轴对称二垂直平分线共19页文档
线段垂直平分线的性质和判定讲课文档
B(A)
总结归纳
线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
第八页，共22页。
典例精析
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直 平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为 35cm，则BC的长为( ) C
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
线段垂直平分线的性质和判定
第一页，共22页。
学习目标
1.理解线段垂直平分线的概念； 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算. （难点）
第二页，共22页。
导入新课
问题引入
A
某区政府为了方便居民的生活，计划在三 个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中 心，试问该购物中心应建于何处，才能使得 它到三个小区的距离相等？
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示. 因为PA=PB， 所以△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， 从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
第十三页，共22页。
总结归纳
P3
P1A __＝__P1B P2A __＝__ P2B
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B
l
第六页，共22页。
活动探究
作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是 线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA 与线段PB重合，于是PA=PB.
P
(B) A
l
第七页，共22页。
八年级数学上册13.1.1轴对称(共21张PPT)
课前准备：
正方形纸片、剪刀.
一、引出新知
二、探究新知
【问题1】如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折 痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到 了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什 么共同的特点吗？
（一）轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就 是它的对称轴. 这时，我们也说这个图形关于这条直线 (成轴）对称．
B
B'
C
C'
N
（四）两个图形成轴对称的性质
思考：如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”…
其他条件不变，前面的结论还成立吗？
M
l
l
A
A'
P
B C
B' C'
N
性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线．(即对称点所连线段被对称 轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段.)
四边形ABCD是轴对称图形
B
3
30°
C
30°
A
3
D
∆ABC ∆ADC
AC垂直平分BD
轴对称图形
课堂小结
轴对称
重要内容 线段的垂直 平分线
概念 性质
两个图形 成轴对称
概念 性质
本节课知识点对应数学课本P58-60
课后作业
完成课本P64-65习题13.1第1、2、3、4、5题．
谢谢!
B
点C'是点C的对称点. 能成轴对称，
B′
那么它们是全
C
C′
等图形吗？
做一做
2.下列每副图形中两个图案是轴对称的吗？如果是，
2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形微专题——动点问题1(含解析)
2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形微专题——动点问题1一、单选题1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2B．3C．4D．52．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，点D在AC上，CD=3，BD平分∠ABC，点P是AB 上一个动点，则下列结论正确的是（）A．PD>3B．PD≥3C．PD≤3D．PD=33．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AD=3，若P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（）A．3B．2.4C．4D．54．如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（）A．118°B．125°C．136°D．124°5．如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当以A、B、P为顶点的三角形和△DCE全等时，t的值为（ ）A．1B．7C．1或2D．1或76．如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）A．4B．6C．7D．97．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB=∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题10．如图，在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，动点动点Q以3cm/s的速度从点B止移动．设移动的时间为t(与△PAB全等．12．如图，CA⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以随着E点运动而运动，且始终保持三角形与点A、B、C组成的三角形全等．13．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA值为．14．如图，∠ACB=90°，AC=/秒的速度沿射线AC运动，点Q秒时，△ABC与以点P，Q，C为顶点的三角形全等．三、解答题15．在平面直角坐标系中，A(−5,0)，B(0,5)．点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．(1)如图①，若C(4,0)，求点E的坐标；(2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC<5．其它条件不变，连接DO，求证：DO 平分∠ADC．16．已知：△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D 为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．(1)如图，当点D在线段BC上时，过点E 作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH=AC；(2)如图，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM=EM．17．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．(1)求BO的长；(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ 全等时，求t的值．18．定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF．求证：PE=PF；(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB−PC>BD−CD．19．如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm，动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3 cm的速度向点A运动，运动时间是t秒．(1)在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．20．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是射线BA上一动点，连接CD，以CD为边作∠DCE=45°，CE在CD右侧，CE与过点A且垂直于AB的直线交于点E，连接DE．(1)当CD，CE都在AC的左侧时，如图①，线段BD，AE，DE之间的数量关系是_________；(2)当CD，CE在AC的两侧时，如图②，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；(3)当CD，CE都在AC的右侧时，如图③，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．参考答案：1．B【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可．【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PQ=PA=3，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解题的关键是能得出使PQ最小时Q 的位置．2．B【分析】连接DP，根据角平分线的性质及垂线段最短解答即可．【详解】解：连接DP，如图所示：∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴当DP⊥AB时，DP=CD=3那么当DP不垂直AB时，DP>CD=3，∵垂线段最短，∴PD≥3，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及垂线段最短，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3．A【分析】由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论．【详解】解：当DP⊥BC时，DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ABC ∴∠ABD=∠CBD=12∵BP=BP，∴△PBQ≌△PBE(SAS)，∵∠AEB=90°，∠CBD=34°∴∠APB=∠AEB+∠CBD=∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．即CE+EF的最小值为4，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．7．D【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD=∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=AD．【详解】解：∵BD⊥CD，∠A=90°．∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP=AD=5．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．8．D【分析】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≅△BQP②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≅△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≅△BQP，∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≅△BQP，∵AB=10cm，AE=6cm，∵BD平分∠ABC，∴∠N′BM=∠NBM，在△MBN′与△MBN中，{BN′=BN∠N′BM=∠NBM，BM=BM×AB×CN′，此时S△ABC=12×4×CN′，可得6=12可得CN′=3，∴CM+MN的最小值为3，故答案为：3．∵AB=AD，∠ABP=∴BP=AQ，∵AQ=AB−BQ=8−3t，BP=t，∴8−3t=t，∴t=2s，当点Q在边AD时，不能构成△QAD，当点Q在边CD上时，如图2，AB+AD+DQ=3t，BP=t，∴DQ=3t−16．要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QAD，∴BP=DQ，∴t=3t−16，∴t=8s，故答案为：2s或8s．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质解本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．11．5【分析】由平行线的性质可得∠EBF=∠A，由ASA证明△BEF≌△AED，得到AD=BF，最后由BF+CD=AD+CD=AC即可得到答案．【详解】解：∵BF∥AC，∴∠EBF=∠A，∵E为AB中点，∴BE=AE，在△BEF和△AED中，{∠EBF=∠ABE=AE∠BEF=∠AED，∴△BEF≌△AED(ASA)，∴AD=BF，∴BF+CD=AD+CD=AC=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键．12．0或2或6或8【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况AC=BE和AB=EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB−BE=4cm，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；②当E在BN上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB+BE=12cm，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，∵AB=8cm，∴BE=8cm，∴AE=AB+BE=16cm，∴点E的运动时间为16÷2=8（秒），综上所述，当点E经过0秒或2秒或6秒或8秒时，由点D、E、B组成的三角形与点A、B、C 组成的三角形全等，故答案为：0或2或6或8．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的运用．13．3【分析】过P作PE⊥OB交OB于E，当D于E重合时，PD=PE最小，即可求解．【详解】解：如图，过P作PE⊥OB交OB于E，∴当D于E重合时，PD=PE最小，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，∴PE=PC=3，∴PD的最小值为3，故答案：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段定理，掌握定理是解题的关键．14．1或3或4【分析】设点P运动时间为t秒，根据已知条件分△ABC≌△PQC，△ABC≌△QPC，两种情况，根据AC=PC=4和BC=PC=2列方程求出t值即可．【详解】解：∵AC=2BC=4，∴BC=2，设点P运动时间为t秒，∵∠ACB=∠PCQ=90°，PQ=AB，∴当△ABC≌△PQC时，AC=PC=4，∴|4−2t|=4，解得：t=0（舍）或t=4；当△ABC≌△QPC时，BC=PC=2，∴|4−2t|=2，解得：t=1或t=3；综上：1秒或3秒或4秒时，△ABC与以点P，Q，C为顶点的三角形全等，故答案为：1或3或4．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．15．(1)点E 的坐标为(0，4)；(2)见解析【分析】（1）可证明△AOE≌△BOC(ASA)，从而得出OE =OC ，进而求得；（2）过O 作OM ⊥DA 于M ，ON ⊥DC 于N ，根据△AOE≌△BOC ，得S ΔAOE =S ΔBOC ，从而得出OM =ON ，进而得证．【详解】（1）解：如图，∵AD ⊥BC ，AO ⊥BO ，∴∠AOE =∠BDE =∠BOC =90°，∴∠OAE +∠ACD =90°，∠OBC +∠ACD =90°，∴∠OAE =∠OBC ，∵A (−5，0)，B (0，5)，∴OA =OB =5．在△AOE 和△BOC 中，{∠OAE =∠OBC OA =OB ∠AOE =∠BOC，∴△AOE≌△BOC(ASA)，∴OE =OC ，∴点C 坐标为(4,0)，∴OE =OC =4，∴E (0，4)；（2）证明：如图，过O作OM⊥DA于M，ON⊥DC于由（1）知，△AOE≌△BOC，∴SΔAOE=SΔBOC，AE=BC，∴1 2×AE×OM=12×BC×ON，∴OM=ON，{∠AHE =∠C ∠AEH =∠DAC AE =DA，∴△AEH≌△DAC(AAS)，∴EH =AC ．（2）如图，作EF ⊥CM 交CM 的延长线于点F ，∵∠F =90°，∠ACD =180°−∠ACB =90°，∠DAE =90°，∴∠F =∠ACD =∠MCB ，∵∠FAE +∠CAD =90°，∠CDA +∠CAD =90°，∴∠FAE =∠CDA ，在△FAE 和△CDA 中，{∠F =∠ACD ∠FAE =∠CDA AE =DA，∴△FAE≌△CDA(AAS)，∴EF =AC ，∵AC =CB ，∴EF =AC =BC ，在△BMC 和△EMF 中，{∠MCB =∠F ∠BMC =∠EMF BC =EF，∴△BMC≌△EMF(AAS)，∵BM =EM ．【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．17．(1)6∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠ACF，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠FCQ，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌∴t=4t−6，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAP=∠CAP，在△APE和△APC中，{AE=AC（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF=AE，CF=CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可；【详解】（1）过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，如图．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=135°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD+BF=DF，∴BD+AE=DE．故答案为：BD+AE=DE．（2）图②的猜想：BD−AE=DE．证明：过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图②．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠CBF=∠CAE．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD−BF=DF，∴BD−AE=DE．（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD−BF=DF，∴BD−AE=DE．故答案为：BD−AE=DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。
垂直平分线的性质讲课文档
M D
Ｏ
解：相等，连接ＯB.
∵ MN是线段AB的垂直平分线（ 已知） ∴ ＯA=ＯB（线段中垂线的性质） C
A N
又∵ DE是线段BC的垂直平分线
B
E
（已知）
∴ ＯB=ＯC（线段中垂线的性质）
∴ ＯA=ＯC（等量c代ome换on），boys and gilrs
现在十三页，总共六十八页。
如图,已知:AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到AOB两边的距 离相等,并且满足PM=PN.
A
.N
. .M P 点P为所求
作的点
O
现在三十三页，总共六十八页。
B
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和
同桌交流你的作图过程．
A
P
O
B
现在三十四页，总共六十八页。
国旗是国家的一个象征，观察下面的国旗， 哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴。
课堂练习P62
2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上
，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有
什么关系？
A
解：∵ AD⊥BC，BD =DC
∴ AD 是BC 的垂直平分线
∴ AB =AC
B DC
E
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上
∴ AC =CE． ∴ AB =AC =CE
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离
相等的所有点的集合
come on，boys and gilrs
现在十九页，总共六十八页。
巩固练习 已知:如图 ABC中,边AB、BC的垂
A M
直平分线相交于点P.
七年级数学 第五章 生活中的轴对称 2 探究轴对称的性质同步
2.如图5-2-10,四边形ABCD中,点M,N分别(fēnbié)在AB,BC上,将△BMN沿MN翻
折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B =
°.
答案(dáàn) 95
图5-2-10
12/7/2021
第二十七页，共三十一页。
解析 ∵MF∥AD,∠DAM=100°,∴∠FMB=100°.
知1识2详/7解/2021 (3)成轴对称的两个图形全等,但全等的两个图形不一定成轴对称.
(4)作用:①如果两个图形关于某一条直线成轴对称,那么对应点所连线段的垂直平分线就是这两个图形的对称轴,我们可以利用这一性质画对称轴.②由于对应线段、对应
角相等,我们可以利用这一性质说明两条线段相等或两个角相等
第二十五页，共三十一页。
1.如图5-2-9,P是∠AOB内一点,分别作点P关 于直线(zhíxiàn)OA,OB的对称点P1,P2,连接OP1,OP2,则
下列结论正确的是 ( )
A.OP1⊥OP2
B.OP1=OP2 C.OP1⊥OP2且OP1=OP2 D.OP1≠OP2
图5-2-9
答案 B ∵点P关于(guānyú)直线OA,OB的对称点分别为P1,P2,∴OP1=OP2= OP,∠AOP=∠AOP1,∠BOP=∠BOP2,∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+ ∠BOP+∠BOP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB,∵∠AOB的度数任意,∴OP1 ⊥O1P2/72不/20一21 定成立.故选B.
12/7/2021
图5-2-2
第五页，共三十一页。
解析 (1)所画图形(túxíng)如图5-2-3所示:
图5-2-3
2022秋七年级数学上册 第二章 轴对称2.3简单的轴对称图形1线段的垂直平分线及其性质课件 鲁教版
A．25° B．30°
C．35° D．40°
【点拨】因为DE垂直平分AC， 所以AD＝CD，AE＝EC，又因为DE＝DE， 所以△ADE≌△CDE.所以∠A＝∠ACD. 又因为CD平分∠ACB， 所以∠ACB＝2∠ACD＝100°. 所以∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－50°－ 100°＝30°.故选B.
作图痕迹是( D )
5 如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC 的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧， BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm
【点拨】因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点 D，E，所以BD＝AD，AE＝EC.所以△ADE的周长 为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.
解：因为AG垂直平分BC，点D在AG上， 所以DB＝DC.
13 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点， 连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)试说明：CF＝AD.
解：因为 AD∥BC，所以∠ECF＝∠ADE. 因为 E 为 CD 的中点，所以 CE＝DE.
∠FEC＝∠AED， 在△FEC 和△AED 中，CE＝DE，
2 【中考·枣庄】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交 AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC＝6，AC＝5， 则△ACE的周长为( B ) A．8 B．11 C．16 D．17
【点拨】因为DE垂直平分AB， 所以AE＝BE. 所以△ACE的周长为AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋BE ＝AC＋BC＝5＋6＝11. 故选B.
6 【中考·十堰】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分 线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为 ____1_9___．
2020中考数学专题复习：图形和变换(轴对称、轴对称图形)(共29张PPT)
3- 2
例题6．
A O
Q
F
B E
综合提优
①求证：DQ＝AE；②推断:GF:AE的值；
D
G
C
综合提优
A
D BC:AB＝k(k为常数)．探究GF与AE之间的数量
关系，并说明理由；
MO
F
B
E
G P
C
A
5X
O2 10 F 3 10 x
4X 5X
拓展应用：在(2)的条件下，连接CP,当k＝ 2 D 时，若tan∠CGP＝ 3 ,GF＝2 10 ，求CP的长．3
2. 下列图形中，为轴对称图形的是（ D ）
基础训练
3.(2017黑龙江哈尔滨)下列图形中,既是轴对称图形
又是中心对称图形的是 ( D )
基础训练
4.如图所示,在Rt△ABC中，
∠C= 90°,以顶点A为圆心,适当
长为半径画弧，分别交AC,AB
于点M、N,再分别以点M,N为
圆心,大于0.5MN的长为半径画
例题讲解
∵以△ADE、△AD′E，关于直线AE 成轴对称图形∴AD＝AD′， ∵在△ABD和△ACD′中
∴△ABD≌△ACD′（sss）
（2）解：∵△ABD≌△ACD′，∴∠BAD＝∠CAD′， ∴∠BAC＝∠DAD′＝120°， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形 △AD′E， ∴∠DAE＝∠D′AE＝ ∠DAD′＝60°，即∠DAE＝60°
E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在AE
上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.
若DE=5,则GE的长为
.
例题讲解
12
由折叠及轴对称的性质可知， △ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
13.1.2线段垂直平分线性质课件(共34张PPT)
B的距离.你有什么发现？再取几个点试试.你能说明理由吗？
发现： P到A的距离与P到B的距离相等.
P
已知:如图.AC=BC. PC⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
证明：∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 在△APC与△BPC中:
PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
五角星的对称轴有什么特点？ 相交于一点．
练习
1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下.你们 作出的对称轴一样吗？
练习
2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？
练习
3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的 对称轴．
A
B
C
D
做一做
1.正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点， 过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影 部分的面积之和等于 1 a 2 ．
B A
5.求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点 距离相等.
A
·P
B
C
试一试
N
已 知 ： P为 M ON内 一 点 。 P与 A关 于 ON对 称 ， A
P与 B关 于 OM 对 称 。 若 AB长 为 15cm
求 ： PCD的 周 长 .
D P
解: P与A关于ON对称
ON为PA的中垂线（
? …）
F
∴PA=PB 同理：PB=PC
P E
∴PA=PB=PC
A
N
B
结论：三角形三边的垂直平分线交于一 点，并且这点到三个顶点的距离相等.
冀教版初中数学八年级上册教学课件 第十六章 轴对称和中心对称 线段的垂直平分线(第2课时)
3.如图所示,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从 任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三 个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠, 应该蹲守在 ( A ) A.ΔABC三边垂直平分线的交点上 B.线段AB上 C.ΔABC三条高所在直线的交点上 D. Δ ABC三条中线的交点
线段两个端点的距离相等进行证明.
那么反过来,到线段两个端点距离相等的点是否一定 都在线段的垂直平分线上呢?
活动一:线段垂直平分线性质定理 的逆定理
学习新知
. 与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在 这条线段的垂直平分线上呢?
已知:如图所示,P是线段AB外一点,
且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
新课标 冀
数学
8年级/上
八年级数学·上 新课标 [冀教]
第十六章 轴对称和中心对称
学习新知
检测反馈
给你已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几个? 如果用三角板和刻度尺,你能画出至少三个吗?
利用三角板、刻度尺作出线段的垂直平分线,在垂
直平分线上取点,连接可得满足条件的等腰三角形.
在这里,我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条
O
证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
PA PB,
在ΔPOA和ΔPOB中, PO PO,
AO BO,
∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS)，∴∠POA=∠POB，
∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂 直平分线上.
线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端
线段垂直平分线的性质定理及逆定理标准版文档
(chuíxiàn)PC， 本节课你有哪些(nǎxiē)收获？
在Rt△PAC≌Rt△PBC中
PA=PB，
∴∠PCA=∠PCB=90° =
轴对称图形的概念是什么(shén me)？ 在△APC与△BPC中
∴AC=BC（全等三角形对 应(duìyìng)角相等）
在Rt△PAC≌Rt△PBC中 PA=PB，
l
你有什么(shén me)发现？
猜想： 线段(xiànduàn)垂直平 分线上的点到这条线段(xiànduàn)两个端点距 离相等.
第四页，共10页。
M
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P
P
是MN上任意一点(yī diǎn).
求证:PA=PB.
A
C
B 证明： ∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA=∠PCB=90°
线段垂直平分线的性质(xìngzhì) 定理及逆定理
第一页，共10页。
概念(gàiniàn)复习
▪ 轴对称图形的概念是什么(shén me)？
▪ 两个图形轴对称的概念是什么(shén me)？
▪ 垂直平分线的概念是什么(shén me)？
▪ 图形轴对称的性质？ 第二页，共10页。
学习(xuéxí)目标
▪ 掌握线段垂直平分线的性质定理 (dìnglǐ)及逆定理(dìnglǐ)
▪ 能运用两个定理(dìnglǐ)解决有关 的实际问题
第三页，共10页。
P1
▪ 如左图，木条L与木条
P2
AB钉在一起，L垂直平
P3
分AB，P1、P2、 P3……是l 上的点，分别
A
B 量一量点P1、P2、
P3……到Ａ与B的距离，
求证：P点在AB的 ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
线段垂直平分线的性质及判定定理课件
定理2 到一个角的两边的距离相等的 点，在这个角的平分线上。
逆定理 和一条线段两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端
的所有点的集合
点距离相等的所有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
第十八页，共19页幻灯片
第十九页，共19页幻灯片
第十六页，共19页幻灯片
今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
第十七页，共19页幻灯片
线段的垂直平分线
M
P
O
E
B
A
B
N
定理1 在角的平分线上的点到这个角的 定 理 线段垂直平分线上的点和这
两边的距离相等。
条线段两个端点的距离相等。
的垂直平分线上.
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上
,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中
点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否
也可以得证?
驶向胜利的 彼岸
第十一页，共19页幻灯片
∴AE+EC=BE+EC=8cm 有垂直平分线
（等式性质）.
，就有等腰三
又∵ BC=6cm（已知）
角形的产生
∴ C△BEC=BE+EC+BC =8+6=14cm
第十页，共19页幻灯片
思考分析
进步的标志
你能写出定理 “线段垂直平分线上的
轴对称 垂直平分线的性质共31页
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
轴对称 垂直平分线的性质 4、守业的最好办பைடு நூலகம்就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。