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九年级人教版数学第二学期第27章相似三角形整章知识详解
=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′.
A′
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
B′
C′
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
A
∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB
又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA
A
D
E
∵ DE∥BC，
A
D
E ∴ △ADE∽△ABC.
B
C
B
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
九年级数学第27章相似三角形
A
三边对应成
A′
比例
B
C
B′
C′
A' B' B'C' A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A′B′C′？
九年级数学第27章相似三角形
已知:如图△ABC和△A′B′C′中A′B′:AB
成的三角形与原三角形相似.
九年级数学第27章相似三角形
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所得 的三角形与原三角形___相__似___.
“A”型 A
D
E
“X”型
D
E
O
B
C
（图1）
B
（图2）
C
九年级数学第27章相似三角形
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
图中共有__3__对相似三角形.
AB∥EF
△AOB∽△FOE
AB∥CD
△AOB∽△DOC
EF∥CD
△EOF∽△COD
A E C
精选相似三角形知识点归纳(全)(完整版)
《相似三角形》— 有关相似形的概念中考考点归纳与典型例题知识点 1 (1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质在四条线段 a,b, c, d 中，如果 a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段a,b, c, d 叫做（ 1）定义： 成比例线段 ，简称比例线段．b cd aa 是 b, c,d 注 ：①比例线段是有顺序的，如果说的第四比例项，那么应得比例式为：．acd b d cb d ，(交换内项 ) abc dc ，(交换外项 a ad bc ② 核心内容： ) b a．(同时交换内外项 ) AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和BC 的比例中（ 2）黄金分割：把线段 AC 2即 叫 做 把 线 段 AB C 叫做 线 段 AB 的 黄 金 分 割 AB BC ， 黄 金 分 割 ， 点 点 ， 其 中 长 短 5 215 1 2 ACABBC AC5 1 2＝ ＝ AB ≈ 0.618 AB ．即 AC简记为：全 长 0注： ①黄金三角形：顶角是36 的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形a bc da b c d d（ 3）合、分比性质：．b注： 实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c a b c da c 发生同样和差变化比例仍成立．如：等等． a a b bc cd da b ab c dc de fm(b n a ． bd fn 0) ，（ 4）等比性质：如果A D efm n那么BE FC知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理已知AD∥BE∥CF,: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.AB BC DE或AB DE或BC EF 或BCDE ACEF或ABDF DEBC等.EF可得EF AC DF AB A 特别在三角形中：AD DB AE或BD EC或EAADABAEAC由DE∥B C可得：D E EC ADCB知识点 4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似2、判定定理3、判定定理4 、判定定理5、判定定理.1：简述为：2：简述为：3：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS三边对应成比例，两三角形相似．SSS4：直角三角形中，“HL”全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等两角一对边对应相等两边及夹角对应相等两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL”(ASA)(AAS)(SAS)三边对应相等(SSS) 、(HL）（3）射影定理：如图，Rt △ ABC中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，A 2则∽∽∽＝＝＞＝＝＞＝＝＞AD =BD·DC，AB =BD· BC ，AC =CD·BC .22CB D知识点相似三角形的性质5(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2) 相似三角形周长的比等于相似比．(3) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点 6 相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“AEA 型”与“X 型”图）DAEDCC BB (3)(1)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形知识点
相似三角形知识点相似三角形是指具有相同或相似的形状，但大小不同的三角形。
在相似三角形中，对应边的比例是相等的，而对应角度的度数也相等。
相似三角形是几何学中的重要概念，有着广泛的应用。
相似三角形的性质和应用在几何学中是非常重要的。
在这篇文章中，我们将讨论相似三角形的定义、判定方法、性质以及一些相关的应用。
相似三角形的定义：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
换句话说，如果两个三角形的角度相等，那么它们就是相似的。
相似三角形可以通过两个条件来判定：1. 两个三角形的对应角度相等；2. 两个三角形的对应边的比例相等。
相似三角形的判定方法：在判定两个三角形是否相似时，可以使用以下方法：1. AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
这是最常用的相似三角形判定方法之一。
2. AA相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的夹角也相等，那么它们是相似的。
3. SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们是相似的。
相似三角形的性质：相似三角形满足以下几个性质：1. 相似三角形的对应角度相等；2. 相似三角形的对应边的比例相等；3. 相似三角形的相似比例相等；4. 相似三角形的顶角相等；5. 相似三角形的边长比例等于相似比例。
相似三角形的应用：相似三角形在几何学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用：1. 测量距离：根据相似三角形的性质，我们可以利用已知长度和测得的角度来计算未知长度。
2. 制图和建模：在地图制图和建筑设计中，相似三角形可以用来估算和绘制未知物体的尺寸。
3. 光学：在光学中，相似三角形被用来计算物体的大小和位置，以及光的传播方向。
4. 天文学：相似三角形被用来计算天体间的距离和尺寸，例如地球和月亮的大小和距离。
5. 电子设备设计：在电子设备的设计中，相似三角形用来计算电路中的元件大小和位置。
总结：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
人教版九年级下册第27章相似三角形的性质(24页)
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，
(1) 它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长分别是 _10_0__c_m__、__4_0_c_m____；
(2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是_5_0__c_m_2_、__8_c_m__2_.
典例精析
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D， AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为( C )
A．2 B．4 C．1
1 D. 2
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原 三角形的周长比等于_1__:_4__，面积 比等于_1_:_2__.
相似比 2 周长比 2 面积比 4
1 3 100
k ……
1 3 100 k ……
1 10000 k2 ……
9
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的__2_5___倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的__1_0___倍.
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D' .
∴
AD A'D'
AB A'B'
k.
BD A'
B' D'
C C'
归纳
相似三角形的性质1：
相似三角形知识点
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
人教版 相似知识点总结
人教版相似知识点总结一、相似三角形1. 定义相似三角形指的是具有相同形状但是大小不一样的三角形。
在相似三角形中，对应的角度相等，对应的边的比例也相等。
2. 判定判定两个三角形相似的方法有三种：（1）AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角是相等的，那么这两个三角形就是相似的。
（2）AA相似判定法：如果两个三角形的其中一个角相等，并且它们的对边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
（3）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. 性质（1）相似三角形对应边的比例：在相似三角形中，对应边的比例是相等的。
（2）相似三角形内角对应：在相似三角形中，对应角是相等的。
（3）相似三角形内角和的性质：在相似三角形中，每个对应角的和都是180°。
4. 应用相似三角形的性质和判定方法在几何问题中有着广泛的应用。
比如在测量高楼的高度、计算不规则图形的面积等问题中，都会用到相似三角形的知识。
二、三角形的中线、角平分线、中线及高的关系1. 定义中线：三角形中线指的是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
角平分线：三角形角平分线指的是从三角形的一个顶点出发，分别平分相邻的两个角的线段。
高：三角形的高指的是从顶点到对边的垂直距离的线段。
2. 性质（1）三角形的中线：三角形三个顶点的连线的中点所组成的线段是三角形的中线，三角形的三条中线交于一个点，并且相互平分。
（2）三角形的角平分线：三角形的每个内角的角平分线相交于一个点，这个点和三个顶点连线的中点共线。
（3）三角形的高：三角形的三条高交于一个点，这个点叫做三角形的垂心。
3. 中线、角平分线、高的关系中线长等于底边一半，角平分线分割对边成比例，高的平方等于底边乘以斜边的差的一半。
4. 应用三角形的中线、角平分线、高的性质和关系在解决数学问题中有很多应用，比如证明直角三角形的斜边长度等。
三、勾股定理1. 定理内容勾股定理指的是直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
(完整版)人教版第27章相似三角形知识点总结
第27章相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）bc ad d c b a =⇔=::； a c a b c d bd b d±±=⇔= 知识点4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点6 三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2、只看角法（AA ）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似B知识点7 射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。
人教版九年级数学下册 第27章 相 似 相似三角形 相似三角形的判定 第3课时 由两角判定三角形相似
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 由两角判定三角形相似
知识点❶：两角对应相等的两个三角形相似
1．在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝68°，∠B＝40°，∠A′＝68°，∠C′＝72°，
则这两个三角形( )
B
A．全等 B．相似
C．不相似 D．无法确定
14．如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F， 使 AE＝CF，连接 AF，BE 相交于点 P.
(1)求证：AF＝BE，并求∠APB 的度数； (2)若 AE＝2，试求 AP·AF 的值．
解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，在△ABE 和
4．(南京中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分 ∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为__1_0_．
5．(通辽中考)如图，⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且PC2＝PB·PA， 求证：AB⊥CD.
证 明 ： 连 接 AC ， BD ， ∵ ∠ A ＝ ∠ D ， ∠ C ＝ ∠ B ， ∴ △ APC∽△DPB ， ∴ PC∶PB ＝ PA∶PD ， ∴ PC·PD ＝ PA·PB ， ∵ PC2 ＝ PB·PA ， ∴ PC ＝ PD ， ∵ AB 为 直 径 ， ∴AB⊥CD
解：(1)在△AOF 和△EOF 中，
பைடு நூலகம்
OA＝OE， ∠AOD＝∠EOD， ∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF＝∠OEF，∵BC 与⊙O 相 OF＝OF，
切，∴OE⊥FC，即∠OEF＝90°，∴∠OAF＝90°，即 OA⊥AF，又∵OA 是⊙O 的半径，
(完整版)人教版第27章相似三角形知识点总结
第27章相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在求线段比时，线段单位要统一。
a和bc和d a,b,c,a,b,c,dd叫做成比例线段，的比，那么这四条线段）在四条线段中，如果的比等于（2简称比例线段知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）aca?bc?d bc?a:b?c:d?ad???；dbdb知识点4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.A已知AD∥BE∥CF,ABDEABDEBCEFBCEFABBC DE??或??或或?或. 可得等EFDFDEDFABDEACEFBCAC CB知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点6 三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、只看角法（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似17 知识点射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。
相似三角形知识点
相似三角形知识点
三角形相似的判定方法
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．。
(完整版)相似三角形知识点归纳(全),推荐文档
a
（4）等比性质：如果
c
e
m (b d
f
n 0) ，
知识点1 有关相似形的概念
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bd f
n
那么
a c e m
aห้องสมุดไป่ตู้
．
bd f n b
A
D
B
E
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或
是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）
(3)一线三等角的变形:
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天我分页符ZNBX吃噶十
特别在三角形中：
BC EF AB DE
BC EF AC DF
AB BC 等. DE EF A
由 DE∥BC 可得： AD AE 或 BD EC 或 AD AE DB EC AD EA AB AC
D
E
知识点 4 相似三角形的概念
B
C
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示， 读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等， 对应边成比例．
(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比． (3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
人教版初三数学第27章《相似》总结与习题
初中数学九年级知识点总结：27相似一、知识框架二、知识点、概念总结 1. 相似：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a （或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。
这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3.相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。
（对应边成比例，对应角相等）○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；○4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；○4.直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
5. 一定相似的三角形（1）两个全等的三角形一定相似。
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第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义，领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1 ．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3 ．利用位似将一个图形放大或缩小．4 ．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5 ．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．四、中考所占分数及题型分布本章会出1-2 道选择、填空题，简答题必有一道三角形和相似形的综合题，本章约占15-20 分 .第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像，是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像，是否相似？6.相似多边形对应角相等，对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例 2：在比例尺为1：10000000 的地图上，量的A、 B 两地的距离为10cm，求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的，因此地图中的1cm 相当于实际10000000cm ，即 100km.A、 B 两地相距10cm，相当于1000km.例 3：如图 27.1-1，四边形ABCD和 EFGH相似，求角α、β的大小和EH的长度 x.图 27.1-1解：四边形ABCD和 EFGH相似，他们的对应角相等，因此可得C 83o，A E118o在四边形ABCD中，360o 78o 83o 118o 81o四边形 ABCD和 EFGH相似，他们的对应边相等，由此可得EH EF ，即 x 24AD AB 21 18解得 x 28cm27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定‘ ‘’', B ', C'，ABBCAC‘ ‘’在△ ABC 和△ A B C 中，如果 AAB C 'B ''C '' ' =k ，我们就说△ ABC 和△ A B CABAC‘ ‘ ’就是他们的相似比 .相似，记作△ ABC ∽△ A B C ， k 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段 a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a = c（或 a ： b=c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.b d例 1.如图 27.2-1，在△ ABC 中，点 D 是边 AB 的中点， DE//BC ， DE 交 AC 于点 E ，△ ADE 与△ ABC 有什么关系？解：在△ ADE 与△ ABC 中，A AQ DE//BCADE B, AED C过点 E 作 EF//AB ， EF 交 BC 于点 F.在 □BFED 中， DE=BF ， DB=EF1Q AD DB ABAD EF又A 1, 2 C∴△ ADE ∽△ EFCAE=EC=∴△ ADE ∽△ ABCAE EC1AC , DE FC BF 1 BC22∵△ ADE 和△ ABC 的对应角相等，对应边的比相等1.平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.‘ ‘’ABBCAC‘ ‘ ’例 2.如图 27.2-1，在△ ABC 和△ A B C 中，'B ''C '' ' ，求证△ ABC 和△ A B C 相似 .A B AC图 27.2-1证明：在线段 ’ ’‘’’’ ’’A B （或它的延长线）上截取 A D=AB ，过点 D 做 DE//B C ，交 A C 于点 E ，根据前面的结论可得△ A DE∽△ A ’B ’C ’A ' DDEA ' E'B ''C '' 'A B AC又ABBCAC ’A 'B '''' ' ， A D=AB ，B C AC∴ A ' EAC’''' ' ，∴ A E=ACAC AC同理 DE=BC’∴△ A DE ≌△ ABC’’ ’’∴△ A DE ∽△ A B C2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.‘‘ ’‘ ’‘ ’‘ ’例 在△ ABC 和△ A B C 中，已知AB=6CM ， BC=8CM ， AC=10CM ， A B =18CM ，B C=24CM ， A C=30CM ，试证明△ ABC‘ ‘ ’和△ A BC 相似 .证明： QAB6 1 BC 8 1 AC 10 1'B '18 , ' C '24, ' ' 30 ,A3 B 3 AC3ABBC AC'B 'B 'C '' 'A AC‘ ‘ ’故△ ABC 和△ A B C 相似 .例 .设△ ABC 与△ DEF 中， AB:DE=AC:DF ，∠ A=∠ D ，△ ABC 与△ DEF 有什么关系？解：把△ DEF 放到△ ABC 中与之重合 .∵ AB:DE=AC:DF ，∴ EF//BC.∴两个三角形三个角对应相等，故两个三角形相似.3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；例 .根据下列条件判断△ ABC 和△ A ‘B ‘C ’是否相似，并说明理由 .（ 1） A 120o ， AB=7cm ， AC=14cm ， A '120o ，AB=3cm ， AC=6cm‘ ’‘ ’‘ ’（ 2） AB=4cm ， BC=6cm ，AC=8cm ， A B =12cm ， B C=18cm ， A C=21cm解：（ 1） Q AB 7 AC 7 AB AC' B ' , ' ' 3 ， 'B ' ' 'A 3 AC AAC 又 A A ∴△ ABC ∽△ A ’B ’C ’（ 2） QAB41 BC 6 1 AC8 'B ' 12 , ' '18 , ' ' 21A3 BC 3 ACABBC AC'B ''C '''ABAC‘‘ ’△ ABC 和△ A B C 的三组对应边的比不等，它们不相似 .例 . 假设两个三角形的两组对应边的比相等， 并且有一组角相等 （不是这两边所夹的角） ，那么这两个三角形相似？解：情形一：当两个三角形同为锐角三角形时，可以推出它们相似.这个结论必须用正弦定理才好证明.（高中学习）情形二： 当两个三角形同为直角三角形时，它们也相似 .因为由勾股定理马上知道， 两边对应成比例的直角三角形的第三边也必定成比例，于是由两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.情形三：当两个三角形同为钝角三角形时，它们不一定相似.如图，△ ABC 和△ ADC 中， AB=AD ，AC 是两个三角形的公共边，∠ C 是两个三角形的公共角 .但是二者显然不相似.4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；例 .如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， EF ∥AB ，求证：△ ADE ∽△ EFC ．解：∵ DE ∥ BC ，∴ DE ∥ FC ，∴∠ AED=∠ C ．又∵ EF ∥ AB ，∴ EF ∥ AD ，∴∠ A=∠ FEC ．∴△ ADE ∽△ EFC ．27.2.2 相似三角形应用举例27.2.3 相似三角形的周长和面积相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法还可得出相似多边形的周长比等于相似比.相似三角形面积比等于相似比的平方.相似多边形面积的比等于相似比的平方‘ ‘ ’ABBCACk ，那么' 'k如果△ ABC 和△ A B C 相似，相似比为''' 'A BB CAC因此 AB'''' , AC ' 'kA B , BC kB C kACABBC AC' '' ' ''kA BkB CkACk从而 'B ''C ' ' '' B ''C '''AB AC A B AC由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法，还可得出：相似多边形的周长比等于相似比.例 .如图 27.2 △ABC ∽△ A ’B ’C ’，相似比为 k ，他们的面积比为多少？分别作△’ ’ ‘ ’ ’ABC 和△ A B C 的高 AD 和 AD .’ ‘ ’'BB∵△ ABD 和△ A B D 都是直角三角形，并且‘‘ ‘∴△ ABD ∽△ A B DAD AB kA 'D'A 'B 'S△ABC1BC AD 1 k B 'C ' k A ' D '2 2 k 21 ' ' ' 1 ' ''' B' C '' 'S△ A B C2 BC A D 2 A D相似三角形面积比等于相似比的平方 .对于两个相似多边形，用类似的方法，能把他们分成若干个相似的三角形，因此可以得到相似多边形面积的比等于相似比的平方例 27.2 在平行四边形 ABCD 中， AB=6， AD=9， BAD 的平分线交 BC 于 E ，交 DC 的延长线于 F ， BG ⊥AE 于 G ，BG 4 2 ，则△ EFC 的周长为？解：在平行四边形 ABCD 中，∵ AB//CD ，∴BAE EFC ，又 Q BAE DAF ， EFC DAF ，故 AD=DF=9，则 CF=DF-DC=3EABEFC ， AEBFEC ，∴△ EAB ∽△ EFC ，AB EA BE 6 ，又∵ BC=BE+CE=9，∴ CE=3， BE=6.FCEF CE2 3在 Rt △ BGE 中，由勾股定理得，GEBE 2 BG 2 2 ，∵ AB=BE=6， BG ⊥AE ，∴ AG=GE=2，则 EA=AG+GE=4， EFEA 2 ，2故 CF+CE+EF=3+3+2=8所以△ EFC 的周长为 8.例 27.2 在△ ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、 AC 上， AED B ，如果 AE=2，△ ADE 的面积为 4，四边形 BCED的面积为 5，那么 AB 的长为多少？解： QAED B ， DAE CAB ，∴△ ADE ∽△ ACB ，∵ S △ ADE =4， S 四边形 BCED =5，∴ S △ACB =4+5=9，S △ ADE ：S △ACB =4： 9，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得相似比为2： 3，即 AE:AB=2:3，故 AB=3.例 如图 27.2 在 □ABCD 中， AE:EB=2:3， DE 交 AC 于点 F.（ 1） 求△ AEF 与△ CDF 的周长比；（ 2） 如果 S △ CDF =20cm 2，求 S △ AEF .解：（ 1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD ， AB//CD ，EAFDCF ,AEFCDF ，∴△ AEF ∽△ CDF ，△ AEF 的周长 AE 2△ CDF 的周长=5CD2（ 2） S △AEF2 4， Q S △ CDF =20，Q S △AEF 16S △ CDF525527.3 位似（ 1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（ 3） 掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.例 . 如图，四边形ABCD 的坐标分别为A（ -6， 6），B（-8， 2）， C（ -4，0）， D（-2， 4），画出它的一个以原点O 为位似中心，相似比为1的位似图形 . 2例.。
第27章相似三角形知识点总结及典型题目精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方一．选择题：1、下列各组数中，成比例的是（ ）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，122、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（ ）（A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtΔABC 中，∠C＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94二、填空题6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．7、如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为ABCD（第7题）238332589、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ．10、如图，点P 是R tΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．12、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．13、如图，在正方形网格上有111C B A ∆∽222A C B ∆，这两个三角形相似吗?如果相似，求出222111A C B A C B ∆∆和的面积比．CBAP（第10题）14、已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．15、如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.16、如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.PAB DCABECDF。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳下面是关于相似三角形的一些重要知识点的归纳：1.相似三角形的定义：当两个三角形的对应角度相等时，它们称为相似三角形。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的性质：相似三角形具有以下重要性质：-对应角度相等：如果△ABC∽△DEF，则∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
-对应边长度比相等：如果△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF。
-对应高度比相等：如果△ABC∽△DEF，则h₁/h₂=AB/DE=BC/EF=AC/DF，其中h₁和h₂分别为两个三角形的高度。
3.相似三角形的证明方法：-AA相似定理：如果两个三角形的两个角度分别相等，则它们相似。
根据该定理，只需证明两个对应角度相等即可证明两个三角形相似。
-SAS相似定理：如果两个三角形中的一对对应边的比相等，且对应角度相等，则这两个三角形相似。
-SSS相似定理：如果两个三角形的三对对应边比分别相等，则这两个三角形相似。
4.相似三角形的应用：-计算长度比例：根据相似三角形的性质，可以通过已知长度比例的一组相似三角形，来计算其他边的长度比例。
-求解角度：通过已知相似三角形的对应角度相等，可以求解未知的角度。
-计算面积比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
所以，通过已知相似三角形的边长比，可以计算出面积比。
5.重要的相似三角形定理：-长边分割定理：如果一条直线平行于一个边，且与另外两条边相交，这条直线将三角形分割成两个相似的三角形。
-三角形的垂直角定理：在一个直角三角形中，斜边与任意一个锐角的两个垂直角相等。
总结起来，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过理解相似三角形的定义、性质、证明方法以及应用，我们可以去解决各种几何问题。
相似三角形的知识点需要掌握好，也是我们在解决几何问题过程中的重要工具。
人教版九年级数学下册第二十七章相似三角形知识点总结无答案
相像三角形根本学问学问点一：相像图形1.的两个图形说成是相像的图形。
留意：〔1〕我们可以这样理解相像形：两个图形相像，其中一个图形可以看作是由另一个图形得到的．〔2〕全等形是相像图形的一种．2.相像多边形：假如两个多边形 ,对应角，对应边,那么这两个多边形是相像多边形。
记为相像比。
3.相像多边形的性质：对应角，对应边。
留意：当两个相像的多边形是全等形时，他们的相像比是.练习1、在比例尺为1：8000000的“中国政区〞地图上，量得甲市及乙市之间的间隔是6.5，那么这两市之间的实际间隔为；学问点二：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.l1∥l2∥l3 ,可得，2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.∵∥∴.3、断定三角形相像定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边及原三角形三边对应成比例.即： ∵ ∥ ∴.练习1、如图，E 是平行四边形的边的延长线上的一点，连结交于F ，那么图中共有相像三角形 〔 〕 A 1对 B 2对 C 3对 D 4对练习2、如图，△中，点D 、E 分别是、的中点，以下结论不正确的选项是〔 〕A.2B. △∽△C. ACABAE AD = D. ADE ABC S S ∆∆=3练习3、在菱形中，E 是边上的点，连接交于点F, 假设2,那么FDBF的值是〔 〕 A.21 B.31 C.41 D.518、如图小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，那么球拍击球的高度h 为〔 〕A 、815B 、 1C 、43 D 、85学问点三：相像三角形 1、相像三角形定义：假如两个三角形中，三角对应，三边对应，那么这两个三角形叫做相似三角形。
如△及△相像，记作。
相像比：两个相像三角形的比，叫做这两个三角形的相像比。
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第 27 章相似三角形知识点知识点 1有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2比例线段的相关概念（ 1）在求线段比时，线段单位要统一。
（ 2）在四条线段a, b, c, d 中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段 a,b,c, d 叫做成比例线段，简称比例线段知识点 3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）a: b c: d ad bc； a c a b c db d b d知识点 4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例 . A已知 AD∥ BE∥CF,可得ABDE或 AB DE或BC EF或BC EF或AB BC D E等.BC EF AC DF AB DE AC DF DE EFB C知识点 5相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点 6三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、只看角法（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS) ：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相知识点 7射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。
每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的乘积。
如图， Rt △ ABC中，∠ BAC=90°， AD是斜边BC 上的高，则 AD2=BD· DC， AB2=BD· BC ， AC2=CD· BC 。
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．A知识点 8相似三角形常见的图形B CD1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（ 1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A A 型”与“ X 型”图）AE DD E B C ABCDE C(1) B(2)(3)(2)如图：其中∠ 1=∠ 2，则△ ADE∽△ ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、“蝶型”）DAA1E4 E E1AD1 D2C 2 2B C B CB（ 3）如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型” 、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型” ）A AEA BD2 1EEE DC(D)A C D B C B C B(4) 如图：∠ 1=∠ 2，∠ B=∠ D，则△ ADE∽△ ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用：（ 1）若 DE ∥ BC （ A 型和 X 型）则△ ADE ∽△ ABC（ 2）射影定理若 CD 为 Rt △ ABC 斜边上的高（双直角图形）222则 Rt △ ABC ∽ Rt △ ACD ∽Rt △ CBD 且 AC=AD · AB ， CD=AD · BD ， BC=BD · AB ；AE DCDEABCBC AD B2（ 3）满足 1、 AC=AD · AB ， 2、∠ ACD=∠ B ， 3、∠ ACB=∠ ADC ，都可判定△ ADC ∽△ ACB ． （ 4）当AD AE或 AD ·AB=AC · AE 时，△ ADE ∽△ ACB ．ACABAADDEB CBC知识点 9相似三角形的性质(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3) 相似三角形周长的比等于相似比．(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．知识点 10 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1) 线段成比例的定义 (2) 三角形相似的预备定理(3) 利用相似三角形的性质(4) 利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（ 1）总体思路 : “等积”变“比例” ，“比例”找“相似”(2) 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的， 则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3) 找中间比：若没有三角形 ( 即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上 ) ，则需要进行“转移” ( 或“替换” ) ，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线 ( 通常是添加平行线 ) 构成 比例 . 以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
（ 5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
（ 6）．对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
一、填空题1．如图，BD、CE是的高，图中相似三角形有__________对．2．如图，D是的边AB上一点，若，则∽，若，则∽．1245673．在中，是高，若，且，则．4．如图，在四边形ABCD中，cm ，cm，cm ，cm ，则CD的长为__________cm．=5．如图，在中，AC =BC*DC，则∽ ____．6．如图，cm，则cm．7．如图，在中，与是否相似_________，相似比是 __________ ．二、选择题1．如图，在Rt中，于D点，则图中相似三角形有（）．A．4对B．3对C．2 对D．1 对2．如图，由下列条件不能判定与相似的是（）．A．B．C．D．3．如图，D为的边AB上一点，且，则 AC长为（）．A． 12cmB ．cmC ．cm D ．2cm4．下列 4 组图形中一定相似的是（）．A．各有一个角是40°的两个等腰三角形 B ．两条边之比都是2： 3 的两个三角形C．两条边之比都是2： 3 的两个直角三角形 D ．各有一个角是100 °的两个等腰三角形5．下列各组图形中有可能不相似的是（）．A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形6．有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（）．A．全等 B ．相似 C ．既不全等与也不相似 D ．无法确定7．和符合下列条件，其中使与不相似的是（）．A．B．C．D．三、如图，在梯形ABCD中，，求AB的长．四、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，，过 D点作 AC的平行线交BA的延长线于E．试判断．271 ．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ ACB=90°，且 CH ⊥AB ， HE⊥ BC ，HF ⊥ AC．求证：（ 1）△ HEF ≌△ EHC ；（2）△ HEF∽△HBC．272 ．已知：在菱形ABCD 中， O 是对角线 BD 上的一动点．（ 1）如图甲， P 为线段 BC 上一点，连接PO 并延长交 AD 于点 Q，当 O 是 BD 的中点时，求证：OP=OQ ；（ 2）如图乙，连接AO 并延长，与DC 交于点 R，与 BC 的延长线交于点S．若 AD=4 ，∠ DCB=60°，BS=10 ，求 AS 和 OR 的长．273 ．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36°，线段 AB 的垂直平分线交AB 于 D，交 AC 于 E ，连接 BE ．（1）求证：∠ CBE=36°；（ 2）求证： AE 2=AC?EC．277．如图 27- 14，已知 AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上一点，连接 BC ，AC ，过点 C 作直线 CD ⊥AB 于点 D，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交⊙ O 于点 F，连接 BF 与直线 CD 延长线交于点 G.求证： BC 2＝ BG·BF.278 ．如图 27- 16 ，AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E，过点 B 作⊙ O 的切线，交 AC 的延长线于点 F.已知 OA ＝3 ，AE ＝ 2.(1) 求 CD 的长； (2) 求 BF 的长．279．如图 27-15，点 C， D 在线段 AB 上，△ PCD 是等边三角形．(1) 当 AC，CD ， DB 满足怎样的关系时，△ACP∽△ PDB?(2) 当△ ACP∽△ PDB 时，求∠ APB 的度数．。