数字信号处理第一章

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（3）解析法
适用于因果序列、单边序列、有限长序列
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• 对因果序列:
x(n)=x1(n)· u(n), y(n)=x2(n)· u(n)
x ( n) y ( n)
m


x ( m) y ( n m)
m

n

x1 (m) u (m) x2 (n m) u (n m) x1 (m) x2 (n m) Rn 1 (m)
f (t ) Ke Ke
st
( j ) t
Ke t e jt Ke t (cost j sin t ) Ke t cost j Ke t sin t
复指数信号与正余弦 信号之间的关系：



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二、序列的周期性
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x (n)=x (n +N), -∞<n<∞ (1-13)
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R4 (n) 1
n 0 1 2 3
图1-3 矩形序列
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4. 实指数序列
x(n) anu(n) a为实数 (1-10)
• 如果|a|<1，x (n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛 序列；如|a|>1，则称为发散序列。其波形如图1-4所示。
图1- 4 实指数序列
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5. 复指数序列
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令n -k=m，代入上式得到
u (n)
u(n) 1 … n 0 1 2 3
k
(k )
n
(1-6)
图1－2 单位阶跃序列
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3. 矩形序列R N (n)
1, 0 n N 1 RN (n) 0, 其他n
(1-7)
• 上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n) 的波形如图1－3所示。矩形序列可用单位阶跃 序列表示，如下式： • R N (n) =u (n) -u (n-N) (1-8)
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14个抽样周期等于3个连续正弦信号的周期。
例1.1.2：
判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 3 ( 1) x(n) A cos( n ) ，A为常数 7 8
( 2) x(n) e
解 ：
1 j ( n ) 8
3 (1) , 7
2
14 , 3
对称轴将序列x(n)翻转。 fliplr(x)
• 尺度变换 x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，
相当于时间轴n压缩了m倍。
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反折：
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3.卷积和
y(n)
m
x (m) x (n m) x (n) x (n)
1 2 1 2

(1-1)
计算卷积和的方法： (1)图解法：画图 (2)列表法：适用于有限长序列
这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 1 2 (2) 16 , 8,
这是无理数，因此是非周期序列。
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三、序列的运算
在数字信号处理中，序列有下面几种运算， 它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换等。 1.乘法和加法 序列之间的乘法和加法，是指它的同序号 的序列值逐项对应相乘和相加，如图1-7所示。
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δ (n) 1 n －1 0 (a ) 1 2 3 0
δ (t)
t (b )
图1－1 单位抽样序列和单位冲激信号
(a)单位抽样序列； (b)单位冲激信号
移序：
(n) (n m)
( n)
1
1 n=m 0 n≠m
0 1 2 3 4 5 …… m
n
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用单位抽样序列表示任意序列
微分方程
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参考书
《信号与系统》下册， 郑君里等主编， 高等教育出版社
《数字信号处理教程》， 程佩青， 社
清华大学出版
《数字信号处理及应用》， 卢光跃等主编，人民邮电出版社
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1.1 离散时间信号－序列
• 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有
一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变
对于任意序列，常用单位抽样序列的移位加 权和表示，即
x(n)
m
x(m) (n m)

（1-16）
因为只有m=n时，δ（n -m）=1.
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个 很有用的公式。
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例：x (n)的波形如图所示，可以用(1-16)式表示成： x (n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-δ(n4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
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图1-7 序列的加法和乘法
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2. 移位、翻转及尺度变换
移位：
序列x(n)，当m>0时，
x(n-m)：延迟/右移m位
x(n+m)：超前/左移m位
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x(n) 右移
x(n) 左移
x(n-m)
x(n+m)
x(n)
m=3 m=4
-3 -2 -1 0 1
2 3
4 5 6 7
• 反折
x(-n)则是x(n)的翻转序列，是以n=0的纵轴为
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6. 正弦序列
x(n)=Asin(nω ＋υ)
0
式中A为幅度，υ为起始相位，ω0称为正弦序列的 数字频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或 者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。
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补充：
欧拉公式：
e jt e jt cost e jt cost j sin t 2 jt e jt e jt e cost j sin t sin t 2j
量，则称为多维信号。 • 本课程仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、
电压等，本课程一般地把信号看作时间的函数。
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离散时间信号的获取？
对模拟信号xa(t)进行等间隔抽样，抽样间隔为T， 得到
xa (t )
t nT
xa (nT ),
n
u (m) u ( n m) u (m) u[ ( m n)] u (m) u[ m ( n 1)] Rn 1 (m)
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m
x1 (m) x2 (n m)
m0
小结：
x2(0) x2(1)
x1(1)
x1(2)
x1(3)
x1(0) x2(0) x1(1) x2(0) x1(2) x2(0) x1(3) x2(0) x1(0) x2(1) x1(1) x2(1) x1(2) x2(1) x1(3) x2(1)
x2(2)
x1(0) x2(2) x1(1) x2(2) x1(2) x2(2) x1(3) x2(2)
则称序列x (n)为周期序列，周期为N。注意N要取整数。
例如：
x ( n ) sin( n ) 4 上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，可以写成下式：
x(n) sin( (n 8)) 4


表明x(n)是周期为8的周期序列，也称正弦序列，如图1-5 所示。
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图1-5 正弦序列
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结论：
1、两个有限长序列卷积后结果还是有限长，长 度为L=N1+N2-1。 ——“线性卷积”
2、n-m中的n为反折后的序列平移的位置，和y(n) 对应。
3、卷积结果的起始位置为两序列起始位置之和， 截止位置为两序列截止位置之和。
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（2）列表法(适用于两有限长序列)
n=0
n=1
n=2
n=3
x1(0)
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一、几种常用序列
1. 单位抽样序列δ (n)
1, n 0 (n) 0, n 0
(1-2)
• 单位抽样序列也可以称为单位冲激序列，特 点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类 似于模拟信号和系统中的单位冲激函数δ(t)， 但不同的是δ(t)在t=0时，取值无穷大，t≠0时 取值为零，对时间t的积分为1。单位抽样序 列和单位冲激信号如图1－1所示。
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2. 单位阶跃序列u (n)
1, n 0 u(n) 0, n 0 (1-3)
• 单位阶跃序列如图1－2所示。它类似于模拟信 号中的单位阶跃函数u (t)。δ (n)与u (n)之间的 关系如下式所示：
(n) u (n) u (n 1)
m 0
(1-4)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2) (1-5)
n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有序的数 字序列：… xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)…，该数字序 列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字 序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后 顺序。
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• 为简化，抽样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可 以称为序列。这里n取整数，非整数时无定义。对于 具体信号，x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信 号的抽样值，即 • x (n)= x a (nT)， -∞＜n＜∞ • 信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形 表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据， 则其可以用集合符号表示，例如： • x (n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
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• 序列的表现形式： 公式；集合； 图形
{x(n)}： {…,2,7,3,-1,0,5,9,6…} 1、表示序列{x(n)} x(n)的两层含义 2、表示n处的量值