二次函数相似综合专题

二次函数相似综合专题

知识要点

1．求抛物线的解析式（载体作用，注意利用顶点式隐藏顶点坐标或利用比根式隐藏与x 轴两交点的坐标）．

2．结合质点运动，探索两个几何变量之间的函数关系； 3．探索存在问题（面积、线段、角度等）； 4．几何最值、几何定值与几何推理；

5．全等、相似、轴对称、旋转、平移、解直角三角形、圆的相关知识的综合运用； 6．注意结合抛物线的图象变换构建存在性问题． 例题解析

【例1】已知抛物线y ＝223x x --与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．

①若抛物线的顶点为M ，求四边形ACMB 的面积； ②在第一象限的抛物线上求点P ，使S △ABP ＝10； ③在第一象限的抛物线上求点P ，使S △ACP ＝10； ④在②的条件下，在抛物线上求点Q ，使S △APQ ＝S △BPQ ；

⑤在②的条件下，在抛物线上求点Q ，使S △APQ ∶S △BPQ ＝1∶3．

〖练1〗如图，□OABC 中，点A 坐标为（2，0），抛物线y ＝24ax bx ++经过点A ，B ，C

三点，交y 轴于点D ． ①求此抛物线的解析式；

②P 是抛物线上一点，且△OBP ≌△ODP ，求P 点坐标；

③直线MN ∥x 轴，交抛物线于N ，交y 轴于M ，连线段BN ，AM ，BN 交OD 于E ，若AM ∥BN ，求线段MN 的长．

第①问图

第②问图

第③问图

【例2】已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线

过点B，D．

（1）求点A的坐标（用m表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC＋EC）为定值．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝2

ax bx

+与直线y＝4

x

-+交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；

（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P

作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间函数关系式

（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当S△ACN＝S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q 作QR∥MN交ON于点R，连接MQ，BR，当∠MQR－∠BRN＝45°时，求点

R的坐标．

〖练2〗已知抛物线C 1：y ＝223x x --与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 点左侧），与y 轴交

于点C ．

（1）求A ，B ，C 三点坐标；

（2）将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位，得到抛物线C 2，将线段AC

绕坐标平面内的某点旋转后，得到线段MN ，且MN ⊥AC ，M ，N 点恰好落在抛物线C 2上，如图，求M 点的坐标；

（3）设抛物线C 1的顶点为D ，DE ⊥AB 于E ，M 为x 轴下方抛物线C 1上一动点（不

与点D 重合），MN ⊥BC 于N ，是否存在这样的点M ，使△MND 与△BED 相似？若存在，求M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝24(2)9

x c --+与x 轴交于A ，B 两点（点

A 在点

B 的左侧），交y 轴的正半轴于点

C ，其顶点为M ，MH ⊥x 轴于点H ，MA 交

y 轴于为N ，sin ∠MOH

． （1）求此抛物线的函数表达式；

（2）过H 的直线与y 轴相交于点P ，过O ，M 两点作直线PH 的垂线，垂足分别为

E ，

F ，若

HE HF

＝1

2JF ，求点P 的坐标； （3）将（1）中的抛物线沿y 轴折叠，使点A 落在点D 处，连接MD ，Q 为（1）中

的抛物线上一动点，直线NQ 交x 轴于点G ，当Q 点在抛物线上运动时，是否存在点Q ，使△ANG 与△ADM 相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG 的解析式；若不存在，请说明理由．

〖练3〗抛物线y ＝2(1)4a x --的顶点为D ，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点

C ，对称轴与x 轴交于点H ，且H

D ＝AB ． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若M 为对称轴右侧抛物线上一点，MN ∥x 轴交抛物线于另一点N ，以MN 为

斜边的直角三角形的直角顶点在x 轴上，当这个直角三角形的顶点至少有一个时，求M 点纵坐标的取值范围；

（3）经过C ，D 两点的直线与x 轴交于E 点，P 为对称轴右侧抛物线上一点，CP

交对称轴于点F ，是否存在这样一点P ，使△CDF 与△EAC 相似、若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例5】已知抛物线C 1：y ＝2(1)2a x +-的顶点为A ，且经过点B （－2，－1）．

（1）求A 点的坐标和抛物线C 1的解析式；

（2）如图1，将抛物线C 1向下平移2个单位后得到抛物线C 2，且抛物线C 2与直线

AB 相交于C ，D 两点，求S △OAC ∶S △OAD 的值；

（3）如图2，若过P （－4，0），Q （0，2）的直线为l ，点E 在（2）中抛物线C 2

对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m 过点C 和点E ．问：是否存在直线m

，