微专题3---球的组合体问题-教师用卷

微专题3---球的组合体问题

一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）

1. 在四面体PABC 中，PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，AP =BP =AB =2PC =2，则四面体PABC 外接球的表面积是( ) A.

17π12

B. 19π12

C. 19π3

D. 17π

3 【答案】C

【解析】【分析】

本题给出特殊的三棱锥外接球的表面积的求解．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．

由已知可得PC ⊥平面PAB ，先设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由去球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，且OH =1

2PC ，

根据勾股定理求出外接球半径，即可求解． 【解答】

解：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，且PA ∩PB =P ，∴PC ⊥平面PAB ，AP =BP =AB =2PC =2，

设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，则OH =12PC =1

2，PH =2×√32×23=2√3

3

，

则R 2=OP 2=OH 2+PH 2

=19

12，故四面体外接球的表面积是S =4πR 2

=

19π3

．

故选C ．

2. 如图所示，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面PDC 为等腰直角三角形

且垂直于底面ABCD ，若PD =PC =√2，AD =1，则四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为( )

A. 5π3

B. 4π

C. 5π

D. 20π

【答案】C 【解析】【分析】

本题主要考查球的表面积，解答本题的关键是球的半径的求法，属于中档题．

先求出OP =√5

2，再依据矩形对角线互相平分且相等推出OA 与OB 、OC 、OD 的关系，即可推出结论．

【解答】

解：如图，连接AC ，BD 交于点O ，作PQ ⊥CD 于点Q ，连接OP ，OQ ，

由条件可知PQ =12CD =1，OQ =1

2，侧面PDC ⊥底面ABCD ， 侧面PDC ∩底面ABCD =CD ，PQ ⊥CD ，PQ ⊂侧面PDC ， ∴PQ ⊥底面ABCD ，又OQ ⊂底面ABCD ， ∴PQ ⊥OQ ，所以OP =√52

．

由矩形对角线互相平分且相等可得OA =OB =OC =OD =√5

2

． 所以点O 为该四棱锥外接球的球心，球的半径为√5

2

， 所以四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为4π×(√52

)2=5π．

故

选C ．

3. 在△ABC 中，AB = 3，BC =4，AC =5，过B 点作AC 的垂线，垂足为D ，以BD 为折痕将△ABD 折起使点A 到

达点P 处，满足平面PBD ⊥平面BDC ，则三棱锥P −BDC 的外接球的表面积为( )

A. 25π

B. 16π

C. 48π

D. 481

25π 【答案】D

【解析】【分析】

本题考查棱椎外接球表面积的求法，属中档题．

由题意可发现三棱锥P −BDC 是长方体的一角，DP 、DB 、DC 为同一直角顶点的三个棱，且它的外接球的直径即为原长方体的体对角线，故2R =√DP 2+DB 2+DC 2求得各边即可求解． 【解答】 解：如图

由题意知，BD ⊥CD ，BD ⊥AD 即BD ⊥PD ，

因为平面PBD ⊥平面BDC ，平面PBD ∩平面BDC =BD ，BD ⊥PD ，PD ⊂平面PBD ，所以PD ⊥平面BDC ，又BD 、DC ⊂平面BDC ，

所以DP ⊥DC ，DP ⊥BD ，即三棱锥D −PBC 是长方体的一角，DP 、DB 、DC 为同一直角顶点的三个棱，且它的外接球的直径即为原长方体的体对角线，故2R =√DP 2+DB 2+DC 2．

又由AB =3，BC =4，AC =5得AB ⊥BC ，BD 是直角边上的高，

由直角三角形可知，DB =125，DC =165，DP =9

5，所以2R =√DP 2+DB 2+DC 2 =√(16

5

)2+(12

5

)2+(9

5

)2=√

48125

．故外接球的表面积为．

故选D ．

4. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB =BC =1，PA =√3，则该三棱锥外接球的表面积为 ( )

A. 5π

B. √2π

C. 20π

D. 4π 【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．

根据题意，证出BC ⊥平面PAB ，PC 是三棱锥P −ABC 的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PC =√5，得外接球半径R =√5

2，从而得到所求外接球的表面积．

【解答】 解：如图，

取PC 的中点O ，连接OA ，OB ，∵PA ⊥平面ABC ，AC 、BC ⊂平面ABC ，

∴PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，在Rt △PAC 中，O 为PC 的中点，∴OA =1

2PC ， 又PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ，PA 、AB ⊂平面PAB ，

∴BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PB ，在Rt △PBC 中，可得OB =1

2PC ， ∴O 是三棱锥P −ABC 的外接球的球心．∵Rt △PAC 中，AC =√2，PA =√3，

∴PC =√5，∴三棱锥P −ABC 的外接球的半径长R =12

PC =√5

2

，

∴该三棱锥外接球的表面积S =4πR 2

=5π． 故选A ．

5. 已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC =3，PB =2√2，

PC =√5，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为( ) A. 6π B. 10π C. 12π D. 16π 【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题． 由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心，在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R 即可． 【解答】

解：因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内， 根据球的性质，球心一定在垂线l 上，∵球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理得cosB =

PB 2+BC 2−PC 2

2BP⋅BC

=

√2

2

，⇒sinB =

√2

2

，由正弦定理得：PC sinB =2R ，解得R =√102

，

∴三棱锥P −ABC 外接球的表面积为s =4πR 2

=10π． 故选B ．

6. 已知三棱锥P −ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P −ABC

的体积为16

3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )