第2章测试信号的误差分析与预处理.
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第二章 测试信号的分析与处理(3)
（4）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号， 且保留原了信号的相位信息。
（5）两个非同频率的周期信号互不相关。
（6）随机噪声信号的自相关函数将随 的增大快速衰 减。
12
4 相关分析的工程应用
案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
被测工件
相关分析
性质3,性质6:提取出回转误差等周期性的故障源。
13
案例：地下输油管道漏损位置的探测
X1 t
X2
14
5 功率谱分析及其应用（补充）
(1) 功率谱密度函数的定义 随机信号的自功率谱密度函数（自谱）是该随机信号自 相关函数的傅立叶变换，记为Sx(f)：
其逆变换为：
15
(2) 功率谱密度函数的物理意义
Sx(f)随机信号的频域描述函数。
当τ =0时，有:
17
（3）功率谱在设备诊断中的应用
上图是汽车变速箱上加速度信号的功率谱图。图(a)是变速箱正
常工作谱图，(b)为机器运行不正常时的谱图。可以看到图(b)比
(a)增加了9.2Hz和18.4Hz两个谱峰，这两个频率就为设备故障
的诊断提供了依据。
18
19
11
3 相关函数的性质
相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似 程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。
（1）自相关函数是 的偶函数，RX()=Rx(- )； （2）当 =0 时，自相关函数具有最大值。
（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期 但不保留原信号的相位信息。
信号，
从而：
上式表明：Sx(f)曲线下的总面积与x2(t)/T曲线下的总面积相等。 从物理意义上讲，x2(t)是信号x(t)的能量，x2(t)/T是信号x(t)的
第2章 测量误差分析与数据处理习题课
解 按题意，功率测量允许的系统误差为
ΔP= 300 mW×5%=15 mW
20
又ΔP=uΔI+IΔu=ΔP1+ΔP2
根据等作用分配，有
P1
P2
P
2
I P / 2 15 2.5mA
u 23
则
u P / 2 15 0.075mA 75mV
I 2 100
9 ．在测量不确定度的评定前，要对测量数据进行异常数据
判别，一旦发现有异常数据应先剔除之。（对）
4
三、选择题：
1 ．若马利科夫判据成立，则说明测量结构中含有d。 （ a ）随机误差 (b) 粗大误差 (c) 恒值系差 (d) 累进性变值系差 2 ．在使用连续刻度的仪表进行测量时，一般应使被测量的数值尽可能在仪表满刻度值
5 ．被测量的真值是客观存在的，然而却是无法获得的。 （对）
6 ．系统误差的绝对值和符号在任何测量条件下都保持恒定， 即不随测量条件的改变而改变。（错）
7 ．不论随机误差服从何种分布规律，均可用莱特准则判定 粗大误差。（错）
8 ． A 类标准不确定度对应随机误差， B 类标准不确定度 对应系统误差。（错）
则此表在 50 μ A 点是合格的。要判断该电流表是否合格，应该在整个量程内取足够多的点进行检定。
7
答案： 8
答案：
P15 讲过
9
4 ．对某电感进行了 12 次精度测量，测得的数值（ mH ）为 20.46 ， 20.52 ， 20.50 ， 20.52 ， 20.48 ， 20.47 ， 20.50 ， 20.49 ， 20.47 ， 20.49 ， 20.51 ， 20.51 ，若要求在 P=95% 的置信概率下，该电感 真值应在什么置信区间内？
第2章误差分析与数据处理
系统误差 随机误差 粗大误差 测量精度
22
2.2 误差的分类
根据测量数据中的误差所呈现的规律及产生的原 因可将其分为系统误差、随机误差和粗大误差。
2.2.1 系统误差 在同一测量条件下，多次测量被测量时，绝对
值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律 （如线性、 多项式、周期性等函数规律）变化的误 差称为系统误差。前者为恒值系统误差，后者为变 值系统误差。
44
2.3.2 随机误差及其处理
随机误差一般具有以下几个性质： ① 对称性 绝对值相等的正误差与负误差出现的 次数大致相等。 ② 有界性 在一定测量条件下的有限测量值中， 其随机误差的绝对值不会超过一定的界限。 ③ 单峰性 绝对值小的误差出现的次数比绝对值 大的误差出现的次数多。 ④ 抵偿性 对同一量值进行多次测量，其误差的 算术平均值随着测量次数n的增加趋向于零。
的标准条件下所具有的误差。例如，某传感器是在电源
电压（220±5）V、电网频率（50±2）Hz、环境温度
（20±5）℃、湿度65%±5%的条件下标定的。如果传
感器在这个条件下工作，则传感器所具有的误差为基本
误差。仪表的精度等级就是由基本误差决定的。
（5）附加误差 附加条件下出现的误差。例如，温度附加误差、
26
2.2 误差的分类
系统误差也称装置误差，它反映 了测量值偏离真值的程度。凡误差的 数值固定或按一定规律变化者，均属 于系统误差。
系统误差是有规律性的，因此可 以通过实验的方法或引入修正值的方 法计算修正，也可以重新调整测量仪 表的有关部件予以消除。
夏天摆钟变慢的原因是什么？ 27
V
A
V
－ 3 15
23
2.2 误差的分类
实验力学盖秉政第2章误差分析和数据处理
Sy
y x1
2 S12
y x 2
2
S
2 2
y x r
2
S
2 r
r
y xi
2
S
2 i
r
y xi
S
i
于是各自变量的误差
S1
Sy
r
y x1
， S2
Sy
r
y x2
，
……
Sr
Sy
r
y xr
p.20
理论力学
理论力学
【例题2-2】一悬臂梁如图2-5所示，要 求测量应力误差不大于2％，求各被测量 F、l、b、h允许多大误差。
x
1 n
x1
x2
xn
1 n
n i1
xi
（2-3）
剩余误差
剩余误差是测量数据与其算术平均值之差，记作 i
即
i xi x
算术平均差
算术平均差是剩余误差绝对值的算术平均值，即
1 n i n i1
（2-4）
p.10
理论力学
理论力学
2．标准差
随机变量的重要特征是分散性，标 准差与随机误差的平方有关，对数值较 大的误差反应灵敏，因而标准差是评估 随机误差分散性的重要指标。
1.准确度 准确度是指测量值与真值接近的程度
2.精密度 精密度是指多次测量所得数据的重复程度
图2-1 不同打靶结果说明准确度和精密度
p.5
理论力学
第三节 系统误差的消除
理论力学
一、校准法
定期校准仪器仪表是消除系统误差的重要方法。校准法是用更准确的 仪器校准实验仪器以减小系统误差，或用通过分析给出的各种修正公式修 正实验数据以消除系统误差。
第二章_测试信号分析与处理(2)
（2.177） （2.178）
因此互谱和幅值谱的关系为 1 S xy f lim Y f X * f T
T
正如Ryx(τ)≠Rxy(τ)一样，当x和y的顺序调换 时，Syx(τ)≠Sxy(τ) 。但根据Rxy(-τ)=Ryx(τ) 及维纳— 辛钦关系式，不难证明：
T 2 R x x
T 0
（2.149）
（2.150）
1 其中 R x Tlim T
x t x t dt
称为x(t)的自相关(auto-correlation)函数。
周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两
者的频率相同，但丢掉了相角信息。 同频相关，不同频不相关。
f 0
（2.180）
自谱是f的实函数，而互谱则为f的复函数，实部 Cxy(f)称为共谱(cospectrum)，虚部Qxy(f)称为重谱 (quad spectrum)，即
Gxy f Cxy f jQxy f
（2.181）
写为幅频和相频的形式：
G f G f e j xy f xy xy 2 2 G xy f C xy f Q xy f Q xy f xy f arctg C xy f
式（2.170）称信号能量等式。|X(f)|2称能量 谱，是沿频率轴的能量分布密度。在整个时 间轴上信号的平均功率可计算为 1 1 （2.171） P lim x t dt lim X f df T T 自谱密度函数与幅值谱之间的关系:(rf.(2-169))
T T 2 T 2 2 2 T
2.2.7.3 相关分析
第二章 测试信号的分析与处理
1 x(t ) 2
X ( )e
d
傅里叶变换对
x(t ) X ( )
傅里叶逆变换 傅里叶（正）变换
（二）、瞬态信号的频谱分析
1．物理概念
当周期信号的 T 时， 0 2 T 0
周期信号
离散频谱
非周期信号
连续频谱
傅里叶级数
傅里叶变换
1 1 Cn (an jbn ) 2 T 当 T Cn 0
问题提出：
能否用正弦信号描述方波信号？ 简谐信号 解决办法： 复杂周期信号
利用数学工具傅里叶级数。
（一）傅里叶级数
一个周期为T的周期函数x(t)，如果满 足狄里赫利条件,则此函数x(t)可以展开为 傅里叶级数 。
狄里赫利条件： 1) 在一个周期内，处处连续或只存在有限个间断点； 2) 在一个周期内，极值点的个数是有限的； 3) 在一个周期内，函数是绝对可积。
T 2 0
4 T2 0 sin n 0tdt T
4 1 cos n 0t T n 0 0
T 2
( 0 2 T )
0 2 n (1) 1 4 n n
2 cos n 1 n
，n 2， （偶数） 4， , n 1,3, (奇数)
n
频谱图
幅值频谱图
相位频谱图
2．周期信号的频谱实例 例2 做出例1中周期方波的频谱图 解： 该方波的傅里叶级数式：
4 1 1 f (t ) sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t 3 5
4 An an bn bn n b arctg ( )
清华大学测试与检测技术基础_王伯雄_第2章测试信号分析与处理
对于不同的被测参量，测试系统的构成及作用原 理可以不同；根据测试任务的复杂程度，一个测试 系统也可以有简单和复杂之分；根据不同的作用原 理，测试系统可以是机械的、电的、液压的等等。 在对待属性各异的各类测试系统中，常常略去系 统具体的物理上的含义，而将其抽象为一个理想化 的模型，目的是为了得到一类系统共性的规律。将 系统中变化着的各种物理量，如力、位移、加速度、 电压、电流、光强等称为信号。 因此，信号与系统是紧密相关的。信号按一定的 规律作用于系统，而系统在输入信号的作用下，对 它进行“加工”，并将该“加工”后的信号进行输 出。通常将输入信号称为系统的激励，而将输出信 号称为系统的响应。
周期信号的频谱是离散的!
例1 求图2.11所示的周期方 波信号x（t）的傅里叶级数。 解： 信号x（t）在它的一个周期中 的表达式为：
1, x (t ) 1, T t 0 2 T 0t 2
根据式（2.13）和（2.14）有： 2 T /2 an x ( t ) cos n 0 tdt 0 T / 2 T
第二章 测试信号分析与处理
Signal analysis and processing in measurement
测试信号分析与处理
2.1 信号与测试系统分析 2.2 信号描述 2.3 数字信号处理
本章学习重点
1.了解信号与测试系统分析的意义 2.确定性信号时、频域描述的方法：
–周期信号的频域表达及离散谱； –非周期信号的频域表达及连续谱； –傅立叶变换的主要性质及应用； –典型信号的傅立叶变换及应用。
–例如：质量——弹簧系统在受到一个激励后的
运动状况，可以通过系统质量块的位移——时 间关系来描述。反映质量块位移的时间变化过 程的信号则包含了该系统的固有频率和阻尼比 的信息。
测量误差分析和误差处理PPT讲稿
根据中误差的定义公式可得：
mz2 k12m12 k22m22 kn2mn2
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例题：
• 例4：对某一直线作等精度观测。往测距离为L1，返测距
离为L2，其中误差均为m。求该直线的最后结果及其中误
差。
•
解；最后结果L为
•
L L1 L2 2
设L的中误差为mL，有
• 解：水平距离为
• 水平距离的中误差为
s L2 h2 29.9922 2.052 29.922
• 式中
ms2
S L
2
m
2 L
S h
2
mh2
S 1 1 2L L L 0.0685
L 2 L2 h2
L2 h2 S
S 1 1 (2h) h h 1.0023
• 由于直接观测值有误差，故它的函数也必然会有误差。
研究观测值函数的精度评定问题，实质上就是研究观测 值函数的中误差与观测值中误差的关系问题。这种关系 又称误差传播定律。
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（一）倍数函数的中误差
• 设有函数 Z=KX
• 用△X与△Z分别表示X和Z的真误差，则 • Z+△Z=K（X+△X） 即△Z=K△X
• [△2Z]=[△2X]+[△2Y] ±2[△X△Y]
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例题
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例题
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习题1：
• 如图所示的测站点O，观测了α、β、γ三个角度，已知
它们的中误差分别为± 12、± 24、± 24秒，求由 此而得圆周角不符值ε的中误差。如果用方向观测法 观测了这三个角且测角中误差为12秒，请问计算角的 中误差是多少？
mz2 k12m12 k22m22 kn2mn2
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例题：
• 例4：对某一直线作等精度观测。往测距离为L1，返测距
离为L2，其中误差均为m。求该直线的最后结果及其中误
差。
•
解；最后结果L为
•
L L1 L2 2
设L的中误差为mL，有
• 解：水平距离为
• 水平距离的中误差为
s L2 h2 29.9922 2.052 29.922
• 式中
ms2
S L
2
m
2 L
S h
2
mh2
S 1 1 2L L L 0.0685
L 2 L2 h2
L2 h2 S
S 1 1 (2h) h h 1.0023
• 由于直接观测值有误差，故它的函数也必然会有误差。
研究观测值函数的精度评定问题，实质上就是研究观测 值函数的中误差与观测值中误差的关系问题。这种关系 又称误差传播定律。
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（一）倍数函数的中误差
• 设有函数 Z=KX
• 用△X与△Z分别表示X和Z的真误差，则 • Z+△Z=K（X+△X） 即△Z=K△X
• [△2Z]=[△2X]+[△2Y] ±2[△X△Y]
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例题
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例题
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习题1：
• 如图所示的测站点O，观测了α、β、γ三个角度，已知
它们的中误差分别为± 12、± 24、± 24秒，求由 此而得圆周角不符值ε的中误差。如果用方向观测法 观测了这三个角且测角中误差为12秒，请问计算角的 中误差是多少？
弱信号检测技术第二章误差理论与数据处理
弱信号检测技术第二章误差 理论与数据处理
•
•2）相对误差
•定义：•测量的绝对误差与被测量的真值之比
•绝对误差 •相对误差 = •真值 100%
•x
• = •x0 100%
•绝对误差很小
•绝对误差
•相对误差 = •测得
100%
•x 值
• = •x 100%
•表示：百分数（%）--- 分子分母量纲相同
•① 系统误差（System error）• --- 有规律可循 •由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生
•装置、环境、动力源变化、人为因素 •再现性 --- 偏差（Deviation） •理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除 •② 随机误差（Random error） •因许多不确定性因素而随机发生 •偶然性（不明确、无规律） •概率和统计性处理（无法消除/修正） •③ 粗大误差（Abnormal error） •检测系统各组成环节发生异常和故障等引起 •异常误差 --- 混为系统误差和偶然误差 --- 测量结果失去意义 •分离 --- 防止
•
•测量结果
换位/替代法
• ② 抵消•-法-- 异号相消法
•改变测量条件（如方向）--- 两次测量结果的误差符号相 反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差
• 例：千分尺 --- 空行程（刻度变化，量杆不动）--- 系统误差
•线•正 顺反 时两 针个---方向对准标•志逆时针•不---含系统误差－a•，正空确程值引---起误差－
•--- 总体标准偏差 的无偏估计
•样本平均 --- 随机变量 --- 数学期望、标准偏差
•数学期望 ---
•标准偏差
• --- 估计值 s
•
•2）相对误差
•定义：•测量的绝对误差与被测量的真值之比
•绝对误差 •相对误差 = •真值 100%
•x
• = •x0 100%
•绝对误差很小
•绝对误差
•相对误差 = •测得
100%
•x 值
• = •x 100%
•表示：百分数（%）--- 分子分母量纲相同
•① 系统误差（System error）• --- 有规律可循 •由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生
•装置、环境、动力源变化、人为因素 •再现性 --- 偏差（Deviation） •理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除 •② 随机误差（Random error） •因许多不确定性因素而随机发生 •偶然性（不明确、无规律） •概率和统计性处理（无法消除/修正） •③ 粗大误差（Abnormal error） •检测系统各组成环节发生异常和故障等引起 •异常误差 --- 混为系统误差和偶然误差 --- 测量结果失去意义 •分离 --- 防止
•
•测量结果
换位/替代法
• ② 抵消•-法-- 异号相消法
•改变测量条件（如方向）--- 两次测量结果的误差符号相 反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差
• 例：千分尺 --- 空行程（刻度变化，量杆不动）--- 系统误差
•线•正 顺反 时两 针个---方向对准标•志逆时针•不---含系统误差－a•，正空确程值引---起误差－
•--- 总体标准偏差 的无偏估计
•样本平均 --- 随机变量 --- 数学期望、标准偏差
•数学期望 ---
•标准偏差
• --- 估计值 s
关于检测系统的误差分析与处理.ppt
常用的函数随机误差公式
y
a 2 2 1 x1
a22
2 x2
an2
2 xn
（233）
当各个测量值的随机误差为正态分布时，式（233）中的标准差用极限
误差代替，可得函数的极限误差公式为
δlim y
a δ2 2 1 limx1
a δ2 2 2 limx2
an2
δ
2 limxn
误差的合成
2.4.1系统误差的合成
测量误差的基本概念
由系统误差的定义可知，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函 数规律的误差，按照确定其量值的函数可分为：
（1）不变系统误差：在整个测量过程中，误差
的量值和符号始终是固定不变的，如图22中的
系 统
曲线a
误a
（2）线性变化的系统误差：在整个测量过程中， 差
误差的量值随着时间或者空间延续而成线性增减
表示测量结果中的系统误差大小的程度，即测量结果偏离真值的程度。系统误 差越小，准确度就越高，但准确不一定精密。如图23（b），其准确度比图23 （a）要高很多，但其精密度没有图23（a）的高，也就是说其测量数据的分散 性比图23（a）要大。
3. 精确度 精确度也可以简称为精度，它是表示测量结果中系统误差和随机误差的综合，
精度等级为G的仪表在规定的条件下使用时，它的绝对误差的最大值的范围是
xmax G% L
测量误差的基本概念
❖ 2.1.2 测量误差的分类
根据误差的性质和特点，误差可以分为随机误差、系统误差和粗大误差。
1.随机误差
在同一测量条件下，多次重复测量同一量值时，测量误差的绝对值和正 负号以不可预知的方式变化，这种误差叫做随机误差。随机误差是由众多而 影响微小的因素造成，这些因素对于测量结果的影响关系，人们还没有认识， 或者没有完全认识。
y
a 2 2 1 x1
a22
2 x2
an2
2 xn
（233）
当各个测量值的随机误差为正态分布时，式（233）中的标准差用极限
误差代替，可得函数的极限误差公式为
δlim y
a δ2 2 1 limx1
a δ2 2 2 limx2
an2
δ
2 limxn
误差的合成
2.4.1系统误差的合成
测量误差的基本概念
由系统误差的定义可知，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函 数规律的误差，按照确定其量值的函数可分为：
（1）不变系统误差：在整个测量过程中，误差
的量值和符号始终是固定不变的，如图22中的
系 统
曲线a
误a
（2）线性变化的系统误差：在整个测量过程中， 差
误差的量值随着时间或者空间延续而成线性增减
表示测量结果中的系统误差大小的程度，即测量结果偏离真值的程度。系统误 差越小，准确度就越高，但准确不一定精密。如图23（b），其准确度比图23 （a）要高很多，但其精密度没有图23（a）的高，也就是说其测量数据的分散 性比图23（a）要大。
3. 精确度 精确度也可以简称为精度，它是表示测量结果中系统误差和随机误差的综合，
精度等级为G的仪表在规定的条件下使用时，它的绝对误差的最大值的范围是
xmax G% L
测量误差的基本概念
❖ 2.1.2 测量误差的分类
根据误差的性质和特点，误差可以分为随机误差、系统误差和粗大误差。
1.随机误差
在同一测量条件下，多次重复测量同一量值时，测量误差的绝对值和正 负号以不可预知的方式变化，这种误差叫做随机误差。随机误差是由众多而 影响微小的因素造成，这些因素对于测量结果的影响关系，人们还没有认识， 或者没有完全认识。
测试信号分析与处理
S v
m
2
• 式中，S——两传感器的中心至漏报处的 距离； V——声波通过管道的传播速 度．
• 2.3信号的频谱分析 • 用频率作为独立变量来描述信号称为信 号的频域描述。 • 作为时间函数的激励和响应，可通过傅 立叶变换将时间变量变换为频率变量去 进行分析，这种利用信号频率特性的方 法称为频域分析法。频域是最常用的一 种变换域。 • 频域分析的基本工具是傅立叶分析，包 括傅立叶级数和傅立叶变换。
• 2.1.1确定性信号与非确定性信号（随机 信号） • a)确定性信号 可以用明确的数学关系式描述的信 号称为确定性信号。它可以进一步分为 周期信号、非周期信号与准周期信号等， 如下图所示。
• 周期信号是经过一定时间可以重复出现 的信号，满足条件： x ( t ) = x ( t + nT )
E
T /2 T / 2
| f (t ) | dt
2
– 把该能量值对于时间间隔取平均，得 到该时间内信号的平均功率。
1 T /2 2 P lim | f (t ) | dt T T T / 2
– 如果时间间隔趋于无穷大，将产生两 种情况。 • 信号总能量为有限值而信号平均功率为 零，称为能量信号；信号平均功率为大 于零的有限值而信号总能量为无穷大， 称为功率信号，周期信号就是常见的功 率信号。
式中，T——周期，T=2π/ω0； • ω0——基频； • n=0,±1, …
• 非周期信号是不会重复出现的信号。例 如，锤子的敲击力；承载缆绳断裂时应 力变化；热电偶插入加热炉中温度的变 化过程等，这些信号都属于瞬变非周期 信号，并且可用数学关系式描述。
• b)非确定性信号（随机信号） 非确定性信号不能用数学关系式描 述，其幅值、相位变化是不可预知的， 所描述的物理现象是一种随机过程。例 如，汽车奔驰时所产生的振动；飞机在 大气流中的浮动；树叶随风飘荡；环境 噪声等。
测试技术2信号的分析与处理
信号的相关分析 4）互相关函数的限制范围为
x y x y ≤ Rxy ( ) ≤ x y x y
5）两个统计独立的随机信号，当均值为零时，则
Rxy ( ) 0
证明
Rxy
(
)
lim
T
1 T
T
x(t) y(t )dt
0
lim 1 T T
T 0
[x
x' (t)][ y
y' (t
)]dt
因此，有
Sx
lim 1 T T
Xf 2
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围
(，,)
又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围
的函数值是其在
频率范围函数值的对称映射，(因,0)
此
(0, ) 。
Gx ( f ) 2Sx ( f )
Sx ( f ), Gx ( f )
Gx ( f )
Sx( f )
f f
) )
Sxy ( Sxx(
f f
) )
Gxy ( Gxx (
f f
) )
若
X ( f ) X R ( f ) jX I ( f )
X ( f ) X R ( f ) jX I ( f ) X( f )X ( f ) X 2R( f ) X 2I ( f ) X( f ) 2
H(
f
通过输入、输出自谱的分析，就能得出系统的幅频特性。但这样的谱分析 丢失了相位信息，不能得出系统的相频特性。
•单输入、单输出的理想线性系统
Sxy ( f ) H ( f )Sx ( f )
2）互谱排除噪声影响
信号的频域分析
x(t) + + X(f) +
第二章 测量误差分析与数据处理 ppt课件
1.5级量程为0-100mA的两个电流表，问用哪一个电流表
测量较好？
解：用0.5级量程为0-400mA电流表测100mA时，最大
相对误差为
x1
xms% 4000.5% 2% x 100
用1.5级量程为0-100mA电流表测量100mA时，最大相对
误差为
x2
xmS%1001.5%1.5% x 100
2.2测量误差的分类
• 定义: 在同一测量条件下多次重复测量同一量值时（等 精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可 预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差， 简称随差。
• 产生的原因： （1）测量仪器中零部件配合的不稳定或有摩擦，仪器内 部器件产生噪声等； （2）温度及电源电压的频繁波动，电磁场干扰，地基振 动等； （3）测量人员感觉器官的无规则变化，读数不稳定等原 因所引起的误差均可造成随机误差，使测量值产生上 下起伏的变化。
• 仪器仪表的最大绝对误差为 xmS% xm
• 最大的示值相对误差 xm x xm10 % 0S% xx m
在使用这类仪表测量时，应 选择适当的量程，使示值尽 可能接近于满度值，指针最 好能偏转在不小于满度值 2/3以上的区域。
2.1.4一次直接测量时最大误差估计
• 例子：
• 某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为0-400mA和
第二章 测量误差分析与数据处理 ppt课件
主要内容
• 2.1 测量误差的基本原理 • 2.2 测量误差的分类 • 2.3 随机误差的统计特性及估算方法 • 2.4 系统误差的特征及判断方法 • 2.5 疏失误差及其判断准则 • 2.6 测量数据的处理 • 2.7 误差的合成与分配
2.1.2测量误差的表示方法
第2章、误差和分析数据处理(答案)
第2章误差和分析数据处理1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免方法。
①砝码受腐蚀；②天平的两臂不等长；③容量瓶与移液管未经校准；④在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；⑤试剂含被测组分；⑥试样在称量过程中吸湿；⑦化学计量点不在指示剂的变色范围内；⑧读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；⑨在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符；⑩在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。
答：①系统误差——仪器误差，校准砝码②系统误差——仪器误差，校准天平③系统误差——仪器误差，做校正实验，使其体积成倍数关系④系统误差——方法误差，做对照实验，估计分析误差并对测定结果加以校正⑤系统误差——试剂误差，做空白试验，减去空白值⑥系统误差——操作误差，防止样品吸水，用减重法称样，注意密封⑦系统误差——方法误差，改用合适的指示剂，使其变色范围在滴定突跃范围之内⑧偶然误差⑨系统误差——仪器误差，校正仪器波长精度⑩系统误差——方法误差，重新设计实验条件2. 说明误差与偏差、准确度与精密度的区别与联系。
在何种情况下可用偏差来衡量测量结果的准确程度？答：准确度表示测量值与真实值接近的程度，用误差来衡量；精密度表示平行测量间相互接近的程度，用偏差来衡量；精密度是准确度的前提条件。
在消除系统误差的前提下偏差可用来衡量测量结果的准确程度。
3. 为什么统计检测的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验?答：精确度为准确度的前提，只有精确度符合要求，准确度检验才有意义。
4. 进行下述计算，并给出适当的有效数字。
（1）341054.21016.614.1510.452.2-⨯=⨯⨯⨯ （2）61098.20001120.010.514.2110.3⨯=⨯⨯ （3）02.4002034.0512.21003.40.514=⨯⨯⨯- （4）20.03248.1 2.1210531.050⨯⨯⨯= （5）142.35462.31050.78904.142.551.22856.23=⨯⨯-+⨯- （6）)]lg[(/109.7][3pH H Lmol H =-⨯=+-+5．两人测定同一标准试样，各得一组数据的偏差如下：（1） 0.3 –0.2 –0.4 0.2 0.1 0.4 0.0 –0.3 0.2 –0.3；（2）0.1 0.1 –0.6 0.2 –0.1 –0.2 0.5 –0.2 0.3 0.1。
第2章 误差分析及处理
➢ 发现手段：改变测量条件或用不同测量方法进 行对比分析，对测量系统进行检定
➢ 处理方法：找到引起误差的原因和误差规律， 用计算或补偿装置对测量值进行修正
一、系统误差的定义和分类
1、恒值系统误差：例如，仪表指针零点偏移 2、变值系统误差 ➢ 累进系统误差：仪器磨损。 ➢ 周期性系统误差：电磁场干扰 ➢ 按复杂规律变化误差
➢ Zσ------置信限
➢ Z-----置信因子，置信系数
➢ a=1-P-----显著性水平或置信水平
四、测量结果的表示
1.算术平均值
➢ 多次重复测量的测量结果一般可表示为：
在一定置信概率下，以测量值算术平均值为中 心，以置信区间半长为误差限的量
x 测量结果X＝算术平均值 置信区间半长（置 信概率）
➢1、实验对比法：恒值系统误差 ➢2、残余误差观察法：变值系统误差 ➢3、残余误差校核法 （1）马利科夫准侧：累进系统误差 （2）阿贝—赫梅特准则：周期性系统误差
➢ 马利科夫准则：将测得值按测量的先后顺序列出，
计算出全部残余误差，若前 i一半测得值的残余误
差之和减去后一半测得值的残余误差之和，若差 值显著不为零，则可判断存在累进系统误差。若 测量次数为奇数，则以（n+1）/2为中心前后两 部分残差和的差来判断。(举例)
1＝0.5
2 =1.0
3=2.0
f( )
1
2
3
图1－2 随机误差的正态分布曲线
越小 ，精确度越高
但在实际测量中，被测变量的真值 是无法知道
的，用算术平均值 代x替真值 ，则
vi xi ，x 为残余误差或剩余误差。
用残余误差 vi代替 ， i均方根差 估计值
ˆ
ˆ
1 n 1
➢ 处理方法：找到引起误差的原因和误差规律， 用计算或补偿装置对测量值进行修正
一、系统误差的定义和分类
1、恒值系统误差：例如，仪表指针零点偏移 2、变值系统误差 ➢ 累进系统误差：仪器磨损。 ➢ 周期性系统误差：电磁场干扰 ➢ 按复杂规律变化误差
➢ Zσ------置信限
➢ Z-----置信因子，置信系数
➢ a=1-P-----显著性水平或置信水平
四、测量结果的表示
1.算术平均值
➢ 多次重复测量的测量结果一般可表示为：
在一定置信概率下，以测量值算术平均值为中 心，以置信区间半长为误差限的量
x 测量结果X＝算术平均值 置信区间半长（置 信概率）
➢1、实验对比法：恒值系统误差 ➢2、残余误差观察法：变值系统误差 ➢3、残余误差校核法 （1）马利科夫准侧：累进系统误差 （2）阿贝—赫梅特准则：周期性系统误差
➢ 马利科夫准则：将测得值按测量的先后顺序列出，
计算出全部残余误差，若前 i一半测得值的残余误
差之和减去后一半测得值的残余误差之和，若差 值显著不为零，则可判断存在累进系统误差。若 测量次数为奇数，则以（n+1）/2为中心前后两 部分残差和的差来判断。(举例)
1＝0.5
2 =1.0
3=2.0
f( )
1
2
3
图1－2 随机误差的正态分布曲线
越小 ，精确度越高
但在实际测量中，被测变量的真值 是无法知道
的，用算术平均值 代x替真值 ，则
vi xi ，x 为残余误差或剩余误差。
用残余误差 vi代替 ， i均方根差 估计值
ˆ
ˆ
1 n 1
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粗大值（离群值）：含有粗大误差的测量值。 出现粗大值属于小概率事件，所以凡偏差超过某合理
选择的小概率界限，就可以认为是异常的。
此小概率值在统计学上称为显著性水平，记为a.一般
取a=0.01或0.05.
判断粗大值有多种方法，下面介绍几种常用准则：
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.2粗大误差的判断和处理
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.2粗大误差的判断和处理
3σ准则：适用于测量次数较多的测量列
缺点：可靠性不高。
优点：适用简便、不需查表。
罗曼诺夫斯基准则:适用于测量次数很少的场合。
缺点：需要查表，使用不方便。 优点：可靠性较高。
另外还有格罗布斯准则和迪克松准则等。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
ˆk xk x
ˆk 代替xk；否则仍 是否成立。如果不成立，则由 x 取xk,接着向前一个可疑异常值数据xk-1进行拟合和 判断，直到x1为止。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.4野值、跳点的剔除与补正
2.异常值的估计
② 如果被检测序列 x j与x j k 1 之间有K个连续可疑异常数 据 x j 1, x j 2 ,, x j k , 则由前面4个正常值数据和xj+k后的连 续正常数据，利用二阶多项式最小二乘估计拟合曲线， 得到K个观测数据xj+i的估计值，然后判断下式
ˆ (t ) x(t ) y(t ) y
所得结果即为消除了趋势项的信号。 例如：图2-3
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.4野值、跳点的剔除与补正
数据处理时，必须首先对观测数据异常值进行 判别和处理，以合理、可信的数据替代它，保证测 试数据处理结果的质量。 1.异常值识别：（外推拟合方法） 以前面连续正常的观测数据为依据，建立最小 二乘多项式，藉此外推后一时刻的观测数据估计值， 与该时刻的实测数据作差，识别差值是否超过给定 的门限δ ；如超过则认为该值为异常值。
2.2粗大误差的判断和处理
防止及消除粗大误差的方法：
加强工作责任心
保证测量条件的稳定
采用不等精度测量 互相之间进行校验
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.3趋势项的去除
趋势项：由于测量系统中的电极接触不好或直流放 大器的零点漂移，有可能使记录到的信号x(t)包含 一慢变的趋势项y(t)。 它有可能随时间作线性增长，也可能按平方关系增 长。会产生较大误差，需去除。 设测试所得的信号为x(t),等间隔取样可得一系列数 据点x(ti),(i=0,1,2…n),用最小二乘法构造一个p阶多 项式（参看第3章）
测量(measurement)结果总有不确定性，用不确
定度表示。它是评定测量结果质量高低的重要指 标。不确定度越小，测量结果质量越高，可信度 越大。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.1测量不确定度的概念
定义：不确定度是表征被测量的真值所处量值范围的
评定，即反映了被测量值的真值不能肯定的误差范围的 一种评定，是测量结果中无法修正的部分。
y(t ) a0 a1t a2t a pt ak t p
2 p k 0 p
第章 测试信号的误差分析与预处理
2.3趋势项的去除
如果判定趋势项是线性的，则令p=1;如果判定 趋势项不是线性的，则令p=2。这样的低阶曲线能 够较好地描述信号的趋势项。 然后令x(t)减去趋势项得：
第2章 测试信号的误差分析与预处理
本章学习要求：
1.了解不确定度的概念
2.掌握粗大误差的判断与处理
3.掌握趋势项的去除方法
4. 了解野值、跳点的概念及剔除与 补正
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.1测量不确定度的概念
误差的存在具有必然性和普遍性，由于测量误
差的随机性和复杂性，要确定测量误差的值是困 难的。
1.
3σ准则（莱以特准则） 对于某一测量列，若各测得值只含有随机误差， 则根据随机误差的正态分布规律，其残差落在±3σ 以外的概率约为0.3%。 如果在测量列中发现有残差大于3σ的测量值， 则可以认为它含有粗大误差，予以剔除。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.2粗大误差的判断和处理
2.
罗曼诺夫斯基准则
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.4野值、跳点的剔除与补正
1.异常值识别：（外推拟合方法） 假设连续4个观测数据记为 xi 4 , xi 3 , xi 2 , xi 1 , 由最小二乘估计线性外推（见第3章）获取第i时刻 观测数据的估计值为：
ˆi xi 1 x 1 1 xi 2 xi 4 2 2
当获得第i时刻观测数据时，则观察下式：
ˆi xi x
是否成立，如不成立，则将该值剔除，并用拟合后 的数据代替它。δ 一般为3σ或5 σ。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.4野值、跳点的剔除与补正
2.异常值的估计 ① 如果被检测序列的最前端有K个连续可疑异常数据 x1 , x2 ,, xk , 则由后面4个正常值数据 xk 1 , xk 2 , xk 3 , xk 4 , 利用 第3章介绍的二阶多项式最小二乘估计拟合曲线，外 推第K个观测数据xk的估计值，然后判断下式
不确定度可以是标准差或其倍数，称为标准不确定度
和扩展不确定度。也可以是置信区间的半宽。
真值不知道，所以误差无法得到。不确定度是测量误
差范围的估计值，是经过分析和评定得到的，与人们的 认识程度有关。两者的区别见表2-1.
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.2粗大误差(distortion error)的判断和处理
2.2粗大误差的判断和处理
2.
罗曼诺夫斯基准则
并求得测量列的标准差（不包含xj项）为
vi
i 1 i j
n
2
n 1
根据测量次数n和选取的显著度a，即可由查表 得到t分布的检验系数K(n,a)。若
x j x K
则认为测量值xj含有粗大误差，剔除xj是正确 的，否则需保留xj。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
又称为t检验准则，它是按t分布的实际误差分 布范围来判别粗大误差。适用于测量次数较少的情 况。 设对某量作多次等精度独立测量，得x1、 x2…xn。若认为测量值xj为可疑数据，将其剔除后 计算平均值（不包括xj)为
n 1 x xi n 1 i 1 i j
第2章 测试信号的误差分析与预处理
选择的小概率界限，就可以认为是异常的。
此小概率值在统计学上称为显著性水平，记为a.一般
取a=0.01或0.05.
判断粗大值有多种方法，下面介绍几种常用准则：
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.2粗大误差的判断和处理
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.2粗大误差的判断和处理
3σ准则：适用于测量次数较多的测量列
缺点：可靠性不高。
优点：适用简便、不需查表。
罗曼诺夫斯基准则:适用于测量次数很少的场合。
缺点：需要查表，使用不方便。 优点：可靠性较高。
另外还有格罗布斯准则和迪克松准则等。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
ˆk xk x
ˆk 代替xk；否则仍 是否成立。如果不成立，则由 x 取xk,接着向前一个可疑异常值数据xk-1进行拟合和 判断，直到x1为止。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.4野值、跳点的剔除与补正
2.异常值的估计
② 如果被检测序列 x j与x j k 1 之间有K个连续可疑异常数 据 x j 1, x j 2 ,, x j k , 则由前面4个正常值数据和xj+k后的连 续正常数据，利用二阶多项式最小二乘估计拟合曲线， 得到K个观测数据xj+i的估计值，然后判断下式
ˆ (t ) x(t ) y(t ) y
所得结果即为消除了趋势项的信号。 例如：图2-3
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.4野值、跳点的剔除与补正
数据处理时，必须首先对观测数据异常值进行 判别和处理，以合理、可信的数据替代它，保证测 试数据处理结果的质量。 1.异常值识别：（外推拟合方法） 以前面连续正常的观测数据为依据，建立最小 二乘多项式，藉此外推后一时刻的观测数据估计值， 与该时刻的实测数据作差，识别差值是否超过给定 的门限δ ；如超过则认为该值为异常值。
2.2粗大误差的判断和处理
防止及消除粗大误差的方法：
加强工作责任心
保证测量条件的稳定
采用不等精度测量 互相之间进行校验
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.3趋势项的去除
趋势项：由于测量系统中的电极接触不好或直流放 大器的零点漂移，有可能使记录到的信号x(t)包含 一慢变的趋势项y(t)。 它有可能随时间作线性增长，也可能按平方关系增 长。会产生较大误差，需去除。 设测试所得的信号为x(t),等间隔取样可得一系列数 据点x(ti),(i=0,1,2…n),用最小二乘法构造一个p阶多 项式（参看第3章）
测量(measurement)结果总有不确定性，用不确
定度表示。它是评定测量结果质量高低的重要指 标。不确定度越小，测量结果质量越高，可信度 越大。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.1测量不确定度的概念
定义：不确定度是表征被测量的真值所处量值范围的
评定，即反映了被测量值的真值不能肯定的误差范围的 一种评定，是测量结果中无法修正的部分。
y(t ) a0 a1t a2t a pt ak t p
2 p k 0 p
第章 测试信号的误差分析与预处理
2.3趋势项的去除
如果判定趋势项是线性的，则令p=1;如果判定 趋势项不是线性的，则令p=2。这样的低阶曲线能 够较好地描述信号的趋势项。 然后令x(t)减去趋势项得：
第2章 测试信号的误差分析与预处理
本章学习要求：
1.了解不确定度的概念
2.掌握粗大误差的判断与处理
3.掌握趋势项的去除方法
4. 了解野值、跳点的概念及剔除与 补正
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.1测量不确定度的概念
误差的存在具有必然性和普遍性，由于测量误
差的随机性和复杂性，要确定测量误差的值是困 难的。
1.
3σ准则（莱以特准则） 对于某一测量列，若各测得值只含有随机误差， 则根据随机误差的正态分布规律，其残差落在±3σ 以外的概率约为0.3%。 如果在测量列中发现有残差大于3σ的测量值， 则可以认为它含有粗大误差，予以剔除。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.2粗大误差的判断和处理
2.
罗曼诺夫斯基准则
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.4野值、跳点的剔除与补正
1.异常值识别：（外推拟合方法） 假设连续4个观测数据记为 xi 4 , xi 3 , xi 2 , xi 1 , 由最小二乘估计线性外推（见第3章）获取第i时刻 观测数据的估计值为：
ˆi xi 1 x 1 1 xi 2 xi 4 2 2
当获得第i时刻观测数据时，则观察下式：
ˆi xi x
是否成立，如不成立，则将该值剔除，并用拟合后 的数据代替它。δ 一般为3σ或5 σ。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.4野值、跳点的剔除与补正
2.异常值的估计 ① 如果被检测序列的最前端有K个连续可疑异常数据 x1 , x2 ,, xk , 则由后面4个正常值数据 xk 1 , xk 2 , xk 3 , xk 4 , 利用 第3章介绍的二阶多项式最小二乘估计拟合曲线，外 推第K个观测数据xk的估计值，然后判断下式
不确定度可以是标准差或其倍数，称为标准不确定度
和扩展不确定度。也可以是置信区间的半宽。
真值不知道，所以误差无法得到。不确定度是测量误
差范围的估计值，是经过分析和评定得到的，与人们的 认识程度有关。两者的区别见表2-1.
第2章 测试信号的误差分析与预处理
2.2粗大误差(distortion error)的判断和处理
2.2粗大误差的判断和处理
2.
罗曼诺夫斯基准则
并求得测量列的标准差（不包含xj项）为
vi
i 1 i j
n
2
n 1
根据测量次数n和选取的显著度a，即可由查表 得到t分布的检验系数K(n,a)。若
x j x K
则认为测量值xj含有粗大误差，剔除xj是正确 的，否则需保留xj。
第2章 测试信号的误差分析与预处理
又称为t检验准则，它是按t分布的实际误差分 布范围来判别粗大误差。适用于测量次数较少的情 况。 设对某量作多次等精度独立测量，得x1、 x2…xn。若认为测量值xj为可疑数据，将其剔除后 计算平均值（不包括xj)为
n 1 x xi n 1 i 1 i j
第2章 测试信号的误差分析与预处理