《特殊的平行四边形》培优训练

E L K

J F

D C B A

E D C B A D C B A Q

P 'A y x O C

B A D

C B

D C B A D

C

B A H G F E D

C B A 《特殊的平行四边形》培优训练

1、已知如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠ADB=300且BC=34，则△ECD

面积为

1题图 2题图

2、动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3，AD=5。如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的'A 处，折痕为PQ ，当点'A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动。若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点'A 在BC 边上可移动的最大距离为 。

3、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、轴的正

半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值应是 。

4、在菱形ABCD 中，∠A=720，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD 分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（注：两种分法中只要有一条分割线的位置不同，就认为是两种不同的分法）。

5、如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），

以GC 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于H 。

（1）求证：△BCG ≌△DCE ，BH ⊥DE ；

（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？

6、如图（1）所示，在平行四边形ABCD 的形外分别作等腰直角三角形ABF 和等腰直角三

角形ADE ，∠FAB=∠EAD=900，连接AC 、EF ，在图中找一个与△FAE 全等的三角形，并加以证明。 应用：以平行四边形ABCD 的四边为边，在其形外分别作正方形，如图（2）所示，连接EF 、GH 、IJ 、KL 。若平行四边形ABCD 的面积为5，则图中阴影部分的四个三角形的面积和为 。

图（1）图（2）

7、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶

点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH。

（1）如图（1）所示，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图（2）所示，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状（不要求证明）；

H G F E D C B A A A B B C C D D E E F F G G H H P E D C B A P E D C B A F M N

（2）如图（3）所示，当四边形ABCD 为一般的平行四边形时，设∠ADC=)900(00<<αα，

①试用含α的代数式表示∠HAE ；

②求证：HE=HG ；

③四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由。

图（1） 图（2） 图（3）

8、如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作平行四边形APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α，)900(00<<α。

（1）求证：∠EAP=∠EPA ；

（2）平行四边形APCD 是否为矩形？请说明理由；

（3）如图2，F 为BC 的中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN （M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）。猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论。

y x

O E D C B A

9、如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是

线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线b x y +-

=21交折线OAB 于点E 。

（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形111C B OA 与

矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

O F E D C B A E D C P E D C

P 图用备

10、已知，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于

点E 、F ，垂足为O 。

（1）如图①，连接AF 、CE ，求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；

（2）如图②，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一

周。即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止。在运动过程中，

①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当以A 、C 、P 、Q

四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值。

②若点P 、Q 的运动路程分别为b a ,（单位：0, ab cm ），已知以A 、C 、P 、Q 四点为顶

点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式。