磁悬浮球控制系统的仿真研究

磁悬浮球控制系统的仿真研究

王玲玲，王宏，梁勇

(海军航空工程学院，山东烟台 264000)

作者简介：王玲玲(1984—)，女，硕士，讲师，主要从事控制技术研究。

本文引用格式：王玲玲，王宏，梁勇.磁悬浮球控制系统的仿真研究[J].兵器装备工程学报，2017(4):122-126.

Citation：format:WANG Ling-ling, WANG Hong, LIANG Yong.Simulation and Research of Magnetic Levitation Ball Control System[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(4):122-126.

摘要：针对磁悬浮球系统的本质不稳定性，设计PID控制算法实现系统的稳定控制。建立磁悬浮球系统的动力学模型，并对其中的非线性部分进行平衡点处的线性化，采用根轨迹校正设计超前滞后控制器。最后采用PID控制设计，并使用根轨迹校正中零极点对系统性能影响的思想去调整PID参数，使系统的稳定性、动态性能和稳态性能满足要求。

关键词：磁悬浮球系统；PID；根轨迹法；校正

磁悬浮可以用于实现各种机械结构的高速、无摩擦运转，如高速磁悬浮列车、高速磁悬浮电机、磁悬浮轴承等。尽管磁悬浮的应用领域繁多，系统形式和结构各不相同，但究其本质都具有本质非线性、不确定性、开环不确定性等特征。这些特征增加了对其控制的难度，也正是由于磁悬浮的这些特性，使其更加具有研究价值和意义。本文针对磁悬浮球系统，研究其稳定控制，并使其性能指标满足要求。

1 磁悬浮球控制系统的基本原理

磁悬浮球控制系统主要由铁芯、线圈、光电源、位置传感器、放大及补偿装置、数字控制器和控制对象钢球等部件组成，如图1所示。

当电磁铁上的线圈绕组通电时，位于磁场中的刚体受到电磁力的吸引作用。当产生的电磁力与球体的重力相等时，球体悬浮于空中，处于不稳定的平衡状态，当它受到外界扰动时，易失去平衡。因此，为了使系统稳定，就必须加上反馈环节，实现闭环控制，并设计控制算法，使稳定后的性能满足要求。

图1 磁悬浮球系统示意图

2 系统数学模型的建立

2.1 理论分析

如果忽略电磁铁的感抗对系统的影响，磁悬浮系统的数学模型可以完全由竖直方向运动方程和电磁力方程给出：

(1)

式中取向下方向为正。

(2)

F(i,x)为电磁力且为矢量(N)；x为小球质心到电磁铁磁极表面的瞬时气隙(m)；i 为电磁铁绕组中的瞬时电流(A)；m为小球质量(kg)。

式(2)中，假设磁通在气隙处均匀分布，且电磁铁与球体组成的磁路的磁阻主要集中在气隙处；常系数K为与空气磁导滤等定参数相关的量。

假设平衡点处小球的位移为x0，电磁铁线圈电流为i0，则平衡点处：

(3)

2.2 系统模型的线性化处理

对式(2)进行平衡点处的泰勒展开并线性化有

(4)

其中。

当定义系统输入量为电流，输出量为气隙，对上式两端进行拉式变换可得传递函数模型为

(5)

在实际系统中采用电压值表示对气隙和电流的控制，其中电压与气隙的关系需要通过传感器标定得出，其关系式为

U=K x

(6)

其中K为气隙与电压的关系系数(V/mm)。

而电压和电流的关系采用电压-电流型功率放大器表示，在功率放大器的线性范围内，可以将这种电压电流关系表示为：

(7)

其中，K为功率放大器的增益。

如此结合式(6)与式(7)，气隙-电流模型式(5)变为

(8)

式中，U为气隙对应的电压，U为电流对应的电压。考虑在平衡点处有，则有

(9)

取系统状态变量，系统的状态方程为：

(10)

2.3 实际物理参数

表1给出具体参数值，当实验系统不同时，参数要重新测量。另外，即便针对同一套系统，如果更改平衡位置时，带有符号*的参数要根据实际进行测量和计算。

表1 系统的物理参数值

将参数代入式(9)与式(10)得到

(11)

(12)

可以看出系统有一个极点位于复平面的右半平面，根据系统稳定性判据，磁悬浮球系统是本质不稳定的。在Matlab中进行编程判断系统的可控性和可观性，可以得到系统的可控矩阵和可观矩阵的秩为2，即系统状态可控矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出可控矩阵的秩等于系统输出向量的维数，所以磁悬浮实验系统既是可控又是可观，因此可以对系统进行控制器设计，使系统稳定。

3 根轨迹控制设计

当系统的性能指标以时域指标提出时，可以借助根轨迹曲线获取校正装置的结构和参数。若期望主导极点在原根轨迹的左侧，则采用相位超前校正；若期望主导极点在原根轨迹上，则通过调整根轨迹增益，满足静态性能要求；若期望主导极点在原根轨迹的右侧，则采用相位滞后校正。

3.1 使用根轨迹法设计磁悬浮球系统控制器

3.1.1 超前控制器的设计

设计控制器使得校正后的系统满足如下要求：调节时间t≤0.2 s(2%)；超调量σ≤10%；稳态精度阶跃输入下e≤0.05。按照超前校正的步骤，通过Matlab编程得到系统的串联超前校正控制器为

(13)

令输入为单位阶跃，得系统根轨迹如图2，单位阶跃响应如图3。

图2 磁悬浮系统超前校正后的根轨迹

图3 一次超前校正后的单位阶跃响应

通过系统的阶跃响应可以分析得出：

1) 系统无超调，调节时间大约需要1.5 s，系统的稳态误差较大；

2) 在10%的超调要求下可设计出校正环节阶跃响应无超调，说明超前校正对系统的动态性能具有较好的调节作用。但过于平滑的过渡过程使系统的调节时间变慢，因此可以考虑适当降低过渡过程平稳性，使系统的调节过程加快；

3) 系统的静态误差较大，超前对于稳态误差的改善较弱，可以采用滞后装置改善。

3.1.2 滞后控制器的设计

通过上述一次超前校正，控制系统开环传函为