重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案讲课讲稿
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重庆大学《数值分析》期末考试真题及
答案
一.填空题:
1． 若求积公式对任意不超过 m 次的多项式精确成立,而对 m+1 次多项式不成
立,则称此公式的代数精度为m 次.
2． 高斯消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 计算中断 ;.
主元素的绝对值太小会发生 误差增大 .
3． 当A 具有对角线优势且 不可约 时，线性方程组Ax=b 用简单迭代法和塞德
尔迭代法均收敛.
4． 求解常微分方程初值问题的欧拉方法是 1 阶格式; 标准龙格库塔法是 4 阶格
式.
5． 一个n 阶牛顿-柯特斯公式至少有 n 次代数精度,当n 偶数时,此公式可以有
n+1 次代数精度.
6． 相近数 相减会扩大相对误差,有效数字越多,相对误差 越大 .
二计算题: 1. 线性方程组:
⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=+-=++5
.1526235.333321
321321x x x x x x x x x 1) 对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=79/123/54
1
33
14
/33/113
/11
U L 2) 求出此方程组的解.
)5.0,1,2('-=x
2. 线性方程组:
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=++=++3
32212325
223321
321321x x x x x x x x x 1)对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=573235223
152321321//////U L
2)求出此方程组的解.
),,('
-=133x
3) 此方程组能否用用简单迭代法和高斯塞德尔迭代法求解.
073
2
2
232223053
2
2
303>=>=>,,
A 对称正定,用高斯-塞德尔迭代法收敛;
.
.,.,
//////)(,6667033331027
16
3432323232323232131
=-==+-=-⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=+-=-λλλλλJ J B I U L D B 用简单迭代法不收敛
3. 设f (x )= x 4, 以-1,0,1,2为插值节点,
1) 试写出f (x )的三次拉格朗日插值多项式P 3(x )及其插值余项R 3(x );
6)
2)(1())()(())()(()(3020103210---
=------=
x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)
2)(1)(1())()(())()(()(3121013201--+=
------=
x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)
2)(1())()(())()(()(3212023102-+-
=------=
x x x x x x x x x x x x x x x x l 6
)
1)(1())()(())()(()(2313032103-+=
------=
x x x x x x x x x x x x x x x x l )
(8)()()(3203x l x l x l x P ++=
()
)
2)(1)(1()2)(1()1(!
4)()
4(43--+=--+=
x x x x x x x x x x R 2) 求出f (1.5)的近似值,并估计误差.
0625.55.1)5.1(4==f
-0.93755.05.05.25.1)2)(1)(1()5.1(3=-⨯⨯⨯=--+=x x x x R 6)9375.0(0625.5)5.1(3=--=P
或:
0.3125610.9375 0625.0)5.1(8)5.1()5.1()5.1(3203⨯++=++=l l l P =6 -0.937560625.5)5.1(
)5.1()5.1(33=-=-=P f R
4 设x x f ln )(=, 以1,2,3为插值节点,
1) 试写出f (x )的二次拉格朗日插值多项式P 2(x )及其插值余项R 2(x );
2322010210)
)(())(())(()(--=
----=
x x x x x x x x x x x l )
)(()
)(()
)(()(312101201---=----=
x x x x x x x x x x x l
2
211202102)
)(())(())(()(--=
----=
x x x x x x x x x x x l
98080124711438009861693102
212...)(.)(.)(-+-=+=x x
x l x l x P 23
1
12312333ln ()()()()()()()!
R x x x x x x x ξξ'''=
---=
---
2) 求出)(ln e p e 2≈的近似值,与精确值1比较,并用误差公式估计误差限.
0135
010135122.,ln ,.)(===R e e p