初中中考数学压轴题及答案

中考数学专题复习——压轴题

1.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--a b

ac a b 44,22

）

2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交

AC 于

R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

A B

C D E

R P H Q

3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．

（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积

等于

4

3

，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由

.

5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE ≌△BCF ；

（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；

（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.

P

图 3

B

D 图 2

B

图 1

压轴题答案

1. 解：（ 1）由已知得：3

10c b c =⎧⎨--+=⎩

解得

c=3,b =2

∴抛物线的线的解析式为2

23y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F

所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆++梯形

=

111

()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =111

13(34)124222

⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9

（3）相似

如图，2222112BG DG ++=y

x

D E

A B

F

O

G

=

==所以2

2

20BD BE +=, 2

20DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 所以90AOB DBE ∠=∠=︒,

且

2

AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆.

2 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=． 点D 为AB 中点，1

32

BD AB ∴=

=． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．

BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，312

8105

BD DH AC BC ∴==⨯=．

（2）

QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．

C C ∠=∠，RQC ABC ∴

△∽△， RQ QC AB BC ∴

=

，10610

y x

-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：3

65

y x =-+． （3）存在，分三种情况：

①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．

1290∠+∠=，290C ∠+∠=，

1C ∴∠=∠．

84

cos 1cos 105

C ∴∠===，45QM QP ∴

=， 1364251255

x ⎛⎫-+ ⎪⎝

⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655

x -

+=， A

B

C

D E

R

P H Q

M

2

1 H

Q

6x ∴=．

③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，

11

224CR CE AC ∴===．

tan QR BA

C CR CA ==

， 3

6

6

528

x -+∴=，152x ∴=．

综上所述，当x 为185或6或15

2

时，PQR △为等腰三角形．

3解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM AN AB AC

=，即43x AN

=．

∴ AN ＝4

3

x ． ……………2分

∴ S =2133

248

MNP AMN S S x x x ∆∆==

⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =2

1

MN ． 在Rt △ABC 中，BC

． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM MN AB BC

=，即45x MN

=．

∴ 54MN x =

， ∴ 5

8

OD x =． …………………5分

过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则5

8

MQ OD x ==

． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC

=．

∴ 5

5258324

x

BM x ⨯=

=，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝

49

96

．

B

图 1

B

D 图 2

Q