二次函数拱桥问题
九年级数学下册课件：5.5 第3课时 用二次函数解决抛物线型拱桥问题
5.5 第3课时 用二次函数解决抛物线 型拱桥问题
情景导入 白娘子初见许仙是在西湖断桥，现在有一座类似的抛 物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部 3m．因降暴雨水位上升1m， 此时水面宽为多少（精确到 0.1m）？
例题讲解
例1河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面 宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上 升1m，此时水面宽为多少（精确到0.1m）？
解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的 位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处.
y
O
x
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
2.25a+k=3.05， k=3.5，
你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 二次函数的形式为 y ax2
位:m),则拱形门的宽度大约是
ห้องสมุดไป่ตู้
m1. 94
图2
3.图3是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m,以O为原 点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,已知点P的坐标为 （3，32）. (1)求这条抛物线的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围); (2)水面上升1.5 m,水面宽是多少?
解：(1)y=-x2+2x (2)2 m 图3
《实际问题与二次函数》(拱桥问题)
2023-11-06•引言•拱桥问题建模•数值模拟与优化•实验设计与实施•结论与展望目录01引言背景介绍在过去的几十年中，随着科技的发展和工程材料的进步，拱桥设计得到了更多的创新和改进。
然而，拱桥问题仍然是一个具有挑战性的研究领域，需要进一步探索和研究。
拱桥作为一种传统的桥梁形式，具有悠久的历史和广泛的应用。
研究目的和意义研究拱桥问题的目的是为了更好地了解其力学性能和设计优化。
拱桥作为重要的交通枢纽，其安全性和可靠性对于保障人们的生命财产安全具有重要意义。
通过研究拱桥问题，有助于提高桥梁设计水平，促进交通基础设施的发展。
02拱桥问题建模拱桥结构与受力分析拱桥结构拱桥是一种常见的桥梁结构，其特点是在承受载荷时可以将压力转化为张拉力，因此具有较好的抗压性能。
拱桥的主体结构由拱圈和桥墩组成，拱圈是主要的承载结构，桥墩则起到支撑和固定拱圈的作用。
受力分析在承受载荷时，拱桥的拱圈主要承受压应力，而张拉应力则主要由钢筋承受。
桥面上的车辆等载荷通过桥面传递到拱圈上，进而传递到拱桥的支撑结构上。
根据载荷的大小和分布情况，拱桥的支撑结构需要满足一定的强度和稳定性要求。
二次函数在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，一般形式为f(x)=ax^2+bx+c。
二次函数的图像是一个抛物线，其形状受到二次项系数a的影响。
拱桥形状拱桥的形状是一个抛物线形，其跨度和拱高受到二次函数的影响。
通过调整二次函数的系数，可以改变拱桥的形状和跨度。
在实际设计中，通常需要根据桥梁的使用要求和地理条件来确定拱桥的形状和跨度。
二次函数与拱桥形状的关联物理意义在拱桥问题中，二次函数的参数具有明确的物理意义。
例如，二次项系数a代表拱桥的跨度，一次项系数b代表拱桥的高度，常数项c代表拱桥的宽度。
这些参数不仅影响拱桥的形状，还与桥梁的性能和使用要求密切相关。
约束条件在设计和建造拱桥时，需要满足一些约束条件。
例如，桥梁需要满足承载能力、稳定性、耐久性和施工可行性等方面的要求。
教学课件：第3课时-拱桥问题中的二次函数
代数法是通过代数运算来求解拱桥问 题的一种方法。
代数法适用于解决简单的二次函数问 题，但对于复杂的拱桥问题，可能需 要更高级的数学工具。
这种方法需要建立二次函数方程，然 后通过求解方程来得到拱桥的顶点坐 标和拱高。
解析方法二：图象法
图象法是通过绘制二次函数的图 象来直观地解决拱桥问题的方法。
通过观察图象，我们可以直接找 到函数的顶点，从而确定拱桥的
04 实际案例分析
案例一：某拱桥的承载能力分析
总结词
通过实际案例分析拱桥的承载能力，了解二次函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
某拱桥在承受不同载荷时，其变形程度和承载能力是关键问题。通过建立二次 函数模型，可以预测拱桥在不同载荷下的变形程度，从而评估其承载能力。
案例二：不同载荷下的拱桥变形分析
二次函数在拱桥问题中的应用
二次函数在拱桥问题中扮演着重要的角色，它可以描述拱桥的形状、受力情况等。
通过分析二次函数的开口方向、顶点位置等性质，可以得出拱桥的稳定性、承载能 力等方面的结论。
在实际工程中，设计师需要根据二次函数的性质来设计拱桥，以确保其安全性和稳 定性。
03 拱桥问题的解析方法
解析方法一：代数法
总结词
研究不同载荷对拱桥变形的影响，进一步理解二次函数与实际问题的关联。
详细描述
在实际应用中，拱桥会受到各种载荷的作用，如车辆、人群等。通过建立二次函 数模型，可以分析不同载荷对拱桥变形的影响，为拱桥的安全评估提供依据。
案例三：拱桥的施工过程模拟
总结词
利用二次函数模拟拱桥的施工过程，有助于优化施工方案和 提高工程质量。
形状和位置。
图象法适用于解决中等难度的二 次函数问题，但对于复杂的拱桥 问题，可能还需要结合其他方法。
二次函数拱桥问题
一、课前准备，学前感知1、学习目标建立坐标系，利用二次函数处理问题2、学习重、难点重点：建立坐标系，利用二次函数处理问题难点：同上二、课中导学例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？例2 （书上）拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降1米，水面宽度增加多少米？建立坐标系后求解三、课上练习，及时巩固平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。
四、达标检测1、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?2、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．4、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？五、课后反思与感悟。
二次函数---拱桥问题中能否通过问题
22.3（3.2）---拱桥问题中能否通过问题一．【知识要点】1.常用“定宽比高”法解决拱桥问题中能否通过问题。
二．【经典例题】1.一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度16m，为了安全起见，分别在桥的两侧安装如图1所示的不锈钢护栏（护栏包括支柱和衡量），相邻两支柱间的距离均为4m．（1）如图所示建立直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式；（2）求安装护栏所需钢管的总长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道，其中的一条行车道能否并排行驶宽2.4m，高3m的两辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2.有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽20m,拱顶距离水面4m.(1)在如图1所示的坐标系中,求抛物线的解析式;(2)在正常水位基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,试写出用d表示h 的函数解析式;(3)设正常水位时桥下的水深2m,且桥下水面的宽度不得小于18m才能保证过往船只顺利通行,当水深超过多少米时,会影响过往船只在桥下通行?3.某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线．（1）建立如图的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）此球能否准确投中？（3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？4.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？、5.如图，有一个横截面是抛物线的运河，一次，运河管理员将一根长6m的钢管（AB）一端在运河底部A点，另一端露出水面并靠在运河边缘的B点，发现钢管4m浸没在水中（AC ＝4米），露出水面部分的钢管BC与水面部分的钢管BC与水面成30°的夹角（钢管与抛物线的横截面在同一平面内）（1）以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该运河横截面的抛物线解析式；（2）若有一艘货船从当中通过，已知货船底部最宽处为12米，吃水深（即船底与水面的距离）为1米，此时货船是否能安全通过该运河？若能，请说明理由；若不能，则需上游开闸放水提高水位，当水位上升多少米时，货船能顺利通过运河？（船与河床之间的缝隙忽略不计）6．（2021年绵阳期末第22题）如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．（1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由．三．【题库】【A】1.地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时速度为0；②小球在空中经过的路程是40m；③小球的高度h＝30m时，t＝1.5s；④小球抛出3秒后，速度越来越快．其中正确的是（）A．①④B．①② C．①②④D．②③【B】【C】1.如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽为AB（单位：米），AB＝10，以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系，y轴与抛物线交于点C，抛物线解析式为y＝﹣x2+h．（1）求点C坐标；（2）若菜农身高为米，则在她直立的情况下，在大棚内的横向活动范围有几米？【D】1.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）。
实际问题与二次函数(拱桥问题)课件人教版数学九年级上册
例2如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面 在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面 宽4m．如图建立平面直角坐标系，求抛物线的关系 式．
例3.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m． 一同学站在门内，在离门脚点1m远的D处，垂直地面立起 一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据 这些条件，请你求出该大门的高h．
【分析】：把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代
入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时， y=4.5＜5 ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建 立直角坐标系（如图1所示）．
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
•【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立 平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建 立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线 对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经 过原点等等
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高 度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直 线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
第二十二章 二次函数
二次函数拱桥应用题doc
二次函数拱桥应用题.doc 二次函数拱桥应用题拱桥是一种常见的建筑结构，在城市和乡村中都可以见到。
它不仅能够承载重量，还可以美化环境。
在设计和建造拱桥时，数学是一个重要的工具。
其中二次函数在解决与拱桥相关的问题时起到了重要的作用。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，具有对称轴和顶点。
在拱桥的设计中，二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
例如，我们可以用二次函数来描述一座拱桥的高度与横轴距离之间的关系。
假设我们要设计一座拱桥，使得拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，那么我们可以使用二次函数来描述这个关系。
首先，我们需要确定二次函数的顶点位置。
顶点是二次函数的最高点或最低点，它位于对称轴上。
对于拱桥来说，我们希望拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，因此我们需要找到二次函数的最高点。
假设拱桥的起点为原点(0,0)，终点为坐标为(x,y)的点。
我们可以通过求解二次函数的顶点来确定拱桥的最高点。
顶点的横坐标可以通过求解二次函数的对称轴方程得到，对称轴方程为x=-b/(2a)。
将这个值代入二次函数的表达式中，我们可以求得顶点的纵坐标。
拱桥的高度与横轴距离之间的关系可以用二次函数来描述。
这个二次函数的顶点就是拱桥的最高点，拱桥的形状由这个二次函数的图像来表示。
在实际的拱桥设计中，我们需要考虑到许多因素，如桥梁的承重能力、材料的强度、施工的成本等。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的二次函数来描述拱桥的形状。
例如，我们可以选择一个顶点为(0,0)的二次函数y=ax^2来描述拱桥的形状。
在确定a的值时，我们需要考虑到桥梁的承重能力。
如果a的值过大，那么拱桥的曲线将会很陡峭，不利于行人和车辆的通行。
如果a的值过小，那么拱桥的曲线将会很平缓，可能无法承受桥梁的重量。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的a的值。
二次函数拱桥问题技巧
二次函数拱桥问题技巧拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。
在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。
在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。
首先，我们需要明确二次函数的定义。
二次函数是一个以$x$的平方项为最高项的多项式函数。
其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。
二次函数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。
在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。
例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。
这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。
为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。
在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度，$y$轴表示桥面的高度。
然后，我们需要考虑到已知条件。
例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。
另外，对于一个平滑的拱形，我们可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。
这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。
通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。
在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。
例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。
首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零，解得极值点$x_0$。
接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。
除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。
例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。
在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。
这些值就是拱桥的支点的位置。
二次函数---(拱桥问题)
22.3（4.1）---（拱桥问题）一．【知识要点】1.现实生活中的抛物线：喷射的水流、投出的篮球运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子、一些拱桥、涵洞等，都给人留下抛物线的印象。
如果把它们放到平面直角坐标系中，结合实际数据即可求解得出抛物线的解析式，再通过二次函数的性质来解决测量问题、最值问题等.二．【经典例题】1.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加__________m。
2.（6分）如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，•是否采取紧急措施？三．【题库】【A】1.如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系．则两盏景观灯之间的水平距离_________.【B】1.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____________ s.【C】1．一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是m．【D】1.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m，y2m，y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，①两人何时相距180m？②两人何时相距最近？最近距离是多少？。
二次函数实际问题之拱桥问题
二次函数实际问题之拱桥问题
拱桥问题是二次函数实际问题的典型案例之一。
拱桥是一种常见的设计结构，
常见于公路、铁路和人行通道等建筑中。
在解决拱桥问题时，使用二次函数可以帮助我们计算并优化拱桥的设计。
拱桥问题的关键在于确定拱桥的形状，使之能够承受最大的荷载。
假设我们要
设计一座高度为h、跨度为d的拱桥，该拱桥的横截面呈现出一个拱形。
为了简化
问题，我们假设拱桥是对称的。
利用二次函数，我们可以建立拱桥的高度h和距离桥中心的距离x之间的关系。
一般来说，拱桥的高度曲线可以表示为：h = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数。
为了确定拱桥的形状，我们需要满足以下条件：拱桥的高度在两个支撑点处为0，即h(0) = h(d) = 0。
另外，我们还可以设置一些额外的条件，例如拱桥的最大高
度或者其他特定要求。
通过求解这些条件，我们可以得到拱桥的二次函数方程。
进一步地，我们可以
使用二次函数的性质来优化拱桥的设计，例如确定最佳的拱桥高度，使得荷载分布在拱桥结构上最为均衡。
总而言之，拱桥问题是通过二次函数来解决的实际问题之一。
通过建立二次函
数方程并利用二次函数的性质，我们可以设计出最优化的拱桥结构，以满足特定的要求和荷载要求。
这个问题的解决方法不仅有助于工程师们设计出更优秀的拱桥，也有利于我们更好地理解和应用二次函数。
二次函数实际问题之拱桥问题
二次函数实际问题之拱桥问题拱桥是一种常见而美丽的建筑形式，它不仅具备实用功能，还能展示人类的工程智慧和美感。
在数学中，我们可以通过二次函数来研究拱桥的形状和特性。
在本文中，我将探讨二次函数在拱桥问题中的应用，并深入分析拱桥的建设、维护和设计过程。
1. 什么是二次函数？二次函数是一种常见的函数形式，它的一般表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像呈现出拱形或倒U形，其特点是在抛物线的顶点处有极值，也就是最高点或最低点。
这个性质使得二次函数在拱桥的研究中十分有用。
2. 拱桥问题的背景拱桥是一种由石头、混凝土等材料构成的桥梁，它通常被用于跨越河流、道路等障碍物。
拱桥在建筑和土木工程领域中扮演着重要的角色，因为它具备良好的承重能力和抗压性能。
为了确保拱桥的稳定和安全，工程师需要对其结构进行精确的设计和分析。
3. 拱桥的建设和维护拱桥的建设需要考虑许多因素，包括地理条件、基础设施、荷载等。
为了使拱桥具备足够的承重能力，工程师需要合理地确定拱的形状和高度。
在这个过程中，二次函数可以帮助我们建立与拱桥形状相关的方程。
通过研究这个方程，我们可以了解拱桥的强度和稳定性，并做出相应的调整和改进。
4. 二次函数在拱桥设计中的应用在拱桥设计中，二次函数可以帮助我们确定拱桥的最高点、最低点和抛物线的形状。
通过调整二次函数的参数，工程师可以得到不同形状和高度的拱桥。
二次函数还可以帮助我们计算拱桥的支持点位置、曲率和承重能力。
通过分析二次函数的图像和方程，我们可以预测拱桥在不同荷载下的行为，并为拱桥的设计提供指导。
5. 个人观点和理解作为一个写手，我对拱桥问题有着浓厚的兴趣。
通过研究二次函数在拱桥设计中的应用，我深刻意识到数学在工程中的重要性。
二次函数不仅能描述拱桥的形状和特性，还可以帮助我们预测和优化拱桥的结构。
在今后的工作中，我希望能继续深入研究拱桥问题，并与工程师们合作，为建设更安全、美观的拱桥贡献自己的力量。
二次函数实际问题之拱桥与运动问题+课件+++2024--2025学年人教版九年级数学上册+
1
1 2
解：∵y＝− 6x +2x+4=− (x-6)2+10
6
∴对称轴为直线x＝6，
由题意得,货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
∴当x＝2或x＝10时，y＝
∴这辆货车能安全通过.
22
＞6，
3
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果
三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象，为下
列选项中的( D )
A
B
C
D
例2
55页第3
3．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均
为20 cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以
2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y cm2与
时间t s之间的函数关系式．
解：由题意得AN＝2t，重叠部分为等腰直角三角形，
∴AM＝HM＝20－2t，
∴y＝ AM·HM＝ (20－2t)2＝2t2－40t＋200(0≤t≤10)．
叁 课堂练习
55页第6
城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通
道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2
2
解得a＝－ ，∴y＝－ x ，当水面下降1
m时，
2
即y＝－3时，－3＝－ x ，
解得x1＝－
∴
－(－
，x2＝
)＝2
，
．
答：当水面下降1 m时，水面的宽度为2
拱桥问题
2.4 二次函数的应用
一 利用二次函数解决拱桥问题 例1 要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现 知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通 过，需要把水面下降1 m,问此时水面宽度增加多少?
y
O
x
(-2,-2) ●
4米 -3
● (2,-2)
y O
解：建立如图所示坐标系, 2 y ax . 设二次函数解析式为
池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？
A
1.25米 O
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 y B 为B，水流落水处与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
A 1.25 O C x B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. 设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1； ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a•4502+0.5.
解得
y
a 81 1 4502 2500
y
故所求表达式为
1 x 2 0.5(450 x 450) 2500
-450
O
450
x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索
的长. 解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5( x
知识要点 解决拱桥问题的一般步骤
二次函数之拱桥问题
道滘中学DDBB
• 1、如图，桥拱是抛物线形，其函数解 析式为当水位线在如图所示位置时， 水面宽AB=12m，这时水面离桥顶的高 度h是（ D ） A、3m B、2m C、4m D、9m
• 2、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所 示，现测得，警戒水位时水面宽AB=2m，涵 洞顶点与水面的距离为4m，现因洪水暴涨， 水面从警戒水位上升了2m,，此时，涵洞宽 DE是多少？
，得
1 -2 -1 1 -1 2
-2
-3
解得 x1 6, x2 6
水面的宽度
x 6
1 2 3 x 2 2
2 6 4 水面下降1cm，水面宽度增加____________m.
2x 2 6 m
• 4、下图是抛物线拱桥，当水 面在L时，拱顶离水面2 m，水 面宽8m，水面上升0.75 m， 水面宽度减少多少？
8
• 5、如图，有一抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面的宽为6米；水位上升1米， 就达到警戒线CD，这时的水面宽为4米， • （1）求抛物线的解析式。 • （2）若洪水以每小时上升0.2米的速度到来， 求几小时后水面从警戒线涨到拱桥顶端M处？
• 6、例2如图，隧道的截面由抛物线AED和矩 形ABCD构成，矩形的长BC为8 m、宽为2m， 以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对 称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m。 • （1）求抛物线的解析式。 • （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运 卡车高4.2 m、宽2 m，这辆货运卡车能否通 过隧道？通过计算说明你的结论。
y O x
D
E
A
B
• 3、例1、图中是抛物线拱桥， 当水面在L时，拱顶离水面2 m， 水面宽4m，水面下降1 m，水 面宽度增加多少？
22.3.3二次函数的应用拱桥问题
二次函数的应用(拱桥、桥洞问题)赵州桥圣路易斯拱门玉带桥拱桥造型美，应用广，遍布全国各地。
常见的桥孔形状除半圆形、椭圆形、马蹄形外，还有抛物线形。
抛物线形桥孔的水位涨落是汛期常见的现象，水位上涨后，桥孔下的水面宽变为多少？另外，“水涨船高”，涨水后，船能否从桥下安全通过？这些都是汛期常见的现象及具有现实意义的问题。
本节课我们将探索这些问题。
拱桥问题引例:一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?●A(2,-2)●B(X,-3)如图，某公司的大门呈抛物线型，大门地面宽AB 为4米，顶部C 距地面的高度为4.4米。
（1）在离门角A1米处垂直于地面立起一根木杆，其顶端恰好顶在抛物线型大门上的点D 处，求木杆的高度。
（2）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65度为2.4米，那么这辆汽车能否顺利通过大门？（3）如果装货宽度为2.4米的汽车能顺利通过大门，那么货物顶部距地面的最大高度是多少？（精确到0.01）（4）如果大门内的路面为双车道，那么一辆宽为1米、高为1.5米的汽车能否通过？O A B D E C如图，公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央O 处安装一根垂直于水面的柱子OA ，OA ＝1.25米，水流由柱子顶端A 处的喷头向外喷出，从各个方面呈完全相同的抛物线形状落下。
为使水流形状看起来较为美观，设计要求水流与柱子OA 的距离为1米处到最高点，这时距水面的最大高度为2.25米。
如果不计其他因素，那么水池的半径至少是多少米时，才能使喷出的水流不落到池外？O AB C这节课你有哪些收获1.通过建立适当的坐标系求函数关系式.转化实际问题数学问题2.解决,应用。
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二次函数的应用-拱桥问题
一、自学：
1、抛物线y=241x 的顶点坐标是______,对称轴是______,开口向______；抛物线y=-3x 2的顶点坐标是______，对称轴是______，开口向______．
2、图所示的抛物线的解析式可设为 ，若AB ∥x 轴，且A B=4，OC=1，则点A
的坐标为 ，点B 的坐标为 ；代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。
3、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m ，涵洞顶点O 到水
面的距离为1m ，于是你可推断点A 的坐标是 ，点B 的坐标为 ；
根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为 。
二、探索学习：
例题：有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．
(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：
(2)设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的
宽度不得小于18米。
求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
练习．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m ，水位上升3m ， 就达到警戒水位CD ，这时水面宽4m ，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
三、当堂练习：
1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，
其函数的解析式为y=225
1x ，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）
A 、5米
B 、6米；
C 、8米；
D 、9米
2、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C
离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，
装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
5．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O 点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取
2=)
6
7
3
4=，5
6、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103
米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾
动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335
米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
7、如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高
度y （m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m 。
（1）当h=2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。
错
误
!
未
指
定
书
签。
错误!
未指定
书签。
错
误
!
未
指
定
书签。
错
误!未
指定书
解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴
1 a
60 =-
∴当h=2.6时， y与x的关系式为y=
1
60
- (x－6)2+2.6
（2）当h=2.6时，y=
1
60
- (x－6)2+2.6
∵当x=9时，y=
1
60
- (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。
∵当y=0时，即
1
60
- (18－x)2+2.6=0，解得x=18，∴球会过界。
（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得
2h
a
36
-=。
x=9时，y=2h
36
-
(9－6)2+h
23h
4
+
=＞2.43 ①
x=18时，y=2h
36
-
(18－6)2+h=h
3
8-≤0 ②
由① ②解得h≥8
3。
∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥8
3。