Irwin 应力强度因子理论
受均匀外力σ作用具有长度为2a 的无限大板，KI 为：
特点：即它是一与外载和裂纹几何尺寸相关的量，是裂纹
尖端应力场幅值大小的度量，人们很自然地可以把应力强
度因子作为含裂纹材料或结构的破坏的力学参量来建立破
坏准则：
KI KIc
(6)
其中KIc 称为材料的断裂韧性，是材料常数，是材料抵抗断
裂的抗力，可以通过实验来确定。
该破坏准则称为应力强度因子断裂准则，简称K 准则. 在八十年代初期，美国 ASME 就将该准则作为含裂纹材料
KI2 E'
合作愉快
Irwin 小范围屈服理论
等效裂纹长度
从图看，裂尖应力场的B’C’ 段像长度为 a+ro 裂纹的前沿应力场。 因此Irwin 建议采用等效裂纹长度
aeff aro
(9)
来代替原裂纹长度。等效裂纹的尖端在屈服区的中点，它由修正裂尖
的K场所包围。
在引入小范围屈服情况下等效裂纹长度的概念后，线弹 性断裂力学中的应力强度因子理论仍然有效。只要将应力 强度因子K 中的裂纹长度 a 用等效裂纹长度a+ro 代替即可.
σ
σ +
σ
σ
能量释放率理论
σ σ
能量释放率理论
• 能量守恒定律：
能量守恒定律是自然界的一条普遍规律，它指出：系
统能量的增加等于输入的能量。对于热力学系统又可
表述为：作用于系统上功的增量δW加上系统接受的热
的增量δQ等于系统内能的增量ΔE加上动能的增量ΔK,
即
E KW Q
• 若增量无限小且诸量可微，则可写成率的形式：
➢ 在应力强度因子理论 中，我们首先来学习： 裂纹类型（分类）； 线弹性裂纹尖端场； 进而建立断裂准则。
（crack)
张开型：I型（Mode I）（Opening Mode） 滑开型：II型（Mode II）（Shear Mode） 撕开型：III型（Mode III）（Tearing Mode）
Irwin 应力强度因子理论
I 型裂纹尖端场的表达式
对线弹性各向同性材料, I 型裂纹尖端应力场和位移场一般表达式为 ：
ij
KI 2 r
ij I (
)
0 33 ( 11 22 )
和
I I I
11 22 12
cos
2
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
线弹性断裂力学
• 如同在经典的强度理论中，有以应力为参 数和以能量为参数的强度理论一样，在这 里，我们有
➢以应力为参数的断裂理论 应力强度因子理论（ Irwin 应力强度因子理论）
➢以能量为参数的断裂理论 能量释放率理论（Griffith脆断理论）
应力强度因子理论
• 在这里，我需要强调，断裂力学是基于弹性力学和塑性力 学所获得的应力场、应变场及位移场的基础上，研究含裂 纹材料的破坏行为。所以不论在线性断裂力学还是弹塑性 断裂力学中，我们都重点研究裂纹体（含裂纹的线弹性体 或弹塑性体）关键区域中场量（应力场、应变场及位移场） 的结构，进而进行破坏行为研究。由于裂纹体中关键区域 是裂纹尖端，所以我们重点研究裂纹尖端场量的结构，进 而进行破坏行为研究。
(2)
dt
能量释放率理论
受有均匀外力σ作用具有长度为2a 的无限大板，其位移场为：
v(x)4 ( 1 )a2x2
xa
(3)
其中：对平面应变情况 34
对平面应力情况 k 3
σ
1
σ 考虑线弹性裂纹体的应变能：
U4Ba 01 2vdx8 1B2a2
(4)
现建立裂纹扩展的临界条件（考虑 c 时,裂纹有微扩展da）
KI a
(3)
是一与外载和裂纹几何尺寸相关的量，通常称为应力强度因子，
它是裂纹尖端应力场幅值大小的度量。
裂纹尖端应力场的几点重要特点：
（1） 裂纹尖端应力场具有 r -1/2 的奇异性； （2）应力强度因子 KI 是一与外载和裂纹几何尺寸相关的量，是裂纹尖端
应力场幅值大小的度量； （3）裂纹尖端应力场的表达式具有普遍性，不同裂纹体几何的影响通过应
(KI
s
)2
(6)
Irwin 小范围屈服理论
Irwin 小范围屈服理论
裂纹尖端附近材料的屈服必定引起应力再分布，这便导致 塑性区尺寸发生变化，其结果为：
(7)
对平面应力情况
R 1(KI
s
)2
2ro
对平面应变情况
R(12)2(KI )2 s
2ro
(8)
即裂纹尖端附近材料的屈服引起的应力再分布使裂纹延长 线上的塑性区尺寸扩大了一倍。
Irwin 小范围屈服理论
Irwin 小范围屈服理论
前面我们已经有 I 型裂纹应力强度因子 KI 的表达式
K I Y (g ) a Y (g ,a ) a
(10 )
其中Y(g，a) 称为几何影响因子。
引入小范围屈服情况下的等效裂纹长度，
KI Y(g,aef)faeff
(11 )
由于
aeff aro
把应变能率、表面能率及外力功率代入能量平衡方程（2）：
81c2a2e
(8)
或
c a 2E'e
(9)
能量释放率理论
于是由能量守恒定律得到裂纹扩展的临界条件：
c a 2E'e
(9)
其中
E
E
'
E
1 2
方程式右端为材料参数组合，应为材料常数。
因此方程式左端的载荷与裂纹几何参数的组合亦应为常数。
（含裂纹体的破坏条件）
或结构的评定方法。
Irwin 应力强度因子理论
鉴于应力强度因子的重要性，在断裂力学这门科学近半 个世纪的快速发展中，应力强度因子的分析计算一直是一个 经久不衰的研究课题，这可从这方面的专著（如二十世纪七 十年代Sih的专著[3,4]和近期的专著如[6,7,15-17]）和专门 的应力强度因子手册（如[8]）可见一斑。从研究方法上， 从解析的Westergaard stress function [17]、 Muskhelishvili stress function [17] 到解析的或半解析的Green Function [17]、Singular Integral Equation [17]、Conforming Mapping[17], 及数值方法如Boundary Collocation Method[17]， Finite Element Method[17] (有限元法)和 Boundary Element Method[15-17] (边界元法)。