趣味数学 一笔画问题
小学奥数著名问题之——一笔画问题习题集
一笔画问题（教师必备）一、欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。
因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。
二、顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。
因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。
如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。
所以一个图形的奇点数目一定是偶数。
(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。
例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。
如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。
将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。
一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。
如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。
所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。
三、到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画，看下面的例题：1.下列图形分别是几笔画？怎样画？2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？4.下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画吗？如果能，请你把它画出来。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：-第八讲-一笔画问题
第八讲一笔画问题一、一笔画问题问题1 你能一笔画出一个“田”字吗？所谓一笔画出的意思就是在一张纸上（不允许折叠）笔不离纸,而且每一笔划（或称线段）只能画一次,不准重复.对于“串”字或“品”字呢？结果会怎样？（参看图 8－1）通过各种尝试发现,“田”字总也不能一笔画成,而“串”字却可以一笔画成.由于“品”字中的三个“口”字不连在一起,显然也不能一笔画成.我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画.一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成.例 1 下列图形哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成？经过尝试,你会发现,图 8－2（a）、（c）、（e）是可以一笔画成的.而且图（c）、（e）可从任意一点出发,一笔画成回到出发点,而图（a）只能从A （或D）点出发,一笔画成到 D（或A）点结束.如果图形非常复杂,用这种逐一尝试的方法,则所花的时间较多,且有时还无法下结论.有没有一种简便的判断方法呢？下面就来研究这个问题.上面研究的图形都是由点和线段（或弧）组成的,在数学中叫做图.图形中的点叫图的结点,线段（或弧）叫做图的边.作为一个图,其图形还必须满足以下条件：（1）每条边都有两个端点（可以重合）作为结点；（2）各条边之间互不相交.一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定,而与边的曲直长短无关.图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数.度数为偶数的结点叫做偶结点.例如,图 8－3 中结点 C、D、E 都是偶结点.度数为奇数的结点叫做奇结点.例如,图 8－3 中结点A、B、F、G 都是奇结点.任何两点间都有线连接的图称作连通图.（如图8－3 中D 与G 可通过DB、BA、AG 连接）观察例 1 中的五个图,其结点的奇偶性可列成下表：从表中可以发现,一个图能否一笔画成,与图的奇结点的个数有密切联系, 人们总结出如下规律：一个图若是一笔画必定是个连通图.一个连通图,若没有奇结点（即全是偶结点）,那么这个图一定可以一笔画成,而且可以从任一偶结点出发,一笔画成回到出发点.一个连通图,若只有两个奇结点,那么这个图也可以一笔画成.而且只能从某一奇结点出发一笔画成,到另一奇结点结束.一个图,若奇结点个数多于两个,那么这个图就不能一笔画成. 例 2判断下列各图是否能一笔画出来.解：其中（b）、（d）、（e）三个图无奇结点,所以可从任一点出发,一笔画成, 并且回到出发点；（a）、（f）两图各有两个奇结点,所以可从其中一个奇结点出发,一笔画成,到另一个奇结点结束；而图（C）的八个结点都是奇结点,所以不能一笔画出来.当作练习,请把例 2 中能够一笔画的图一笔画出来.二、七桥问题和欧拉定理问题 2 七桥问题.关于一笔画,曾有一个颇为著名的哥尼斯堡七桥问题.事情发生在 18 世纪的哥尼斯堡,有一条河流从这个城市穿过,河中有两个小岛 A、B,河上有七座桥连结两个小岛及河的两岸（参看图 8－5）,那里的居民在星期日有散步的习惯.有的人想,能不能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点？这个问题似乎不难,谁都想试一试,但谁也没有找到答案.后来有人写信请教著名的瑞士数学家欧拉.欧拉的头脑比较冷静,千百人的失败使他猜想：也许那样的走法根本就不存在.1936 年他证明了自己的猜想.欧拉解决七桥问题的方法独特,思想新颖,非常富有启发性.他用点表示小岛和两岸,用连结两点的线段表示连结相应两地的桥,得到由七条线段连结四个点而成的图形（参看图8－5（b））.这样七桥问题就变成了一个一笔画问题：能不能一笔画出这个图形,并且最后返回起点？前面我们虽然通过对例 1 的分析归纳出了一个连通图是否能一笔画出来的三条结论,但并没有证明,没有说明这是为什么.下面我们简要说明其中的道理.一个连通图能否一笔画成主要是与结点的边数（也称度数）有关.假定某个图能一笔画成,如果结点 P 不是起点或终点,而是中间点,那么 P 一定是个偶结点.因为无论何时通过一条边进入 P,由于不能重复,必须从另一条边离开 P,因此与 P 连结的边一定成对出现,所以 P 是偶结点.如果一个结点 Q 是奇结点,那么在一笔画中只能是起点或终点.由此可以看出,在一个一笔画中,奇结点个数至多只能有两个.由于哥尼斯堡七桥问题相应的图中有四个奇结点,所以不能一笔画成.也就是说,七桥问题无解,证实了欧拉的猜想.欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题, 而且得到并证明了更为广泛的上述有关一笔画的三条结论,人们通常称之为欧拉定理.1736 年,欧拉在圣彼得堡科学院作了一次报告,公布了他关于七桥问题的研究成果.欧拉在研究中提出了一种新颖的数学问题及思想方法,它标志着一门崭新的数学学科——图论的诞生.对于一个连通图,通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路.例如,图 8－6（a）中的图无奇结点,可以从 A 点出发,一笔画成回到 A 点, 其路线为A→D→E→H→D→G→H→I→F→E→B→F→C→B→A.图8－6（b）中的图有两个奇结点 C 和E,可以从E 出发一笔画成,到 C 结束.其路线为E→D→C→B→A→C.这两条路线都是欧拉路.应当注意：一个图如果存在欧拉路,那么不一定是唯一的.人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路的图叫做欧拉图.例如,图 8－6（a）所表示的路线就是一条欧拉回路,因此相应的图就是一个欧拉图.例3 图8－7 是一公园的平面图,线段表示路径,要使游客走遍每条路且不重复, 问出入口应设在哪里？分析与解：这个问题实质上是一个一笔画问题.图中只有两个奇结点 C 和E,因此,只要把出入口分别设在这两个奇结点处,游客就能由入口进入公园,不重复地走遍每条路,然后从出口处离开公园.例4 能否一笔画出一条曲线,使它和图 8－8 中的八条线段都只相交一次（不准在端点处相交）？分析与解：尝试几次后,会感到很难下结论.事实上,直接寻找答案并不容易.我们可从七桥问题得到启示.原图形把平面分成了五个部分,分别用 A、B、C、D、E 五个点表示.两个点之间的连线正好用来表示与相应的线段相交一次,如图 8 －8（b）.于是,问题就变成了图 8－8（b）中所表示的图能否一笔画成.因为图中A、B、C、D 都是奇结点,因此,它不能一笔画成,即不存在符合题目要求的曲线.例 5 图 8－9 表示一个展览馆的平面图,其中共有五个展览室,每个展览室都有一个门通向室外.能否设计一条参观路线,一次不重复地穿过每一个门并能回到原地.分析与解：如果用 A、B、C、D、E 表示展览室,用F 表示室外,用连线表示相应的门,那么图 8－9（a）就变成了图 8－9（b）于是问题就转化为判断图 8－9（b）是否为欧拉图.由图中可以看出,点 C、D、E、F 都是奇给点,因而图 8－9（b）不具有欧拉回路.所以不是欧拉图.也就是说,不存在题中所要求的那种参观路线.可以进一步考虑,关闭了哪两个门之后,就能设计出符合题中要求的参观路线了？为此,只要使图 8－9（b）变为欧拉图,即使它的奇结点个数为 O 即可.例如抹去线段CD 和EF 后的图就没有奇结点了.也就是说,如果关闭 C、D 之间和E、F 之间的两个门,就能设计出一条参观路线,一次不重复的穿过每一个门,并能回到原地.请你试一试,同时想一想,是否还存在其它的答案,一共有几种？习题八1．判断下列各图是否能一笔画成.2．一个花园的小径如图 8－11 所示,散步者能否不重复地一次走遍全部小径？3．图8－12 中A、B、C、D 是四个防空洞,相邻防空洞之间有地道相通,且每个防空洞各有一条地道与地面相通,能否找到一条路线不重复地走遍所有地道？4．用剪刀能否一次连续剪下图 8－13 所示的纸上的 3 个正方形和2 个三角形？5．一只蚂蚁,从图 8－14 右上角长方形中 P 点出发爬行,它要越过这图中16 条线段.每条线段只能通过一次,且不能通过线段的端点,你认为存在这样的路线吗？806．图8－15 表示一个有九个展室的展览馆平面图,每相邻的展室之间都有一道门相通,能否设计一条参观路线,从入口进去,每道门只通过一次,再由出口出去？如果能,则标出参观路线；如果不能,则考虑至少要增开几道门就可设计出符合要求的路线,并标出“新门”的位置.。
《有趣的小学数学—一笔画》
【知识点】1、七桥问题：18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如右上图）。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。
这个问题在很长一段时间里，都没有解决。
后来大数学家欧拉证明了这个问题的不可能性，把它转化成一个几何问题，即一笔画问题。
2、奇点与偶点：凡是从一个点出发有奇数条线的点，叫做奇点；凡是从一个点出发有偶数条线的点，叫做偶点。
3、欧拉定理：（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
（2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完。
画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
（3）奇点的个数一定为偶数，奇点个数超过两个的图形不能一笔画，所需的最少笔数等于奇数点的个数除以2。
例题1：下面这些图形是否能一笔画？能一笔画的打“√”，不能画的打“×”。
（）（）（）（）（）【答案】×，×，√，√，√例题2：用标数法判断下图是否能一笔画，如果哪个图形可以一笔画，就请并标出它的起点和终点。
【答案】前两个图形，以任一偶点为起点，最后以这个点为终点；后两个图形以任意一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
例题3：（1）下面两个图形均不能一笔画成，你能将原图形中的某一线段去掉，使它可以一笔画吗？【解析】（1）去掉AC、AD、AE任意一个即可；（2）去掉AB（答案不唯一）；（3）去掉AG（答案不唯一）（2）下列各图形能不能一笔画成，如果不能，至少添上几笔，就能使整个图形一笔画完？【答案】（1）不能，至少添加1笔；（2）不能，至少添加2笔。
【解析】图（1）共有4个奇点，留下两个奇点，这样只要将其中两个奇点之间连一条线段，就把4个奇点变成2个奇点了，这样就能使整个图形一笔画完，所以至少需要添加1笔，就能使整个图形一笔画完；图（2）共有6个奇点这样只要将其中4个奇点之间连两条线段，就把6个奇点变成2个奇点了，这样就能使整个图形一笔画完了，所以至少只需要添加2笔，就能使整个图形一笔画完。
趣味数学 一笔画问题
课题一笔画问题备课日期10月11日授课日期教学目标1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。
2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。
3、通过探究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。
教学重点运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。
教学难点探究“一笔画”的规律。
课型新授教具课件教学过程二次备课一、不走冤枉路出门旅游，面对众多分散的景点时，人们总想尽量走最少的路，看最多的风景。
为了不让重复的“冤枉”路弄得疲惫不堪，就必须找到一条连接各景点而又不重复的路径，一次走下去，不再回来。
那么，我们在遇到类似的数学问题时，先找单数点(从一点出发，线段的条数是单数的)，再找下一个单数点，如果图形中只有双数点或有两个单数点，则可以一笔画出，超过两个单数点则不能一笔画出。
从图中的一个小黑点出发，不重复、不遗漏，一次能走完这些路吗?二、聪聪画图形下面的图形都是聪聪小朋友一笔画成的，相信从图中的小黑点出发，你也能一笔画成。
三、小小设计师下图是一个森林公园的平面图，要使游客走遍每条景观路而不重复，请你帮忙设计出口、入口的位置。
四、谁先到达小兔和小猴住在同一个小区。
下图是该小区的所有街道平面图，小兔家住A处，小猴家住B处，C处是商店。
一天，小猴对小兔说：“咱俩比赛，分别从自家出发，以相同的速度走遍所有街道，看谁先到达商店。
”小兔想了想说：“可以，我一定能赢你。
”小猴很自信地说：“我家离商店近，你怎么能赢我呢?我肯定比你先到达。
”聪明的小朋友，你知道小猴和小兔谁说得对吗?作业处理：板书设计：教学反思：。
易学教育奥数一笔画问题
“一笔画”是指笔不离 开纸，而且每条线都只 画一次不准重复而画成 的图形。
你能一笔画出下列图形吗？
下列图形你还能不能一笔画呢？
理论研究
与奇数条边 相连的点叫 做奇点
奇 点
偶 点 与偶数条边
相连的点叫 做偶点
①凡是由偶点组成的连通图，一定可 以一笔画成；画时可以任一偶点为起 点，最后一定能以这个点为终点画完 此图。 ②凡是只有两个奇点（其余均为偶 点）的连通图，一定可以一笔画成； 画时必须以一个奇点为起点，另一 个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画成。
能不能既不 重复又不遗 漏地一次相 继走遍这七 故事发生在18世纪的哥尼斯堡城 座桥？ .流
能不能既不 重复又不遗 漏地一次相 继走遍这七 座桥？
把河的两岸、两个小岛看成四个点
把七座桥看成是七条线
转化成数学模型后如图所示
A D
C B
分析：：
A 图中四个点都是奇 点，所以不能一笔 D 画，那么既不重复 又不遗漏地一次相 继走遍这七座桥是 不可能的！
C
B
在七桥问题中，如果允许你再架一 座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？ 这座桥应该架在哪里？请你试一试！
A C D
B
A C B A C B D C
A D C
A D
B A D
C B
B A D
C B
D
蚂 蚁 赛 跑
一只红蚂蚁和一只黄蚂蚁比赛看 谁能爬过所有的棱线，最终到达 终点D.已知它们的爬速相同，哪 只蚂蚁能获胜？
分析：
图中只有两 个奇点，可 以一笔画。 即可以不重 复的走遍每 一条棱线。 但是只有从 奇点出发才 能一笔画， 所以红蚂蚁 选对了出发 点哦！
小学数学《一笔画》练习题(含答案)精选全文
可编辑修改精选全文完整版小学数学《一笔画》练习题（含答案）什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.判断图形能否一笔画的规律：（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．（一） 一笔画以及多笔画【例1】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.(f)(e)(d)JIH G F ED C BAJ K IHGFED CB A分析：（a ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点A 、B ；画法为A →头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴. （b ）图：不能一笔画，因为此图不是连通图.（c ）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A 、B 、C 、D.（d ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：A →C →D →A →B →E →F →G →H →I →J →K →B. （e ）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A →B →C →D →E →F →G →H →I →J →B →D →F →H →J →A.（f ）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点.[注意]在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点.[巩固]判断下列图a、图b、图c能否一笔画．E分析：图a是一个连通的图形，图中只有点A和点F两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：A —M—N—A—F—B—C—B—K—C—D—E—D—L—E—F．‘图b是一个不连通的图形，所以不能一笔画．图c是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：A—B—C—D—E—F—D—A—F —C—A．【例2】右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？分析：本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.[巩固]在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？分析：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.[数学小游戏] 用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画?分析：通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成．如右图：FE DCB ADCBA我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n ÷2=n.【例3】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IH G FED CBA 图aH G I KLJ F EDCBA 图b DC HG EFBA图c分析：图a ：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在B,D 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d 所示．画法：H →A →B →C →D →E →F →I →D →B →I →H →G →F ．图b ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K ，L 两点之间的连线，图中只有两个奇点，故 可以一笔画出，如图e 所示．画法：B →C →D →E →F →→J →H →G →I →A →B →K →I →L →E ．图c ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在B ，C 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点， 故可以一笔画出，如图f 所示．画法：A →E →D →H →A →B →F →C →G →B →C →D注意：a 、b 、c 三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．图dA BCD EFG H IH GI KLJ F EDCB A 图eDC HG EFBA图f[前铺]观察下面的图，看各至少用几笔画成？分析：（1）图中有8个奇点，因此需用4笔画成. （2）图中有12个奇点，需6笔画成. （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成.DC BA(2)(1)FEC DB A分析：图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）.图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A 与B ，C 与D （或A 与D ，B 与C ）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）.说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC ，添上边AD 与EF.（二）一笔画的实际应用【例5】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功?：这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在． 下面，我们考虑如下两个问题：(1)如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥?若能，这座桥应架在何处?若不能，请说明理由． (2)架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地?而得到一个由四个点和七条线组成的图形(如图b)．在图b 中，点A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点B ，D ，在B ，D 之间连一条线(架一座桥)，如图c ．在图c 中只有点A 和C 两个奇点，那么我们可以以A 为起点，C 为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：A →C →A →B →A →D →B →D →C所以，如果在河岸B 与小岛D 之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥．（2）在(1)的基础上，再在另外两个奇点A 与C 之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图d ．那么A ，B ，C ，D 四个点均为偶点，所以图d 可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后 仍回到这个点．其中一种画法为：A →C →A →C →D →A →B →D →B →A这表明：在河岸B 与小岛D 之间架一座桥后，再在小岛A 与河岸C 之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．[巩固]如图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？分析：用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥.例如右下图的走法.EDCBA【例6】 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？分析：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画，但因为邮局所在点为奇点，所以要一笔画就不可能回到邮局.又图中A,B,C,D,E,F,G,H,I,J十点均有4条线段与之相连，如果我们将上图一笔画的话，就要经过以上十点各两次，这也不满足题目的要求，所以要将这些点相连的线段去掉一些，使得与这些点相连的线段均只有两条，并且将两个奇点也变成只有两条线段与之相连，这样得到的图形即可一笔画，又只经过每个点一次，并且可以回到邮局，一种可行路线如下：邮局I JHGF E D C B A 邮局邮局【例7】 右图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门?若能，请找出一条可行路径；若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门?分析：我们把展厅A,B,C,D,E 及馆外F 看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作是连接表示这两个展厅的点的线．根据题中条件知，馆外F 与A ，B ，C ，D ，E 各展厅相通，这样将点F 与点A ，B ，C ，D ，E 用线连接；展厅A 与展厅B ，C ，D 相通，将点A 与点B ，C ，D 用线连接；展厅B 除与A 相通外，它还与D ，E 展厅相通，将B 与D ，E 连接；除此之外，展厅C ，D 相通，展厅D ，E 相通，将点C ，D 连接，再将点D ，E 连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了能否将图a 一笔画的问题．可以看出：图a 中共有六个点，其中有四个奇点，它们分别为C ，D ，E ，F ，由一笔画的规律可知，图a 不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每一扇门．如果允许关闭某一扇门，这相当于在图a 中去掉一条线，那么参观者就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a 中有四个奇点C ，D ，E ，F 为了把图a 改成一笔画图形，我们设法减少奇点个数，使奇点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇点的线，如去掉E 与F 间的连线，相应的图a 就变成了图b ．在图b 中，除了原来的C 和D 是奇点外，其余点全部是偶点，故图b 可以一笔画．其中一种画法为：C →F →D →E →B →F →A →B →D →A →C →D ．上面的分析表明，如果关闭连接E 、F 两展厅之间的门，参观者就可以不重复地一次穿过每一扇开着的门． 本题与七桥问题类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇门．我们将这个问题转化为一笔画问题来研究．[前铺]右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？ FFF F E C D BA EB A分析：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到下图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为下图是否一笔画问题.EDC BA图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走. 【例8】 已知长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米(如右图)，并且要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米?分析：图中八个顶点均为奇点，所以不能一笔画，要使其能一笔画，至少要去掉三条棱，使上图只有两个奇点，就可以满足一笔画的条件．长方体的棱长总和一定，(80+80+40)×4=800(厘米)，因此去掉的三条棱越短，蜘蛛爬过的距离就越远．所以我们去掉三条棱长为40厘米的棱，于是可知，蜘蛛爬行的最远距离为： 800-40×3=680(厘米)．蜘蛛的爬行路径为：G →F →C →D →G →H →A →B →E →H(如右图)．[注意]这是一个立体图形，它有八个顶点，我们把长方体的棱看作顶点与顶点之间的连线，蜘蛛只能前进不能后退，并且每一条棱不能爬两次，这实质上是一个一笔画问题．【例9】 右图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各点表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C 楼与D 楼之间的P 处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里?分析：为了少走冤枉路和节省时间，题目中要求最短路线，根据一笔画原理，我们知道一笔画路线就是最短路线．本题要求清扫车从P点出发，仍回到P 点．通过观察上图可知，图中有六个奇点，根据一笔画规律可知，清扫车想清扫完所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使清扫车从P 点出发，最后仍回到P 点，就必须把图中所有的奇点都变成偶点，即在两奇点之间添加一条线．在实际问题中，就是清扫车在哪些街道上重复走的问题，由于每条街道的长度不同，因此需要我们考虑清扫车重复走哪条街道才使总路线最短．为使六个奇点都变成偶点，我们可以有下图中的四种方法表示清扫车所走的重复路线，其中填虚线的地方表示的是重复路线．重复的路程分别为：图a ：2×2+3=7；图b ：3+4×2=11；图C ：3×3=9； 图d ：3+6×2=15．显然，重复走的路线最短，总路程就最短．从上述计算中就可找到最短路线图，即下面四个图中的图a ．408080H G F ED C BA804080H GFED CBA图b 图a图d图c在图a 中，所有点均为偶点，是一笔画图形．清扫车可按如下路径走：P →D →G →D →E →F →G →H →L →H →C →B →L →M →A →B →C →P ，全程为：(1+2+4+2)×2+3×5+2×2+3=40(公里)．【例10】 邮递员李文投送邮件的街道以及街道的长度如右图所示(单位：千米)，每天小李要从邮局出发，走遍所有街道后回到邮局．请你帮他设计一条最短路线，并计算出这条路线有多少千米?分析：本题仍可以用一笔画图形的方法来解决．在图a 中共有六个奇点E ，F ，G ，H ，I ，J ，把这些奇点配对，每对之间用虚线连接(如图a)，其中要用到D 点，这样图中就没有奇点了，从而可以不重复地走遍所有的街道．由于邮递员李文要重复走一些路段，因此重复走的路越短越好，即添上去的重复线段的总长度越短越好．在图a 中H 与E 之间有重叠，这样势必会增加李文所走路程的长度，应作调整．经调整后，将重叠部分去掉便得图b ．在图b 的圈形闭路IHGJI 中，I ，J ，G ，H 各点没有连线时是奇点，连线后变成偶点，增加长度为50×2=100千米．而如果连IJ 和HG ，增加的长度仅为10×2=20，由此可知图b 需继续作调整，改成图c ，这种连接方法是最好的，它使李文行走的路线最短．根据以上分析，为了保证添上去的线段之和最短，应遵循下面的两条原则：(1)连线不能有重叠的线段；(2)在每一个圈形闭路上，连线长度之和不能超过 这个闭路总圈长的一半．经过分析可以知道，图c 的连接方法能使邮递员李文行走路线最短，而且能保证李文从邮局出发又回到邮局．这时他的行走路线为：邮局→A →I →J →I →H →G →H →E →D →F →D →G →J →B →C →D →E →邮局 他行走的全程为： (50+15)×4+20×4+10×6+20×2=440(千米)．图a图b图c[小结]本题中采用的方法叫做“奇偶点图上作业法”，用这种方法来确定最短路线比较简便实用．此方法可以用下面的口诀来描述：画出路线图，确定奇偶点；奇点对对连，连线不重叠；闭路添连线.不得过半圈．[巩固]右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A 出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？ 分析：这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K 是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC 这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个.容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF 、IJ 、BC.即洒水路线如下右图.全程45＋3+6=54（里）.1. （例1）判断下列各图能否一笔画．图aG I H F ECD BA图bF ED CBA分析：图a 中九个点全是偶点，因此可以一笔画，其中一种画法为：A →F →B →G →C →H →D →E →H →l →→F →G →l →E →A ．图b 中A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，故不可以一笔画．图c 中，只有A,C 为奇点，故可一笔画．其中一种画法为：A →D →E →C →H →N →G →M →F →A →B →C ．2. （例3）下列各图至少要用几笔画完？分析：（1）4笔；（2）4笔；（3）2笔；（4）1笔；（5）1笔；（6）1笔.3.（例6）右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析：把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A.上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来.下面仅给出一种参观路线：A→E→B→C→E→F→C→D→F→A.4.（例7）一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？分析：清洁车走的路径为： ABCNPBCDEFMNEFGHOLMHOIJKPLJKA. 即：清洁车必须至少重复走4段1公里的街道，如下图.最短路线全程为28公里.5.（例10）一个邮递员的投递范围如右图，图上的数字表示各段街道的长度.请你设计一条最短的投递路线，并求出全程是多少？分析：邮递员的投递路线如下图，即：路线为：ABCDEDOBOMNLKLGLNEFGHIMOJIJA.最短路线的全程为39+9=48.。
小学奥数 奇妙的一笔画 精选例题练习习题(含知识点拨)
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【例 3】 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．图aNML KF DECBA 图bODCBA图cGFEDCBA例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【例 4】 下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？（1）（2）（3）【例 5】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？【例 6】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？E CDB A【例 7】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？乙甲【例 8】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？【例 9】 下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？IHGFEDC BA【例 10】 邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【例 11】 观察下面的图，看各至少用几笔画成？（1）A ED HCF G B （2）（3）【例 12】 在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？【例 13】 有16个点排成的44 方阵。
智力测试题一笔连成(3篇)
第1篇一、题目背景一笔连成，是一种智力测试题，要求参赛者用一笔连续不断的方式将题目中的所有点连接起来，形成一个封闭的图形。
这种题目考验的是参赛者的观察力、空间想象力和逻辑思维能力。
以下是一系列的一笔连成题目，供您挑战。
二、题目内容1. 题目一：一笔连成给定一个由10个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这10个点连接起来，形成一个封闭的图形。
2. 题目二：一笔连成三角给定一个由6个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这6个点连接起来，形成一个封闭的三角形。
3. 题目三：一笔连成四边形给定一个由8个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这8个点连接起来，形成一个封闭的四边形。
4. 题目四：一笔连成五角星给定一个由5个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这5个点连接起来，形成一个封闭的五角星。
5. 题目五：一笔连成圆形给定一个由9个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这9个点连接起来，形成一个封闭的圆形。
6. 题目六：一笔连成心形给定一个由7个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这7个点连接起来，形成一个封闭的心形。
7. 题目七：一笔连成正方形给定一个由4个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这4个点连接起来，形成一个封闭的正方形。
8. 题目八：一笔连成六边形给定一个由6个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这6个点连接起来，形成一个封闭的六边形。
9. 题目九：一笔连成椭圆形给定一个由10个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这10个点连接起来，形成一个封闭的椭圆形。
10. 题目十：一笔连成蝴蝶给定一个由7个点组成的图形，要求用一笔连续不断的方式将这7个点连接起来，形成一个封闭的蝴蝶形状。
三、解题思路1. 观察题目：仔细观察题目中给出的图形，找出其中的规律和特点。
2. 分析点与点之间的关系：分析题目中各个点之间的关系，找出连接它们的最佳路径。
3. 逻辑推理：根据题目要求，运用逻辑推理，确定连接各个点的顺序。
一笔画问题
一笔画问题
1.瑞士大数学家欧拉在七桥问题的过程中，发现了一笔画原理，这一原理被命名为“欧拉定理”：
（1）能一笔画的图形必须是连通的。
（2）凡是只由偶顶点组成的连通图形，一定可以一笔画出，画时可以由任一偶顶点为起点，最后仍回到这点。
(3)凡是只有两个奇顶点的连通图形一定可以一笔画出，画时必须以一个奇顶点为起点，以另一个奇顶点为终点。
（4）奇顶点个数超过两个的图形不能一笔画出。
2.能一笔画出的图形的奇顶点数目是2或0，如果图形有奇顶点2N（n为正整数）个，那么图形最少要用N笔画出。
趣味一笔画练习题
趣味一笔画练习题
规律：（1）凡是图中没有单数点的必然能够一笔画成。
（2）只有2个单数点，必然能够一笔画成，画时必需以一个单数点为起点，最后以另一个单数点为终点。
（3）图形中只有一个单数点，或单数点的个数多于两个，此图形不能一笔画成。
【大体训练】
1、下面的图形能不能一笔画成？若是能，应该如何画？
二、下面的图形能不能一笔画成？若是能，应该如何画？
3、下图是儿童乐园平面图，出、入口应别离设在哪里才能不重复地走遍每条路？
C D
A
B
4、依照左图的样子，在右图的点上用一笔画出。
（1）
（2）
（3）
（4）
【拓展提高】
一、下面的图形能不能一笔画成？什么缘故？若是能，应该如何画？
二、给下面的图形添一条线，使它能够一笔画成。
3、小明和玲玲玩“过木桥”的游戏（如下图），他们谁能不走重复的路？
小明
玲玲
4、在王大爷家的花园中有一些路（如下图），王大爷每次给花浇水时，老是无法走过每一条路而又不重复，你明白什么缘故吗？若是请你给花园加一条路来解决那个问题，你预备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。
关于一笔画问题的经典探讨PPT培训课件
一笔画定理及其证明
一笔画定理
一个连通图形可以一笔画成当且仅当该图形中奇数个顶点的度数之和为2。
证明过程
首先，根据连通性规则，图形必须是连通的。然后，根据奇偶性规则，如果图 形中奇数个顶点的度数之和为2，则该图形可以一笔画成；如果图形中奇数个顶 点的度数之和不为2，则该图形不能一笔画成。
一笔画定理的应用实例
应用
一笔画问题在计算机科学、电子工 程、运筹学等领域都有广泛的应用。
一笔画问题的重要性和应用领域
理论价值
一笔画问题在数学理论中具有重 要的价值，是图论、组合数学等 领域的重要研究课题之一。
应用价值
一笔画问题在计算机图形学、电 路设计、物流规划等领域都有广 泛的应用，可以帮助人们解决一 系列实际问题。
06
一笔画问题的实际应用案例
地图着色问题
算法设计
解决地图着色问题需要设计一种有效的算法，能够判断给定的地图是否可以一笔画成，并找出最少所需的颜色数 量。常用的算法包括贪心算法、回溯算法等。
实例分析
地图着色问题可以通过实例来分析，例如给定一个包含多个国家的地图，如何使用最少的颜色对各个国家进行着 色，使得相邻的国家颜色不同。
判断一笔画图形
通过计算图形中奇数个顶点的度数之 和，可以判断该图形是否可以一笔画 成。
设计一笔画图案
解决实际问题
一笔画定理在计算机科学、电子工程、 机械工程等领域都有广泛的应用，例 如在电路设计和布线、机器人路径规 划等方面。
利用一笔画定理，可以设计出具有特 定形状和结构的一笔画图案。
03
一笔画问题的经典问题解析
THANKS
感谢观看
一个顶点的度数为奇数，意味着该顶点是起点或 终点。
一笔画(奥数)
一笔画【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。
（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。
3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。
（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。
（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。
（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。
【题目】1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。
2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3 判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？A4下面图形能不能一笔画成？这什么？5 如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地方？6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。
7．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。
8．下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？9．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？10．下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。
11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。
12．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。
13．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？14．黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。
黑色的鱼在A点位置，白色的鱼在B点位置。
哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？15．能用一根铁丝弯成下面的图形吗？16．一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？17．一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？18．你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗？19．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？20．如图，在一个六面体的顶点A和B处各有一只蜗牛，它们比赛看谁能不重复地爬遍每一棱线到达C点。
一类一笔画问题及其规律
一类一笔画问题及其规律
一笔画的规律：
1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2、凡是只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
简介
1736年，欧拉证实：七桥问题的走法根本不存在。
同时，他发表了“一笔画定理”：一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件：图形是联通的；图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2。
欧拉的研究开创了数学上的新分支――图形与几何拓扑。
能一笔画成的图形上的点，除了起点与终点以外，每个点都应该与偶数条线相连，这种点叫偶数点。
与奇数条线相连的点叫奇数点。
能一笔画成的图形中除了起点与终点以外不应有奇数点。
数学题类型名，最著名的是七桥问题（欧拉解答）。
一笔画的概念是讨论某图形是否可以一笔画出。
图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。
只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。
只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。
在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图形。
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)。
三年级上册数学课件-一笔画问题 全国通用
20.顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰! 2、初三不再有，劝君珍惜之。一年之经历，终身之财富 8、贫不足羞，可羞是贫而无志。 6.在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚 5.未曾失败的人恐怕也未曾成功过— 4、书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲。——于谦 8、贫不足羞，可羞是贫而无志。 1.明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 14.要随时牢记在心中：决心取得成功比任何一件事情都重要。 14、读书，这个我们习以为常的平凡过程，实际上是人们心灵和上下古今一切民族的伟大智慧相结合的过程。——高尔基 24.如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。
让我们什来么看样一的看图，形奇才点偶点 和一笔可画以有一什笔么画关呢系？吧！
然后，我们还要认识两个新朋友，一个叫奇点，一个叫偶 点。
奇点：从我这里出发的线，是单数个噢！ 偶点：从我这里出发的线，是双数个噢！
你能找出奇点和偶点吗？再试试能不能一笔画吧。
你能找出奇点和偶点吗？再试试能不能一Байду номын сангаас画吧。
（） （） （）
（1）有 0 个奇点：可以随意起点随意终点，都能一笔画；
你能什判么断样一的笔图画形了才吗？ 可以一笔画呢？
（2）有 2 个奇点：1号奇点作起点，2号奇点做终点，才能一 笔画；
（3）超过2个奇点，就不能一笔画了。
谁能一次不重复地走遍所有小路？
它想一次不重复地走完每条小路．该从哪个路口出发呢？
我能一次不重复地走遍 所有的小桥吗？
我从哪个入口出发， 才能一次不重复地走遍 所有小路？
这个增如蝴加果蝶一去能条掉一线笔试条画一线出试呢吗？？
哪些图形可以一笔画， 哪些不可以呢？
被我们“否定”的图形 你能把它改成一笔画吗？
小学数学奥数一笔画练习题目
小学数学奥数一笔画练习题目一、题目简介本练习题目旨在帮助小学数学奥数学生提升他们的一笔画技巧和数学思维能力。
通过解决一系列的数学绘图问题，学生将能够锻炼他们的观察力、逻辑推理和创造力。
二、题目一请你用一笔画出一个正方形。
三、题目二请你用一笔画出一个等边三角形。
四、题目三请你用一笔画出一个长方形。
五、题目四请你用一笔画出一个梯形。
六、题目五请你用一笔画出一个圆形。
七、题目六请你用一笔画出一个五边形。
八、题目七请你用一笔画出一个六边形。
九、题目八请你用一笔画出一个七边形。
十、题目九请你用一笔画出一个八边形。
十一、题目十请你用一笔画出一个九边形。
十二、题目十一请你用一笔画出一个十边形。
十三、题目十二请你用一笔画出一个星形。
十四、题目十三请你用一笔画出一个心形。
十五、题目十四请你用一笔画出一个你喜欢的动物形状。
十六、题目十五请你用一笔画出一个你喜欢的食物形状。
十七、题目十六请你用一笔画出一个你喜欢的水果形状。
十八、题目十七请你用一笔画出一个你喜欢的建筑物形状。
十九、题目十八请你用一笔画出一个你喜欢的交通工具形状。
二十、总结通过完成以上练习题目，学生们将能够提升他们的一笔画技巧和创造力。
同时，这些练习题目也有助于培养学生的观察力和逻辑推理能力。
希望大家能够认真完成练习，并在练习的过程中感受到数学的乐趣。
结束语数学奥数是一门极富挑战性和创造性的学科。
通过锻炼学生的一笔画技巧，不仅可以提升他们在奥数竞赛中的表现，还能够促进他们的思维发展和解决问题的能力。
希望这些练习题目能够帮助到大家，并激发他们对数学的兴趣和热爱。
一笔画问题例题加解析
一笔画问题例题加解析一、什么是一笔画问题。
一笔画问题呀，就像是一个超有趣的小谜题呢。
简单来说，就是在一个图形里，能不能一笔就把这个图形画出来，而且笔不能离开纸，也不能重复画已经画过的线。
这就像是在走迷宫，但是这个迷宫是用线条画出来的。
比如说，一个圆形，那肯定能一笔画出来，就顺着圆的边画一圈就好啦，简单得很。
二、一笔画问题的小规则。
这里面可是有小秘密的哦。
有个叫欧拉的超级聪明的人发现了一些规律。
对于一个连通图（就是这个图里的各个部分都是连着的，没有分开的小块），如果这个图里的奇点（就是从这个点出发的线的数量是奇数条的点）个数是0或者2的时候，这个图就能一笔画出来。
要是奇点个数是0呢，就可以从任何一个点开始画，最后还能回到这个点；要是奇点个数是2呢，就得从其中一个奇点开始画，然后到另一个奇点结束。
三、例题来啦。
1. 比如说这个三角形，我们来看看它能不能一笔画出来呢。
三角形的每个顶点，都有两条线连着，那就是说，它的奇点个数是0。
按照我们刚刚说的规则，它肯定能一笔画出来啦。
怎么画呢？就从三角形的一个顶点开始，顺着边画，绕一圈就画好啦，是不是很容易呢？2. 再看这个正方形加上一条对角线的图形。
这个图形的四个顶点本来都是有两条线连着的，但是加上对角线之后呢，对角线的两个端点就变成了奇点，这时候奇点个数是2。
那按照规则，我们从其中一个奇点开始，沿着边画，就能一笔画出来啦。
四、解析例题。
1. 对于三角形那个例子，因为每个顶点都是偶点（从这个点出发的线的数量是偶数条的点），所以我们在画的时候，就可以很顺畅地绕着图形走一圈，不会出现画不下去或者必须重复的情况。
这就像是在一个没有障碍的小路上散步，一路畅通无阻。
2. 在正方形加对角线的例子里，由于有两个奇点，这就像是两个特殊的出入口。
我们从一个奇点这个特殊的入口进去，然后沿着图形的边和线走，最后到达另一个奇点这个出口，就刚好把整个图形一笔画完了。
如果我们不按照这个规则，从别的点开始画，就会发现画到一半就会走不下去，或者必须要重复画某些线了。
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课题一笔画问题
备课日期10月11日授课日期
教学目标1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。
2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。
3、通过探究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。
教学重点运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。
教学难点探究“一笔画”的规律。
课型新授
教具课件
教学过程二次备课一、不走冤枉路
出门旅游，面对众多分散的景点时，人们总想尽量
走最少的路，看最多的风景。
为了不让重复的“冤枉”
路弄得疲惫不堪，就必须找到一条连接各景点而又不重
复的路径，一次走下去，不再回来。
那么，我们在遇到
类似的数学问题时，先找单数点(从一点出发，线段的条
数是单数的)，再找下一个单数点，如果图形中只有双数
点或有两个单数点，则可以一笔画出，超过两个单数点
则不能一笔画出。
从图中的一个小黑点出发，不重复、
不遗漏，一次能走完这些路吗?
二、聪聪画图形
下面的图形都是聪聪小朋友一笔画成的，相信从图
中的小黑点出发，你也能一笔画成。
三、小小设计师
下图是一个森林公园的平面图，要使游客走遍每条景观路而不重复，请你帮忙设计出口、入口的位置。
四、谁先到达
小兔和小猴住在同一个小区。
下图是该小区的所有街道平面图，小兔家住A处，小猴家住B处，C处是商店。
一天，小猴对小兔说：“咱俩比赛，分别从自家出发，以相同的速度走遍所有街道，看谁先到达商店。
”小兔想了想说：“可以，我一定能赢你。
”小猴很自信地说：“我家离商店近，你怎么能赢我呢?我肯定比你先到达。
”聪明的小朋友，你知道小猴和小兔谁说得对吗?
作业处理：
板书设计：
教学反思：。