球的体积公式积分推导

设球的方程为：

2222R

z y x =++ 为方便起见，特选定第一，二，三，四卦限为研究对象。 222:R

y x D zdxdy

V D

≤+=⎰⎰

代入，可得 dxdy y x R V D ⎰⎰--=222

选取极坐标

令t

r y t

r x sin cos ==

其中，π200≤≤≤≤t R r

再次代入 dr r R r dt V R ⎰⎰-=02220π

注意到()r

r R d dr 22

2--= ∴()

r r R d r R r dt V R 22202220---=⎰⎰π

()

220222021r R d r R dt V R ---

=⎰⎰π

∵

()()3232

2220223

103121R R r R r R d r R R

=--=---⎰ ∴332033

2023131R t R dt R V πππ

===⎰ 由于是取第一，二，三，四卦限为研究对象，则上式为球的体积的一半。 ∴334R V π球=