(2)集合的基数
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1−1 1−1 所以存在两个一一映射，ϕ : A ⎯⎯ → B∗及 ψ : B ⎯⎯ → A∗
令 A 0 = A ∗ , A1 = A − A 0 , 则 A = A 0 ∪ A1 ψ ( B1 ) = A2 令 ϕ ( A1 ) = B1 , ϕ ( A2 ) = B 2 , ψ ( B 2 ) = A3
∞
∞
推论1
若 A ⊃ B ⊃ C, A与C对等
则A与B对等，B与C对等.
例1. 证明下列集合对等：
(1) 直角三角形斜边上点的集合与直角边上点的集合对等.
(2) (0,1)与 (0, +∞ )
2 π x → tan(π x − ) 2 ⎧0, x = 1 ϕ ( x) = ⎨ ⎩ x, x ∈ (0,1) x → tan
注3 A = B ⇔ A与 B 对 等
注4
若 A为有限集 {a 1 ,a 2 ,...,a n } , 则 A = n
注5 有限集基数——有限数，无限集的基数——超限数
2.基数大小的比较
（1）定义： 若A与B的某子集对等，则称 A ≤ B 若B与A的子集对等，则称 A ≥ B
若
A≤ B
且 A≥ B 则 称
1．集合A到集合B内的映射 ：
ϕ :
A ⎯ ⎯ → B x ⎯ ⎯ → 唯 一 y = ϕ (x) ↓ 原 像 ↓ 像
值域 ϕ ( A) = { y | y = ϕ ( x), x ∈ A} ⊂ B
【注1】集合A 与B都是实数集时，映射就成为函数.
2.集合A到集合B上的映射 或满射 :
ϕ: A→ B
A=B
若
A ≤ B 且A与B不对等，则称 A < B
（2）命题 对任意集合A,B
A = B , A < B , A > B 有且只有一个成立
五.并不是所有无限集合都对等（14页定理1）
-----如[0,1]与N
小结
1.集合之间存在一一映射------集合对等 2.证明集合对等的方法: (1)找一一映射 (2)分解法 (3)伯恩斯坦定理等 3.对等的集合有相同基数；基数能比较大 小 4.能与其真子集对等的集合-----无限集 5.不是所有的无限集都对等.
∞ ∞
∪A
n =1
n
∼ ∪ Bn
n =1
3）定理2 伯恩斯坦定理(Bernstein TH):
若A与B的一个子集对等, B又与A的一个子集 对等, 则A与B对等
分析：考虑用分解法证明，将A与B分解成个数相等的 子集之并，而每个对应子集对等，则证
证 明 ： 因 为 A与 B的 子 集 B * 对 等 ， B 与 A的 子 集 A * 对 等 ，
作业： 1、证明[0,1] 与自然数集N不对等
2、第17页：1，2 3、证明推论1
则集合A与B的元素多少怎样？
三.集合的对等
1−1 ϕ : A ⎯⎯ →B 1.定义： 若存在
那么就称集合A与B对等， 记做 A
～
B
【注2】 A = B ⇒ A ～ B
但反之未必成立.
2.集合对等的判定：
1）定义法：找一一映射 2）分解法:
若 An ∼ Bn ,{ An }中元素互不相交 , { Bn }元素亦然 , 则
且
ϕ ( A) = B
3.集合A到集合B的单射：
ϕ: A→B
且对 A中的任意两点x1 ≠ x2 , 总有ϕ(x1) ≠ ϕ(x2 ), ϕ(x1),ϕ(x2 ) ∈ B
4.集合A到集合B的一一映射： A到B的既单又满的映射 1−1 记做 ϕ : A⎯⎯ →B
问1:? 函数一定是一个一 一映射？
1−1 ϕ : A ⎯⎯ →B 问2:?
n =1 n =1 k =1 k =1
∞
∞
∞
∞
B 与 A0 对 等 ， ∪ B k 与 ∪ A k +1对 等 ，
k =1 k =1
∞
∞
所 以 B − ∪ B k 与 A0 − ∪ A k +1对 等 ，
k =1 k =1
∞
∞
而A0 − ∪ A k +1 = A − ∪ An，故A与B对等
k =1 n =1
则A1, A2 , A3 ,...互不相交，B1, B2 , B3 ,...亦然，且Ai与Bi对等 i = 1,2,...
所以由分解定理 ∪ A n与∪ Bn 对等；同理， ∪ Bk 与∪ A k +1对等
n =1 n =1 k =1 k =1 ∞ ∞ ∞ ∞
又因为A = ( A − ∪ An ) ∪ (∪ An )， ( B − ∪ Bk ) ∪ (∪ Bk ) = B
实变函数论 实变函数论
第2讲 集合的基数
问题：
1.直角三角形斜边上点多，还是直角边上 的点多？ 2.直线段上点多，还是直线上的点多？ 3.有理数多还是无理数多？ 要回答这些问题，请来学习
第 2 讲 集合的基数
一.比较集合元素多少的方法
对于有限集，方法有二： 1.分别数数法 2.一一配对法
二．一一对应———既单又满的映射
π
x
（3） (0,1) 与(−∞, +∞)
(4) (0,1]与[0,1)
(5) N 与 N1 = {2,4,6,...}
ϕ ( n) = 2n
3.无限集的定义 :
凡能与其真子集对等的集合称之为无限集
四.集合的基数
1.定Biblioteka Baidu ：称对等的集合具有相同的基数
（或为势、浓度、蕴度、权等）
集合A的基数,记做 A
令 A 0 = A ∗ , A1 = A − A 0 , 则 A = A 0 ∪ A1 ψ ( B1 ) = A2 令 ϕ ( A1 ) = B1 , ϕ ( A2 ) = B 2 , ψ ( B 2 ) = A3
∞
∞
推论1
若 A ⊃ B ⊃ C, A与C对等
则A与B对等，B与C对等.
例1. 证明下列集合对等：
(1) 直角三角形斜边上点的集合与直角边上点的集合对等.
(2) (0,1)与 (0, +∞ )
2 π x → tan(π x − ) 2 ⎧0, x = 1 ϕ ( x) = ⎨ ⎩ x, x ∈ (0,1) x → tan
注3 A = B ⇔ A与 B 对 等
注4
若 A为有限集 {a 1 ,a 2 ,...,a n } , 则 A = n
注5 有限集基数——有限数，无限集的基数——超限数
2.基数大小的比较
（1）定义： 若A与B的某子集对等，则称 A ≤ B 若B与A的子集对等，则称 A ≥ B
若
A≤ B
且 A≥ B 则 称
1．集合A到集合B内的映射 ：
ϕ :
A ⎯ ⎯ → B x ⎯ ⎯ → 唯 一 y = ϕ (x) ↓ 原 像 ↓ 像
值域 ϕ ( A) = { y | y = ϕ ( x), x ∈ A} ⊂ B
【注1】集合A 与B都是实数集时，映射就成为函数.
2.集合A到集合B上的映射 或满射 :
ϕ: A→ B
A=B
若
A ≤ B 且A与B不对等，则称 A < B
（2）命题 对任意集合A,B
A = B , A < B , A > B 有且只有一个成立
五.并不是所有无限集合都对等（14页定理1）
-----如[0,1]与N
小结
1.集合之间存在一一映射------集合对等 2.证明集合对等的方法: (1)找一一映射 (2)分解法 (3)伯恩斯坦定理等 3.对等的集合有相同基数；基数能比较大 小 4.能与其真子集对等的集合-----无限集 5.不是所有的无限集都对等.
∞ ∞
∪A
n =1
n
∼ ∪ Bn
n =1
3）定理2 伯恩斯坦定理(Bernstein TH):
若A与B的一个子集对等, B又与A的一个子集 对等, 则A与B对等
分析：考虑用分解法证明，将A与B分解成个数相等的 子集之并，而每个对应子集对等，则证
证 明 ： 因 为 A与 B的 子 集 B * 对 等 ， B 与 A的 子 集 A * 对 等 ，
作业： 1、证明[0,1] 与自然数集N不对等
2、第17页：1，2 3、证明推论1
则集合A与B的元素多少怎样？
三.集合的对等
1−1 ϕ : A ⎯⎯ →B 1.定义： 若存在
那么就称集合A与B对等， 记做 A
～
B
【注2】 A = B ⇒ A ～ B
但反之未必成立.
2.集合对等的判定：
1）定义法：找一一映射 2）分解法:
若 An ∼ Bn ,{ An }中元素互不相交 , { Bn }元素亦然 , 则
且
ϕ ( A) = B
3.集合A到集合B的单射：
ϕ: A→B
且对 A中的任意两点x1 ≠ x2 , 总有ϕ(x1) ≠ ϕ(x2 ), ϕ(x1),ϕ(x2 ) ∈ B
4.集合A到集合B的一一映射： A到B的既单又满的映射 1−1 记做 ϕ : A⎯⎯ →B
问1:? 函数一定是一个一 一映射？
1−1 ϕ : A ⎯⎯ →B 问2:?
n =1 n =1 k =1 k =1
∞
∞
∞
∞
B 与 A0 对 等 ， ∪ B k 与 ∪ A k +1对 等 ，
k =1 k =1
∞
∞
所 以 B − ∪ B k 与 A0 − ∪ A k +1对 等 ，
k =1 k =1
∞
∞
而A0 − ∪ A k +1 = A − ∪ An，故A与B对等
k =1 n =1
则A1, A2 , A3 ,...互不相交，B1, B2 , B3 ,...亦然，且Ai与Bi对等 i = 1,2,...
所以由分解定理 ∪ A n与∪ Bn 对等；同理， ∪ Bk 与∪ A k +1对等
n =1 n =1 k =1 k =1 ∞ ∞ ∞ ∞
又因为A = ( A − ∪ An ) ∪ (∪ An )， ( B − ∪ Bk ) ∪ (∪ Bk ) = B
实变函数论 实变函数论
第2讲 集合的基数
问题：
1.直角三角形斜边上点多，还是直角边上 的点多？ 2.直线段上点多，还是直线上的点多？ 3.有理数多还是无理数多？ 要回答这些问题，请来学习
第 2 讲 集合的基数
一.比较集合元素多少的方法
对于有限集，方法有二： 1.分别数数法 2.一一配对法
二．一一对应———既单又满的映射
π
x
（3） (0,1) 与(−∞, +∞)
(4) (0,1]与[0,1)
(5) N 与 N1 = {2,4,6,...}
ϕ ( n) = 2n
3.无限集的定义 :
凡能与其真子集对等的集合称之为无限集
四.集合的基数
1.定Biblioteka Baidu ：称对等的集合具有相同的基数
（或为势、浓度、蕴度、权等）
集合A的基数,记做 A