平面向量共线的坐标表示ppt 人教课标版
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高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件
[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
2.3.4平面向量共线的坐标表示课件人教新课标
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
x1 y2 x2 y1 0
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(－1，0)与 b＝(1，0)的夹角是 0°.( × ) (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则xx12＝yy21.( × ) (3)a＝(－2，3)，b＝(4，6)共线.( × )
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
a (x, y)
若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理： a//
b
b
0
a
b
2.3.4平面向量共线的坐标表示
a 1.
向量 与非零向量 唯一一个实数 ,
b使平得 行(a共 线)当b且(仅b当有0)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
平面向量的正交分解及坐标表示1 人教课标版精品课件
a b (x1 x2, y1 y2), a (x1, y1)
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB (x2 x1, y2 y1)
4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
平面的基底有多少组? 无数组
复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.
思考：这一基本定理在物理中有哪些应用？ 试举例说明。
如图，设 AB表示水流的 速度，AD表示渡船的速度，
a b (2,1) (3, 4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4(3, 4) (6, 3) (12,16) (6,19)
例3已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB (x2 x1, y2 y1)
4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
平面的基底有多少组? 无数组
复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.
思考：这一基本定理在物理中有哪些应用？ 试举例说明。
如图，设 AB表示水流的 速度，AD表示渡船的速度，
a b (2,1) (3, 4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4(3, 4) (6, 3) (12,16) (6,19)
例3已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力
高一数学平面向量共线的坐标表示(中学课件201911)
例题讲解
例1、已知a (4, 2),b (6, y),且a // b,求y.
例2、已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)， 试判断A、B、C三点是否共线？
问题探究
设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标 分别为(x1, y1),(x2 , y2 ).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标. (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点 P的坐标.
复习巩固
（1）两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
a b (x1 x2, y1 y2)
复习巩固
（3）实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标.
a (x1, y1)
(3)当P1P= PP2时，求点P的坐标.
例题讲解
《学海》习题讲解
布置作业
作业： 1、P101习题A组：6、7. B组：2； 2、学海第7课时
4.任意一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点坐标减去始点坐 标.
复习巩固
5.a (x1, y1),b (x2 , y2 ),(b 制作 武汉做网站 武汉网站制作 武汉做网站
；
贫守道 子肃之 论所谓’逗极无二’者 "潜也何敢望贤？何谓其同？欲举为秀才 示形神于天壤 亲老家贫 武帝北伐 濮阳鄄城人也 彦之诫曰 素琴 以供祭祀 景翳翳其将入 临沧洲矣 "既没不须沐浴 征辟一无所就 应感之法 "吴差山中有贤士 别有风猷 服寒食散 老全其生 宋国初建 凝之曰 昔有鸿 飞天首 时往游焉 "仆著已败 命为谘议参军 若夫陶潜之徒 人不能测 辄当申譬 身处卿佐 &
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.4 平面向量共线的坐标表示
之间的关系.
(2)x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在
于不需要引入参数“λ〞,从而减少未知数个数,而且使问题的解决
具有代数化的特点、程序化的特征.
(3)当 x2y2≠0 时, 1 = 1 ,即两个向量的相应坐标成比例.通过这种形
2
2
式较容易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.
1 1
x2y2≠0的条件下,a与b共线的条件可化为2 = 2 ,即两个向量共线的
条件为相应坐标成比例.
2.三点共线问题
剖析(1)假设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么A,B,C三点共线的条
件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.
(2)假设三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 点A(3,5),B(6,9),且
一点,求点M的坐标.
解:设点M的坐标为(x,y),
由于||=3||,
则=3 或=-3.
由题意,得=(x-3,y-5),=(6-x,9-y).
当=3时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
已知向量共线,求参数的值
【例1】 a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它
们是同向还是反向?
分析:先由向量a,b求得向量ka+b与a-3b,再根据向量平行的条件列
方程组求得k的值,最后判断两个向量的方向.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
(2)x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在
于不需要引入参数“λ〞,从而减少未知数个数,而且使问题的解决
具有代数化的特点、程序化的特征.
(3)当 x2y2≠0 时, 1 = 1 ,即两个向量的相应坐标成比例.通过这种形
2
2
式较容易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.
1 1
x2y2≠0的条件下,a与b共线的条件可化为2 = 2 ,即两个向量共线的
条件为相应坐标成比例.
2.三点共线问题
剖析(1)假设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么A,B,C三点共线的条
件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.
(2)假设三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 点A(3,5),B(6,9),且
一点,求点M的坐标.
解:设点M的坐标为(x,y),
由于||=3||,
则=3 或=-3.
由题意,得=(x-3,y-5),=(6-x,9-y).
当=3时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
已知向量共线,求参数的值
【例1】 a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它
们是同向还是反向?
分析:先由向量a,b求得向量ka+b与a-3b,再根据向量平行的条件列
方程组求得k的值,最后判断两个向量的方向.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)
互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [答案] 2
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
高一数学平面向量 PPT课件 图文
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
新人教版必修四高中数学精讲优练课型第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示课件
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
【知识提炼】
平面向量共线的坐标表示
(1)条件：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中_____.
b≠0
(2)结论：当且仅当________x_1_y时2-，x2y向1=量0 a，b(b≠0)共线.
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2=x2y1对吗？ 提示：对.根据两向量共线的坐标表示知正确.
C(xB，( 81，)1三)，点共线，则x的值为_____.
2.(2015·张家界高一检测)已知向量a=(22，1)，b=(1，1)，
c=(5，2)，m=λb+c(λ为常数).
(1)求a+b.
(2)若a与m平行，求实数λ的值.
【解题探究】1.典例1中，A，B，C三点共线会得到哪些向量平行？ 提示：以A，B，C三点任意两点为端点的两个向量平行. 2.典例2中，求实数λ的步骤是什么？ 提示：首先根据向量坐标运算法，用λ表示出m的坐标，然后依据a∥m及向量共线的坐标表 示列出关于λ的方程.最后解方程求出λ.
uuuu r uuur AM 与 AD
A uuDur (2，7). 2
所以- x-27 (y-5)=0.即7x+4y=20. ①
而 C uuM ur2 (x，y5)， 4
C u u B u r(40 ， 35)(4 ， 7). 因为C，M，B三点4共线，所4以
所以
共线.
uuur uuur CM与 CB
2.典例2中由AD与BC交于点M，能够确定哪两P1对P 向 量3 P是P共2 线的？
提示：由AD与BC交于点M，可以得到
共线，
共线.
【知识提炼】
平面向量共线的坐标表示
(1)条件：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中_____.
b≠0
(2)结论：当且仅当________x_1_y时2-，x2y向1=量0 a，b(b≠0)共线.
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2=x2y1对吗？ 提示：对.根据两向量共线的坐标表示知正确.
C(xB，( 81，)1三)，点共线，则x的值为_____.
2.(2015·张家界高一检测)已知向量a=(22，1)，b=(1，1)，
c=(5，2)，m=λb+c(λ为常数).
(1)求a+b.
(2)若a与m平行，求实数λ的值.
【解题探究】1.典例1中，A，B，C三点共线会得到哪些向量平行？ 提示：以A，B，C三点任意两点为端点的两个向量平行. 2.典例2中，求实数λ的步骤是什么？ 提示：首先根据向量坐标运算法，用λ表示出m的坐标，然后依据a∥m及向量共线的坐标表 示列出关于λ的方程.最后解方程求出λ.
uuuu r uuur AM 与 AD
A uuDur (2，7). 2
所以- x-27 (y-5)=0.即7x+4y=20. ①
而 C uuM ur2 (x，y5)， 4
C u u B u r(40 ， 35)(4 ， 7). 因为C，M，B三点4共线，所4以
所以
共线.
uuur uuur CM与 CB
2.典例2中由AD与BC交于点M，能够确定哪两P1对P 向 量3 P是P共2 线的？
提示：由AD与BC交于点M，可以得到
共线，
共线.
人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量共线的坐标表示课件
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件（ 精品课 件）
向量共线的判定方法：
（1）利用向量共线定理， 由a b(b 0)推出 a // b;
(2)利用向量共 达线 x式 1y2 的 x2坐 y1直 标 接 表
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件（ 精品课 件）
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
M
y
P
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
O
x
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件（ 精品课 件）
(1)
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件（ 精品课 件）
例7.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
1
λ +λ
(
0
P
2
-
0 P1)
P1
=
1 1 +λ
0 P1
+
λ 1 +λ
OP
2
= ( x1 +λ x 2 ,y1 +λ y 2 ) 1+λ 1+λ
∴ 点 P的 坐 标 是 ( x1 +λ x 2 ,y1 +λ y 2 ) 1+λ 1+λ
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件（ 精品课 件）
y P2
P
O
x
人教A版高中数学必修4第三节.4平面 向量共 线的坐 标表示 课件（ 精品课 件）
探究2:
你能根据探究1的结论推导三角形的重心
坐标公式吗？
第二章23234平面向量共线的坐标表示
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[活学活用] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，(ka＋b)∥(a－ 3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？ 解：∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)， ∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)． 由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)， ∴当 k＝－13时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.
A．3
B．－3
1 C.3 解析：选 C
D．－13 ∵a∥b，∴(－1)×(－1)＝3x，∴x＝13.
返回
2．已知 A(2，－1)，B(3,1)，则与 AB平行且方向相反的向量 a
是
()
A．(2,1) C．(－1,2)
B．(－6，－3) D．(－4，－8)
解析：选 D AB＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2) 与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
返回
3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若 λa＋μb 与 a＋b 共线，则 λ 与 μ 的关系是________． 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－ 1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa＋μb)∥(a＋b)， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ
返回
∴yx＝＝－2＋11＋231＋×＋2323×23－31，，
即xy＝＝3545.，
故 P 点坐标为54，35.
(2)当 P1P 与 PP2 反向时，则有 P1P ＝－23 PP2 ，设 P 点坐
[活学活用] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，(ka＋b)∥(a－ 3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？ 解：∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)， ∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)． 由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)， ∴当 k＝－13时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.
A．3
B．－3
1 C.3 解析：选 C
D．－13 ∵a∥b，∴(－1)×(－1)＝3x，∴x＝13.
返回
2．已知 A(2，－1)，B(3,1)，则与 AB平行且方向相反的向量 a
是
()
A．(2,1) C．(－1,2)
B．(－6，－3) D．(－4，－8)
解析：选 D AB＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2) 与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
返回
3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若 λa＋μb 与 a＋b 共线，则 λ 与 μ 的关系是________． 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－ 1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa＋μb)∥(a＋b)， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ
返回
∴yx＝＝－2＋11＋231＋×＋2323×23－31，，
即xy＝＝3545.，
故 P 点坐标为54，35.
(2)当 P1P 与 PP2 反向时，则有 P1P ＝－23 PP2 ，设 P 点坐
高中数学平面共线向量的应用 人教课标版最新优选公开课件
例３：（2005 年浙江卷，理）
已知向量 a e ，| e |＝1，对任意 tR ,恒有
a te a e ，则（
）.
（A） a ⊥ e
(B) a ⊥( a － e )
(C) e a e
(D) ( a ＋ e )⊥( a － e )
解这个题目时,如果,不仔细研究已知条件之间的 关系,很容易采用下面的解法,即从不等式 a te a e
法 五 ： 设 OM ma nb ，
AM OM OA m 1a nb
，
BM ma n 1b
B
F
D
M
利用 MA AB BM 0, 解方程组得：
m 1 , n 3 ， OM 1 a 3 b
77
77
OCE
A
评注：待定设 OM ma nb ，再用多边形法则．
2
可见，审题的第一步骤就是弄清问题的已知条件和 未知条件，在弄清条件时，对题目一定要字斟句酌，解 错这道题，就是因为在没有必要看清“求什么”的时候 就仓促下笔。所以，熟悉问题是审题的重要步骤,在熟 悉的过程中,要弄清已知条件和未知条件,仔细地重复 这些条件,如果问题如果问题与图形有关,还应该画一 张图,在图上标示已知条件和未知条件及符号。
AD OD OA a 1 b 2
∵
A, M , D
共线，
m 1 1
n 1
m
2n
1
2
同理： C, M , B 共线，得 4m n 1，联
B
F
D
M
立解得： m 1 , n 3 ， OM 1 a 3 b
OCE
A
77
高中数学 第二章 平面向量第25课时平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
答案：C
4知.[20三识13点·安徽检测]若平面三内点三共点 A线(－问2,3题)，B(3，－2)，C(12，
m)共线，则 m 为( )
1 A.2
B．－12
C．－2
D．2
解析：∵A、B、C 三点共线， ∴A→B∥A→C. 又A→B＝(5，－5)，A→C＝(52，m－3)， ∴5(m－3)＋225＝0. 得 m＝12，选 A.
第二章
平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第25课时 平面向量共线的坐标表示
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
• 1知.下一识列各点组向量中，共线判的断一向组是量(共线)
• A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) • B．a＝(2,3)，b＝(3,2) • C．a＝(1,2)，b＝(7,14) • D．a＝(－3,2)，b＝(6，－14) • 解析：A中，－2×6－3×4＝－24≠0，故A错；B中，
答案：A
• 5．已知三点A(0，－1)，B(2,3)，C(3,5)，求证：A、B、 C三点共线．
证明：∵A(0，－1)，B(2,3)，C(3,5)， ∴A→B＝(2,4)，A→C＝(3,6)． ∵2×6－3×4＝0，∴A→B∥A→C. ∴A→B与A→C共线，∴A、B、C 三点共线．
C.16
D．12
解析：∵a∥b， ∴(2x＋1)·3－4·(2－x) ＝10x－5＝0. ∴x＝12，选 D. 答案：D
3．已知向量 a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且 a∥b，则 tanα
＝( )
4 A.3
B．－43
3 C.4
D．－34
解析：由 a∥b，得 3cosα＝4sinα，∴tanα＝34.
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
类型二 利用向量共线求参数 【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件 列方程组求k. 解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线 或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助 共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】 平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究 探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ 提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向 量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1， －2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向 量(－1,0)与(3,0)反向等． 探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？ 提示 不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或 零向量，则不能写成比例式.
高一数学必修4课件：2-3-4平面向量共线的坐标表示
[答案] D
)
第二章 2.3.4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[拓展]三点共线问题 剖析：(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A，B，C 三点共线的条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. (2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种 方法： ①直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－ y1)是否为0. → → ②任取两点构成向量，计算出两向量如 AB 、 AC ，再通过 两向量共线的条件进行判断．
[分析]
方法一：由O，B，P三点共线，可设
→ OP
＝
→ → → λOB，利用AP与AC共线求λ. 方法二：设P(x，y)，由O、P、B三点共线及A、P、C三 点共线建立x，y的方程组，解方程组求P(x，y)．
第二章 2.3.4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
→ → → 方法一：设 OP ＝λ OB ＝(4λ，4λ)，则 AP ＝(4λ－
λ＋2＝－4k ∴ 2λ＋3＝－7k
，∴λ＝2.
第二章 2.3.4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三点共线问题
[例2]
→ → → O是坐标原点， OA ＝(k,12)， OB ＝(4,5)， OC ＝
(10，k)．当k为何值时，A、B、C三点共线？ [分析] → → → 由A、B、C三点共线可知， AB ， AC ， BC 中任
[分析]
→ → 可转化为证明AB∥AC.
第二章 2.3.4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[证明]
1 由A(1,5)、B2，4、C(0,3)，
)
第二章 2.3.4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[拓展]三点共线问题 剖析：(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A，B，C 三点共线的条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. (2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种 方法： ①直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－ y1)是否为0. → → ②任取两点构成向量，计算出两向量如 AB 、 AC ，再通过 两向量共线的条件进行判断．
[分析]
方法一：由O，B，P三点共线，可设
→ OP
＝
→ → → λOB，利用AP与AC共线求λ. 方法二：设P(x，y)，由O、P、B三点共线及A、P、C三 点共线建立x，y的方程组，解方程组求P(x，y)．
第二章 2.3.4
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[解析]
→ → → 方法一：设 OP ＝λ OB ＝(4λ，4λ)，则 AP ＝(4λ－
λ＋2＝－4k ∴ 2λ＋3＝－7k
，∴λ＝2.
第二章 2.3.4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三点共线问题
[例2]
→ → → O是坐标原点， OA ＝(k,12)， OB ＝(4,5)， OC ＝
(10，k)．当k为何值时，A、B、C三点共线？ [分析] → → → 由A、B、C三点共线可知， AB ， AC ， BC 中任
[分析]
→ → 可转化为证明AB∥AC.
第二章 2.3.4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[证明]
1 由A(1,5)、B2，4、C(0,3)，
数学必修Ⅳ人教新课标A版2-3-4平面向量共线的坐标表示课件(33张)
解得 λ＝12.
答案：
1 2
数学 必修3
第二章 平面向量
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
教案·课堂探究
数学 必修3
第二章 平面向量
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
向量共线的判定 自主练透型
(1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( ) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
数学 必修3
第二章 平面向量
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
对于 B 项，因为 1×(－3)－2×(－6)≠0， 所以向量(－6，－3)与向量A→B不平行． 对于 C 项，因为 1×2－2×(－1)≠0， 所以向量(－1，2)与向量A→B不平行． 对于 D 项，因为(－4，－8)＝－4(1，2)， 所以向量 a＝(－4，－8)与向量A→B平行且方向相反． 答案： (1)B (2)D
数学 必修3
第二章 平面向量
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析： A→B＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， C→D＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0， ∴A→B，C→D共线． 又C→D＝－2A→B，∴A→B，C→D方向相反． 综上，A→B与C→D共线且方向相反．
数学 必修3
第二章 平面向量
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两向量平行的条件 1．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b⇔__x_1_y_2－___x_2y_1_＝__0___． 2．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果向量 b 不平行于坐标轴，即 x2≠0，y2≠0，
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( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1, y1), (x2 , y2 )
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
①
uur 若点P靠近p1点则有：P1P
r
r
ur r r
1. 已知向量a = (2,1),b = (x,- 1), m= a + 2b,
r r r ur r
u = 2a - br,且m// u,求r x的值. x = - 2r r
2. 已知向量a = (3, 4),b = (cosa ,sin a ),且a // b,
求tan a的值.
3
∴点P的坐标是( 2x1 + x2 ,2y1 + y2 )
3
3
解法二:
设点P的坐标为（x,y）
uur 若P1P
=
1 2
uuur PP 2,则
uur P1P
=
1 3
uuuur P1P 2
uur
P1P =(x,y)-(x1,y 1)=(x - x1,y - y 1)
1 3
uuuur P1P 2
=
1 3
∴点 P 的 坐 标 是 ( x1 + 2x2 ,y1 + 2y2 ) P1
3
3
y P2
P
O
x
小结:
向量平行(共线)等价条件的两种形式:
(1)ar
/
rr /b(b
≠
r 0)⇔
ar
r =λb;
(x2
-
x1,y2
-
y1)
P1
y P2
P
=( x2 - x1 ,y2 - y1 )
3
3
O
x
即
(x
-
x1,y
-
y
1)
=
(
x2
3
x1
,y
2
3
y1
)
解得 x = 2x1 + x2 ,y = 2y1 + y2
3
3
∴点P的坐标是( 2x1 + x2 ,2y1 + y2 )
3
3
②若点p靠近P2点 时
uuuur uuuur 则有： p1 p = 2 p p2,
tan a = 4
r
3
3、与a (12,5)平行的单位向量是（ C ）
（A）（12 ，5） 13
（B）（ 12， 5 ） 13 13
（C）（12，5 ）或（ 12， 5 ） （D）（ 12， 5 ）
13 13
13 13
13 13
4. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向
∴AB∥CD
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
uuur 1 uuur uuuur OP 2 (OP1 OP2 )
ar ar
r b r b
(x1 (x1
x2，y1 x2，y1
y2 ) y2 )
ar (x, y)
uuur 若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理：
a//
b
b
0
量ka－b与a+3b平行? 并确定它们是同向还是
反向. 解：ka－b=(k－2, －1),
a+3b=(7, 3),
∵ka－b与a+3b平行
这两个向量是反向。
例7.已知A(-1，- 1)，Ｂ(1，3)，C(2，5)，试 判断A,B,C三点之间的位置关系.
解法1:
y ●C
●B
A● 0
uur ∵AB =（1-（ - 1），3 -（ - 1））=（2，4）
2.3.4平面向量共线的 坐标表示
1. 对于平面内的任一向量a，由 平面向量基本定理可得，有且 只有一对实数x、y，使得
y yj a
a=xi+yj。我们把有序数对（x，
xi
y）叫做向量a的坐标，记作a= j
（x，y）
Oi
x
2. 向量的坐标运算： ar (x1，y1)
r b (x2，y2 )
uur AC =（2 -（ - 1），5 -（ - 1））=（3，6） 又 2× 6 - 3× 4 = 0， uur uur ∴AB∥ AC ∵直线AB、直线AC有公共点A， x∴ A、B、C三点共线。
已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，
向量 AB 与 CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
不能, Q x1, x2有可能为 0 .
例6.
rrr
r
已知a / /b,且a =(4,2),b =(6,y),求y的值;
rr
解：∵a / /b
∴4y - 2× 6 = 0
∴y = 3
练习：
rrr
r
已知a / /b,且a =(x,2),b =(2,1),求x的值.
rr 解：∵a / /b
∴ x-22 = 0 ∴x = 4
a
b
问题: 如果向量 a ，b 共线（其中 b≠ ）， 那么0 ， 满足a 什b么关系？
a b
思考: 设 a =(x1，y1),b =(x2，y2)，若向 量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0），则这两个向 量的坐标应满足什么关系？
结论r : 设r a =(x1，y1),b =(x2，y2),（其 中 b 0）,当且仅当
解：∵ AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4)
CD =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0
∴ AB∥ CD
又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6)
AB =(2， 4)， ∴ 2×4-2×60
∴ AC 与 AB 不平行 ∴ A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合
x1y 2 -x2y1 = 0
向量 a与向量 b 共线。
r rr r 即：a / /b(b 0) x1y2 x2 y1 0
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能两式相除，Q rr
y1,
y2有可能为
0，
又b 0, x2, y2中至少有一个不为 0
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
=
1 2
uuur PP 2,
uur OP
=
uuur 0P1
+
uur P1P
=
uuur 0P1
+
1 3
uuuur P 1P 2
P1
y P2
P
=
uuur 0P1
+
31(0uuPur2
-
uuur 0P1)
O
x
=
2 3
uuur 0P1
+
1 3
uuur OP 2
=( 2x1 + x2 ,2y1 + y2 )
பைடு நூலகம்
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