重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案讲课讲稿
(大学试卷)数值分析B答案及评分标准
《数值分析》考试卷B适用专业：计信081考试日期：2011年6月试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100一、 填空题： （6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有2位有效数字.2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =.( 1,0)4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.()('1)(1n n nn n x f x f x x x ---=+) 5、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1==∞AA，____________,2==AAF.(6; 7; 5.477; 5.46)6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是，其中迭代矩阵为 .（U L D A U L D J J --=+=<-),(,1)(1ρ）二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( √ ).2、高精度运算可以改善问题的病态性( Ⅹ ).3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( Ⅹ ).4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( √ ).5、高次拉格朗日插值是常用的( Ⅹ ).6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( √7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到√ ). 8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( √ ).9、奇异矩阵的范数一定是零( Ⅹ ).10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( Ⅹ ).三、（10分）已给sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线性插值 及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差. 解：用线性插值计算：330365.00167.002.001892.0314567.0)3367.0()3367.0(3367.0sin 0010101=⨯+=---+=≈x x x y y y L 3分截断误差：5111092.0)3367.0(3367.0sin )3367.0(-⨯≤-≤L R . 5分 用抛物插值计算：Sin0.3367=0.330 374； 8分误差：62100132.20233.0033.00167.09493.061)3367.0(-⨯<⨯⨯⨯⨯≤R 10分 四、（10分）求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件P(0)=0，P ’(0)=1,P(1)=1,P ’(1)=2.解：本题是标准的埃尔米特插值问题，可直接套用公式，利用两点的埃尔米特插值公式，五、（10分）确定求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh ++-≈--⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.解：)(3)0(34)(3)(h f hf h h f hdx x f hh++-≈⎰- 8分 具有3次代数精度. 10分六、（10分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组解：七、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x ， 考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯—塞德尔迭代法的收敛性. 解：（1）雅可比迭代法的迭代矩阵10928203.1)()32.08.0)(8.0(08.04.08.004.04.04.00)(21>=-+-=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+=-J J JB B I U L D B ρλλλλ 3分 所以，雅可比迭代法不收敛. 5分 (2)高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵18.0)(672.0032.0064.016.004.04.00)(1<=≤⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=∞-BB U L D B s sρ 8分 所以 ，高斯—赛德尔迭代法收敛. 10分八、（10分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式. （1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+；（2）123+=x x ，迭代公式3211+=+k k x x ；（3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x ；试分析每种迭代公式的收敛性.解：考虑5.10=x 的邻域[1.3,1.6].(1)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(2∈+=xx ϕ，1910.03.122)('23<=≈≤-=L x x ϕ，故迭代2111k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛. 3分(2)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[)1()(312∈+=x x ϕ，1522.0)3.11(36.12)1(32)('32322<=≈+⨯≤+=L x xx ϕ，故迭代3211+=+k k x x 在[1.3,1.6]上整体收敛. 6分(3)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(∈-=x x ϕ，1)16.1(21)1(21)('23>->--=x x ϕ，故迭代111-=+k k x x 在[1.3,1.6]上整体发散. 10分。
数值分析期末考试题
数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。
2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。
3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。
4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。
5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。
三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。
2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。
3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。
4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。
5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。
四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析试题及答案解析
数值分析试题及答案解析数值分析试题一、填空题（2 0×2′）1.-=?-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足|?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是ρ(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
重庆大学研究生数值分析试题解析
是Gauss公式。 六、(12分)设初值问题
y f( x ,y ) y ( a ) a x b
(1)试证单步法
2 2 K f ( x , y ) , K f ( x h , y hK ) 1 n n 2 n n 1 3 3 h y y ( K 3 K ) n 0 , 1 , 2 ,... n 1 n 1 2 4 y 0
( 4 ) f ( ) 2 x R ( x ) x ( x 1 ) ( x 2 ) 4 !
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
f ( x ) dx Af ( ) Bf ( 0 ) Cf ( ) 2 有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是
2 ,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7. 7 2 1 1 a a 2.设矩阵A= a 1 0 ,当a取______值时,A可以唯一分解 a 0 1 1 3 -1 又A =
为GGT,其中G为下三角矩阵.
解
令
1 a a 1 a 1 1 2 2 1 a 0 ,a 1 0 1 2 a 0 , 得： a a 1 2 2 a 01
3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向
是 量范数______, 而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数不是 _____.
4.求 3 a 解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a. 1 5.设(x)=x3+x2-3,则差商[3,32,33,34]=_______.
因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. (2)构造迭代格式: x 1 sin x k 0 , 1 , 2 ,... k 1 k 由于|(x)|=| cos |<1,故此迭代法收敛. x / 2 1 sin x
重庆大学研究生数值分析试题解析
算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.
解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2 时,(x)>0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.
(3)因为0<</2,所以() 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
0
cos / 2 1 sin
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).
R(பைடு நூலகம்) f (4) ( x ) x(x 1)2 (x 2)
4!
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
2
2
f
(x)dx
Af
( )
Bf
(0)
Cf
( )
有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是Gauss公式?
解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3 64/5=A4+C4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2
考试题解析
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
数值分析期末总结市公开课一等奖省赛课获奖课件
R 误差处理方法
1. 给定运算误差 , 确定参加运算数值字长 2. 近似式项数已定而字长待定 3. 总误差 给定, 要求确定项数和数值字长.
4. 数值字长已定, 待定近似式 =项R数+ R
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第二章 方程(组)迭代解法
1. 根初值确定方法 2.迭代解法 (1) 迭代法计算步骤 (2) 迭代解法几何意义 (3) 迭代法收敛性（φ’(x)| q<1 ） 3.迭代公式改进（减小q值）: (1) 埃特肯法 (2) 牛顿迭代法 (3) 牛顿下山法 (4) 弦截法
在xn基础上用切线法计算xn+1
是否满足精度要求
是 停顿迭代
否
是
检验下山条件
是否满足
2024/9/25
否 修改λ值,算出新近似值xn+1
牛顿下山法
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(4) 弦截法
单点弦截法： x n1
x0 f (xn ) f (xn )
xn f (x0 ) f (x0 )
双点弦截法
xn1
xn1 f ( xn ) xn f ( xn1 ) f ( xn ) f ( xn1 )
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习题二
（2）牛顿法
xn1
xn
xn3 3xn 1 3( xn2 1)
xn 3( xn2 1) 3( xn2 1)
xn3 3xn 1 3( xn2 1)
3 xn3
3xn xn3 3( xn2 1)
3xn第 一1 步3:2(形xxnn32成迭11)代函数
f(x0)= 23-3*2-1 =1
相对误差限为
||
x
|
y
|
y
数值分析报告期末考试复习题及其问题详解
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。
（4分）解：由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分） 解：{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解：①Newton 迭代格式为：xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式，使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分）解：作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得： (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位） （8分）解：用复合梯形公式：)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π，由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）解：改进Euler 格式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分 由y(1)=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明：]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明：设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
重庆大学研究生数值分析期末考试试卷
重庆大学研究生数值分析课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 1学期开课学院：数统学院 课程号:考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文推荐用小四号宋体；2。
按A4纸缩小打印一、 选择题（3分/每小题，共15分）1、以下误差公式不正确的是（ A ）A. ()()()1212x x x x εεε-=- B 。
()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εεε=+ D. ()()22x x x εε=2、通过点()00,x y ，()11,x y 的拉格朗日插值基函数()0l x ，()1l x 满足（C ）A. ()000l x =，()110l x =B. ()000l x =,()111l x = C 。
()001l x =,()111l x = D. ()001l x =,()110l x =3、已知等距节点的插值型求积公式 ()()352k k k f x dx A f x =≈∑⎰，则3k k A ==∑（ C )A. 1B. 2C. 3 D 。
44、解线性方程组Ax b =的简单迭代格式()()1k k x Bx f +=+收敛的充要条件是（ B ) A 。
()1A ρ< B. ()1B ρ< C 。
()1A ρ> D 。
()1B ρ>5、已知差商021[,,]5f x x x =，402[,,]9f x x x =,234[,,]14f x x x =，032[,,]8f x x x =，则420[,,]f x x x =（ B ）A. 5B. 9C. 14D. 8二、 填空题（3分/每小题，共15分）1取 3.141592x =作为数3.141592654...的近似值,则x 有____6____位有效数字 2、Cotes 求积公式的代数精度为 5学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密3、若()2[,]f x C a b ∈，则梯形求积公式的截断误差为：3''()()2b a f η--4、迭代法()1n n x x ϕ+=收敛的充分必要条件是：()'1x ϕ<5。
重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案讲课讲稿
重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案一.填空题:1． 若求积公式对任意不超过 m 次的多项式精确成立,而对 m+1 次多项式不成立,则称此公式的代数精度为m 次.2． 高斯消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 计算中断 ;.主元素的绝对值太小会发生 误差增大 .3． 当A 具有对角线优势且 不可约 时，线性方程组Ax=b 用简单迭代法和塞德尔迭代法均收敛.4． 求解常微分方程初值问题的欧拉方法是 1 阶格式; 标准龙格库塔法是 4 阶格式.5． 一个n 阶牛顿-柯特斯公式至少有 n 次代数精度,当n 偶数时,此公式可以有n+1 次代数精度.6． 相近数 相减会扩大相对误差,有效数字越多,相对误差 越大 .二计算题: 1. 线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-=++5.1526235.333321321321x x x x x x x x x 1) 对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=79/123/5413314/33/113/11U L 2) 求出此方程组的解.)5.0,1,2('-=x2. 线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++332212325223321321321x x x x x x x x x 1)对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=573235223152321321//////U L2)求出此方程组的解.),,('-=133x3) 此方程组能否用用简单迭代法和高斯塞德尔迭代法求解.0732223222305322303>=>=>,,A 对称正定,用高斯-塞德尔迭代法收敛;..,.,//////)(,6667033331027163432323232323232131=-==+-=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-λλλλλJ J B I U L D B 用简单迭代法不收敛3. 设f (x )= x 4, 以-1,0,1,2为插值节点,1) 试写出f (x )的三次拉格朗日插值多项式P 3(x )及其插值余项R 3(x );6)2)(1())()(())()(()(3020103210---=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)2)(1)(1())()(())()(()(3121013201--+=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)2)(1())()(())()(()(3212023102-+-=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 6)1)(1())()(())()(()(2313032103-+=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l )(8)()()(3203x l x l x l x P ++=())2)(1)(1()2)(1()1(!4)()4(43--+=--+=x x x x x x x x x x R 2) 求出f (1.5)的近似值,并估计误差.0625.55.1)5.1(4==f-0.93755.05.05.25.1)2)(1)(1()5.1(3=-⨯⨯⨯=--+=x x x x R 6)9375.0(0625.5)5.1(3=--=P或:0.3125610.9375 0625.0)5.1(8)5.1()5.1()5.1(3203⨯++=++=l l l P =6 -0.937560625.5)5.1()5.1()5.1(33=-=-=P f R4 设x x f ln )(=, 以1,2,3为插值节点,1) 试写出f (x )的二次拉格朗日插值多项式P 2(x )及其插值余项R 2(x );2322010210))(())(())(()(--=----=x x x x x x x x x x x l ))(())(())(()(312101201---=----=x x x x x x x x x x x l2211202102))(())(())(()(--=----=x x x x x x x x x x x l98080124711438009861693102212...)(.)(.)(-+-=+=x xx l x l x P 23112312333ln ()()()()()()()!R x x x x x x x ξξ'''=---=---2) 求出)(ln e p e 2≈的近似值,与精确值1比较,并用误差公式估计误差限.0135010135122.,ln ,.)(===R e e p231123123331171830718302817011593ln ()()()()()()()!..(.).R e e e e e e e ξξ'''=---=---≤⨯⨯⨯-=5 有积分公式()()2)0(2)(33f c f b f a dx x f ⨯+⨯+-⨯=⎰-，c b a ,,是待定参数，试确定c b a ,,，使得上述公式有尽可能高的代数精度,并确定代数精度为多少.⎰⎰⎰---==+==+-==++==332333318)(40)(2612,1,0,)(dx x b a xdx b a dx c b a k x x f k)]()()([)(/,/33023343234933f f f dx x f c b a ++-====∴⎰- 至少有2次代数精度.[][]10872072435486,024024430,)(33433343=++≠==++-===⎰⎰--dx x dx x x x x f此公式代数精度为3. 6 有积分公式)]2(3)0(2)2(3[43)(33f f f dx x f ++-=⎰- 1) 试确定代数精度为多少;2) 用它计算⎰-33dx e x,精确到2位小数,与3333---=⎰e e dx e x 作比较.[][][][][]10872072435486,02402443012012431860643032343614,3,2,1,0,)(3343333323333=++≠==++-==++==++-==++====⎰⎰⎰⎰⎰-----dx x dx x dx x xdx dx k x x f k代数精度为3.04.2043.18]323[43333320332=-==++≈⎰⎰----e e dx e e e e dx e x x7. 某企业产值与供电负荷增长情况如下表：1) 试用一次多项式拟合出经验公式bx a y +=；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛415521186062625..b a 解之: 0006101811.,.ab =-=0061018110..-=x y8. 测试某型号水泵得到扬程(米)和出水量(立米/小时)的对照表如下:1)试用一次多项式拟合出经验公式x ba y +=；bX a y x X +==,/1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12365491404514515....b a 解之: 59953043864.,.ba ==-38644953059./.-=x y2) 计算拟合值填入上表的空格，看是否与实际值基本吻合； 3) 某用户使用此型号水泵时扬程为2.6米,试估计此时出水量?67183864462953059.../.=-=y9 方程01=-+-x xe x有一个实根：1)用区间对分法搜索确定根所在的区间 (a,b )，使 b-a ≤0.2;(0.6,0.8)1) 用某种迭代法求出此正根,精确到5位有效数字65905.0*≈x10 方程x e x-=1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； 2) 证明Λ,,,101==-+k e x k x k ，在(0,1)区间内收敛；3) 用牛顿迭代法求出此根,精确到5位有效数字1),.)(,)(,)(063201100>=-==-=-f f e x x f x(0,1)区间有一个实根；)(,)(x f e x f x 011>>+='-是严格增函数，只有一个实根。
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限.(4分）解：由已知可知，n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分)解:{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分) ① 写出f(x ）=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时,)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解:①Newton 迭代格式为:xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0，1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛 (8分）解:所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b,其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss —Seidel 迭代格式 （9分)解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式:⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1，2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1，2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y,即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f （x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式,使'11'33)(,)(y x H y x H i i == (6分）解:作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+（x+1）-x （x+1）+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分)解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 (i=0，1，2，3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x （x-1)=442++x x 4分9. 求f （x ）=x 在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x ， k=2x ,计算得： （m ，m)=dx ⎰-111=0 (m,n ）=dx x ⎰-11=1 （m,k)=dx x ⎰-112=0(n,k ）=dx x ⎰-113=0。
数值分析习题与答案知识讲解
数值分析习题与答案第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
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重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案一.填空题:1． 若求积公式对任意不超过 m 次的多项式精确成立,而对 m+1 次多项式不成立,则称此公式的代数精度为m 次.2． 高斯消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 计算中断 ;.主元素的绝对值太小会发生 误差增大 .3． 当A 具有对角线优势且 不可约 时，线性方程组Ax=b 用简单迭代法和塞德尔迭代法均收敛.4． 求解常微分方程初值问题的欧拉方法是 1 阶格式; 标准龙格库塔法是 4 阶格式.5． 一个n 阶牛顿-柯特斯公式至少有 n 次代数精度,当n 偶数时,此公式可以有n+1 次代数精度.6． 相近数 相减会扩大相对误差,有效数字越多,相对误差 越大 .二计算题: 1. 线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-=++5.1526235.333321321321x x x x x x x x x 1) 对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=79/123/5413314/33/113/11U L 2) 求出此方程组的解.)5.0,1,2('-=x2. 线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++332212325223321321321x x x x x x x x x 1)对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=573235223152321321//////U L2)求出此方程组的解.),,('-=133x3) 此方程组能否用用简单迭代法和高斯塞德尔迭代法求解.0732223222305322303>=>=>,,A 对称正定,用高斯-塞德尔迭代法收敛;..,.,//////)(,6667033331027163432323232323232131=-==+-=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-λλλλλJ J B I U L D B 用简单迭代法不收敛3. 设f (x )= x 4, 以-1,0,1,2为插值节点,1) 试写出f (x )的三次拉格朗日插值多项式P 3(x )及其插值余项R 3(x );6)2)(1())()(())()(()(3020103210---=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)2)(1)(1())()(())()(()(3121013201--+=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)2)(1())()(())()(()(3212023102-+-=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 6)1)(1())()(())()(()(2313032103-+=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l )(8)()()(3203x l x l x l x P ++=())2)(1)(1()2)(1()1(!4)()4(43--+=--+=x x x x x x x x x x R 2) 求出f (1.5)的近似值,并估计误差.0625.55.1)5.1(4==f-0.93755.05.05.25.1)2)(1)(1()5.1(3=-⨯⨯⨯=--+=x x x x R 6)9375.0(0625.5)5.1(3=--=P或:0.3125610.9375 0625.0)5.1(8)5.1()5.1()5.1(3203⨯++=++=l l l P =6 -0.937560625.5)5.1()5.1()5.1(33=-=-=P f R4 设x x f ln )(=, 以1,2,3为插值节点,1) 试写出f (x )的二次拉格朗日插值多项式P 2(x )及其插值余项R 2(x );2322010210))(())(())(()(--=----=x x x x x x x x x x x l ))(())(())(()(312101201---=----=x x x x x x x x x x x l2211202102))(())(())(()(--=----=x x x x x x x x x x x l98080124711438009861693102212...)(.)(.)(-+-=+=x xx l x l x P 23112312333ln ()()()()()()()!R x x x x x x x ξξ'''=---=---2) 求出)(ln e p e 2≈的近似值,与精确值1比较,并用误差公式估计误差限.0135010135122.,ln ,.)(===R e e p231123123331171830718302817011593ln ()()()()()()()!..(.).R e e e e e e e ξξ'''=---=---≤⨯⨯⨯-=5 有积分公式()()2)0(2)(33f c f b f a dx x f ⨯+⨯+-⨯=⎰-，c b a ,,是待定参数，试确定c b a ,,，使得上述公式有尽可能高的代数精度,并确定代数精度为多少.⎰⎰⎰---==+==+-==++==332333318)(40)(2612,1,0,)(dx x b a xdx b a dx c b a k x x f k)]()()([)(/,/33023343234933f f f dx x f c b a ++-====∴⎰- 至少有2次代数精度.[][]10872072435486,024024430,)(33433343=++≠==++-===⎰⎰--dx x dx x x x x f此公式代数精度为3. 6 有积分公式)]2(3)0(2)2(3[43)(33f f f dx x f ++-=⎰- 1) 试确定代数精度为多少;2) 用它计算⎰-33dx e x,精确到2位小数,与3333---=⎰e e dx e x 作比较.[][][][][]10872072435486,02402443012012431860643032343614,3,2,1,0,)(3343333323333=++≠==++-==++==++-==++====⎰⎰⎰⎰⎰-----dx x dx x dx x xdx dx k x x f k代数精度为3.04.2043.18]323[43333320332=-==++≈⎰⎰----e e dx e e e e dx e x x7. 某企业产值与供电负荷增长情况如下表：1) 试用一次多项式拟合出经验公式bx a y +=；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛415521186062625..b a 解之: 0006101811.,.ab =-=0061018110..-=x y8. 测试某型号水泵得到扬程(米)和出水量(立米/小时)的对照表如下:1)试用一次多项式拟合出经验公式x ba y +=；bX a y x X +==,/1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12365491404514515....b a 解之: 59953043864.,.ba ==-38644953059./.-=x y2) 计算拟合值填入上表的空格，看是否与实际值基本吻合； 3) 某用户使用此型号水泵时扬程为2.6米,试估计此时出水量?67183864462953059.../.=-=y9 方程01=-+-x xe x有一个实根：1)用区间对分法搜索确定根所在的区间 (a,b )，使 b-a ≤0.2;(0.6,0.8)1) 用某种迭代法求出此正根,精确到5位有效数字65905.0*≈x10 方程x e x-=1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； 2) 证明Λ,,,101==-+k e x k x k ，在(0,1)区间内收敛；3) 用牛顿迭代法求出此根,精确到5位有效数字1),.)(,)(,)(063201100>=-==-=-f f e x x f x(0,1)区间有一个实根；)(,)(x f e x f x 011>>+='-是严格增函数，只有一个实根。
2)),(,)(,)(101∈<=-='==---x e e x e x x x x x ϕϕ),(),()(1011⊆∈-e x ϕ迭代收敛；3) ,,kkx x k k k xee x x x ex --+-+--==-101取500.=x567105671056630503210.,.,.,.====x x x x11. 用欧拉方法求解常微分方程初值问题，取h=0.2，计算精确到4位小数．⎪⎩⎪⎨⎧=-+='0021122)(y y x y 0212012012341,,,,,k k k k y y y h y k x +=⎧⎪⎛⎫⎨=+-= ⎪⎪+⎝⎭⎩12 微分方程初值问题⎩⎨⎧=-='102)(y y y ，用改进的欧拉方法求).(),.(4020y y 的近似值，（即h=0.2，计算二步）,并与准确解: 211x y +=比较．计算精确到4位小数．()[]⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-===+++,,,...,)()(101020201220112010k y y y y y y y h y k k k k k k k其他13 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。
（假定钢珠为标准的球形） 解：323336200120010033026,(),()()()()().,()()...%r d d V V d d d V V d d V d d dV d d V Vππεπεεεππε'==''≈⨯=⨯=⨯==⨯÷==14 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少。
解：()()22222222431421025400000033006422102540000251025100243644433006243624360073873833006,.....;()()()......,..().()..%.r d hV d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε=≈=⨯⨯===+=⨯⨯⨯+⨯==±====。