第6章热传导问题的有限元法

2
2
C1 2
1
cos
d
x
C1 2
sin
C2
由边界条件 y(0)=0，可得C2=0。
从而
x y
C1
2 C1
1
sin cos
2
由平面解析几何知识可知，该曲线是以C1/2为半 径的圆的旋轮线（摆线）。常数C1可由 y(x1)=y1求出。
6-3 稳定温度场的变分原理 前述给出三维稳定温度场应满足的微分方程和边
一 单元温度刚阵格式的形成
1 温度泛函
U (e)
2 ( e )
R T x
2
T y
2
dxdy
T 2
2 S (e)
f T Rds
G(e) Z (e)
说明：（1）上式是单元泛函表达式，因此其中 x,y的变化范围，仅限于单元内部。整个求解域 的泛函为单元泛函的代数和。
如果温度场使整个求解域的泛函取极小值，那么 就意味着要将所有单元的泛函相加（集成）， 并使之成为极小。
泛函并不比微分方程及其边界条件简单。但利用 变分原理将问题转化为求泛函的极值至少有两 点好处：
（1）从微分方程出发，无法导出有限元计算格 式，从泛函出发就可以；
（2）利用泛函求解与直接求解微分方程有不同 的特点：
1）边界条件：对于微分方程边值问题，边界条 件必须作为定解条件列出，而求泛函极值问题 时，这一条件将自动满足；
由T[y(x)]的表达式
1 dy 2 dx
T
yx
x1 0
dx 2gy
可见被积函数为
F Fyx, y'x
根据使泛函取极值的条件
F y
d dx
F y'
0
展开上式（注意到F不显含x）
F y
d dx
F y'
F y
2F yy'
dy dx
2F y'2
dy' dx
0
另一方面
d dx
F
F y'
dy dx
z
r
轴对称问题的微分方程和边界条件为
2T z 2
2T r 2
1 r
T r
0
T
n
T
Baidu Nhomakorabea
f
T0
上式的泛函是
I
T
2
T
2
rdrdz
T 2 fT rds
2 r z
S 2
轴对称稳定温度场的变分原理：满足微分方程及 其边界条件的函数T(r,z)使上面的泛函取极小 值；使上述泛函取极小值的函数T(r,z)一定满 足微分方程及其边界条件。（证明过程略）
上式称为定解问题。
除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限 大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此 要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可 选的方法。
有限元法求解偏微分方程的思路：1）利用变分 原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假 设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试 探函数；3）寻找试探函数的系数—节点场变 量，以使泛函取极值。
这些话的意思是：y是连续区间[x1, x2]中一段曲 线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种 变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高 阶导数的变化等。
下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极 值的条件。
设有泛函
I
yx
x2 x1
F
x,
yx,
y'
xdx
其中：泛函中的自变函数y(x)（平面上的曲线） 在积分区间[x1, x2]的端点x1, x2处的值是已知的， 即
mgy，获得的动能为1/2 mv2。
由能量守恒定律
A0,0
x
mgy 1 mv2
2
或 v 2gy
Px, y
从另一方面看，弧长 s
对时间的导数即为速度 y
Bx1 , y1
v
ds 2gy dt
因为 所以
ds 1 dy 2 dx dx
dt ds v
1 dy 2 dx dx 2gy
dx
泛函取极值的条件： I
四 变分
x
0
，
称为变分。
函数微分
dz f x x f 'xdx，为任意小的正数
0
可以用来研究函数z在x处的变化。
类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的 变分
I Iyx y
来观察。I—泛函，ε—任意小的正数。
五 泛函取极值的条件 函数在x0处取极值的条件：
6 热传导问题的有限元法
本章应用变分原理，将求解域的微分方程，转化 为泛函，然后通过求泛函的极值，找到原问 题的解。
6-1 问题的提出
前面对于力学问题，采用直接法或者虚功原理， 建立了有限元的求解格式。
但是对于非结构问题，必须借助数学工具：变分 原理分析，求泛函的极值。
比如，热传导中稳定温度场的求解是工程中经常 遇到的问题。
下面首先简要介绍变分、泛函，然后推导有限元 格式。
6-2 泛函与变分的基本概念
函数：z = f (x)，x变，z变。
泛函：平面上两点A、B之间的距离I
xB
I
1 dy 2 dx
xA
dx
y变，I变。I是y的泛函—函数的函数。
y
y yx
BxB , yB
O
AxA , y A
x
一 泛函
定义：函数值因另外一个或几个函数确定，这个 函数称为泛函。
yx1 y1, yx2 y2
认为函数 Fx, yx, y'x 三阶可微。
根据变分的定义，要使泛函取极值，则
I Iyx y 0
0
其中，y使I取极值，y+ε δy是一个微小的变化。
I
I yx
y
x2 x1
F x,
y
y,
y'
y'dx
x2 x1
y
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
对于均质物体内温度不随时间变化的情况，温度
分布函数T=T(x,y,z)应满足拉普拉斯方程：
2T x 2
2T y 2
2T z 2
0
再加上用得最多（一般）的边界条件
T n
T
T0
— 热传导系数（与温度梯度有关）；
— 对流换热系数（与温度有关）；
T0 — 外界介质温度； — 物体边界。
（5）根据变分基本定理，在δy满足一般性条件 时，即可得出： δI = 0 或I取极值的条件 （）=0
对于一个场的描述有两种方法：1）积分法；
2）微分法。
两种方法的求解基本思路：
（1）积分法 假设场变量的变化模式。这种变化 方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它 含有若干待定系数，即每一项前的系数。
（2）上式是平面问题和轴对称问题写在一起的 格式。对于平面问题，R=1；对于轴对称问题， R=r(径向坐标)，dx相当于dr，dy相当于dz。
（3）式中f=αT0，是由
得到的，即
T n
T
T0
T n
T
T0
f
2 泛函中各函数的确定
（1）温度插值函数
8节点等参元的温度插值结果为 8 T Ni ,Ti
y
y '
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y'
y'dx
x2 x1
y
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
y
y'
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y '
y'dx
x2 x1
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y'dx
令ε = 0，则（y成为使I取极值的点）
I Iyx y
0
x2 x1
其中形状函数为 i1
Ni
,
1 14 21 2
1 i 1ii 1 2 1 i 1 2 1 i
i
1
i 1,3,5,7 i 2,6 i 4,8
点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变
化方式要简单一些而已。
六 变分法预备定理
设函数F(x)在[x1, x2]连续，对于δy(x)，如果有
x2 Fxydx 0 x1
则 Fx 0,x1, x2 。 δy(x)是y的变分。
δy(x)的条件：一阶或若干阶可微，在x1, x2处为 零；
| δy |< ε 或 | δy |及| δy’ |< ε，等。
F y
2F yy'
dy dx
2F y'2
dy' dx
dy dx
比较上面两式可得
d dx
F
F y'
dy dx
0
积分一次有
F F dy C y' dx
上式即为泛函中被积函数不显含x时的极值条件。 对于最速降线问题，已知
F
1 y'2 ,
F dy
y'
y'
带入泛函取极2值gy的条件y有' dx 2gy 1 y'2
将这一多项式带入泛函积分表达式中。根据系统 达到的最终状态，就是能量最小状态（泛函极 值的条件），可以求出多项式前的各系数，这 样即可求出对原问题的近似解。
（2）微分法 假设场变量的值y，写出空间某点y 的变化率，y的解与边界条件有关。
积分法和微分法的联系
微分方程是泛函取极值的必要条件，但它对函数 性态的要求稍高。
[解] 分析：物体从A点到达B点所花的时间t与路径 y =f (x)有关。可以将时间t看成是路径y的泛函， y是自变量函数。物体下滑时间最短，意味着求 泛函t的极值。
问题的关键：建立时间t与路径y的一般表达式。
设A点与坐标原点重合，B点的坐标为B(x1,y1)。 从A点到达任意点P的速度为v，失去的位能为
2）导数阶次：微分方程含有二阶导数，泛函只 含一阶导数，所以采用泛函求极值方法解稳定 温度场问题，求解相对容易。尤其是采用有限 元法求解近似解时，这些有利因素可以充分发 挥。
6-4 二维稳定温度场的有限元格式 下面从稳定温度场的泛函表达式出发，利用等参
数单元的思想，推导8节点平面和轴对称稳定温 度场的等参数单元的计算格式。
dz
f x0 x
0
0
泛函I=I[y(x)]在y=y 0 (x)处取极值的必要条件是 δI=0，即
I
Iy0 x
y
0
0
上式的含义是：异于y0 (x)的y都使I偏离最大值
点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也
不是”的状态。
可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必
要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值
0
上面的过程可以总结为
（1）写出泛函表达式 I Fdx ；
（2）设使泛函取得极值的自变函数为y，那么，
异于y的自变函数可写成y+ε δy，它的高阶项为 y’+ε δy’；
（3）使泛函取极值的条件
I 0 0
（4）展开上式，将其中的δy设法从变分中分离 出来。这个过程要用到分步积分。最后形成
I 0 ydx
F y
y
F y'
y'dx
上式右端中，因为
x2 F y' dx x2 F d y
x1 y'
x1 y'
F y'
y
x2 x1
x2 x1
yd
F y'
x2 x1
d dx
F y'
ydx
带入前式
I
x2 x1
F
y
d dx
F y'
ydx
0
由变分基本定理知，一维泛函取极值的条件
F y
d dx
F y'
二 泛函的极值
函数z = f (x)有极值问题。如果 dz 0 dx
表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向 左也不是，向右也不是，此时，z取极值。
泛函I也有极值。使泛函取极值的自变函数ｙ称为
泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定 性。
当然，使泛函取得极值的自变函数ｙ的变化要复
杂的多。
三 变分法 函数取极值的条件：dz 0 ，d 称为微分。
界条件。为简单起见，下面只讨论轴对称问题 的稳定温度场的微分方程及其边界条件与泛函 和变分的联系。 轴对称问题的特征：1）几何形状轴对称；2）边 界条件和外界温度负载轴对称。
上面的1和2保证了物体内任意一点的温度只与r 和z有关，而与θ无关，这样，三维的轴对称问 题就降为二维平面问题。z是轴线方向，r是半 径线方向，θ是圆周方向。
1 y'2
y'
y' C
2gy
2gy 1 y'2
整理后
y 1 y'2
1
2gC 2
C1
所以
y C1 1 y'2
这是一个常微分方程，用参数解法。
令
y' ctg
2
有
y C1 1 y'2
1
C1 ctg
2
C1
sin
2
2
2
由 dy y'dx，可得
dx 积分可得
dy y'
d
C1
sin
2
ctg
上面问题的求解可以采用两种方法：1）积分法；
2）微分法。
1）积分法：把y写成多项式的形式，然后写出积 分的显示表达式。使T对多项式中的各项系数 分别求导，并令其等于零，可以得到一组方程， 求解这组方程，得到各系数，则求得对原问题 的近似解。
2）微分法：求解使泛函达到极值的微分方程及 其边界条件。
下面采用微分法求解该问题。
七 变分原理
变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其 边界条件等价的原理。
即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使 泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对 应的微分方程及其边界条件。
[例] 最速降线问题。
平面上两点A和B，不在同一水平线上，也不在同 一铅垂线上。现有一物体从A沿某条曲线y = f (x) 滑到B。求解使物体下滑速度最快或时间最短的 曲线y =f (x)。不计物体与曲线间的摩擦力。
从A到B积分，便得到下滑所需的时间
t x1 0
1 dy 2 dx dx 2gy
即：下滑时间t是y(x)的泛函，记作T[y(x)]
1 dy 2 dx
T
yx
x1 0
dx 2gy
这一命题可表达如下：
在满足y(0)=0，y(x1)=y1的一切函数y(x)中，选取 一个函数，使泛函T[y(x)]为最小。