电力网络的数学模型
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电力网络的数学模型
y12 (V2 V1 ) y20V2 y23 (V2 V3 ) y24 (V2 V4 ) 0
y23 (V3 V2 ) y34 (V3 V4 ) 0 y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40V4 I 4
YV I
Y 节点导纳矩阵
Yii
Yij
节点i的自导纳
节点i、j间的互导纳
网络方程的解法
高斯消去法
带有节点电流移置的星网变换
Y11 Y12 Y1n V1 I1 Y Y22 Y2 n V2 I 2 21 Yn1 Yn 2 Ynn Vn I n
节点导纳矩阵
n 个独立节点的网络，n 个节点方程
Y11 Y12 Y1n V1 I1 Y 21 Y22 Y2 n V2 I 2 Yn1 Yn 2 Ynn Vn I n
1
2
4
～
3 略去变压器励磁支路和线路电容 负荷用阻抗表示 1 2 4
～
E1
3
E4
1
2
4
E1
3
E4
电压源变为电流源 1
2
4
I1
3
I4
1
y12 y10 y20
2
y24
4
以零电位作为参 考，依据基尔霍 I1 夫电流定律
y23
3
y34
y40
I4
y10V1 y12 (V1 V2 ) I1
Y12 Y21 y12 Y23 Y32 y23 Y24 Y42 y24 Y34 Y43 y34
y23 (V3 V2 ) y34 (V3 V4 ) 0 y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40V4 I 4
YV I
Y 节点导纳矩阵
Yii
Yij
节点i的自导纳
节点i、j间的互导纳
网络方程的解法
高斯消去法
带有节点电流移置的星网变换
Y11 Y12 Y1n V1 I1 Y Y22 Y2 n V2 I 2 21 Yn1 Yn 2 Ynn Vn I n
节点导纳矩阵
n 个独立节点的网络，n 个节点方程
Y11 Y12 Y1n V1 I1 Y 21 Y22 Y2 n V2 I 2 Yn1 Yn 2 Ynn Vn I n
1
2
4
～
3 略去变压器励磁支路和线路电容 负荷用阻抗表示 1 2 4
～
E1
3
E4
1
2
4
E1
3
E4
电压源变为电流源 1
2
4
I1
3
I4
1
y12 y10 y20
2
y24
4
以零电位作为参 考，依据基尔霍 I1 夫电流定律
y23
3
y34
y40
I4
y10V1 y12 (V1 V2 ) I1
Y12 Y21 y12 Y23 Y32 y23 Y24 Y42 y24 Y34 Y43 y34
电力网络问题的数学模型
电力网络问题的数学模型简介电力网络问题的数学模型是研究电力系统运行和控制的重要工具。
通过建立数学模型，可以对电力系统进行分析、优化和预测，以提高电力系统的可靠性和效率。
数学模型的基本原理电力网络问题的数学模型基于以下基本原理：- 节点电压平衡方程：通过节点电压平衡方程，可以描述电力系统中各个节点的电压关系。
- 分支潮流方程：借助分支潮流方程，可以计算电力系统中各个分支的功率流动情况。
- 网络拓扑结构：电力系统的网络拓扑结构包括节点之间的连接关系，通过建立网络拓扑结构，可以分析电力系统的传输特性。
常见的数学模型电力网络问题的数学模型可以根据具体问题和需求而定，以下是一些常见的数学模型：1. 潮流计算模型：用于计算电力系统中各个节点的电压和功率潮流分布情况。
2. 传输损耗模型：分析电力系统中输电线路的损耗情况，以优化电力输送效率。
3. 稳定性模型：研究电力系统的稳定性问题，包括电力系统的动态响应和稳定边界分析。
4. 风电、太阳能等可再生能源模型：用于分析可再生能源的发电能力和对电力系统的影响。
数学模型的应用电力网络问题的数学模型在电力系统规划、运行和控制方面广泛应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 发电能力评估：通过数学模型可以评估电力系统的发电能力，为电力规划提供依据。
2. 运行状态分析：数学模型可以分析电力系统的运行状态，包括稳定性、电压、频率等参数。
3. 风险评估：通过数学模型可以评估电力系统面临的风险，如输电线路故障、发电机故障等。
4. 调度策略优化：通过数学模型可以优化电力系统的调度策略，以提高电力系统的效率和可靠性。
结论电力网络问题的数学模型在电力系统领域具有重要的应用和研究价值。
通过建立合理的数学模型，可以对电力系统进行分析、优化和预测，提高电力系统的可持续发展和可靠性，进一步推动电力行业的发展。
1 电力网络的数学模型及求解方法
An An
a1(1) n (2) a2 n (3) a3 n 1
(1) a1, n 1 (2) a2, n 1 (3) a3, n 1 (n) an ,n 1
(1) (1) x1 a12 x2 a13 x3 (2) x2 a23 x3
Y jj yij
Yij Y ji yij
3）在原有网络节点i 和节点j 间切除一条支路
节点导纳阵阶数不变； 与节点i、j有关的元素修正为 Yii yij Y jj yij
Yij Y ji yij
4）原有网络节点i 和节点j 间支路参数发生改变
相当于切除一条原参数的支路，再增加一条新参数的支路
则由节点方程式可知
以之前的简单电力网络说明节点导纳阵各元素的具体意义
y1
4 2
y4
y3
3
y5
y2
5
1
V1 1
y6
Y的特点： 对称性、稀疏性、可逆性
y4 y5 y6 y4 y5 0 0
y4 y1 y3 y4 y3 y1 0
y5 y3 y2 y3 y5 0 y2
AX = B
a11 a A A B 21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann b1 a11 a21 b2 bn an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann a1,n1 a2,n1 an ,n1
ib
5
根据基尔霍夫电流定律， 可列出各节点的电流方程
1
y6
y4 (V2 V1 ) y5 (V3 V1 ) y6V1 0 y1 (V4 V2 ) y3 (V2 V3 ) y4 (V2 V1 ) 0 y2 (V5 V3 ) y3 (V2 V3 ) y5 (V3 V1 ) 0 y1 (V4 V2 ) ia y2 (V5 V3 ) ib
电力系统分析第4章 电力网络的数学模型
Vn
I2(1)
•
•
Y (1) n2
V2
Y (1) nn
Vn
I2(1)
式中
Y (1) ij
Yij
Yi1Yj1 Y11
; Ii(1)
I
Yi1 Y11
I1
第四章电力网络的数学模型
4.2 网络方程的解法
➢ 对方程式再作一次消元，其系数矩阵便演变为
Y11
Y (2)
Y12 Y13 Y1n
Y (1) 22
第四章电力网络的数学模型
4.1 节点导纳矩阵
➢一般地，对于有n个独立节点地网络，可以列写n个 节点方程
•
•
•
Y11 V1 Y12 V2 Y1n Vn
•
I1
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y2n Vn
•
I2
•
•
• •
Yn1 V1 Yn2 V2 Ynn Vn In
（4-3）
4.1 节点导纳矩阵
➢上述方程经过整理可以写成
•
•
Y11 V1 Y12 V2
0
•
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y23 V3 Y24 V4 0
•
•
•
Y32 V2 Y33 V3 Y34 V4 0
•
•
•
Y42 V2 Y43 V3 Y44 V4
•
I
4
(4-2)
第四章电力网络的数学模型
4.1 节点导纳矩阵
➢将电势源和阻抗的串联变 换成电流源和导纳的并联，得 到的等值网络如图所示，其中：
•
•
I 1 y10 E1
电力系统分析第三章-新
是已知的，每个节点
•3.2 功率方程
•变量的分类： ① 不可控变量（扰动变量）：PLi，QLi――由用户决定，无
法由电力系统控制； • ② 控制变量：PGi，QGi――由电力系统控制； ③ 状态变量：Ui，δi――受控制变量控制；其中Ui 主要受 ④ QGi 控制，δi 主要受PGi 控制。 • ☆ 若电力系统有n个节点，则对应共有6n个变量，其中不可 • 控变量、控制变量、状态变量各2n个； • ☆ 每个节点必须已知或给定其中的4个变量，才能求解功率 • 方程。
•
待求的是等值电源无功功率 QGi和节点电压相位角 δi 。
•3.2 功率方程
•选择：通常可以将有一定无功储备的发电厂母线和有一定无
•
功电源的变电所母线看作PV节点。
•3、平衡节点：
• 特点：进行潮流计算时通常只设一个平衡节点。给定平衡节
•
点的是等值负荷功率PLs 、QLs和节点电压的幅值Us 和
。
•⑦ 计算平衡节点功率和线路功率。
•3.3 潮流分布计算的计算机算法
•潮流计算流程 图（极坐标）
•3.3 潮流分布计算的计算机算法
•三、PQ分解法潮流计算：
•
也称牛顿－拉夫逊法快速解耦法潮流计算
•1、问题的提出:牛顿-拉夫逊法分析
•(1) 雅可比矩阵 J 不对称；
•(2) J 是变化的，每一步都要重新计算，重新分析；
；
• ⑤ 利用x (1) 重新计算∆f (1)和雅可比矩阵J (1)，进而得到∆x (1)
；
• 如此反复迭代：
；直至解出精确解或
• 得到满足精度要求的解。
•3.3 潮流分布计算的计算机算法
•二、牛顿－拉夫逊法潮流计算：迭代求解非线性功率方程
电力系统稳态分析——各元件的特性和数学模型、简单潮流
3
第一节 发电机组的运行特性和数学模 型
一．隐极发电机稳态运行时的相量图和功角特性
P, Q
P q
Eq & jIxd
0
π /2
& I
π
δ
& U
Q
δቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
图2-1 隐极式发电机的相量图 图2-2 隐极式发电机的功角特性曲线图
4
隐极式发电机功率特性方程：
P = Q =
E qU xd E qU xd
sin δ U cos δ xd
23
电力线路的阻抗
1. 有色金属导线架空线路的电阻
有色金属导线指铝线、钢芯铝线和铜线 每相单位长度的电阻：
其中： 铝的电阻率为31.5 铜的电阻率为18.8 考虑温度的影响则：
24
2.有色金属导线三相架空线路的电抗
最常用的电抗计算公式：
Dm + 0 . 5 r × 10 4 x1 = 2π f 4 . 6 lg r
Pk . max—— 指两个100%容量绕组中流过额定电流，另一
个100%或50%容量绕组空载时的损耗。 根据“按同一电流密度选择各绕组导线截面积”的变压 器的设计原则：
R T ( 100 %)
2 Pk . max U N = 2 2000 S N
R T ( 50 %) = 2 R T ( 100 %)
架空线路的电纳变化不大，一般为 2.85×106 S / km
29
2.分裂导线线路的电纳
b1 = 7 . 58 × 10 6 (S/km) D lg m req
3.架空线路的电导
线路的电导取决于沿绝缘子串的泄漏和电晕 绝缘子串的泄漏：通常很小 电晕：强电场作用下导线周围空气的电离现象 导线周围空气电离的原因：是由于导线表面的电场 强度超过了某一临界值，以致空气中原有的离子具备了 足够的动能，使其他不带电分子离子化，导致空气部分 导电。
2-5 电力网络的数学模型
Z SB =Z 2 Z∗ = ZB UB Y UB Y∗ = = Y YB SB
2
U U∗ = UB I 3UB I∗ = = I SB IB
式中:
Z∗、Y∗、U∗、I∗ ——阻抗、导纳、电压、电流
的标么值；
Z、Y、U、I
——归算到基本Leabharlann 的阻抗、导 纳、电压、电流的有名值；
Z B、YB、U B、I B、S B ——基本级的阻抗、导纳、电
2.5 电力网络的数学模型 2.5 Mathematical Model of Electric
System
1. 2.
3.
标幺值的折算 电压等级的归算以及电力网络 的数学模型 等值变压器模型
1. 标幺值的折算
一． 基本概念
1)
有名制：在电力系统计算时，采用有单位的阻 抗、导纳、电压、电流和功率等进行计算。 标幺制：在电力系统计算时，采用没有单位的 阻抗、导纳、电压、电流和功率等进行计算。 基准值：标幺制中，各量以相对值出现，该相 对值的相对基准称为基准值。
为什么？
1. 标幺值的折算
a) 单相电路 五个物理量满足:
U P = ZI , S P = U P I
对应的基准值为:
U P⋅ B = Z B I B ⎫ ⎬ S P⋅ B = U P⋅ B I B ⎭
1. 标幺值的折算
则在标幺制中,可以得到:
⎧U P⋅B = Z B I B 结论:只要基准值的选择满足 ⎨ ⎩ S P⋅ B = U P⋅ B I B
一．有名值的电压级归算 对于多电压等级网络，无论是标么制还是有 名制，都需将参数或变量归算至同一电压 级——基本级。 1 2 ′( B=B ) k1k2k3 ′ ( k1 k 2 k 3 ) 2 R=R 1 2 X = X ′ ( k1 k 2 k 3 ) G = G′( )2 k1k2k3 U = U ′ ( k1 k 2 k 3 ) 1 I = I ′( ) k1k2k3
1第一章 电力网络的数学模型及求解方法
第1章电力网络的数学模型及求解方法电力网络的数学模型是现代电力系统分析的基础。
例如，正常情况下的电力潮流和优化潮流分析、故障情况下短路电流计算以及电力系统静态安全分析和动态稳定性的评估，都离不开电力网络的数学模型。
这里所谓电力网络，是指由输电线路、电力变压器、并(串)联电容器等静止元件所构成的总体[1]。
从电气角度来看，无论电力网络如何复杂，原则上都可以首先做出它的等值电路，然后用交流电路理论进行分析计算。
本章所研究的电力网络均由线性的集中参数元件组成，适用于电力系统工频状态的分析。
对于电磁暂态分析问题，当涉及到高额现象及波过程时，需要采用分布参数的等值电路。
电力网络通常是由相应的节点导纳矩阵或节点阻抗矩阵来描述的[2,3]。
在现代电力系统分析中，我们需要面对成干上万个节点及电力网络所连接的电力系统。
对电力网络的描述和处理往往成为解决有关问题的关键[4]。
电力网络的导纳矩阵具有良好的稀疏特性，可以用来高效处理电力网络方程，是现代电力系统分析中广泛应用的数学模型。
因此。
电力网络节点导纳矩阵及其稀疏特性是本章讨论的核心内容。
节点阻抗矩阵的概念在处理电力网络故障时有广泛应用，将在1.4节中介绍。
此外，虽然关于电力网络的等值电路在一般输配电工程的教科书中都有论述，但在建立电力网络数学模型时，关于变压器和移相器的处理却有一些特点，因此1.1节中首先介绍这方面的内容。
1.1 基础知识1.1.1 节点方程及回路方程通常分析交流电路有两种方法，即节点电压法和回路电流法[3]。
这两种方法的共同特点是把电路的计算归结为一组联立方程式的求解问题；其差别是前者采用节点方程，后者采用回路方程。
目前在研究电力系统问题时，采用节点方程比较普遍，但有时以回路方程作为辅助工具。
以下首先以简单电力网络为例，说明利用节点方程计算电力网络的原理和持点。
图1—1表示了一个具有两个电源和一个等值负荷的系统。
该系统有5个节点和6条支路，y 1-y 6为各支路的导纳。
武大电力系统分析第四、十一章 电力网络的数学模型
基本方法：每个节点的4个变量中的2个 设为确定量（已知量），另2个为待 求量。 依确定量的不同，节点分成三种类型： 1、 PQ节点 P、Q为确定量，V、δ为待求量。
电力系统绝大部分节点被当作PQ节点。
2、 PV节点 P、V为确定量， Q、δ为待求量。
发电厂出口母线、担当调压任务的枢纽变电站 （无功可调）一般被当作PV节点。
(4 − 12)
Yi1Yj1 & (1) & Yi1 & 式中 Y = Yij − ; Ii = Ii − I1 Y11 Y11
(1) ij
• 上式数学意义很简单：行列式的行变 • 其物理意义也不复杂：带电流移置的星
网变换。 （下面以星——三角变换为例）
等值电路变换公式
y21y31 y31y41 y21y41 y24 = y23 = y34 = y21 +y31 +y41 y21 +y31 +y41 y21 +y31 +y41 & I ∆2 = y31 & & y21 & & y41 & I1 ∆ 3 = I I1 ∆ 4 = I I1 y21 +y31 +y41 y21 +y31 +y41 y21 +y31 +y41
=x
(0)
f (x ) − (0) f ′( x )
(0)
x(1)仍有误差，按同样步骤反复迭代， 迭代公式为
x
( k +1)
=x
(k)
f (x ) − ′( x ( k ) ) f
f (x ) p ε
(k)
(k)
(11 − 31)
迭代过程收敛判据
第15章-电力网络的数学模型
第15章 电力网络的数学模型
1、电力网络的基本方程式 2、节点导纳矩阵及其算法 3、节点阻抗矩阵及其算法
本章提示
节点导纳矩阵的特点、形成原理； 节点阻抗矩阵的特点、形成原理。
15.1 电力网络的基本方程式
电力网络可以用节点方程式或回路方程式表示出来。 电力系统的基础网络方程式一般都用节点方程式表示。
➢ 先不考虑非标准变比(认为K=1)求导纳矩阵； ➢ 再把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上(K -1)Y ，其
中Y是从变压器相连结的另一端节点来看变压器的漏抗与两节 点输电线的阻抗之和的倒数； ➢ 由接入非标准变比变压器的对端节点来看自导纳不变； ➢ 变压器两节点间的互导纳加上-(K-1)Y 。
网络的电流就等于i节点的自导纳。
Yii
I&i U&i
U&j 0, j i
自导纳等于与节点i连接的所有支路导纳的和
图15.2中节点2的自导纳Y22为
Y22=
I2 U2
=
1+ j6
1+ j3
1 =0.25-j0.25(s) j4
图15.2 电力网络接线图
2.互导纳
15.2 节点导纳矩阵及其算法
节点j以外的节点全接地,在节点j加以单位电压时，由 节点i流向j的电流加上负号就是互导纳Yij
Yi
j
I&i U&j
U&k 0, k j
Yij 是连接节点j和节点i支路的导纳再加上负号而得
在图15.2中节点1,2间的互导纳Y12为
Y12=-
1 =j0.1677(s)
j6
右图中节点1,2间的 互导纳Y12为
Yi j=- (1/ Z +1/ Z)
1、电力网络的基本方程式 2、节点导纳矩阵及其算法 3、节点阻抗矩阵及其算法
本章提示
节点导纳矩阵的特点、形成原理； 节点阻抗矩阵的特点、形成原理。
15.1 电力网络的基本方程式
电力网络可以用节点方程式或回路方程式表示出来。 电力系统的基础网络方程式一般都用节点方程式表示。
➢ 先不考虑非标准变比(认为K=1)求导纳矩阵； ➢ 再把接入非标准变比变压器的节点的自导纳加上(K -1)Y ，其
中Y是从变压器相连结的另一端节点来看变压器的漏抗与两节 点输电线的阻抗之和的倒数； ➢ 由接入非标准变比变压器的对端节点来看自导纳不变； ➢ 变压器两节点间的互导纳加上-(K-1)Y 。
网络的电流就等于i节点的自导纳。
Yii
I&i U&i
U&j 0, j i
自导纳等于与节点i连接的所有支路导纳的和
图15.2中节点2的自导纳Y22为
Y22=
I2 U2
=
1+ j6
1+ j3
1 =0.25-j0.25(s) j4
图15.2 电力网络接线图
2.互导纳
15.2 节点导纳矩阵及其算法
节点j以外的节点全接地,在节点j加以单位电压时，由 节点i流向j的电流加上负号就是互导纳Yij
Yi
j
I&i U&j
U&k 0, k j
Yij 是连接节点j和节点i支路的导纳再加上负号而得
在图15.2中节点1,2间的互导纳Y12为
Y12=-
1 =j0.1677(s)
j6
右图中节点1,2间的 互导纳Y12为
Yi j=- (1/ Z +1/ Z)
电力网络数学模型
（4-3）
或
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yn1 Yn 2
Y1n V1 I1 Y2 n V2 I 2 Ynn Vn In
记成
YV =I
7
电气信息工程系
Yik yik
(3)不难理解Yki=Yik 。若节点i和k没有支路直接相联时，便有Yki=Yik=0
10
电气信息工程系
节点导纳矩阵的主要特点是：
①
② ③
导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数 直观地求得; nn阶对称复数方阵; 导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零， 但在非对角线元素中则存在不少零元素。如果在程 序设计中设法排除零元素的贮存和运算，就可以大 大地节省贮存单元和提高计算速度。
j 0.016 j 0.02
1 1 1 0.024 j 0.065 0.03 j 0.08 1.052 j 0.105
9.1085 j 33.1002 1 1 Y23 Y32 4.9989 j13.5388 z23 0.024 j 0.065 z12 2 1 1 1 Y24 Y42 z24 0.03 j 0.08
11
电气信息工程系
讨论网络中含有非基准变比的变压器时导纳矩阵元素的计算。
设节点p、q间接有变压支路，如图4-3所示。根据Π型等值电路， 可以写出节点p、q的自导纳和节点间的互导纳分别为：
1 k 1 1 YPP kz kz z 1 1 k 1 Yqq 2 2 kz k z k z 1 Ypq Yqp kz
5
I 4 y40 E4 ，分别称为节点1和4 其中 I1 y10 E1 和 的注入电流源。 以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫 电流定律，写出4个独立节点的电流平衡方程如下：
或
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yn1 Yn 2
Y1n V1 I1 Y2 n V2 I 2 Ynn Vn In
记成
YV =I
7
电气信息工程系
Yik yik
(3)不难理解Yki=Yik 。若节点i和k没有支路直接相联时，便有Yki=Yik=0
10
电气信息工程系
节点导纳矩阵的主要特点是：
①
② ③
导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数 直观地求得; nn阶对称复数方阵; 导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零， 但在非对角线元素中则存在不少零元素。如果在程 序设计中设法排除零元素的贮存和运算，就可以大 大地节省贮存单元和提高计算速度。
j 0.016 j 0.02
1 1 1 0.024 j 0.065 0.03 j 0.08 1.052 j 0.105
9.1085 j 33.1002 1 1 Y23 Y32 4.9989 j13.5388 z23 0.024 j 0.065 z12 2 1 1 1 Y24 Y42 z24 0.03 j 0.08
11
电气信息工程系
讨论网络中含有非基准变比的变压器时导纳矩阵元素的计算。
设节点p、q间接有变压支路，如图4-3所示。根据Π型等值电路， 可以写出节点p、q的自导纳和节点间的互导纳分别为：
1 k 1 1 YPP kz kz z 1 1 k 1 Yqq 2 2 kz k z k z 1 Ypq Yqp kz
5
I 4 y40 E4 ，分别称为节点1和4 其中 I1 y10 E1 和 的注入电流源。 以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫 电流定律，写出4个独立节点的电流平衡方程如下：
第4章 电力网络的数学模型
' ii
Y
Байду номын сангаас
Y
nn
Y
ki
Y ik Y kk
Y
1k
Ykk=yik，Yik=Yki=-yik，Yii’= Yii+Yii， Yii=yik 第j行、第j列的其它元素都为零，其余元 素不变。 (2)在原有网络的节点i、j之间增加一支路：
Y i 1Y j 1 Y11 (1 ) I Y i 1 I ; Ii 1 Y11
式中
Y
(1 ) ij
Y ij
对方程式再作一次消元，其系数矩阵便演变为
Y11 (1 ) (1 ) Y 23 Y 2 n (2) (2) Y 33 Y 3 n (2) (2) Y n 3 Y nn Y1 n
I I
i
1 0, k 1,2, , n, k i
U
i
j
U
i
j
k
代入方程组有：
Z
ii
U
I
i
1
i
由此可见，当节点i上注入一单位电流，而其余的 各节点均开路（即Ik=0）时，节点i上的电压即是自阻 抗Zii的值（物理意义）。用数学式可表示为：
Z
ii
U i I i I
综上所述 ，阻抗矩阵有以下特点：
1. 与YB阵一样，ZB矩阵也是对称阵，且阶数相同；
2. 一般来说，ZB时满矩阵，不是稀疏阵；
3. 一般来说， ，即ZB具有对角占优的特点， Z Z 这对迭代计算有利；
第三章电力网络的数学模型_电力系统分析
的星网
Y1 n (1 ) Y2n ( i 1 ) Y in ( n 1 ) Y nn
对于 阶的网络方程，作 完 次消元后方程组的 系数矩阵将变为上三角矩 阵，即
Y
( n 1 )
Y11
Y12 Y 22
(1 )
例3-2
3-1 节点导纳矩阵
3.1.4 支路间存在互感时的节点导纳矩阵
在必须考虑支路间的互感时，常用的方法是采用一种消去 互感的等值电路来代替原来的互感线路组，然后就像无互感 的网络一样计算节点导纳矩阵的元素。
（a） 图 互感支路及其等值电路
(b)
3-1 节点导纳矩阵
q s 假定两条支路分别接于节点p 、 之间和节点r 、 之间，支路 的自阻抗分别为 z pq 和 z rs ，支路间的互阻抗为 z m ，并以小黑点 表示互感的同名端见图（a）。这两条支路的电压方程可用矩 阵表示如下
U p U q z pq z U r U s m
z m I pq z rs I rs
（3-9）
或者写成
I pq y pq I rs y m y m U p U q y rs U r U s
ik
例3-1
3-1 节点导纳矩阵
3.1.3 节点导纳矩阵的修改
假定在接线改变前导纳矩阵元素为 Y ij( 0 )，接线改变以后 应修改为 Y Y Y 。 （1）从网络的原节点引出一条导纳为的支路，同时增加 一个节点见图（a）。
ij (0) ij ij
（a）
(b)
3-1 节点导纳矩阵
由于节点数加1，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角元素 Y kk y ik 。新增的非对角元素中，只有Y ik Y ki y ik ，其余的 元素都为零。 矩阵的原有部分，只有节点i 的自导纳增加 Y ii y ik 。
第四章 电力网络的数学模型
第四章 电力网络的数学模型
4-1 节点导纳矩阵
1.用于短路计算的电力系统数学模型 2.节点方程 3.节点导纳矩阵元素的物理意义 4. Y阵的修改（网络结构变化、故障等）
4-1 节点导纳矩阵
1.用于短路计算的电力系统数学模型
1
G
2 LD
4
G
3
发电机：电势源支路
电力网络：一相等值 电路，略去变压器励 磁支路和线路电容
2.节点方程的矩阵形式
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
I1 0 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡Y11 ⎢⎢Y21 ⎢0
⎢ ⎢⎣
I4
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎣
0
Y12 Y22 Y32 Y42
0 Y23 Y33 Y43
0 Y24
⎤ ⎥ ⎥
⎡⎢⎢VV12
⎤ ⎥ ⎥
Y34 Y44
⎥ ⎥ ⎦
⎢⎢⎢⎣VV34
⎥ ⎥ ⎥⎦
I1
1
y12 y10
Yii :当网络中除节点i
1
2
y24
4
y12
以外所有节点都接地 I1 时，从节点i注入网
y10 V2
y23 y20
I4
3
y34 y40
络的电流同施加于节
点i的 电压之比
I2
I3
Yii :与节点i相连的所 有支路导纳之和
Y22 = I2 V2 = y20 + y12 + y23 + y24
0 Y23 Y33 Y43
0 Y24
⎤ ⎥ ⎥
⎡⎢⎢VV12
⎤ ⎥ ⎥
Y34 Y44
⎥ ⎥ ⎦
⎢⎢⎢⎣VV43
⎥ ⎥ ⎥⎦
Y11 = y10 + y12 Y22 = y12 + y20 + y23 + y24 Y33 = y23 + y34 Y44 = y24 + y34 + y40
电力系统分析-电力网络的数学模型
Y12 Y32 Y52
Y13 Y33 Y53
Y14 Y34 Y54
Y22 Y23 Y24 Y42 Y43 Y44
I Y15 U 1 1 Y25 U I 2 2 I Y35 U 3 3 Y45 U 4 I 4 I Y55 U 5 5
Y11 Y 21 Y31 Y41 Y51 Y12 Y32 Y52 Y13 Y33 Y53 Y14 Y34 Y54 Y22 Y23 Y24 Y42 Y43 Y44 I Y15 U 1 1 Y25 U 2 I 2 I Y35 U 3 3 Y45 U 4 I 4 I Y55 U 5 5
i
zij 1:k ji
j j
i
yij 1 ( k ji zij )
y240
y40
y340
yij 0
1 1 2 k ji zij k ji zij
k ji 1 k ji zij
Yij 1 k ji zij
y ji 0
1 k ji k2 ji zij
Yii
k ji 1 k ji zij
1 1 k ji zij zij
Y jj
1 k ji k2 ji zij
1.1节点电压方程与节点导纳矩阵
1
I 1
y12
2
y23
3
y35
5
y120
y210
I 2
y230
y24
y320 y34
I 3
y350
y530
I 5
y240
电力系统分析(上)第四章+电力网络的数学模型
Yik yik
且
Yki Yik
（4-8）
13
形成节点导纳矩阵Y
I1 Y11 Y12 Y1n V1 Y21 Y22 Y2 n V2 I2 ... ... In Yn1 Yn 2 Ynn Vn
Y (1) Yij Yij i1 Y1 j Y11 (1) Y I i I i i1 I1 Y11 i 2, 3,..., n; j i , i 1,..., n
19
对方程式作第二次消元，得
Y11V1 Y12V2 Y13V3 Y1nVn I1 (1) (1) (1) (1) Y22 V2 Y23 V3 Y2 n Vn I 2 (2) (2) Y33 V3 Y3(2)Vn I3 n .... .... (2) (2) (2) Yn3 V3 Ynn Vn I n
Yii yi 0 yij
j
(4-7)
12
当 k i 时，式（4-6）说明，当网络中除节点k以外所 有节点都接地时，从节点i流入网络的电流同施加于 节点k的电压之比,即等于节点k、i的之间互导纳Yik。 在这种情况下，节点i 的电流实际上是自网络流出并 进入地中的电流。所以，自导纳Yik 应等于节点k、i 的之间支路导纳的负值 。
Yii节点i自导纳，等于与i相连所有支路导纳之和； Yij节点i，j间的互导纳，等于节点i，j间支路导纳的负值
节点导纳矩阵的特点： （1）节点导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观地求得。 （2）节点导纳矩阵是稀疏、对称矩阵
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4.1 节点导纳矩阵
（2）在网络原有节点 i,之j 间增加一条导纳为
路； 修改： Yii Yjj yij , Yij Yji yij
的yij支
其余元素不必修改。
（3）在网络的原有节点 i, 之j 间切除一条导纳为 的yij
支路；
修改：相当于节点 i,之j 间增加一条导纳为 的y支ij 路，
4.1 节点导纳矩阵
➢一般地，对于有n个独立节点地网络，可以列写n个节点方程
•
•
•
Y11 V1 Y12 V2 Y1n Vn
•
I1
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y2n Vn
•
I2
•
•
• •
Yn1 V1 Yn2 V2 Ynn Vn In
（4-3）
4.1 节点导纳矩阵
同施加于节点
i i 的电压之比，即等于节点 的自导纳，
Yii yi0 yij
(4-7)
j
i y 式中， i为0 节点 与零电位点之间的支路导纳；
4.1 节点导纳矩阵
• 当 k i 时，公式（4-6）说明，当网络中除节
点 k 以外所有节点都接地时，从节点 i 流入网络
的电流同施加于节点 k 的电压之比。即等于节点 k
第四章 电力网络的数学模型
4.1 节点导纳矩阵 4.2 网络方程的解法 4.3 节点阻抗矩阵
4.1 节点导纳矩阵
一、节点方程 ➢如图所示的简单电力 系统
➢略去变压器的励磁功 率和线路电容，负荷用阻 抗便可得到一个有5个节点 和7条支路等值网络；
4.1 节点导纳矩阵
➢将电势源和阻抗的串联变 换成电流源和导纳的并联，得 到的等值网络如图所示，其中：
4.1 节点导纳矩阵
二、节点导纳矩阵元素的物理含义
如果令
•
•
Vk 0, Vj 0 ( j 1,2,, n, j k)
代入（4－3）各式
Yik
•
Ii
•
Vk
•
V j 0, j k
(4-6)
4.1 节点导纳矩阵
➢ 当 k i时，公式（4-6）说明，当网络中除节点
i 以外所有节点都
i 接地时，从节点 注入网络的电流
Y (2) n3
Yn(n2)
(n-1)次消元后
4.2 网络方程的解法
Y11
Y12 Y (1)
22
Y1i Y1n
Y (1) 2i
Y2(n1)
Y (n1)
Y Y (i1) ii
(i1) in
Y (n1) nn
（4-13）
其中
Y Y (i1)
Y Y Y ij
i1 (k 1) (k 1)
ik
kj
ij k 1
(k 1) kk
(i 1,2,, n; j i, i 1,n)
4.3 节点阻抗矩阵
一、节点阻抗局阵元素的物理意义
在电力系统计算中，节点方程也常写成阻抗形式，即
ZI V
（4-19）
式中， Z Y 1
称为网络的节点阻抗矩阵。
方程式（4-19）可展开写成
Z11
Z12
Z1n
•
与 i 之间的互导纳 Yik ，即
Yik yik
（4-8）
4.1 节点导纳矩阵
三、节点导纳矩阵的修改
i （1）从网络的原有节点 引出一条导纳为 点； k
的支路，同时yi增k 加节
修改：导纳矩阵增加一行一列，且
Ykk yik ,Yik Yki yik ,Ykj 0 ji , Yii yik
则：
Yii Yjj yij , Yij Yji yij
4.2 网络方程的解法
一、用高斯消去法求解网络方程
用按列消元的算法求解方程组（4-3），完成第一次消
元后可得：
•
•
•
Y11 V1 Y12 V2 Y1n Vn 0
•
•
Y (1) 22
V2
Y (1) 2n
Vn
I2(1)
•
•
Y (1) n2
二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵
➢ 支路追加法（1）追加树枝：新增支路引出一个新节点，阻抗矩阵扩 大一阶；
（2）追加连支：在已有的两个节点间增加新支路，网络节点数不变，阻 抗矩阵阶次不变。
I1
V•
1
Z 21
Z 22
Z2n
• I2
• V
2
Z n1
Zn2
Z
nn
•
In
V•
n
（4-20）
4.3 节点阻抗矩阵
或者写成
n
•
•
Zij I j Vi
j 1
(i 1,2,, n)
Zii 节点i 的自阻抗或输入阻抗；
Zij 节点 i, j 之间的互阻抗或转移阻抗；
•
•
I 1 y10 E1
•
•
I 4 y40 E4
4.1 节点导纳矩阵
➢ 以零电位为参考点，根据基尔霍夫电流定律，得到 4个独立节点的电流平衡方程：
•
••
•
y10 V1 y12 (V1 V2 ) I 1
••
•
••
••
y12 (V2
•
V1)
•
y20
V2
•
y23 (V2
•
V3)
y24 (V2
上式也可以用矩阵写成
Y12 n
V•1 • V2
Yn1
Yn 2
Ynn
V•n
•
I1
• I2
•
In
(4-4)
或缩记为
YV I
Yii节点i自导纳，等于与i相连所有支路导纳之和；
Yij节点i，j间的自导纳，等于节点i，j间支路导纳的负值
V4
)
0
y23(V3 V2 ) y24 (V3 V4 ) 0
••
••
••
y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40 V4 I 4
(4-1)
4.1 节点导纳矩阵
➢上述方程经过整理可以写成
•
•
Y11 V1 Y12 V2
0
•
•
•
•
Y21 V1 Y22 V2 Y23 V3 Y24 V4 0
V2
Y (1) nn
Vn
I2(1)
• 式中
Y (1) ij
Yij
Yi1Yj1 Y11
; Ii(1)
I
Yi1 Y11
I1
4.2 网络方程的解法
➢ 对方程式再作一次消元，其系数矩阵便演变为
Y11
Y (2)
Y12 Y13 Y1n
Y (1) 22
Y (1) 23
Y2(n1)
Y (2) 33
Y3(n2)
•
•
•
Y32 V2 Y33 V3 Y34 V4 0
•
•
•
Y42 V2 Y43 V3 Y44 V4
•
I
4
(4-2)
4.1 节点导纳矩阵
➢式中
Y11 y10 y12;Y22 y20 y23 y24 y12; Y33 y23 y34;Y44 y40 y24 y34; Y44 y40 y24 y34;Y12 Y21 y12; Y23 Y32 y23;Y24 Y42 y24; Y34 Y43 y34