自主招生讲义——概率

江苏省扬中高级中学2014自主招生辅导

第2讲概率

【例题选讲】

1 数轴上有2个点,A B，最初A在原点，B在坐标2的位置.规定如下：若投掷出来的硬币为正面，则A点坐标加上1，B点坐标不变；若投掷出来的硬币为反面，则B点坐标加上1，A点坐标不变．求下列事件发生的概率：

（1）硬币投掷4次，A的坐标为3；

（2）A比B先到坐标4；

（3）硬币投掷6次，A第一次追上B．

A B C D E F，在出发点A处放置一枚小2如图所示，圆周上顺时针方向有6个等分点,,,,,

石子.现投掷一枚骰子，当掷出的数目是偶数时，石子就顺时针向前移动2个位置；当掷出的数目是奇数时，石子就顺时针向前移动1个位置．

（1）求石子恰好转一周回到A点的概率；

（2）求石子恰好转两周回到A点的概率．

3如图所示，东西方向有4条道路，南北方向有5条道路.现从点A出发沿最短的道路行走至B.在各交叉点处，若只能往一个方向，概率为1；若能往东或往北走，其概率相同．求从点A出发沿最短的道路行走至B的走法中，中途经过点P的概率．

4（2013华约）7个红球，8个黑球，一次取出4个．

（1）求恰有一个红球的概率；

（2）取出黑球的个数为x ，求x 的分布列和Ex ；

（3）取出4个球同色，求全为黑球的概率．

5（2012华约）系统中每个元件正常工作的概率都是(01) p p <<，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性．

（1）某系统配置有21k -个元件，k 为正整数，求该系统正常工作概率的表达式；

（2）为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性．

6（2010清华）蒲丰投针试验中，平行线间距为a ，针长为b ，试求针与线相交概率与,a b 的关系，并求出什么情况下概率是1

π．

7（2011复旦）在半径为1的圆周上随机选取三点，它们构成一个锐角三角形的概率是 ______________．

8从正11边形的顶点中随机取3个点，构成锐角三角形的概率为______________．

9（2010浙大）甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷．

（1）第一局甲胜的概率；

（2）第n 局甲胜的概率．

10 甲、乙、丙、丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人．

（1）经过2次传球后，球在甲乙两人手中的概率各是多少？

（2）经过n 次传球后，球在甲手中的概率记为(1,2,) n P n =,试求1n P +与n P 的关系式, 并求n P 的表达式及lim n n P →∞

．

11（2011华约）投掷一枚硬币，设投掷n 次不连续出现三次正面向上的概率为n P ．

（1）求1234,,,P P P P ；

（2）写出n P 的递推公式，并指出其单调性；

（3）lim n n P →∞是否存在？有何统计意义？

12（2011卓越）一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，那么把它放回袋中；如果取出黑球，那么该黑球不再放回，另补一个白球到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为n x ．

（1）求1x 的数学期望1Ex ；

（2）设()n k P x a k p =+=，求1(),0,1,

,n P x a k k b +=+=； （3）证明：1n x +的数学期望11(1)1n n Ex Ex a b +=-

++．