八年级数学第六单元专训2 活用“三线合一”巧解题

专训2活用“三线合一”巧解题

名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．

利用“三线合一”求角的度数

1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB与AC相等．求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．

(第1题)

利用“三线合一”求线段的长

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC 的周长为24，求AE的长．

(第2题)

利用“三线合一”证线段(角)相等

3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．

(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由．

(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状，不用说明理由．

(第3题)

利用“三线合一”证垂直

4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.

(第4题)

利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)

5．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD 交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.

(第5题)

利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)

6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.

(第6题)

答案

1．解：因为AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，AD ⊥BC ，所以∠B ＝∠C ＝40°，∠BAD ＝∠CAD ＝50°.

2．解：∵△BDC 的周长＝BD ＋BC ＋CD ＝24，BC ＝10，∴BD ＋CD ＝14.

又∵AD ＝BD ，

∴AD ＋DC ＝14.

∴AB ＝AC ＝AD ＋DC ＝14.

∵AD ＝DB ，DE ⊥AB ，∴AE ＝EB ＝12

AB ＝7. 3．解：(1)△DEF 为等腰直角三角形．理由：连接AD ，易证△BDE ≌△ADF ， ∴DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF ，

又∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，

D 为BC 的中点，

∴AD ⊥BC.∴∠ADB ＝90°.

∴∠EDF ＝∠EDA ＋∠ADF ＝∠EDA ＋∠BDE ＝∠ADB ＝90°.

∴△DEF 为等腰直角三角形．

(2)△DEF 仍是等腰直角三角形．

点拨：本题两种情况都是要证明△BDE ≌△ADF ，进而得到DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF.再运用角的转化得到∠EDF ＝90°，故可判断△EDF 为等腰直角三角形．

4．证明：如图，过点E 作EF ⊥AC 于F.

∵EA ＝EC ，∴AF ＝12

AC. 又∵AB ＝12

AC ，∴AF ＝AB. ∵AD 平分∠BAC ，

∴∠FAE ＝∠BAE.又∵AE ＝AE ，

∴△AEF ≌△AEB(SAS )．∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，即EB ⊥AB.

(第4题)

5．解：如图，延长BA ，CD 交于点E.

(第5题)

∵BF 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠EBD ，

∵CD ⊥BD ，∴∠BDC ＝∠BDE ＝90°.

又∵BD＝BD，

∴△BDC≌△BDE.

∴BC＝BE.

又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.

∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠DCF.

又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，

∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.

故BF＝2CD.

6．解：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.

(第6题)

因为AD⊥BC，所以AD是△ABE的BE边上的中线，即DE＝DB.

又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.

而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB，所以CD＝CE＋DE＝AB＋BD.