带状态观测器的控制系统综合设计与仿真

带状态观测器的控制系统综合设计与仿真一、主要技术参数：1.受控系统如图所示：图1 受控系统方框图2.性能指标要求： （1）动态性能指标： 超调量 5%p σ≤； 超调时间 0.5p t ≤秒； 系统频宽 10b ≤ω； （2）稳态性能指标：静态位置误差0=p e （阶跃信号） 静态速度误差2.0≤v e （速度信号） 二、设计思路1、按图中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型。

2、对原系统在Simulink 下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较。

3、根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点。

4、假定系统状态均不可测，通过设计系统的全维状态观测器进行系统状态重构。

5、通过状态反馈法对系统进行极点配置，使系统满足要求的动态性能指标。

6、合理增加比例增益，使系统满足要求的稳态性能指标。

7、在Simulink 下对综合后的系统进行仿真分析，验证是否达到要求的性能指标的要求。

三、实验设计步骤I 、按照极点配置法确定系统综合的方案1、按图1中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型 ① 列写每一个环节的传递函数 由图1有：11223()()5()()10()()U s x s s x s x s s x s x s s ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪⎩②叉乘拉式反变换得一阶微分方程组 由上方程可得12132(5)()()(10)()()()()s x s U s s x s x s sx s x s +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩即1121232()5()()()()10()()()sx s x s U s sx s x s x s sx s x s =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 拉式反变换为1121232510x x U x x x x x ⎧=-+⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩输出由图1可知为3y x =③用向量矩阵形式表示1122335001110000100x x x x u x x ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦[]001y x =2、对原系统在Simulink 下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较原受控系统仿真图如下：图2 原受控系统仿真图原受控系统的阶跃响应如下图：图3 原受控系统的阶跃响应曲线很显然，原系统是不稳定的。

3、根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点由于原系统为三阶系统，系统有3个极点，选其中一对为主导极点1s和s，另一个为远极点，并且认为系统的性能主要是由主导极点决定的，远2极点对系统的影响很小。

根据二阶系统的关系式，先定出主导极点。

p t =ep n b πωωσ==式中，ξ和n ω为此二阶系统的阻尼比和自振频率。

可以导出：①由p 5%=e σ≤2.996≥，从而有0.69ξ≥，于是选0.707ξ==。

②由0.5p t s ≤0.51nπω=≤ 90.50.707n πω≥≈⨯③由10b ω≤和已选的ξ=得10n ω≤，与②的结果比较。

这样，便定出了主导极点1,2n n s j ξωω=-±远极点应选择使它和原点的距离远大于15s 的点，现取3110s s =，因此确定的希望极点为1237.077.077.077.07100s j s j s =-+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩4、确定状态反馈矩阵K由步骤1所得状态空间方程知，受控系统的特征多项式为32500()det()11001(5)(10)1550s f s sI A s ss s s s s s+=-=-+-=++=++12315,50,0a a a ∴===而由希望的极点构成的特征多项式为*32()(7.077.07)(7.077.07)(100)114.115149997f s s j s j s s s s =+++-+=+++***123114.1,1514,9997a a a ∴=== 于是状态反馈矩阵K ∧为[]***3322119997146499.1K a a a a a a ∧⎡⎤=---⎣⎦=5、确定放大系数L由4知，对应的闭环传递函数为32()114.115149997K LW s s s s =+++所以由要求的跟踪阶跃信号的误差0p e =，有[][]0323200()10lim 1()lim 114.115149997lim 1()lim 114.11514999799979997K p t s K s s W s e y t s ss s s s LW s s s s L →∞→→→⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦+++-=-=+++-=所以9997L =对上面的初步结果，再用对跟踪速度信号的误差要求来验证，即[][]2200323232320()1lim ()lim 1lim 1()1114.11514114.115149997114.11514lim 114.11514999715140.1510.29997K v t s K s s W s e t y t s s s W s s s s s s s s s s s ss s s →∞→→→⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=-++=+++++=+++==≤显然满足0.2v e ≤的要求，故9997L =。

对此系统进行仿真图4 受控系统的闭环系统仿真图仿真结果如下：图5 闭环系统的阶跃响应曲线局部放大图：图6 闭环系统阶跃响应曲线局部放大图由仿真图得：4%5%p σ=≤，0.4520.5p t s s =≤，均满足要求。

6、画出对应的能控规范性的闭环系统方块图 已知3*2**123323()9997114.11514999710000(1599.1)(501464)9997L LW s s a s a s a s s s s s =+++=+++=+++++ 其中，可设'31()(1599.1)(501464)9997K W s s s =+++++对应的规范型状态方程为112233010000109997(501464)(1599.1)1x x x x u x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦再考虑输入放大系数9997L =，最后得能控规范型的闭环系统方框图如下：图7 能控规范型的闭环系统方框图上述导出的闭环系统方框图是对应能控规范型得到的。

7、确定非奇异变换矩阵P将原受控系统的传递函数方框图表示成下图的形式.图8 受控系统的方框图按上图选择状态变量，列状态空间方程1122335001110000100x x x x u x x ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦[]001y x =即为x Ax buy cx=+=根据系统的能控性判据判断系统的能控性[]2c c Q b Ab A b rank Q n⎡⎤=⎣⎦=则152********c Q -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]3c rank Q n ==由上式知，原系统是完全能控的。

若做变换X P X ∧=，那么就可建立起给定的（A,B,C ）和能控规范型(,,)A B C ∧∧∧之间的关系式1A P AP ∧-=,1B P B ∧-=,C C P ∧=。

32500det()11001(5)(10)1550s sI A s s s s s s s s+-=-+-=++=++12315,50,0a a a ∴===2121100101255110015101510100501510101010100P A b Ab b a a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∴=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1*10010101100P P P-∴=⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦8、确定相应于图9的受控系统的状态反馈矩阵K状态反馈矩阵为[][]10019997146499.1010110099.1472.69997K K P ∧-=⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=极点配置的Matlab 程序如下：A=[-5 0 0;1 -10 0;0 1 0];b=[1;0;0];c=[0 0 1]; pc=[-7.07+7.07i,-7.07-7.07i,-100]; K=acker(A,b,pc) 运行结果为： K =1.0e+003 *0.0991 0.4726 9.99709、画出对应于图8形式的受控系统的闭环方框图 受控系统的闭环方框图如图9示。

图9 相应于图8受控系统的闭环方框图仿真图形为：图10 受控系统的闭环仿真图图11 闭环系统的阶跃响应曲线由图可显然看出：0.5p t s ≤0.5%p σ≤即满足性能指标要求。

II 、观测器的设计假定系统状态均不可测，通过设计系统的全维状态观测器进行系统状态重构1、确定原系统的能观性根据给定的受控系统，求能观测性矩阵及能观测性的秩2o C Q CA CA ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]o rank Q n =则[]00101031100o rank Q rank n ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦又因之前以求得系统是完全能控的，所以系统即完全能控、又完全能观测。

因此，系统的极点可以任意配置。

2、 计算观测器的反馈矩阵G 该设计中系统的极点为1237.077.077.077.07100s j s j s =-+⎧⎪=--⎨⎪=-⎩ 取观测器极点,是观测器的收敛速度是被控系统收敛速度的3倍。

如果仅仅对闭环极点乘以3，则阻尼比和最大超量不变，而系统上升时间和稳定时间将缩小到原来的13。

因此，选择1,2321,300s s =-=-5100101000T A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦001T C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由所取极点，可的相应的闭环系统的特征多项式为*232()(300)(21)34213041132300f s s s s s s ∴=++=+++1***23342,13041,132300a a a ===于是状态反馈矩阵K 为[]***3322114900139999K a a a a a a ⎡⎤∴=---⎣⎦=非奇异变换矩阵为2121100101100100101015100015015110051050151T TT T T P A CA C C a a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1*110051025151P PP-=⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦状态反馈矩阵为[]1755208086327K KP -==因此755208086327T G K ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]50075520110080860010103275075520110808601327A Gc -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此观测器状态方程为()5075520175520110808608086013270327x A Gc x bu Gyx u y =-++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3、 画出带观测器的状态反馈系统的闭环图 带观测器状态反馈的闭环系统方框图如图12所示。