北京市清华附中2020-2021学年第一学期高一10月考数学试题 (无答案)
2020-2021学年第一学期10月份第一次月考试卷答案
2020-2021学年第一学期10月份第一次月考试卷高一数学试卷参考答案2020.10考试范围：人教A 版必修第一册第一、二章考试时间：120分钟一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 解析：由(6)(1)0x x -+<，得16x -<<，从而有{}16B x x =-<<，所以{}14A B x x ⋂=-<<，故选：D .2．B 解析：集合{}0,1,2,3,4,5A =，{{}2B x y x x ===≥，所以{}U 2B x x =<ð.图中阴影部分表示的集合为(){}U 0,1A B ⋂=ð.故选：B 3．A 解析：因为甲是乙的充要条件，所以乙⇔甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A .4．A 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>”．故选A ．5．B 解析：对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c >，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确.故选B .6．B 解析：0a > ，0b >，且21a b +=，120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)(2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a ---+=+=+-=+-+-=++-+----11+=+ ，当且仅当1a =，3b =-时取等号．∴12aa a b++有最小值1+．故选：B ．7．C 解析：解：不等式210x mx -+<的解集为空集，所以0∆≤，即240m -≤，解得22m -≤≤．故选：C ．8．B 解析：依题意2() 4.914.717h t t t =-++234.928.0252t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，故当32t =时，()max 28.02528m h t =≈.故选B .二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．ABD 解析：由于M N ⊆，即M 是N 的子集，故M N M ⋂=，M N N ⋃=，从而M M N ⊆⋂（），()M N N ⋃⊆.故选ABD .10．AC 解析：对于选项A ，由327x =-得293x x =-⇒=，但是3x =适合29x =，推出32727x =≠-，故A 正确；对于选项B ，在ABC ∆中，222AB AC BC ABC +=⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形222AB AC BC ⇒+=或222AB BC AC +=或2221BC AC AB +=，故B 错误；对于选项C ，由220,a b a b +≠⇒不全为0，反之，由a ，b 不全为2200a b ⇒+≠，故D 正确；对于选项D ，结论“四边形是菱形”推不出条件“四边形是正方形”，因此必要条件不成立.故选：AC .11．AB 解析：对A ,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B ,22a b a b a b =+++++=≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C ,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误.对D ,()222121a b a ab b +=⇒++=≤2a +()222a b b ++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选：AB 12．ABD 解析：由23344x x b -+≤得23121640x x b -+-≤，又1b <，所以()4810b ∆=-<，从而不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅，故A 正确.当1a =时，不等式23344a x x ≤-+就是2440x x -+≥，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+≤就是240x x -≤，解集为{}04x x ≤≤，故B 正确.由23344a x x b ≤-+≤的解集为{}x a x b ≤≤，知min a y ≤，即1a ≤，因此当x a =，x b =时函数值都是b .由当x b=时函数值是b ，得23344b b b -+=，解得43b =或4b =.当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a ≤，不符合题意，故C 错误.当4b =时，由233444a ab -+==，解得0a =或4a =，0a =满足1a ≤，所以0a =，此时404b a -=-=，故D 正确.故选：A B D三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．4解析：由题得满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4.故答案为414．充分非必要解析：令命题:2p x y +≠-，命题:q x ，y 不都为1-；:2p x y ⌝+=-，:q x ⌝，y 都是1-，则当x ，y 都是1-时，满足2x y +=-，反之当1x =，3y =-时，满足2x y +=-，但x ，y 都是1-不成立，即q ⌝是p ⌝充分非必要条件，则根据逆否命题的等价性知p 是q 的充分非必要条件，故答案为：充分非必要．15．16解析：0a >，1b >且210a b b +=⇒->且()11a b +-=∴()()91919111010616111b a a b a b a b a b -⎛⎫+=++-=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭当且仅当()911b a a a -=-取等，又2a b +=，即34a =，54b =时取等号，故所求最小值16．故答案为：1616．0解析：由根与系数的关系可知()11{0,01m m m b b m m a++=∴==+=四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）若1A ∈，则210,1m m -+=∴=1a ∉ ，∴实数m 的取值范围为：{}1m m ∈≠R ……………4分（2）选①：若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，所以0m ≠，且440m ∆=-<，所以1m >……………10分选②：若A 恰有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，讨论：①当0m =时，12x =，满足题意；②当0m ≠时，Δ440m =-=，所以1m =.综上所述，m 的集合为{}0,1……………10分选③：若1,22A ⎛⎫⋂≠∅ ⎪⎝⎭，则关于x 的方程221mx x =-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解，等价于当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2221111m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的值域，所以](0,1m ∈……………10分18．解：（1）122x x +>-等价于()()12220x x x ⎧+->⎨-≠⎩，解得25x <<:25p x ∴<<，由p ⌝为真知：2x ≤或5x ≥……………6分（2）q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件.故2:50q x ax -+>对于任意25x <<恒成立，故5a x x<+，由基本不等式可知5x x+≥x =a <……12分19．解：（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥，由2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立……………6分（2）由2x y xy +=得112x y+=.2111223222x x x y y y x x x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭.当且仅当2x y x=，且0x <时，两个等号同时成立.即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32……………12分20．（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x =+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元），当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立，因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低……………6分（2）()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭400600x ≤≤ ，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损……12分21．解：(1)()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，当1a a <-（12a <）时，不等式解集为{|1}x a x a ≤≤-；当1a a >-（12a >）时，不等式解集为{|1}x a x a -≤≤；当1a a =-（12a =）时，不等式解集为1{|}2x x =.所以，当1 2a <时，不等式解集为{|1}A x a x a =≤≤-；当1 2a =时，不等式解集为12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当1 2a >时，不等式解集为{|1}A x a x a =-≤≤……………8分(2)由上(1)，1 2a >时，() {|1}1,1A x a x a =-≤≤⊆-，所以111a a ->-⎧⎨<⎩，得1a <，所以，实数a 的取值范围112a <<……………12分22．解：(1)函数24y x mx =++的图象开口向上，对称轴为2m x =-，在区间[]1,2上的最大值，分两种情况：①322m -<（3m >-）时，根据图象知，当2x =时，函数取得最大值82max y m =+；②322m -≥（3m ≤-）时，当1x =时，函数取得最大值5max y m =+.所以，当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+……………7分(2)[] 1,20x y ∈<，恒成立，只需在区间[]1,2上的最大值0max y <即可，所以(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，得45m m <-⎧⎨<-⎩，所以实数m 的取值范围是5m <-……………12分。
北京市清华附中2020-2021学年高一新生分班考试数学试题含答案
P DA 清华附中高一新生分班考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （ ）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tan C 等于 （ ）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（ ）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 （ ）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为 ( ) A . 6 B .4 C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动(4题图) O C B A P (6题图) AB CDF E (3题图)D CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。
北京市清华大学附属中学2019-2020学年高三年级第一学期10月考数学试卷
清华附中高三2019年10月月考试卷数学一、选择题1.已知集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则A B =( )A .{}1x x >B .{}23x x <<C .{}13x x <<D .{}21x x x ><或2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A .34B .34-C .43 D .43-3.已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A .1b a >>B .1b a >>C .1a b >>D .1a b >>4.设函数()y f x =的定义域为R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.已知3cos 4α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为( )A .36 B .38- C D .6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A .4 B .5 C .6 D .78.已知定义在R 上的函数()()2,0ln ,0xa x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若方程()12f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A .1122a -≤≤B .102a ≤<C .01a ≤<D .102a -<≤二、填空题9.已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x =___________处取得极值.10.32-，123，2log 5三个数中最大的数是_____________. 11.在ABC △中，13cos 14A =，73a b =，则B =____________. 12.去年某地的月平均气温y (℃)与月份x (月)近似地满足函数sin 6y a b x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a 、b为常数，0πϕ<<)，其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为_______℃，ϕ=__________.13.在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，60ABC =︒∠，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为_____________.14.如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP x =，CPD △的面积为()f x ，则()f x 的定义域为_________，()'f x 的零点是__________.三、解答题15.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,⎡-⎢⎣⎦，求m 的取值范围.16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值.17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b .18.已知函数()1xax f x e-=. (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围.20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=…； ②1231n a a a a ++++=…；(1) 分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2) 若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3) 记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤.。
2020-2021学年北京市清华附中高一(上)段考数学试卷(10月份)
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜12.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 1164.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥2√ab7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟9.（单选题.4分）若关于x的不等式kx2-kx＜1的解集为R则实数k的取值范围是（）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）10.（单选题.4分）已知非空集合A.B满足以下两个条件（i）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii）若x∈A.则x+1∈B．则有序集合对（A.B）的个数为（）A.12B.13C.14D.1511.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R+．（1）求x2+y2+xy的最小值；（2）求√x+√y的最大值；（3）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）命题p：∀x∈N.x3≥1.则￢p为（）A.∀x∈N.x3＜1B.∀x∉N.x3≥1C.∃x∉N.x3≥1D.∃x∈N.x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法.根据已知中的原命题.写出其否定形式.可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N.x3≥1.∴￢p：∃x∈N.x3＜1.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题.命题的否定.熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题.4分）已知全集U={1.2.3.4.5}．集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.则B∩（∁U A）=（）A.{2.4}B.{1.3}C.{4.5}D.{2}【正确答案】：C【解析】：由全集U及A.求出A的补集.找出B与A补集的交集即可．【解答】：解：∵全集U={1.2.3.4.5}.集合A={1.2.3}.B={2.4.5}.∴∁U A={4.5}.则B∩（∁U A）={4.5}．故选：C．【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.（单选题.4分）若实数x.y满足2x+y=1.则x•y的最大值为（）A.1B. 14C. 18D. 116【正确答案】：C【解析】：根据xy=x（1-2x）=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.即可求出最大值．【解答】：解：∵实数x.y满足2x+y=1. ∴y=1-2x.∴xy=x（1-2x）=-2x2+x=-2（x- 14）2+ 18≤ 18.当x= 14 .y= 12时取等号.故选：C．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查了运算和转化能力.属于基础题．4.（单选题.4分）“x=1”是“x2=1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先判断由x=1能否推出“x2=1”.再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立.利用充要条件的定义判断出结论．【解答】：解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之.当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选：A．【点评】：判断一个条件是另一个条件的什么条件.首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者.后者成立是否推出前者成立.利用充要条件的定义加以判断．5.（单选题.4分）若b＜0＜a.d＜c＜0.则（）A.ac＞bdB. ac ＞bdC.a+c＞b+dD.a-c＞b-d【正确答案】：C【解析】：根据不等式的性质依次验证每个选项是否正确.即可判断【解答】：解：A：由b＜0＜a.d＜c＜0可知.bd＞0.ac＜0.则bd＞ac.故A不正确B：由d＜c＜0可知1c ＜1d＜0 .又b＜0＜a∴ a c ＜0，bd＞0∴ a c ＜bd.故B不正确C：∵b＜a.d＜c∴a+c＞b+d.故C正确D∵d＜c∴-d＞-c.又a＞b∴a-d＞b-c.故D不正确故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质.要求熟练掌握不等式的性质．属于基础试题6.（单选题.4分）若a.b∈R.且ab＞0.则下列不等式中.恒成立的是（）A.a2+b2＞2abB. a+b≥2√abC. ba +ab≥2D. 1a +1b≥√ab【正确答案】：C【解析】：利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．【解答】：解：A．∵（a-b）2≥0.∴a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立.因此不正确．B．取a.b＜0时.a+b≥2 √ab不成立．C．∵ab＞0.∴ ab . ba＞0.∴ ba+ab≥2 √ba•ab=2.当且仅当a=b时取等号.正确．D．取a.b＜0时. 1a + 1b≥√ab故选：C．【点评】：本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.4分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2.+∞）.则bx+a＜0的解集是（）A. (−∞，12)B. (12，+∞)C. (−∞，−12)D. (−12，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.推出b=-2a.再代入bx+a＜0.解之即可．【解答】：解：由题意知.x=2是方程ax+b=0的根.且a＜0.所以b=-2a.所以不等式bx+a＜0可化为-2ax+a＜0.解得x＜12.故选：A．【点评】：本题考查一元一次不等式的解法.灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键.考查学生的逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．8.（单选题.4分）加工爆米花时.爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下.可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据.可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【正确答案】：B 【解析】：由提供的数据.求出函数的解析式.由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】：解：将（3.0.7）.（4.0.8）.（5.0.5）分别代入p=at 2+bt+c.可得{0.7=9a +3b +c 0.8=16a +4b +c 0.5=25a +5b +c.解得a=-0.2.b=1.5.c=-2.∴p=-0.2t 2+1.5t-2.对称轴为t=- 1.52×(−0.2) =3.75．故选：B ．【点评】：本题考查了二次函数模型的应用.考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题.确定函数模型是关键．9.（单选题.4分）若关于x 的不等式kx 2-kx ＜1的解集为R 则实数k 的取值范围是（ ）A.（-4.0）B.（-4.0]C.[-4.0]D.（-∞.-4]∪[0.+∞）【正确答案】：B【解析】：对系数k 分类讨论.利用判别式即可求出结论．【解答】：解：当k=0时.不等式化为0＜1.对任意实数x 恒成立.所以k=0时满足条件；当k≠0时.不等式为kx 2-kx-1＜0的解集是R.所以 {k ＜0△=k 2+4k ＜0.解得-4＜k ＜0； 综上知.实数k 的取值范围是（-4.0]．故选：B ．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是基础题．10.（单选题.4分）已知非空集合A.B 满足以下两个条件（i ）A∪B={1.2.3.4.5.6}.A∩B=∅；（ii ）若x∈A .则x+1∈B ．则有序集合对（A.B ）的个数为（ ）A.12B.13C.14D.15【正确答案】：A【解析】：对集合A 的元素个数分类讨论.利用条件即可得出．【解答】：解：由题意分类讨论可得：若A={1}.则B={2.3.4.5.6}；若A={2}.则B={1.3.4.5.6}；若A={3}.则B={1.2.4.5.6}；若A={4}.则B={1.2.3.5.6}；若A={5}.则B={2.3.4.1.6}；若A={6}.则B={2.3.4.5.1}.舍去．若A={1.3}.则B={2.4.5.6}；若A={1.4}.则B={2.3.5.6}；若A={1.5}.则B={2.3.4.6}；若A={2.4}.则B={1.3.5.6}；若A={2.5}.则B={1.3.4.6}；若A={3.5}.则B={1.2.4.6}；若A={1.3.5}.则B={2.4.6}．综上可得：有序集合对（A.B ）的个数为12．故选：A ．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.5分）集合{0.1}的子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：集合{0.1}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合.包括空集．【解答】：解：集合{0.1}的子集有：∅.{0}.{1}.{0.1}共4个．故答案为：4．【点评】：本题考查集合的子集个数问题.对于集合M的子集问题一般来说.若M中有n个元素.则集合M的子集共有2n个.此题是基础题．12.（填空题.5分）已知集合A={x|y= √m−x }.B=（2-m.+∞）．若A∪B=R.且A∩B=∅.则m=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先求出A.根据条件得到B=C R A即可求解结论．【解答】：解：∵集合A={x|y= √m−x }=（-∞.m].B=（2-m.+∞）．又∵A∪B=R.且A∩B=∅.∴B=C R A=（m.+∞）.∴m=2-m⇒m=1.故答案为：1．【点评】：本题考查了交集及其运算.是基础题．13.（填空题.5分）若集合{x∈N*|x2+mx＜0}恰有3个元素.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{m|-4≤m＜-3}【解析】：分情况解二次不等式.结合已知条件即可求解结论．【解答】：解：当m＞0时.x2+mx＜0⇒-m＜x＜0.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.此时没有正根.故舍去.当m＜0时.x2+mx＜0⇒0＜x＜-m.∵{x∈N*|x2+mx＜0}恰有三个元素.∴3＜-m≤4⇒-4≤m＜-3. 当m=0时.x2+mx＜0⇒x不存在.综上可得：实数m的取值范围为：{m|-4≤m＜-3}．【点评】：本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用.属于中档题目．14.（填空题.5分）已知集合A={x|x2-2x+a≥0}.B={x|x2-2x+a+1＜0}.若A∪B=R.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：求出集合A.B.由A∪B=R.能求出实数a的取值范围．【解答】：解：∵当a＜1时.集合A={x|x2-2x+a≥0}={x|x≤1- √1−a或x≥1+ √1−a }.当a≥1时.集合A的解集为R.当△=4-4（a+1）≤0时.即a≥0时.集合B的解集为∅.当a＜0时.集合B={x|x2-2x+a+1＜0}={x|1- √−a＜x＜1+ √−a }.若A∪B=R.则有1- √1−a≥1- √−a .且 1+ √−a≥1+ √1−a .解得不存在使不等式成立的实数a.故实数a的取值范围是[1.+∞）．故答案为[1.+∞）．【点评】：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题.两个集合的并集的定义.属于基础题．15.（填空题.5分）已知a＞0.b＞0.a+b＞2.有下列4个结论：① ab＞1. ② a2+b2＞2. ③ 1a和1 b 中至少有一个数小于1. ④ 1+ab和1+ba中至少有一个小于2.其中.全部正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：取特殊值法可判断① ；利用基本不等式可判断② ；利用反证法.推出a+b≤2.与已知a+b＞2矛盾.从而可判断③ ④ ；．【解答】：解：已知a＞0.b＞0.a+b＞2.取a=2.b= 18 .则ab= 14＜1.故① 错误；a2+b2=（a+b）2-2ab≥（a+b）2-2 (a+b2)2= (a+b)22＞2.故② 正确；假设1a 和1b都不小于1.则1a≥1. 1b≥1.所以0＜a≤1.0＜b≤1.所以0＜a+b≤2.与a+b＞2矛盾.所以假设不成立.所以1a 和1b中至少有一个数小于1.故③ 正确；假设1+ab . 1+ba都不小于2.则1+ab≥2. 1+ba≥2.∵a＞0.b＞0.∴1+a≥2b.1+b≥2a.两式相加得：2+a+b≥2（a+b）.解得a+b≤2.这与已知a+b＞2矛盾.故假设不成立.∴ 1+ab . 1+ba中至少有一个小于2.故④ 正确．故正确结论的序号为② ③ ④ ．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用.反证法的应用.考查逻辑推理能力以及计算能力．16.（问答题.14分）求下列关于x的不等式的解集：（1）x2-3x-4≥0；（2）-x2+x-1＜0；（3）x2≤a．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x+1）（x-4）≥0.求出解集即可；（2）不等式化为x2-x+1＞0.利用判别式求出不等式的解集；（3）讨论a的取值.从而求出不等式x2≤a的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-3x-4≥0可化为（x+1）（x-4）≥0.解得x≤-1或x≥4.所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥4}；（2）不等式-x2+x-1＜0可化为x2-x+1＞0.△=（-1）2-4×1×1=-3＜0.所以不等式的解集为R；（3）当a≥0时.解不等式x2≤a.得- √a≤x≤ √a；当a＜0时.不等式x2≤a无解；所以.a≥0时.不等式x2≤a的解集为-x|- √a≤x≤ √a }；a＜0时.不等式x2≤a的解集为∅．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.14分）已知集合A={x|x2-（a+1）x-a＞0}．（1）若1∈A.求实数a的取值范围；（2）若集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将1代入x2-（a+1）x-a＞0.解得即可.（2）集合B={2.3}.且A∩B中恰好只有1个元素.当x=2满足.x=3不满足时.或当x=2不满足.x=3满足时.解不等式组可得．【解答】：解：（1）1∈A .将1代入x 2-（a+1）x-a ＞0得1-（a+1）-a ＞0.解得a ＜0. 即a 的范围为（-∞.0）（2）集合B={2.3}.且A∩B 中恰好只有1个元素. 则说明x 2-（a+1）x-a ＞0有1个元素是2或3. 则当x=2满足.x=3不满足时.∴ {22−2(a +1)−a ＞032−3(a +1)−a ≤0 .即 {a ≥32a ＜23.此时解集为∅. 则当x=2不满足.x=3满足时.∴ {22−2(a +1)−a ≤032−3(a +1)−a ＞0 .解得 23 ≤a ＜ 32 . 综上所述a 的取值范围为[ 23 . 32 ）．【点评】：本题考查了元素和集合的关系.属于基础题． 18.（问答题.14分）已知x+y=1.x.y∈R +． （1）求x 2+y 2+xy 的最小值； （2）求 √x +√y 的最大值； （3）求x （1-3y ）的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy.然后利用基本不等式即可求解； （2）（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy .然后利用基本不等式即可求解； （3）由x （1-3y ）=（1-y ）（1-3y ）=3y 2-4y+1.然后结合二次函数的性质可求解．【解答】：解：（1）x 2+y 2+xy=（x+y ）2-xy=1-xy≥1-（ x+y 2 ）2= 34.当且仅当x=y= 12 时.取得最小值 34 ；（2）因为x+y=1.x.y∈R +.所以（ √x + √y ）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy ≤1+x+y=2.当且仅当x=y 时取等号.此时取得最大值2；（3）∵x.y∈R+.x+y=1.∴x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1.结合二次函数的性质可知.当y= 23时取得最小值- 13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用.属于基础题．19.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.函数y=x2+mx+n的图象经过点（1.0）.且对于任意的x∈R.总有y≥0．（1）求m.n的值；（2）若直线y=kx+2与函数y=x2+mx+n的图象交于不同的两点A（x1.y1）.B（x2.y2）.且x13+x23=14.求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知函数过定点可得一个关于m.n的等式.再利用二次函数恒成立问题可再建立一个关于m.n的关系式.两式结合即可求解.（2）联立直线方程和二次函数方程可得一个关于x的二次方程.而x1.x2为该方程的根.则可由根与系数的关系得x1.x2的和与积.再利用立方和公式展开x 13+x23 .进而可以求解．【解答】：解：（1）由已知函数过点（1.0）可得：m+n+1=0… ① .又对任意x∈R.总有y≥0.则△=m2-4n≤0… ② .由① 得n=-1-m.代入② 得：m2+4m+4≤0.即（m+2）2≤0.所以m+2=0.则m=-2.n=1.故m.n的值分别为-2.1；（2）由（1）可得y=x2-2x+1.与y=kx+2联立方程可得：x2-（k+2）x-1=0.则方程的根为x1.x2.由根与系数的关系可得：{x1+x2=k+2 x1x2=−1 .所以x 13+x23 =（x1+x2）（x 12 -x1x2+x 22）=（k+2）[（x1+x2）2-3x1x2] =（k+2）[（k+2）2+3]=14.令k+2=t.则t3+3t-14=0.即t3-8+3t-6=（t-2）（t2+2t+4）+3（t-2）=（t-2）（t2+2t+7）=0.显然t-2=0.即t=2.所以k+2=2.即k=0.故实数k的值为0．【点评】：本题考查了二次函数的性质.涉及到恒成立问题以及立方和公式和高次方程求解等问题.考查了学生的运算转化能力.属于中档题．20.（问答题.14分）已知集合A.B为非空数集.定义A-B={x∈A且x∉B}．（1）已知集合A=（-1.1）.B=（0.2）.求A-B.B-A；（直接写出结果即可）（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}.Q=[1.2].若Q-P=∅.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解A-B.B-A；（2）由Q-P=∅.结合定义A-B={x∈A且x∉B}．即可求解实数a的取值范围．【解答】：解：（1）由定义A-B={x∈A且x∉B}．集合A=（-1.1）.B=（0.2）.∴A-B=（-1.0].B-A=[1.2）．（2）已知集合P={x|x2-ax-2a2≥0}={x|（x-2a）（x+a）≥0}.Q=[1.2].由Q-P=∅.可得Q⊆P.当a=0时.P=R.满足Q⊆P；当a＜0时.P={x|x≤2a或x≥-a}.由Q⊆P.可得{a＜0−a≤1.解得-1≤a＜0.当a＞0时.P={x|x≤-a或x≥2a}.由Q⊆P.可得{a＞02a≤1.解得0＜a≤ 12.综上可得.实数a的取值范围[-1. 12]．【点评】：本题考查对新定义的理解和应用.是基础题.解题时要认真审题．21.（问答题.15分）已知x.y∈（-1.1）．定义x*y= x+y1+xy．（1）求0* 13及12* 13的值；（2）求证：∀x.y∈（-1.1）.x*y∈（-1.1）；（3）若{x1.x2.x3.x4.x5.x6}= {−57，−16，−14，12，13，14} .求x1*x2*x3*x4*x5*x6的所有可能值构成的集合．【正确答案】：【解析】：（1）直接由新定义可求解；（2）等价转化为-1＜x+y1+xy＜1求证；（3）先判断x*y满足交换律和结合律.得到所要求解的式子结果唯一.再利用定义求解．【解答】：解：（1）0* 13 = 0+131+0•13=13. 12∗13=12+131+12•13=57；（2）证明：∵-1＜x＜1.-1＜y＜1.∴-1＜xy＜1.x-1＜0.y-1＜0.∴1+xy＞0.（x-1）（y-1）＞0.∴xy-（x+y）+1＞0.∴1+xy＞x+y.∴ x+y1+xy＜1．同理：（x+1）（y+1）＞0.即xy+（x+y）+1＞0.∴（x+y）＞-（1+xy）.∴ x+y1+xy＞−1 .∴ −1＜x+y1+xy＜1 .∵ x∗y=x+y1+xy.∴∀x.y∈（-1.1）.都有x*y∈（-1.1）成立．（3）由已知可得x*y=y*x.满足交换律．∵（x*y）*z= x+y1+xy ∗z =x+y1+xy+z1+x+y1+xy×z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.x*（y*z）=x* y+z1+yz =x+y+z1+yz1+x×y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz.∴（x*y）*z=x*（y*z）.满足结合律．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6有唯一值．∴x1*x2*x3*x4*x5*x6= (−57)∗(−16)∗(−14)∗12∗13∗14=(−57)+(−16)1+(−57)×(−16)* (−14)+121+(−14)×12*13+141+13×14= (−3747)∗27∗713=(−3747)+271+(−3747)×27∗713=(−1117)∗713=−(1117)+7131+(−1117)×713=−16 ．∴x 1*x 2*x 3*x 4*x 5*x 6的所有可能值构成的集合为{ −16}．【点评】：本题考查对新定义的理解.属于中档题．。
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高一数学10月考试题含解析
【详解】 恰有三个元素，
，
，即 .
故答案为： 。
【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.
14。 已知集合A={x｜x2—2x+a≥0）,B={x｜x2-2x+a+1<0｝，若 ，则实数a的取值范围为______。
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】因为 x, 的否定为 x,
因此命题p： x∈N,x3>1的 p为： x∈N，x3 1,
故选：D
【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本求解能力，属基础题。
2。 已知全集U=｛1,2,3，4，5}。集合A=｛1，2，3｝,B={2，4,5}，则 （ )
A。 {2,4}
B. ｛1，3}
C。 ｛4,5｝
2，3，4,5， , ；
若 ，则 ．
则有序集合对 的个数为
A. 12B。13C。 14D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】
对集合A的元素个数分类讨论,利用条件即可得出．
【详解】解：由题意分类讨论可得:若 ，则 3，4，5， ；若 ，则 3，4，5， ;若 ，则 2,4,5， ；若 ，则 2，3，5， ；若 ，则 3，4,1， ；
即xy的最大值为
故选：B
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力,属基础题。
4. 设 ,则“ "是“ ”的( ）
A。 充分而不必要条件B。 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用定义法判断即可。
【详解】当 时， ,充分性成立；反过来,当 时，则 ，不一定有 ，
北京市2020版高一上学期数学10月月考试卷C卷
北京市2020版高一上学期数学10月月考试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·沧州期末) 已知全集，，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·南宁月考) 已知集合，，那么（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·宝鸡模拟) 如图，已知R是实数集，集合A={x|log （x﹣1）＞0}，B={x| ＜0}，则阴影部分表示的集合是（）A . [0，1]B . [0，1）C . （0，1）D . （0，1]4. （2分） (2018高一上·邢台月考) 下列函数中与具有相同图象的一个函数是（）．A .B .C .D .5. （2分）设f（x）＝2x−3，g（x）＝f（x+2），则g（x）等于（）A . 2x＋1B . 2x－1C . 2x－3D . 2x＋76. （2分）(2017·成都模拟) 设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则 =（）A .B .C .D .7. （2分）在给定的映射：的条件下，象3的原象是（）A . 8B . 2或-2C . 4D . -48. （2分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）是奇函数，且满足f（2﹣x）=f（x）（x∈R），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）A . 7B . 8C . 9D . 109. （2分）设集合A={x|x＞a}，集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}，若B∩（∁RA）≠∅，则实数a的取值范围是（）A . a≤﹣3B . a＞﹣3C . ﹣3＜a＜5D . a≥510. （2分）已知a= ，b= ，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A . a＞c＞bB . b＞c＞aC . a＞b＞cD . c＞b＞a11. （2分） (2016高二下·重庆期末) 设二次函数f（x）=x2﹣x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m﹣1）的值为（）A . 正数B . 负数C . 非负数D . 正数、负数和零都有可能12. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 若关于x的不等式m＜有且仅有两个整数解，则实数m 的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）集合{1，a， }={0，a2 ， a+b}，则a2013+b2014的值为________．14. （1分）(2020·汨罗模拟) 2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如下：2019年1月1日后个人所得税税率表全月应纳税所得额税率（%）不超过3000元的部分3超过3000元至12000元的部分10超过12000元至25000元的部分20超过25000元至35000元的部分25个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元.15. （1分）设α={﹣1，1， }，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________．16. （1分） (2017高一上·长春期中) 若x1 ， x2是方程2x2﹣4x+1=0的两个根，则 =________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一上·黑龙江月考) 已知函数，（1）求其定义域和值域；（2）判断奇偶性；（3）判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期；（4）写出其单调减区间.18. （10分） (2019高一上·松原月考) 求下列函数的定义域（1）（2）19. （10分） (2019高一上·台州期中) 已知集合A＝｛x｜a＜x＜1｝，集合．（1）当a＝－3时，求；（2）若A∩B＝A，求实数的取值范围．20. （10分） (2019高一上·拉萨期中) 已知函数的图象过点（1）求与的值;（2）当时，求的值域.21. （10分） (2017高一上·天津期中) 已知函数 f（x）= （a＞0且a≠1）（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．22. （15分） (2017高二下·杭州期末) 设函数f（x）= ，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．（1）讨论函数y=f（x）•g（x）的奇偶性；（2）当b=0时，判断函数y= 在（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）设h（x）=|af2（x）﹣ |，若h（x）的最大值为2，求a+b的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)
温约为______________ C, ______________
.
【答案】 (1). 5 【解析】
π
(2).
6
由 题 意 ， 得 当 x 5 11 8 时 ， sin( π 8 ) 1 ， 又 因 为 0 π ， 所 以
2
6
2
π 4π 11π ， 即 4π 3π ， π ， 即 y a b sin( π x π ) ， 则
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯
A. 1 盏
B. 3 盏
C. 5 盏
D. 9 盏
【答案】B
【解析】
【详解】设塔顶的 a1 盏灯， 由题意{an}是公比为 2 的等比数列，
3
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∴S7= a1 1 27 =381，
1 2
解得 a1=3．
故选：B．
7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其
求出结果。
3.已知函数 y xa , y logb x 的图像如图所示,则
1
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A. b 1 a
B. b a 1
C. a 1 b
D.
a b 1
【答案】A
【解析】
由图象，得 y logb x 在 (0, ) 上单调递增，即 b 1， y xa 在 [0, ) 上单调递增，且 增加得越来越慢，即 0 a 1，则 b 1 a .故选 A.
5 分，此时成立．综上 C 正确．
对于 D，由于 7 大于 6，故人数不是最少．所以 D 不正确．
故选 C．
点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要
2020-2021北京清华大学附属中学高中必修一数学上期中试题含答案
2020-2021北京清华大学附属中学高中必修一数学上期中试题含答案一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，7．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥8．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z9．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-11．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<12．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞二、填空题13．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 14．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.15．函数()1x f x +=的定义域是______． 16．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．17．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.18．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 19．若4log 3a =，则22a a -+= ． 20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？23．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．24．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）25．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x ty -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）： x （单位：克） 0129…y74319…（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大. 26．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.8．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.9．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.12．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.二、填空题13．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.14．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f （x ）g （x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部 解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃【解析】 【分析】 不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数, 故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2]U (-1,0) 故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2]U (-1,0)U （1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.15．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：[)()1,00,∞-⋃+【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x x=的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．16．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.17．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.18．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.19．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 解析：433【解析】 【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=，∴24223333a -+=+=. 考点：对数的计算20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3 【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时.【解析】 【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =， 又由1t =时，11()42a-=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 23．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【解析】 【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A ∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围 【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立． 此时2a ＋1＞3a －5， 即a ＜6．若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}． （2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ， 所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ． 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用24．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求． 【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩，∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+， 所以x=55时，S 取最大值15000元； ②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+，所以x=70时，S 取最大值15000元； 故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元， 即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大． 【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值； （4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．25．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+，可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象26．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉n（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用。
北京中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析
1 4
三、解答题（本大题共 4 小题，共 45 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 已知全集U R ，集合 A {x R | 2x 1 1} ，集合 B {x R | 1 x 2} ．
（1）求集合 A B 及 (ðU A) B ；
（2）若集合 C {x R | a x 2a, a 0} ，且 C B ，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） A B (1,1] ， ðU A B (1, ) ；
故选：D
8.
设集合 M
x | x
k 3
1 6
,
k
Z
,
N
x | x k 61 3,k
Z
，则（
）
A. M = N
B. M N
C. N M
D. M N
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合 M , N 的表达式，可求出集合 M 是 1 的奇数倍， N 是 1 的整数倍，即可得出 M , N 的关
由 B (1, 2]，所以 A B (1,1] ， ðU A B (1, ) ．
3x y 2 11. 方程组 2x 3y 27 的解集用列举法表示为______________.
【答案】3, 7
【解析】
【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对 a, b 的形式表示
元素）.
3x y 2
x 3
【详解】因为
2
x
3
y
27
，所以
对于 C.原式 x 2 x 3 ，符合题意；
对于 D.原式 x 2 42 x 2 2 ，不符合题意.
故选：C.
4. 若集合 A {x∣x 3}, B x∣x 2n 1, n Z ，则 A B （ ）
2023北京清华附中朝阳学校高一10月月考数学试卷和答案
2023北京清华附中朝阳学校高一10月月考数 学（清华附中朝阳学校 望京学校） 2023年10月一、单选题（只有一个正确答案，每小题4分，共40分）1．已知集合{|21}A x x =-≤<，{}2,1,0,1B =--，则A B = （ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-2．命题“20,10x x x ∃>++>”的否定为（ ）A ．20,10x x x ∀>++≤B ．20,10x x x ∀≤++≤C ．20,10x x x ∃>++≤D ．20,10x x x ∃≤++≤3．已知实数,,a b c ,若a b c >>,则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a b b c ->-B ．2ac b >C ．()()a a c b b c ->-D ．11b c a c>--4．与函数()f x x =表示同一函数的是（ ）A ．()2x f x x= B ．()2f x = C ．()f x =．()f x =5．已知2x >，则12x x +-的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．26．不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设x R ∈，则“05x <<”是“11x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设集合{}{}2*2*1,,45,M x x k k N x x m m m ==+∈==-+∈N N ∣∣，则（ ）A ．M N =B ．M N⊆C ．N M ⊆D ．M N ⋂=∅9．已知正数a ，b 满足26a b +=，则1221a b +++的最小值为（ ）A ．78B ．109C ．910D ．8910．已知(),0,a b ∈+∞，且不等式226a b m m +≤-+对任意[]2,3m ∈的最大值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知集合{}{}2|1213,|30A x x B x x x =-≤-≤=-<，则A B ⋃= ．12．函数1()f x x=+的定义域是 ．13．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204t C t =+，则经过 h 后池水中药品的浓度达到最大.14．已知集合}1{0A =,，{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,,,，则集合B 的子集共有 个．15．已知命题p ：“[]0,2x ∃∈，22x x a -≥”，则p 为真命题的一个必要不充分条件是 ．16．有下列命题：①不等式()()2110x x --<的解集为112x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；②若x ∈R ，函数y =2；③对于x ∀∈R ，22421ax x x +-…恒成立，则实数a 的取值范围是[)6,+∞；④已知p ：132x ……，q ：2110x a x a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭…（0a >），若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是[)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎝⎦. 其中真命题的序号为 ．（把所有正确答案的序号填写在横线上,多选、错选不给分）三、解答题（共6个小题，共80分）17．（本小题满分12分）已知a ，b 为常数，且0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，方程()f x x =有两个相等实根．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当(]12x ∈-，时，求函数()f x 的值域．18．（本小题满分13分）已知集合{|26}A x x =……，{|15}B x x =<<，{|1}C x m x m =<<+，U =R ．(1)求A B ⋃，U ()A B ð；(2)若C B ⊆，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知1x 、2x 是方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)求k 的取值范围；(2)求2212x x +、12x x -.（结果用k 表示）(3)是否存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知函数2() 1.f x ax bx =++．(1)若关于x 的不等式()0f x ≤的解集为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值；(2)若1a =，且[2,1]x ∈--时，()0f x <恒成立，求实数b 的取值范围；(3)若1b a =--且0a >，解关于x 的不等式()0f x >．21．（本小题满分13分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：()2920031600=>++v y v v v ．(1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？22．（本小题满分14分）对非空数集A ，B ，定义{},A B x y x A y B -=-∈∈，记有限集T 的元素个数为T .（1）若{}13,5A =,，{}1,2,4B =，求A A -，B B -，A B -；（2）若4A =，*A ⊆N ，{}1,2,3,4B =，当A B -最大时，求A 中最大元素的最小值；（3）若5A B ==，21A A B B -=-=，求A B -的最小值.参考答案1．B【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因为{}21A x x =-≤<，{}2,1,0,1B =--，所以A B = {}2,1,0--，故选：B2．A【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.【详解】由于特称命题的否定为全称命题，故命题“20,10x x x ∃>++>”的否定为“20, 10x x x ∀>++≤”故选：A ．3．D【分析】由a b c >>不妨取特殊值将选项A,B,C 排除,关于D,由a b c >>,即有0a c b c ->->,取倒数即可证明选项正误.【详解】解:由题知a b c >>,不妨取3,2,1,a b c ===-则有13a b b c -=<-=,234ac b =-<=,故选项A,B 错误;关于选项C,不妨取1,2,3,a b c =-=-=-()()22a a c b b c -=-=-=-,故选项C 错误;关于选项D,,0a b c a c b c >>∴->-> ,110b c a c∴>>--,故选项D 正确.故选:D4．D【分析】根据函数与函数之间的相等的定义，逐个选项进行判断求解即可.【详解】()f x x =的定义域为x ∈R ，对于A ，()2x f x x =的定义域为}{R 0x x ∈≠，定义域不一致，A 错误；对于B ，()2f x =的定义域为}{R 0x x ∈≥，定义域不一致，B 错误；对于C ，()f x x ==，其解析式不一致，C 错误；对于D ，()f x x ==，其定义域和解析式与()f x x =一致，故D 正确；故选：D5．B【分析】根据基本不等式即可求解最值.【详解】由于2x >，故20x ->，所以11222422x x x x +=-++≥=--，当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立，故12x x +-最小值为4，故选：B6．A【分析】根据题意，可得方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且a<0，结合二次方程根与系数的关系得到a 、b 、c 的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】因为20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，所以方程20ax bx c -+=的两根分别为2-和1，且a<0，则()21,21,b a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩变形可得,2,b a c a =-⎧⎨=-⎩故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =-+=+-=+-的图象开口向下，且与x 轴的交点坐标为()1,0和()2,0-，故A 选项的图象符合.故选：A7．B【分析】求出11x -<的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<．故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．8．B【分析】列出集合M 、N ，可判断两者之间的关系.【详解】∵集合{}{}2*1,2,5,10,17,26,∣==+∈= M xx k k N ， (){}{}2*21,1,2,5,10,17,26,∣==-+∈= N x x m m N ，∴M N ⊆.故选：B.9．C【分析】由26a b +=，得到22210a b +++=，再利用“1”的代换求解.【详解】解：因为26a b +=，所以22210a b +++=，所以()1211419222521102221010a b a b a b ⎡⎛⎫+=++++≥+=⎢ ⎪++++⎝⎭⎢⎣，当且仅当()2222b a +=+，即43a =，73b =时，等号成立．故选：C10．C【分析】利用二次函数配方得226m m -+的最小值，再由基本不等式得到关于ab 的范围，将所求平方即可代入求解【详解】由题意不等式226a b m m +≤-+对任意[]2,3m ∈恒成立又()[]2226=156,9m m m -+-+∈∴a +b ≤6则292a b ab +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当3a b == 成立2=226+2+8=16a b a b +++=+++≤4≤故选：C【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，综合考查基本不等式与不等式的解法，恒成立的问题一般与最值有关．11．{}|03x x ≤<【分析】分别解出A B ，集合，由并集运算求解.【详解】{}{}|02,|03A x x B x x =≤≤=<<,则{}|03A B x x ⋃=≤<.故答案为：{}|03x x ≤<.12．()(],00,1-∞⋃【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃13．2【详解】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用14．8【分析】利用集合的定义及子集的定义即可求解.【详解】由题意可知，当0x =时，0y =；0x y A -=∈,当1x =时，0y =或1y =；101x y A -=-=∈或110x y A -=-=∈，所以()()}00,,{(,)101,1B =,，所以集合B 的子集共有328=个.故答案为：8.15．1a <（答案不唯一）【分析】根据已知命题为真求对应参数a 的范围，再结合充分、必要性定义写出一个必要不充分条件.【详解】由02x ≤≤得：2120x x -≤-≤，所以p 为真命题的充要条件是0a ≤，故一个必要不充分条件是1a <．故答案为：1a <（答案不唯一）16.①③④17．(1)()212f x x x =-+；(2)31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据题意得到()210b ∆=-=，()2420f a b =+=，再分别解方程即可得到答案.（2）首先根据题意得到()()211122f x x =--+，再结合单调性求解值域即可.【详解】（1）因为方程()f x x =有两个相等实根，所以()210ax b x +-=，()210b ∆=-=，即1b =.又因为()2420f a b =+=，解得12a =-.所以()212f x x x =-+.（2）因为(]1,2x ∈-，()()()2211111122222f x x x x =-+--+=-+所以 函数()f x 是开口向下的抛物线，对称轴是1x =，所以当1x =时，()f x 取得最大值()max 12f x =；当=1x -时，()312f -=-，所以()f x 的值域是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦.18．(1){|16}A B x x ⋃=<…，U (){|12}A B x x ⋂=<<ð(2)[1,4]【分析】（1）利用集合的交、并、补运算即可求解.（2）利用集合的包含关系列不等式组115m m ⎧⎨+⎩……，解不等式组即可求解.【详解】（1）因为集合{|26}A x x =……，{|15}B x x =<<，所以U {|2A x x =<ð或6}x >，故{|16}A B x x ⋃=<…，U (){|12}A B x x ⋂=<<ð；（2）因为{|1}C x m x m =<<+，且C B ⊆，则115m m ⎧⎨+⎩……，解得14m ……，所以m 的取值范围为[1,4]．19．17．(1){}0k k <(2)221212k x x k -+=，12x x -=(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据题意可得出0∆≤且0k ≠，可求出实数k 的取值范围；（2）根据韦达定理可得出2212x x +、12x x -关于k 的表达式；（3）根据()()12123222x x x x --=-结合韦达定理定理可得出关于k 的等式，求出k 的值，结合0k <可得出结论.【详解】（1）解：因为1x 、2x 是方程24410kx kx k -++=的两个实数根，则()216441160k k k k ∆=-⨯+=-≥，且40k ≠，解得0k <.所以，实数k 的取值范围是{}0k k <.（2）解：因为1x 、2x 是方程24410kx kx k -++=的两个实数根，由韦达定理可得121x x =+，1214k x x k+=，所以，()222121212112122k k x x x x x x k k+-+=+-=-=，12x x -===（3）解：若存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-，即()2212125119322522442k k k x x x x k k k +-++-=⨯-=-=-，解得95k =，不合乎题意，舍去.因此，不存在实数k 的值，使得()()12123222x x x x --=-.20．(1)32b a =-⎧⎨=⎩;(2)5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;(3)当1a =时，不等式()0f x >的解集为{}1x x ≠；当01a <<时，不等式()0f x >的解集为1x x a ⎧>⎨⎩或}1x <；当1a >时，不等式()0f x >的解集为1x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得到01121112a b a a ⎧⎪>⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解之即可得到结果；（2）原题等价于[2,1]x ∈--时，21x b x +>-恒成立，进而求出21x x+在[2,1]x ∈--上的最小值即可得出结果；（3）首先求出方程()()110ax x --=的两根，进而根据两根的大小进行分类讨论即可求出结果.【详解】（1）由题意可得0a >，且12和1是关于x 的方程210ax bx ++=的根，即01121112a b a a ⎧⎪>⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得32b a =-⎧⎨=⎩，（2）由题意可得()2110,0ax a x a +--+>>，即()()110,0ax x a -->>方程()()110ax x --=的两根为1,1x x a==，当11a=时，即1a =，不等式()2110ax a x +--+>的解集为{}1x x ≠，当11a >时，即01a <<，不等式()2110ax a x +--+>的解集为1x x a ⎧>⎨⎩或}1x <，当11a <时，即1a >，不等式()2110ax a x +--+>的解集为1x x a ⎧<⎨⎩或}1x >，综上：当1a =时，不等式()0f x >的解集为{}1x x ≠；当01a <<时，不等式()0f x >的解集为1x x a ⎧>⎨⎩或}1x <；当1a >时，不等式()0f x >的解集为1x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.21．(1)当40km /h v =时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；(2)大于25km /h 且小于64km /h ．【分析】（1）根据基本不等式即可求得y 的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出v 的范围．【详解】（1）依题意，由于0v >,所以2920920920160031600833v y v v v v ==≤++++当且仅当1600v v =，即40v =时，上式等号成立，∴max 92083y =（千辆/时）．当40km/h v =时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；（2）由条件得29201031600v v v >++,整理得28916000v v -+<，即()()25640v v --<，解得2564v <<，所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h 且小于64km/h ．22．（1）5,7,7A A B B A B -=-=-=；（2）13；（3）15【解析】（1）根据新定义求出,,A A B B A B ---，进而可得答案；（2）设{},,,A a b c d N *=⊆，a b c d <<<，当A 中元素与B 中元素的差均不相同时，A B -可取到最大值，进而可求出最大值，再通过4,4,4b a c b d c -≥-≥-≥得到12d a -≥，可得A 中最大元素的最小值；（3）对非空数集T ，定义运算{}|,,T x y x y T x y *=-∈≠，首先确定A 中不同的元素的差均不相同，B 中不同的元素的差均不相同，由12A B A B A B **-≥- 可得A B -的最小值，然后验证最小值可以取到即可.【详解】解：（1）{}13,5A = ,，{}1,2,4B =，{}{}{}4,2,0,2,4,3,2,1,0,1,2,3,3,1,0,1,2,3,4A A B B A B ∴-=---=----=--，5,7,7A A B B A B ∴-=-=-=;（2）设{},,,A a b c d N *=⊆，a b c d <<<，①4A B == ，2416A B ∴-≤=，当A 中元素与B 中元素的差均不相同时等号成立，所以A B -最大值为16；②当16A B -=时，A 中元素与B 中元素的差均不相同，()(){}0A A B B ∴--= ，又因为{}3,2,1,0,1,2,3B B -=---，4,4,4b a c b d c ∴-≥-≥-≥，12d a ∴-≥，则13d ≥，综上，A B -最大值为16，A 中最大元素的最小值为13；（3）对非空数集T ，定义运算{}|,,T x y x y T x y *=-∈≠，①5A =,()551121A A ∴-≤⨯-+=，当且仅当()55120A *=⨯-=时取等号，又因为21A A -=，所以A 中不同的元素的差均不相同，同理，B 中不同的元素的差均不相同，若,,,a a A b b B''∈∈因为a b a b a a b b a a b b ''''''-=-⇔-=-⇔-=-，1155201522A B A B A B **∴-≥-≥⨯-⨯= ，②令{}1,2,4,8,16A =，{}1,2,4,8,16B =-----，所以5A B ==，A 中不同元素的差均不相同，B 中不同元素的差均不相同，所以21A A B B -=-=，经检验，15A B -=符合题意，综上A B -的最小值为15.【点睛】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力，是一道难度较大的题目.。
2020-2021学年北京市清华大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷含答案
2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜07．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为．12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有.（填上正确选项序号即可）三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．2020-2021学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知α为第三象限角，则π﹣α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】由α的范围求出π﹣α的范围，进而看可确定π﹣α的范围．【解答】解：因为×3，k∈Z，所以﹣＜π﹣α＜﹣2kπ，k∈Z，所以π﹣α为第四象限．故选：D．2．（4分）已知集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，则a的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据题意可得a＞2，即可判断正确的选项．【解答】解：∵集合{x|x≥a}与{1，2}的交集为∅，∴a＞2，∴a的值可以为3．故选：D．3．（4分）已知a＞b＞c，a，b，c∈R，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．c﹣a＜c﹣bC．a﹣b＞a﹣c D．c（b﹣a）＜a（b﹣c）【答案】B【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：由a＞b＞c，当c＝0时，故A不成立；∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故B成立；∵b＞c，∴﹣b＜﹣c，∴a﹣b＜a﹣c，故C不成立；例如a＝1，b＝0，c＝﹣1，则c（b﹣a）＝1，a（b﹣c）＝1，故D不成立．故选：B．4．（4分）已知点P（3，﹣4）是角α终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．【解答】解：因为点P（3，﹣4）是角α终边上一点，所以sinα＝＝﹣，cosα＝＝，所以＝cosαcos﹣sinαsin＝（cosα﹣sinα）＝（+）＝．故选：B．5．（4分）“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出sinα＝，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：sinα＝等价于或，所以“α＝2kπ+，k∈Z”是“sinα＝”的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）若0.3x＞0.3y＞1，则（）A．x＞y＞0B．y＞x＞0C．x＜y＜0D．y＜x＜0【答案】C【分析】结合指数函数为y＝0.3x的单调性即可比较x，y的大小．【解答】解：因为y＝0.3x在R上单调递减，且0.3x＞0.3y＞0.30，所以x＜y＜0．故选：C．7．（4分）函数的图像关于直线x＝t对称，则t的值可以为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦函数的对称性可令2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t，再通过k的取值可得结论．【解答】解：由正弦函数的对称性可得2t﹣＝kπ+，k∈Z，解得t＝+，k∈Z，当k＝0时，t＝，故选：B．8．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，4]C．（0，4]D．[2，+∞）【答案】B【分析】先求函数的对称轴，然后结合函数取得最大于最小值的位置即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣4x的开口向上，对称轴x＝2，且f（0）＝f（4）＝0，f（2）＝﹣4，∵函数f（x）在[0，m]内的值域为[﹣4，0]，则实数2≤m≤4故选：B．9．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【答案】C【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x＝0时，e b＝192，当x＝22时e22k+b＝48，∴e22k＝＝e11k＝e b＝192当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3•（e b）＝（）3×192＝24故选：C．10．（4分）已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在[﹣2，0）∪（0，2]上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1]C．（﹣2，1）D．（﹣1，2]【答案】A【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇函数的性质，转化为x∈（0，2]时有两解，结合函数图像即可得解．【解答】解：由F（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，根据对称性可得x∈（0，2]时有两个零点即可，令F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝0，可得f（x）＝f（﹣x），若x∈（0，2]则﹣x∈[﹣2，0），即有两解，结合对称性可得：如图所示可得：，所以0＜a＜2．故选：A．二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝cos（2x﹣）最小正周期为π．【答案】见试卷解答内容【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期T＝，故答案为：π12．（5分）已知函数f（x）＝a sin x+bx+1，若f（﹣1）＝2，则f（1）＝0．【答案】0．【分析】首先计算f（x）+f（﹣x）的和为常数，再由已知条件可得所求值．【解答】解：函数f（x）＝a sin x+bx+1，则f（﹣x）+f（x）＝a sin（﹣x）+b（﹣x）+1+a sin x+bx+1＝（﹣a sin x+a sin x）+（﹣bx+bx）+2＝2，所以f（1）+f（﹣1）＝f（1）+2＝2，解得f（1）＝0．故答案为：0．13．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）在上单调递增，则实数m的最大值为．【答案】．【分析】由正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间，再由集合的包含关系，解不等式可得所求最大值．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+），可令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，由题意可得[﹣，m]⊆[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即有kπ﹣≤﹣且m≤kπ+，k∈Z，即k≤，可得k＝0时，m取得最大值，故答案为：．14．（5分）某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用m（1≤m≤4，m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m•f（x），其中f（x）＝．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则m的最小值为．【答案】；【分析】（1）由题意可得m＝3，则可得y＝3f（x）的解析式，求解3f（x）≥2，即可得答案．（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用m个单位药剂后，接下来2个小时能㫃持续有效的不等式，利用恒成立求得m的范围，即可得答案．【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则m＝3，所以当0≤x＜6时，，当6≤x≤8时，令，解得，当6≤x≤8时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达小时．（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则m＝2，所以，此时，所以治疗时间末端为第6小时结束，因为在治疗时间末端再服用m个单位药剂，所以6≤x≤8，所以，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，所以对于任意x∈[6，8]恒成立，设，为开口向上，对称轴为x＝4的抛物线，所以g（x）在[6，8]上单调递增，所以，故，所以m的最小值为．15．（5分）如果函数f（x）的图像可以通过g（x）的图像平移得到，称函数f（x）为函数g（x）的“同形函数”．在①y＝cos2x；②y＝2sin x cos x；③y＝sin4x﹣cos4x；④y＝sin2x•tan x中，为函数y＝cos2x的“同形函数”的有②③.（填上正确选项序号即可）【答案】②③．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据三角函数图像和图像的变换即可求解．【解答】解：①y＝cos2x＝cos2x+，其可由y＝cos2x先纵坐标缩小一半，再向上平移得到，二者不是同形函数，故①错误；②y＝2sin x cos x＝sin2x＝cos（2x﹣），可由y＝cos2x向右平移个单位得到，故②正确；③y＝sin4x﹣cos4x＝（sin2x2）（sin2x﹣cos2x）＝sin2x+cos2x＝﹣cos2x＝cos（2x+π），可由y＝cos2x向左平移个单位得到，故③正确；④y＝sin2x•tan x＝2sin x cos x•＝2sin2x＝1﹣cos2x＝cos（2x+π）+1，因为y＝sin2x•tan x的定义域不是R，而cos2x的定义域是R，所以不可能平移得到．故④错误；综上所述，②③正确．故答案为：②③．三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）16．（14分）（Ⅰ）计算求值：（1）log93＝；（2）＝﹣；（Ⅱ）解关于x的不等式：（1）x2﹣3x﹣4≤0；（2）x2≥ax（a∈R）．【答案】（Ⅰ）（1）；（2）﹣；（Ⅱ）（1）[﹣1，4]；（2）当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．【分析】（Ⅰ）（1）根据对数定义计算即可；（2）根据诱导公式计算即可；（∐）（1）根据一元二次不等式运算即可；（2）根据一元二次不等式解法对a进行讨论运算即可．【解答】解：（Ⅰ）（1）log93＝；（2）＝﹣cos＝﹣；（Ⅱ）（1）一元二次方程x2﹣3x﹣4的解为﹣1，4，结合二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图像可得一元二次不等式x2﹣3x﹣4≤0的解集为[﹣1，4]；（2）关于x的不等式x2≥ax即为x（x﹣a）≥0，当a＝0时，原不等式解集为R；a＞0时，原不等式解集为（﹣∞，0]∪[a，+∞）；当a＜0时，原不等式解集为（﹣∞，a∪[0，+∞）．17．（14分）已知α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为α为第二象限角，且sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，所以＝＝＝﹣．（Ⅱ）因为α为第二象限角，所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z，是第一或第三象限角，所以＝﹣＝＝＝＝＝1．18．（14分）已知函数f（x）＝log a（x+a），a＞0且a≠1．（Ⅰ）若f（2）＝2，求a的值．（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．【答案】（I）a＝2；（II）a＝或a＝．【分析】（I）由已知f（2）＝2（II）结合对数函数的单调性对a进行分类讨论，结合对数的运算性质可求．【解答】解：（I）因为f（2）＝log a（2+a）＝2，所以a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或a＝﹣1（舍），（II）当a＞1时，f（x）在[1，3]上单调递增，由题意得，，解得，a＝，当0＜a＜1时，f（x）在[1，3]上单调递减，由题意得，，解得，a＝，综上，a＝或a＝．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值及最小值．【答案】（Ⅰ）2．（Ⅱ）最大值为2+，最小值为0．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行转化求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝4（sin x+cos x）cos x＝2sin x cos x+2cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，则＝2sin（2×+）+＝2sin+＝2×＝2．（Ⅱ）当x∈时，2x∈[0，π]，2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[sin，sin]，即sin（2x+）∈[﹣，1]，则2sin（2x+）∈[﹣，2]，2sin（2x+）+∈[0，2+]，即f（x）的最大值为2+，最小值为0．20．（14分）已知函数，a，b∈R，且该函数的图像经过点（﹣1，0），．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）已知直线y＝kx+m（k≠1）与x轴交于点T，且与函数f（x）的图像只有一个公共点．求|OT|的最大值．（其中O为坐标原点）【答案】（I）a＝1，b＝﹣1；（II）1．【分析】（1）把已知点的坐标直接代入即可求解a，b；（II），由题意可得相应方程只有一个解，然后结合二次方程根的存在条件可得m，k的关系，再结合二次函数的性质可求．【解答】解：（I）由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1；（II）由题意得，T（﹣，0），k≠0，由x﹣＝kx+m只有一个解，即（k﹣1）x2+mx+1＝0只有一个解，因为k≠1，所以Δ＝m2﹣4（k﹣1）＝0，所以|OT|2＝＝＝﹣4（）＝﹣4[（）2﹣，根据二次函数的性质得，当k＝2时，上式取得最大值1，此时|OT|取得最大值1．21．（15分）已知n为不小于3的正整数，记Ωn＝{（x1，x2，⋯，x n）|0≤x1≤x2≤⋯≤x n≤1}，对于Ωn中的两个元素X＝（x1，x2，⋯，x n），Y＝（y1，y2，⋯，y n），定义d（X，Y）为|x1﹣y1|，|x2﹣y2|，…，|x n﹣y n|中的最小值．（Ⅰ）当n＝3时，，，，求d（X，Y）+d（Y，Z）的值；（Ⅱ）若，为Ω3中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合．（Ⅲ）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，求L的最小值．【答案】（I）；（II）；（III）．【分析】（I）（II）根据定义和条件得到不等式组，求解即得；（III）先找一特例，使得，然后证明不可能更大即可．【解答】解：（I），，；（II）若，∴，或，解得或，即实数b的所有可能取值构成的集合；（III）若，且对于任意的X∈Ωn，均有d（A，X）≤L，当时，，所以．若存在X＝{x1，x2，…，x n}∈Ωn，使得，则，∴，∴，∴，矛盾．所以L的最小值．。
2021学年北京市高一(上)10月月考数学试卷(有答案)
2021学年北京市高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合A ＝{1, 2, 4, 6}，B ＝{2, 3, 5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）A.{2}B.{3, 5}C.{1, 4, 6}D.{3, 5, 7, 8}2. 下列函数中与函数y =x 表示同一函数的是( )A.y =(√x)2B.y =√x 2C.y =√x 33D.y =x 2x3. 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）A.y =2xB.y ＝x 3C.y ＝−x 2D.y =√x4. 设集合A ={x|0≤x ≤6}，B ={y|0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( )A.f:x →y =12xB.f:x →y =13xC.f:x →y =14xD.f:x →y =16x5. 函数y =|x|x +x 的图象是( )A. B.C.D.6. 已知函数f(x)=[x +32]（取整函数），g(x)={1,x ∈Q 0,x ∉Q，则f （g(π)）的值为（ ） A.1B.0C.2D.π7. 已知函数f(x)＝−x 2+6x +a 2−1，那么下列式子中正确的是（ ）A.f(√2)<f(3)<f(4)B.f(3)<f(√2)<f(4)C.f(√2)<f(4)<f(3)D.f(3)<f(4)<f(√2)8. 将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（ ）A.115元B.105元C.95元D.85元9. 已知函数f(x)＝kx +1在区间(−1, 1)上存在零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.−1<k <1B.k >1C.k <−1D.k <−1或k >110. 函数f(x)＝−|x −1|，g(x)＝x 2−2x ，定义F(x)={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)<g(x)， 则F(x)满足( )A.既有最大值，又有最小值B.只有最小值，没有最大值C.只有最大值，没有最小值D.既无最大值，也无最小值二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.函数f(x)=x 2x 2+1的定义域为{0, 1}，则值域为________．若{(x,y)|{x +y −2=0x −2y +4=0}⊆{(x,y)|y =3x +c}，则c ＝________．已知偶函数f(x)在[0, +∞)上是单调函数，且图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点，f(x)<1的解集为________．函数f(x)＝x 2−2bx +3在x ∈[−1, 2]时有最小值1，则实数b ＝________−32或√2 ．已知函数y ＝f(x)是定义在[a, b]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0<b <−a ．设函数F(x)＝[f(x)]2−[f(−x)]2，且F(x)不恒等于0，则对于F(x)有如下说法：①定义域为[−b, b]②是奇函数③最小值为0④在定义域内单调递增其中正确说法的序号是________．三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知集合A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，若A∩B＝{−3}，求实数a的值及A∪B．设全集是实数集R，A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|x2−a<0}．(1)当a=4时，求A∩B和A∪B；(2)若B⊆∁R A，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=√x−1（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断函数f(x)在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．已知函数f(x)＝x⋅|x|−2x．（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；（2）求函数f(x)的零点；（3）画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出方程f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围；（4）写出函数f(x)的单调区间．如果函数f(x)满足：在定义域D内存在x0，使得对于给定常数t，有f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)成立，则称f(x)为其定义域上的t级分配函数．研究下列问题：是否为1级分配函数？说明理由；（1）判断函数f(x)＝2x和g(x)=2x(a>0)能否成为2级分配函数，若能，则求出参数a的取值（2）问函数φ(x)＝）√ax+1范围；若不能请说明理由；(a>0)都是其（3）讨论是否存在实数a，使得对任意常数t(t∈R)函数φ(x)=√ax2+1定义域上的t级分配函数，若存在，求出参数a的取值范围，若不能请说明理由．参考答案与试题解析2021学年北京市高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，根据已知的A、B，分析可得答案．【解答】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，即阴影部分表示(∁U A)∩B，又有A＝{1, 2, 4, 6}，B＝{2, 3, 5}，则(∁U A)∩B＝{3, 5}，2.【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．【解答】3=x，与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样，解：∵y=√x3∴二者是同一函数．故选C．3.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】满足定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，在由f(x)与f(−x)的关系判定．【解答】对于A、B，满足定义域关于原点对称，f(−x)＝−f(x)是奇函数，排除A、B；对于C，满足定义域关于原点对称，f(−x)＝f(x)是偶函数，排除C；对于D，定义域不关于原点对称既不是奇函数，也不是偶函数，符合题意；f4.【答案】A【考点】映射【解析】通过举反例，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B中没有元素与之对应，故选项A不是映射，从而选出答案．【解答】解：A不是映射，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合中没有元素与之对应，故不满足映射的定义．B，C，D是映射，因为按照对应法则f，集合A中的每一个元素，在后一个集合B中都有唯一的一个元素与之对应，故B，C，D满足映射的定义.故选A．5.【答案】D【考点】函数的图象【解析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．【解答】解：函数y=|x|x+x可化为：当x>0时，y=1+x；它的图象是一条过点(0, 1)的射线；当x<0时，y=−1+x．它的图象是一条过点(0, −1)的射线；对照选项，故选D．6.【答案】A【考点】函数的求值求函数的值【解析】先求出g(π)＝0，从而f（g(π)）＝f(0)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)=[x+32]（取整函数），g(x)={1,x∈Q0,x∉Q，∴g(π)＝0，f（g(π)）＝f(0)＝[32]＝1．7.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】f(x)＝−x2+6x+a2−1＝−(x−3)2+a2−10，对称轴为x＝3，开口向下，即可得出结论．【解答】f(x)＝−x2+6x+a2−1＝−(x−3)2+a2−10，对称轴为x＝3，开口向下，∴f(√2)<f(4)<f(3)，8.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据题意，设售价定为(90+x)元，由利润函数＝（售价-进价）×销售量可得关于x的函数方程，由二次函数的性质可得答案．【解答】设售价定为(90+x)元，卖出商品后获得利润为：y＝(90+x−80)(400−20x)＝20(10+x)(20−x)＝20(−x2+10x+200)；∴当x＝5时，y取得最大值；即售价应定为：90+5＝95（元）；9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】讨论k是否为0，根据零点的存在性定理列不等式解出．【解答】当k≠0时，f(x)为单调函数，∵f(x)＝kx+1在区间(−1, 1)上存在零点，∴f(−1)f(1)<0，即(−k+1)(k+1)<0，解得k<−1或k>1．故选：D．10.【答案】B【考点】分段函数的应用函数最值的应用【解析】作出f(x)和g(x)的函数图象即可得出F(x)的函数图象，根据图象判断最值．【解答】解：由题意，作出f(x)与g(x)的函数图象如图所示：∵F(x)={f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)<g(x)，∴F(x)的函数图象如下：由图象可知，F(x)只有最小值，没有最大值．故选B.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 【答案】{0, 1 2 }【考点】函数的值域及其求法【解析】根据x的取值，求出对应的f(0)，f(1)的值即可．【解答】f(x)=x2x2+1=1−1x2+1，若f(x)的定义域为{0, 1}，x＝0时，f(0)＝0，x＝1时，f(1)=12，故函数的值域是{0, 12}，故答案为：{0, 12}．【答案】2【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由题意，方程组的解为(0, 2)，代入y＝3x+c，可得c的值．【解答】由题意，方程组的解为(0, 2)，代入y＝3x+c，可得c＝2．【答案】(−3, 3)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数f(x)的图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点可知f(0)＝−1，f(3)＝1，根据函数f(x)为偶函数则f(−3)＝f(3)＝1，函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数，然后讨论x的正负，根据函数单调性解不等式即可．【解答】∵函数f(x)的图象经过A(0, −1)，B(3, 1)两点∴f(0)＝−1，f(3)＝1设x≥0，则f(x)<1＝f(3)∵函数f(x)在[0, +∞)上是增函数∴0≤x<3∵函数f(x)为偶函数∴f(−3)＝f(3)＝1，函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数设x<0，则f(x)<1＝f(−3)∴−3<x<0综上所述：f(x)<1的解集为(−3, 3)；【答案】√2−3 2【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】讨论f(x)的对称轴与区间[−1, 2]的关系，判断f(x)的单调性，根据最小值为1列方程计算b．【解答】f(x)的对称轴为x＝b，（1）若b≤−1，则f(x)在[−1, 2]上单调递增，∴f min(x)＝f(−1)＝1，即4+2b＝1，∴b=−32．（2）若b>2，则f(x)在[−1, 2]上单调递减，∴f min(x)＝f(2)＝1，即7−4b＝1，∴b=32（舍）．（3）若−1<b<2，在f(x)在[−1, 2]上先减后增，∴f min(x)＝f(b)＝1，即−b2+3＝1，解得b=√2或b=−√2（舍）．综上，b=−3或b=√2．2．故答案为：√2−32【答案】①②【考点】函数单调性的性质与判断【解析】对于①，根据F(x)的解析式以及f(x)的定义域，可得a≤x≤b，a≤−x≤b，又由0<b<−a，可得F(x)定义域，可得①正确；对于②，先求出F(−x)，可得F(−x)＝−F(x)，再结合F(x)的其定义域，可得F(x)为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f(x)>1时，可得F(x)的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F(x)是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案．【解答】根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F(x)＝f2(x)−f2(−x)，有a≤x≤b，a≤−x≤b，而又由0<b<−a，则F(x)＝f2(x)−f2(−x)中，x的取值范围是−b≤x≤b，即其定义域是[−b, b]，则①正确；对于②，F(−x)＝f2(−x)−f2(x)＝−F(x)，且其定义域为[−b, b]，关于原点对称，则F(x)为奇函数，②正确；无最小值，对于③，由y＝f(x)无零点，假设f(x)＝2x，F(x)＝22x−2−2x＝22x−122x故③错误；对于④，由于F(x)是奇函数，则F(x)在[−b, 0]上与[0, b]上的单调性相同，故F(x)在其定义域内不一定单调递增，④错误；三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】∵A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，且A∩B＝{−3}，B中a2+1≥1，∴a−3＝−3或2a−1＝−3，解得：a＝0或a＝−1，①当a＝0时，A＝{0, 1, −3}，B＝{−3, −1, 1}，不满足题意舍去；②当a＝−1时，A＝{1, 0, −3}，B＝{−4, −3, 2}，满足题意，综上所述：实数a的值为−1，A∪B＝{−4, −3, 0, 1, 2}．【考点】并集及其运算交集及其运算【解析】由A，B，以及A与B的交集确定出a的值，进而求出A与B的并集即可．【解答】∵A＝{a2, a+1, −3}，B＝{−3+a, 2a−1, a2+1}，且A∩B＝{−3}，B中a2+1≥1，∴a−3＝−3或2a−1＝−3，解得：a＝0或a＝−1，①当a＝0时，A＝{0, 1, −3}，B＝{−3, −1, 1}，不满足题意舍去；②当a＝−1时，A＝{1, 0, −3}，B＝{−4, −3, 2}，满足题意，综上所述：实数a的值为−1，A∪B＝{−4, −3, 0, 1, 2}．【答案】解：(1)根据题意，由于A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|x2−a<0}．当a=4时，B=(−2, 2)，而A=[1, 3]，所以A∩B=[1, 2), A∪B=(−2, 3]．(2)∵B⊆∁R A，若B=⌀，则a≤0，若B≠⌀，则B=(−√a,√a)⊆∁R A=(−∞, 1)∪(3, +∞)，∴√a≤1，∴0<a≤1，综上，a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题补集及其运算交集及其运算并集及其运算【解析】(1)先化简集合A，B，然后利用集合的运算求A∩B和A∪B．(2)利用B⊆∁R A，求实数a的取值范围．【解答】解：(1)根据题意，由于A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|x2−a<0}．当a=4时，B=(−2, 2)，而A=[1, 3]，所以A∩B=[1, 2), A∪B=(−2, 3]．(2)∵B⊆∁R A，若B=⌀，则a≤0，若B≠⌀，则B=(−√a,√a)⊆∁R A=(−∞, 1)∪(3, +∞)，∴√a≤1，∴0<a≤1，综上，a≤1．【答案】要使函数f(x)=√x−1有意义，需使x≥1，所以函数f(x)=√x−1的定义域为[1, +∞)；函数f(x)=√x−1在定义域[1, +∞)上为增函数，证明：任取x1，x2∈[1, +∞)，且△x＝x2−x1>0，则△y=f(x2)−f(x1)=√x2−1−√x1−1=(√x−1−√x−1)(√x−1+√x−1)x2−1+x1−1=√x2−1+√x1−1=21x−1+x−1；因为x2−x1>0且√x2−1+√x1−1>0，所以△y＝f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)在[1, +∞)上是增函数．【考点】函数单调性的性质与判断函数的定义域及其求法【解析】（1）根据二次根式的被开方数大于或等于0，求出f(x)的定义域；（2）利用单调性的定义即可证明函数f(x)在定义域上为增函数．【解答】要使函数f(x)=√x−1有意义，需使x≥1，所以函数f(x)=√x−1的定义域为[1, +∞)；函数f(x)=√x−1在定义域[1, +∞)上为增函数，证明：任取x1，x2∈[1, +∞)，且△x＝x2−x1>0，则△y=f(x2)−f(x1)=√x2−1−√x1−1=(√x−1−√x−1)(√x−1+√x−1)x2−1+x1−1=(x−1)−(x−1) x2−1+x1−1=21x−1+x−1；因为x2−x1>0且√x2−1+√x1−1>0，所以△y＝f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)在[1, +∞)上是增函数．【答案】函数f(x)为奇函数，证明：对于函数f(x)＝x⋅|x|−2x，其定义域为R，关于原点对称；任取x∈R，−x∈R，有f(−x)＝−x⋅|−x|+2x＝−x⋅|x|+2x，而−f(x)＝−x⋅|x|+2x，f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数；令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，所以x(|x|−2)＝0，解得x＝0或|x|＝2所以函数的零点为−2，0，2；f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${= \, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x\, }$\${geq\, 0\, }$\\ ${-\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，其图象如图：若方程${f(x)}$＝${m}$有三个不同实根，则函数${f(x)}$的图象与直线${y}$＝${m}$有三个不同的交点，由图象可得实数${m}$的取值范围为${(-1,\, 1)}$；f(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，f(x)的单调递减区间为(−1, 1)．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数零点的判定定理分段函数的应用函数的图象与图象的变换函数的零点与方程根的关系【解析】（1）对于函数f(x)，先分析其定义域，进而分析可得f(−x)＝−f(x)，即可证明函数f(x)为奇函数；（2）令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，解可得x的值，由函数零点的定义，即可得答案；（3）将f(x)的解析式变形可得f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${=\, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x\, }$\${geq\,0\, }$\\ ${\{x\}}$^${\{2\}\, + \, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，据此作出函数的图象；若方程f（x）＝m有三个不同实根，则函数f（x）的图象与直线y＝m有三个不同的交点，由图象可得实数m的取值范围；（4）由图象，分析可得函数的单调区间，即可得答案．【解答】函数f(x)为奇函数，证明：对于函数f(x)＝x⋅|x|−2x，其定义域为R，关于原点对称；任取x∈R，−x∈R，有f(−x)＝−x⋅|−x|+2x＝−x⋅|x|+2x，而−f(x)＝−x⋅|x|+2x，f(−x)＝−f(x)，函数f(x)为奇函数；令f(x)＝0，x⋅|x|−2x＝0，所以x(|x|−2)＝0，解得x＝0或|x|＝2所以函数的零点为−2，0，2；f(x)＝x⋅|x|−2x$${\{}$ ${= \, }$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\,x\, }$\${geq\, 0\, }$\\ ${-\, \{x\}}$^${\{2\}\, -\, 2x,\, x}$<0 \\ \end{matrix} \right.\ }$，其图象如图：若方程${f(x)}$＝${m}$有三个不同实根，则函数${f(x)}$的图象与直线${y}$＝${m}$有三个不同的交点，由图象可得实数${m}$的取值范围为${(-1,\, 1)}$；f(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，f(x)的单调递减区间为(−1, 1)．【答案】若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，即x0＝−2，所以函数f(x)=2x是1级分裂函数．若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0＝1，故f(x)＝2x是1级分裂函数由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)2+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0当a＝5时，x0＝−1，符合题意；当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得a∈[15−10√2,5)∪(5,15+10√2]．综上，实数a的取值范围是[15−10√2,15+10√2]．存在，a＝1当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．下面验证a＝1是否满足条件．∵f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)，∴(x+t)2+1＝(x2+1)(t2+1)⇒t＝0或t=2x，故t可取任意实数，故a＝1满足条件．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，得x0若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0，（2）由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0（5分）当a＝5时，x0＝−1，符合题意当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得实数a的取值范围（3）当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．再验证a＝1是否满足条件．【解答】若f(x)=2x 是1级分裂函数，则存在非0实数x0，使得1x0+1=1x0⋅2，即x0＝−2，所以函数f(x)=2x是1级分裂函数．若f(x)＝2x是1级分裂函数，即存在实数x0，使得2(x0+1)＝2x0⋅2，解得x0＝1，故f(x)＝2x是1级分裂函数由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得√a(x0+2)2+1=√ax02+1⋅√a5，所以a(x0+2)2+1=a25(x02+1)化简得(a−5)x02+4ax0+5a−5=0当a＝5时，x0＝−1，符合题意；当a>0且a≠5时，由△≥0得16a2−4(a−5)(5a−5)≥0，化简得a2−30a+25≤0，解得a∈[15−10√2,5)∪(5,15+10√2]．综上，实数a的取值范围是[15−10√2,15+10√2]．存在，a＝1当t＝0时，满足条件的a＝1，若存在实数a满足题意，a只能取1．下面验证a＝1是否满足条件．∵f(x0+t)＝f(x0)⋅f(t)，∴(x+t)2+1＝(x2+1)(t2+1)⇒t＝0或t=2x，故t可取任意实数，故a＝1满足条件．。
北京市清华大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高一10月月考数学试卷(解析版)
B．函数的定义域为 ，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
C．函数的定义域为 ， ，对应关系不一致．
D．函数的定义域为 ，两个函数的定义域不同．
故选：B．
8 函数 （）
A.是奇函数B.是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数
【详解】（1） ，
∵ 或 ，
∴ ，
∴ 或 ， ，
（2）∵ ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴实数m的取值范围 ．
20.解下列不等式．
（1） ；
（2） （ ）．
【答案】（1） 或 ；（2）答案见解析.
【分析】（1）不等式化为 ，求出解集即可；
（2）不等式化为 ，求出不等式对应方程的两根并比较大小，从而求出不等式的解集．
三、解答题（共6小题，共78分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）．
19.已知集合 ， 或 ， ．
（1）求 和 ；
（2）若 ，求实数m的取值范围．
【答案】（1） 或 ， ；（2） ．
【分析】（1）先解一元二次不等式求出集合A，再根据集合的基本运算即可求解；
（2）根据 ，建立条件关系即可求实数m 取值范围．
13.函数 的定义域是______．
【答案】
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0列式求解x的范围得答案．
【详解】解：由题意， ，解得 ．
∴函数 的定义域是 ．
故答案为： ．
14. ，若 ，则 ________.
【答案】
【分析】
分 和 两种情况解方程 ，由此可得出 的值.
【详解】当 时，由 ，解得 ；