二次函数小结
第26章小结二次函数的复习课件
2、抛物线 y = 3x 2 + 2 的开口向
坐标为
.
， 顶点
3、抛物线 y =2（ x +1）2 - 4 的顶点坐标为
对称轴为
.
4、当a 为最高点.
时，抛物线 y =（a +2）x 2 的顶点
5、抛物线 y = （ x - 2） 2 + 3 的开口向 ，对称
轴为
，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而
2
1
A
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1
D B
2 3 4 56 7
8x
1、本课主要复习了哪些内容？ 2、通过复习，你有什么体会或收获呢？
二次函数 y x2 2x 3
1）用配方法求其顶点D的坐标； 2）求其与y轴的交点C的坐标、与x轴交点A、B （且点A在点B的左边）的坐标。
y x2 2x 1
y
9
8 y=x2-2x+3
7
6
y x2 4x 3
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
知识点回顾四：
二次函数一般式与顶点式的转化
一般式
y ax2 bx c
配方
顶点式
y ax m2 k
y ax2 bx c
（
大 a ＞0 致 图 象 a＜0
函 数
a ＞0
变 化 a＜0
在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大. 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小.
由a、b、c
二次函数重点知识小结
＜１＞ ＜２＞ ＜３＞
（１）当一丢ｅ［ｍ，一Ｍ
大值是，（ｍ）、，（Ｈ）中的较大者。
ｆｉｘ）的卧值是小期＝Ｔ４ａｃ－ｂ２，删的最
４∈Ⅳ’，由＜１＞×＜２＞得口２‘（１一毛）】ｒ『２０－－Ｘ２）≥Ｉ
而ｊ。（１一＾）≤『兰二譬二卅２：ｉ１（当且仅当而：ｉ１时取等号）， ｘ：（１一屯）≤［兰二鼍爿２＝丢（当且仅当而：ｊ１时取等号），通过＜３＞可得
例２：试说明函数Ｙ＝ｘ２＾＋５，无论Ｘ取何值，ｙ＞０。
分析：第一种方法：用配方法将其化成ｙ＝（ｘ一２）２＋ｌ的形式 来说明。（但如果系数取值不好．该方法就比较麻烦） 第二种方法：用△来说明．因为△＝－４＜Ｏ．所以函数与ｘ轴无交点， 又因为该函数的二次项系数ａ＝Ｉ＞０．所以图象开１３向上。于是，图 象在ｘ轴上方．因此无论ｘ取何值，ｖ＞ｏ。 例３：求证：不论ｍ取什么实数．方程ｘ２－（ｍ２＋ｍ）ｘ＋ｍ一２－－０必 有两个不相等的实数根。 分析：这道题如果用常规做法．就是证明一元二次方程的Ａ＞ Ｏ的问题．然ｆ『ｉｉ本题的判别式△是一个关于ｍ的一元四次多项 式．符号不易判断。这就给证明带来了麻烦。若用函数思想分析题 意。设ｆ（ｘ）－－－＇ｘ２－（ｍ：＋ｍ）ｘ＋ｍ一２，由于它的开口向上，所以只要找到 一个实数ｘＯ。使得ｆ（ｘ０）＜ｏ。就说明这个二次函数的图象与ｘ轴有 两个交点，问题就得到了解决。
对应二次方程的根． 图１ 例２．已知２工２＜３ｘ，求函数，Ｏ）＝Ｊ２＋ｘ＋１的最值。
（２）不等式ａｘ２＋ｂｘ＋Ｃ＞０（或＜ｏ）的解集为对应的二次函数图 像在ｘ轴上方ｆ或下方）的点的横坐标的取值集合．
例：
若不等式舣２＋ｂｘ－Ｉ－４＞０的解集为ｆ
ｘ
Ｉ一２＜ｘ＜ｌ｝。则二
次函数Ｙ＝ｂｘ２＋４ ｘ＋ａ在区ｆｓ３［０，３
二次函数心得体会(实用18篇)
二次函数心得体会（实用18篇）一、重视每一堂复习课数学复习课不比新课，讲的都是已经学过的东西，我想许多老师都和我有相同的体会，那就是复习课比新课难上。
四、要多了解学生。
你对学生的了解更有助于你的教学，特别是在初三总复习间断，及时了解每个学生的复习情况有助于你更好的制定复习计划和备下一堂课，也有利于你更好的改进教学方法。
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心得体会函数作为现代编程领域中最为重要的概念之一，函数是每一位程序员必须掌握的基本技能。
函数可以帮助我们实现代码的复用，并最大化代码的可维护性和可读性，提高代码的效率。
在我研究函数的实践和编程经验中，我发现函数不仅仅是一个工具，而是一种思考方式，一种编写高质量代码的宏观策略。
接下来，我将分享在学习和使用函数的过程中所体会到的经验和心得。
第二段：函数与代码复用。
函数的主要优势之一是代码的复用。
通过将相似或重复的代码封装在函数中，我们可以将其多次调用，而不必重写相同的代码。
这不仅减少了代码量，减轻了维护代码的负担，还使代码的可读性更好，因为调用一组相关功能的函数总比分散在不同位置的代码更易于理解。
第三段：函数与代码可维护性。
另一个函数的优势是提高代码可维护性。
通过将相似功能的代码封装在函数中，我们可以建立代码的分层表示，使代码更具有结构性。
如果将许多类似的代码放在同一文件中，那么将来需要添加或修改其中的一部分代码将会非常困难。
而函数可以将相关代码组合在一起，使代码的逻辑更加清晰，因此更容易维护。
第四段：函数与代码测试。
函数还是测试代码的重要工具。
通过测试函数的输出和输入，我们可以确保其正确性，并保证代码的质量。
函数可以切割代码，以便调试，而不用担心整个代码库的问题。
如果一个函数经过良好的测试，则可以自信地将其重用在许多其他代码中。
第五段：结论。
总之，函数是用于构建任何高质量代码的关键概念。
函数使代码更具有结构性，更容易维护和测试，并使代码更易于阅读，比分散的代码更具可读性。
14--二次函数(小结与复习)
会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题。
情感价值
会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
教学重点
能画出二次函数的图象，用二次函数的知识分析解决有关抛物问题的实际问题，建立二次函数的数学模型并运用它解决实际问题。
教学难点
将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
（1）求出S与x之间的函数关系式；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用．
问题5：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，进价是每件80元，售价是每件120元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件，但每件最低价不得低于108元．
二、练习，巩固所学二次函数内容
大有镇中心学校教研组集体备课（初备）
备课组长签字：日期：教研组长签字：日期：
主备人：
马海燕
备课组员
米存
年（班）级
九年级（1）
日期
星期
累计课时
课型
新授
电教课累计
远教课
第课时
授课课通过对实际问题情景的分析确定二次函数表达式，并体会二次函数的意义。
2、会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
（1）若每件衬衫降低x元（x取整数），商场平均每天盈利y元，试写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？
三、小结（1）我们是如何研究二次函数的？
（2）二次函数在实际问题应用中需要注意什么？
板书设计
二次函数（小结与复习）
一、复习知识，回顾方法三、小结
九年级数学上册第22章二次函数小结与复习课件新版新人教版
针对训练
11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的 利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请 结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式； (2)该公司在经营此款电脑过程中，第 几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的 知识，对公司在此款电脑的经营状况 (是否亏损？何时亏损？)作预测分析．
【解析】
方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则
顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
x2ba2211，y4ac4ab2
41322
41
2，
则顶点坐标为(1,2)．
方法归纳解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx ＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称 轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也 可以直接利用公式求解.
解得, a=2,b=－3,c=5.
待定系数法
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
针对训练 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7
的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离
为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴
x b b 2(1)
，即b≤1，故选择D .
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长 度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线 解析式是( )
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。
二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。
2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。
第二章二次函数单元小结课件
b2－4ac
b2－4ac＝0
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
知识专题
知识点5：二次函数解析式的三种表示方式 1.已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_) _.
作业布置
1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题 2.完成练习册中本课时的练习.
知识点6.二次函数的实际应用
最大面积应用题的解题步骤 1.根据要求设出自变量x，因变量y是面积； 2.列出二次函数的解析式，写出自变量取值范围； 3.运用顶点公式或利用配方把解析式化为顶点式求出
面积的最大值。
知识专题
最大利润应用题的解题步骤 1.总利润=单利润×销售数量； 2.设价格为自变量x，总利润为因变量y，列出关系式； 3.运用公式法或配方化为顶点式求出利润的最大值.
开口方向
a＞0 a＜0
向上 向下
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，0）
知识专题
知识点3：抛物线的平移
1.平移关系
当h>0时，向右平移 y=ax2
当h<0时，向左平移
y=a(x-h)2
当k>0时，向上平移 当k<0时，向下平移
y=a(x-h)2+k
2.顶点变化 (0，0)
(h，0)
(h，k)
知识专题
知识点4：二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
考点专练
【要点指点】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函 数表达式时常见的有三种情势：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)； 顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶 点坐标；交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线 与x轴交点的横坐标.
第22章二次函数小结与复习
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1.二次函数的概念
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a ≠０ __)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的
最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特
殊的二次函数．
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三
种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交 点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次 方程ax2＋bx＋c=0的根.
有两个交点
有两个重合 的交点 没有交点
下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜
0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是D ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧 可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b ＋c＜0，故③正确； 由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜ 0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
3.二次函数图像的平移
y＝ax2 沿x轴翻折 y＝-ax2
左、右平移 左加右减
ya(xh)2
上、下平移 上加下减
ya(xh)2k
写成一般形式
yax2 bxc
4.二次函数表达式的求法
1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
二次函数教学心得小结与思考.doc
本题的关键是确定点B 的坐标.一、例题分析：例1、如图表示一个正比例函数与一个一次函数的 图象，它们交于点A （4, 3）, 一次函数的图象与y 轴y A 交于点B,且0A 二0B,求这两个函数的解析式.分析：确定一次函数解析式需要两个独立条件，例2、一次函数的图像与x 轴正半 轴交于点A ，与y 轴负半轴交于点B,与正比例函数2y= — x3的图像交于点C,若C 点的横坐标为6, 求：（1） 一次函数的解析式； （2） AABC 的面积；（3） 原点0到直线AB 的距离。
分析：本题是集一次函数、面积运算及距离 运算于的综合题，解题的关键在于确定一次函数 的解析式。
合作探究二、交流展示1、_次函数)，=(2〃，一6)x + 5 中，y 随 *增大而减小，则m的取值范围是2、如图,将直线0P向下平移3个单位, 所得直线的函数解析式为.3、(若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点( ).A. (1, 2)B. (-1, -2)C. (2, -I )D. (1, 一2)(C) (— 2, — 2) (D)( — 2 , — 2 )6、如图，在矩形ABCD中，AB=2, BC=1,动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动，那么AABP的面积S与点P运动的路程尤之间的函数图象大致是A7、已知点Q与P(2, 3)关于x轴对称，一个一次函数的图象经过点Q, 且与y轴的交点M与原点距离为5,求这个一次函数的解析式.4、已知函数yd + b的图象如图, 则y = 2kx + b的图象可能是D c当堂达标2、甲、乙两同学骑白行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们高出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法： ()(1)他们都骑行了 20km;(2)乙在途中停留了 0. 5h;(3)甲、乙两人同时到达目的地；(4)相遇后，甲的速度小于乙的速度.根据图象信息，以上说法正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、已知一次函数y=kx+b的图象经过点P (2, —1)与点。
二次函数基础知识规律小结
1中考复习专题之二次函数基础知识规律小结一、二次函数概念及图像特征⒈二次函数概念：形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的函数，那么， y 叫x 的二次函数。
⒉图像特征：y=ax 2+bx+c=a （x+2ba ）2+244acb a-它是一条以直线x=-2b a为对称轴， 以（-2b a，244ac b a-）为顶点的抛物线。
二、抛物线y=ax 2+bx+c 与系数a 、b 、c 的关系： ⒈系数a⑴、a 决定抛物线开口方向，a ＞0时，抛物线开口向上；a ＜0时，抛物线开口向下。
⑵、｜a ︱决定抛物线开口大小，｜a ︱相同，抛物线开口大小相同； ｜a ︱越大，抛物线开口越小。
⒉ a 、b 决定抛物线对称轴的位置 a 、b同号⇒x=-2ba ＜0⇒对称轴在y 轴的左侧a 、b 异号⇒x=-2ba ＞0⇒对称轴在y 轴的右侧 总结四字口诀：对称轴同左异右。
b=0⇒x=-2ba =0⇒对称轴是y 轴。
⒊c 决定抛物线与y 轴的交点位置c ＞0，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上。
交点坐标（0，c ）。
c =0，抛物线过原点，（0,0）。
c ＜0，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上。
交点坐标（0，c ）。
三、b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数b 2-4ac ＞0时，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数解，抛物线与x 有两个交点。
b 2-4ac =0时，ax 2+bx+c=0有两个相等的实数解，抛物线与x 轴只有一个交点。
b 2-4ac ＜0时，ax 2+bx+c=0无实数解，抛物线244ac b a-=0，与x 轴无两个交点。
四、抛物线的特殊位置与系数a 、b 、c 的关系⒈顶点在x 轴，有两种理解：第一种，顶点纵坐标为0，既顶点坐标(-2ba ,O),对应解析式: y=a （x-h ）2第二种，抛物线与x 轴只有一个交点，则b 2-4ac =0。
初中数学二次函数知识点总结
第26章二次函数 (2)§26.1二次函数 (2)§26.2二次函数的图象与性质 (4)1. 二次函数y＝ax2的图象与性质 (4)2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 (6)3. 求二次函数的函数关系式 (13)阅读材料................................................................................................. 错误！未定义书签。
生活中的抛物线..................................................................................... 错误！未定义书签。
§26.3实践与探索................................................................................ 错误！未定义书签。
小结................................................................................................. 错误！未定义书签。
复习题............................................................................................. 错误！未定义书签。
第26章二次函数要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y=x(20-2x).试问：x为何值时，才能使y的值最大？§26.1 二次函数问题1（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试（1）设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2）x的值是否可以任意取？有限定范围吗？（3）我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y 是x的函数，试写出这个函数的关系式．问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x 元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数．我们可以得到：问题1中的函数关系式为y＝x（20－2x）（0＜x＜10）即y＝－2x2＋20x（0＜x＜10）问题2中的函数关系式为y＝（10－x－8）（100＋100x）（0≤x≤2），即y＝－100x2＋100x＋200（0≤x≤2）.观察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数（quadratic function）．练习1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm．（1）当它的一条直角边长为4.5 cm时，求这个直角三角形的面积；（2）设这个直角三角形的面积为S cm2，其中一条直角边长为x cm，求S 关于x的函数关系式．2.已知正方体的棱长为x cm，它的表面积为S cm2，体积为V cm3．（1）分别写出S与x、V与x之间的函数关系式；（2）这两个函数中，哪个是x的二次函数？习题26.11.设圆柱的高为6 cm，底面半径r cm，底面周长C cm，圆柱的体积为V cm 3．（1）分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；（2）这三个函数中，哪些是二次函数？2.正方形的边长为4，若边长增加x，则面积增加y，求y关于x的函数关系式．这个函数是二次函数吗？3. 已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝－3．求a 、c 的值． 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．（1） 求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；（2） 求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1m 2）（3）§26.2 二次函数的图象与性质回 顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y ＝ax 2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y ＝ax 2 的图像与性质． 例1 画二次函数y ＝x 2的图象． 解 列表．在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y ＝x 2的 图象，如图26.2.1所示．图26.2.1像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola ）．它有一条对称轴，抛物线与它（第4题）的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做（1） 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝x 2与y ＝－x 2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2） 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2、y ＝－2x 2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3） 将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概 括函数 y ＝ax 2 的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y ＝x 2、y ＝2x 2的图象，可以看出： 当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a ＞0时，函数y ＝ax 2具有这样的性质：当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＝0时，函数 y ＝ax 2 取得最小值，最小值y ＝0．思 考观察函数y ＝－x 2、y ＝－2x 2的图象，试作出类似的概括，当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2有些什么特点？它反映了当a ＜0时，函数y ＝ax 2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流．练 习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y ＝3x 2； （2） y ＝－31x 2．2.根据上题所画的函数图象填空．（1） 抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；（2） 抛物线y ＝－31x 2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r 为圆的半径，S 为该圆的面积，有面积公式S ＝πr 2，表明S 是r 的函数．（1）当半径r分别为2、2.5、3时，求圆的面积S（π取3.14）；（2）画出函数S＝πr2的图象．2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质问题1试研究二次函数y＝2x2－4x＋3的图象．分析将函数关系式配方，得y＝2（x－1）2＋1．我们设法寻求它与y＝2x2图像的联系．为此，先看几个简单的例子．例2在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图像．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.2所示．图26.2.2观察当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概括通过观察，我们发现：当自变量x 取同一数值时，函数y ＝2x 2＋1的函数值都比函数y ＝2x 2的函数值大1．反映在图象上，函数y ＝2x 2＋1的图象上的点都是由函数y ＝2x 2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y ＝2x 2＋1与y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y ＝2x 2＋1的图象可以看成是将函数 y ＝2x 2 的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2x 2＋1的一些性质：当x _____时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最____值，最____值y ＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2－2与函数y ＝2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y ＝2x 2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31x 2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？你能说出函数y ＝－31x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练 习1.已知函数y ＝－31x 2、y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2．（1） 分别画出它们的图象；（2） 说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试说出函数y ＝－31x 2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－31x 2得到抛物线y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2？如果要得到抛物线y ＝－31x 2＋4，应将抛物线y ＝－31x 2作怎样的平移？3.试说出函数y ＝ax 2＋k （a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．例3 在如图26.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2和y ＝2（x －1）2的图象．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．图26.2.3观察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思考这两个函数的图象之间有什么关系？概括通过观察、分析，可以发现：函数y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y＝2（x－1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x－1）2的性质：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y＝______．做一做在同一直角坐标系中画出函数y ＝2（x ＋1）2与函数y ＝2x 2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y ＝2（x ＋1）2的图象可以看成由函数y ＝2x 2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y ＝2（x ＋1）2的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31（x ＋2）2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？试说出函数y ＝－31（x ＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．练 习1. 已知函数y ＝31x 2、y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2．（1） 在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3） 分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝31x 2得到抛物线y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2？3. 你能说出函数y ＝a （x －h ）2（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y ＝2（x －1）2＋1的图象和性质．分 析我们已经知道函数y ＝2（x －1）2的图象与函数y ＝2x 2的图象之间的关系． 在此基础上，可以找到函数y ＝2（x －1）2＋1的图象与函数y ＝2（x －1）2的图象之间的关系．试一试（1） 填写下表．（2） 从上表中，你能分别找到函数y ＝2（x －1）2＋1与函数y ＝2（x －1）2、y ＝2x 2的图象的关系吗？（3） 进一步，你能发现函数y ＝2（x －1）2＋1有哪些性质？做一做（1） 在图26.2.3中，再画出函数y ＝2（x －1）2－2的图象，并将它与函数y＝2（x －1）2 的图象作比较．（2） 试说出函数y ＝－31（x －1）2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练 习1.已知函数y ＝21x 2、y ＝21（x ＋2）2＋2和y ＝21（x ＋2）2－3．（1） 在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试讨论函数y ＝21（x ＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝21x 2得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2和抛物线y ＝21（x －2）2－3？如果要得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6，那么应该将抛物线y ＝21x 2作怎样的平移？3.你能说出函数y ＝a （x －h ）2＋k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y ＝－3x 2－6x ＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x 2－6x ＋8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数y ＝－21x 2＋x －25的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析 因为 y ＝－21x 2＋x －25 ＝－21（x －1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象． 解 列表．画出的图象如图26.2.4．图26.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2．做一做（1） 请你按照上面的方法，画出函数y ＝21x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2） 通过配方变形，说出函数y ＝－2 x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 思 考对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练 习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y ＝3（x ＋3）2＋4； （2） y ＝－2（x －1）2－2；（3） y ＝21（x ＋3）2－2； （4） y ＝－32（x －1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） y ＝2x 2＋4x ； （2） y ＝－2x 2－3x ；（3） y ＝－3x 2＋6x －7； （4） y ＝21x 2－4x ＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y ＝－2（x －1）2＋4； （2） y ＝21（x ＋2）2－5；（3） y ＝－31x 2－2x ＋1； （4） y ＝x 2－4x ＋7．应 用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题． 问题1 这个问题实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y ＝－2（x －5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x ＝5时，函数取得最大值y ＝50．这时，AB ＝5（m ），BC ＝20－2x ＝10（m ）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m ，与墙平行的一边长10 m 时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－100x 2＋100x ＋200（0≤x ≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解 设做成的窗框的宽为x m ，则长为236x-m ．这里应有x ＞0，且236x-＞0，故0＜x ＜2．做成的窗框的透光面积y 与x 的函数关系式是y =x •236x -, 即 y =x x 3232+-.配方得 y ＝－23（x －1）2+23,所以当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝1.5．因为x ＝1时，满足0＜x ＜2，这时236x-=1.5．所以应做成宽1 m 、长1.5 m 的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m 2．图26.2.5练 习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y ＝x 2－3x ＋4； （2） y ＝1－2x －x 2；（3） y ＝237272+-x x ； （4） y ＝100－5x 2；（5） y ＝－6x 2＋12x ； （6） y ＝－23x 2－4x ＋1．2. 有一根长为40 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x ，将它们的积表示为x 的函数）3. 求二次函数的函数关系式问题2如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB ）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4 m ，拱高CO 为0.8 m ．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图26.2.6分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图26.2.6，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 （a ＜0）． （1）因为AB 与y 轴交于点C ，所以CB ＝2AB＝2（m ），又CO ＝0.8 m ，所以点B 的坐标为（2，－0.8）．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a ＝－0.2．因此，函数关系式是y ＝－0.2x 2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式． 例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解 设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c ＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到⎩⎨⎧=+=+.939,324b a b a 解这个方程组，得a =23，b =-23 所以，所求二次函数的关系式是y=123232+-x x .注 意求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式． 练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）； （2） 已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）； （3） 已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）． （1） 求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2） 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？习题26.21. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．（1） y ＝31x 2＋2与y ＝31x 2－3；（2） y ＝－21（x ＋3）2与y ＝－21（x －1）2；（3） y ＝－3（x －2）2与y ＝－3（x －2）2＋1； （4） y ＝－（x ＋3）2－1与y ＝－（x ＋3）2＋2．2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）y ＝x 2－3x －4； （2）y ＝2－4x －x 2；（3）y ＝21x 2－2x －1； （4）y ＝－43x 2＋6x －7；（5）y ＝2x 2－3x ； （6）y ＝－2x 2－5x ＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标． （1）y ＝4x 2－4x ＋1； （2）y ＝－4x 2－9； （3）y ＝－4x 2＋3x ； （4）y ＝3x 2－5x ＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）； （2） 已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）； （3） 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中． （1） 求这条抛物线所对应的函数关系式；（2） 如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离水面的高是多少？(第5题)。
二次函数知识点总结最新8篇
二次函数知识点总结最新8篇高中二次函数知识点总结篇一1、按部就班，环环相扣数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题，一定要把每一个环节都学牢。
2、概念记清，基础夯实千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，每新学一个定理或者定义的时候，都要在理解的基础上去深挖每一个字眼，有时候少说一两个字，都可能导致结果的不同。
要在刚开始学概念的时候就弄清楚，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。
3、适当做题，巧做为主学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉中考的题型，训练要做到有的放矢。
有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。
数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。
考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。
4、记录错题，避免再犯俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。
因此，建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，更重要的是还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。
毕竟，中考或者在平时考试当中是“分分必争”，一分也失不得。
这样复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。
5、集中兵力，攻下弱点每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。
因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战，避免变成“瘸腿”。
初中二次函数知识点总结篇二教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
二次函数知识点小结
向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=ax 2+ky=ax 2二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向 对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2abx 2-=(ab ac ab 4422--，)三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0∆> 抛物线与x 轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等实根 0∆= 抛物线与x 轴只有一个交点一元二次方程有两个相等的实数根 0∆<抛物线与x 轴无交点一元二次方程无实数根.。
二次函数知识小结笔记
方法一： 应用公式法求：
当a>0时，函数有最小值，并且当x= ，y最小值= ；
当a<0时，函数有最大值，并且当x= ，y最大值=
方法二配方法：当把二次函数解析式化为 的形式时，可知当 ，其有最大值或最小值 .
方法三代入法：把x= 代入函数解析式 计算的函数值y是最值
四、求二次函数的顶点坐标
6．(2008年内江市)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树 间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．
7．（2008年义乌市）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式______________．
A．a＞0，c＞0B．a＜0，c＜0
C．a＜0，c＞0D．a＞0，c＜0
4．（2008嘉兴市）一个函数的图象如图，给出以下结论：
①当 时，函数值最大；②当 时，函数 随 的增大而减小；
③存在 ，当 时，函数值为0．其中正确的结论是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③答案：C
5.（2008年芜湖市）函数 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
答案：x=2
4.(2008常州市) 已知函数 的部分图象如上图所示,则c=______,当x______时,y随x的增大而减小.
5.（2008年甘肃省白银市）抛物线y=x2+x－4与y轴的交点坐标为．
答案：(0，－4)
解析：考查二次函数解析式及平面直角坐标系内点的坐标特征。根据y轴上的点的横坐标为0的特征，可得y=02+0－4=－4，所以所求交点坐标为(0，－4)。
人教版九年级数学上册22章二次函数小结课件
知识梳理
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐
标即一元二次方程ax2+bx+c =0的根
二次函数
与一元二
次方程
有两个公共点⇔∆> 0
抛物线与
x 轴的公
有一个公共点⇔∆= 0
共点情况
拓展
抛物线与
直线的公
共点个数
没有公共点⇔∆< 0
利用图象法求一元二次方程的根
∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W 随x的增大而增大，
而60≤x≤60(1+45%)，即60≤x≤87，
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
重点解析
3
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝
x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，
写出二次函数的解析式；
4.解：根据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实
际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。
重点解析
1
若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程 x2+mx=7 的解为( D )
A. x1=0，x2=6
B. x1=1，x2=7
y＞0，所有实数；
y＜0，无解
y＞0，无解；
y＜0，所有实数
知识梳理
知识梳理
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，厘清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的
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y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ b2 - 4ac > 0
复习五：二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种
情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点
二次函数复习课
复习一：
一般地，函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数， a 0)叫做关于x的二次函数。
1. 自变量的最高次数是2。
2. 二次项的系数a≠0。 3. 二次函数含自变量的代数式必须是整式。 4. 自变量x的取值范围是全体实数。
复习二.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
根据a,b,c的取值，呈现表达式的几种形态：
y=ax²+bx+c (a ≠0, b≠0,c≠0) y=ax²+bx (a ≠0, b≠0,c=0) y=ax²+c (a ≠0, b=0,c≠0)
y=ax²(a ≠0, b=0,c=0)
复习二
熟练运用配方法把一般式化成顶点式：
y 1 x2 6x 21
当x=h时,最大值为k.
2、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
a>0,开口向上
直线x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
(4)当 -2≤x≤1时，y的最大值是_______， y的最小值是_______.
2.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米, 宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直 角坐标系,如图所示,
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
y
(2)求出这条抛物线的函数关系式
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形
A
“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线 上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,
oB
需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、
DC的长度之和的最大值是多少?
P D
CM x
（4）如果现有一辆宽4米,高4米的卡车准备要通过 这个隧道,问它能顺利通过吗?
• 周末作业： • 《同步》P65---69
根据a,h,k的取值，呈现的表达式的几种形态：
y=a(x-h)2+k (a ≠0, h≠0,k≠0) y=a(x-h)2 (a ≠0，h≠0,k=0) y=ax2 +k (a ≠0，h=0,k≠0) y=ax2 (a ≠0，h=0,k=0)
2.一般式y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a ≠0)
求一元二次方程ax2+bx+c=m
求抛物线y= ax2+bx+c
的解．(a,b,c,m为常数）
从“形”上看 与直线y =m交点的
横坐标. (a,b,c,m为常数）
复习六：二次函数的应用
数问题和形问题。 二次函数最值的功能应用。
练习： 1.已知抛物线 y＝-x²+4x+1. (1)对称轴是______； (2)当x______时，y随x的增大而增大。 (3)当 -1<x<3时，y的范围是_______。
复习四：抛物线 y=ax2+bx+c 中a,b,c的基本作用
(1)a确定抛物线的开口方向： (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
b (3)a、b确定对称轴 x=- 2a 的位置: (4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： (5)当x=1时，y=a+b+c (6)当x=-1时，y=a-b+c
练习. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列
2
解： y 1 x2 6x 21
2
提取二次项系数 1 x2 12x 21
2
配方
1 x2 12x 62 36 21
2
1 x 62 -36 21
2
化简:去掉中括号 1 x 62 —18 21.
21 x 62 3.
2
1.能便于 研究图象 的性质。
2.便于画 函数的图 象。
3.能考察 是否在顶 点处取得 最值。
复习三 抛物线的平移
左 y = a( x – h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同, 位置不同。已知抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方 向，就可以画出大致图象。
a<0,开口向下
直线x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
4a
复习二
1.顶点式y=a(x-h)2+k (a ≠0)
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数与一元二次方程的关系：
求x为何值时，二次函数 y= ax2+bx+c的值为m．
（a,b,c,m为常数）
从“数”上看
求一元二次方程
ax2+bx+c=m的解. （a,b,c,m为常数）
抛物线 开口方向
y=a(x-h)2+k(a>0)
向上
y=a(x-h)2+k(a<0)
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标 增减性 最值
（h,k)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
(h,k)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.