二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲
二阶线性常系数齐次微分方程的解市公开课一等奖市赛课金奖课件
yex(C1cosxC2sinx)
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❖特征方程旳根与通解旳关系
方程r2prq0旳根旳情况 方程ypyqy0旳通解
有两个不相等旳实根 r1.r2
有两个相等旳实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i yex(C1cosxC2sinx)
求ypyqy0旳通解旳环节 •第一步 写出微分方程旳特征方程 •r2+pr+q=0 •第二步 求出特征方程旳两个根r1.r2 •第三步 根据特征方程旳两个根旳不同情况, 写出微分方程旳 通解.
中p、q均为常数
❖特征方程及其根
方程r2 pr q 0叫做微分方程y
py qy 0旳
特征特方征程方. 程旳求根公式为
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❖特征方程旳根与通解旳关系
方程r2prq0旳根旳情况 方程ypyqy0旳通解
有两个不相等旳实根 r1.r2
有两个相等旳实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i首页上页ຫໍສະໝຸດ 返回下页结束
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❖特征方程旳根与通解旳关系
方程r2prq0旳根旳情况 方程ypyqy0旳通解
有两个不相等旳实根 r1.r2
有两个相等旳实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
yex(C1cosxC2sinx)
例1 求微分方程y2y3y0旳通解
解 微分方程旳特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0
例2 求方程y2yy0旳通解
解 微分方程旳特征方程为 r22r10 即(r1)20
特征方程有两个相等旳实根r1r21 所以微分方程旳通解为yC1ex C2xex 即y(C1C2x)ex
二阶线性常系数齐次微分方程的解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
二阶常系数齐次线性微分方程解法
二阶常系数齐次线性微分方程解法简谈二阶常系数齐次线性微分方程解法作为一种常见的数学形式，二阶常系数齐次线性微分方程在许多应用场景和互联网环境中产生不可磨灭的影响。
下文将阐明了二阶常系数齐次线性微分方程，并且阐述其解法的若干核心要素。
如前所述，二阶常系数齐次线性微分方程是一种研究应用于许多领域的常用数学形式。
它具有一般形式\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2} + p \frac{dy}{dx}+qy = 0\end{align}。
其中，常数P和Q称为系数，取决于系统。
如果存在某种参数让P和Q都为0，那么上述问题将成为一元高次线性微分方程。
在数分课程研习中，这种方程的解方法可用拉普拉斯变换法求解，然后把结果还原回原变量。
该方程的解可以通过拉普拉斯变换法：在研究通用解阶段，求解变换后形式\begin{align}w'(x) + pw(x) + q = 0\end{align} for W(x) 的解，以及\begin{align}m^2-pq\end{align} 求取通解中的系数M，并将结果还原为\begin{align}y=C_1e^{mx}+C_2xe^{mx} \end{align}。
此外，用于求解非齐次方程的某些技术是很有用的，如变分法和Cauchy-Lipschitz条件，这也适用于具有二阶常系数齐次线性微分方程的研究。
变分法的原理是把要求解的问题变为另一个数学问题，该问题的解存在一系列参数。
而Cauchy-Lipschitz条件是一种定义给定解的条件，考虑这些条件会解决很多问题。
从以上内容可以看出，二阶常系数齐次线性微分方程的解法有许多可用方法，其中最流行的方法包括拉普拉斯变换法、变分法和Cauchy-Lipschitz条件。
这些方法在许多不同的领域中，尤其是互联网领域中得以发挥重要作用，具有很强的针对性和可行性，为数学研究提供了有效的支撑。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
二阶常系数齐次线性微分方程的通解这类方程很特殊，前缀多，范围小，但在物理中经常见到，所以单独讨论。
我们先从二阶线性微分方程入手，y''+P(x)y'+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。
进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y''+py'+qy=0.求解这个方程，可以先求出它的两个线性独立的特解，然后通过解的叠加原理得到通解。
设解的形式为y=e^{rx}代入方程即得到(r^2+pr+q)e^{rx}=0 \Rightarrow r^2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。
需要分三种情况讨论：1）特征方程有两个不等实根r_1 \ne r_2则两个特解为y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}，而\frac{y_1}{y_2} \ne C，故通解为y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.2）特征方程有一对共轭复根r_1=a+bi,r_2=a-bi,b\ne0则两个特解为y_1=e^{ax+bxi},y_2=e^{ax-bxi}，由欧拉公式有y_1=e^{ax}[cos(bx)+isin(bx)],y_2=e^{ax}[cos(bx)-isin(bx)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y_{11}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos(bx),y_{12}=\frac{1}{2}(y_1-y_2)=e^{ax}sin(bx).它们也线性无关，因此通解为y=e^{ax}[C_1cos(bx)+C_2sin(bx)].3）特征方程具有两个相等实根r_1=r_2只能得到一个特解y_1=e^{r_1x}.设\frac{y_2}{y_1}=u(x) \Rightarrow y_2=y_1u(x),代入原微分方程可得到u''=0.不放取u=x作为第二个特解。
二阶线性常系数齐次微分方程的解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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❖特征方程的根与通解的关系
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明要证明二阶常系数齐次线性微分方程的通解，我们需要先了解什么是齐次线性微分方程以及常系数线性微分方程。
一阶齐次线性微分方程可以表示为dy/dx + P(x)y = 0，其中P(x)是一个关于x的函数。
对于这个方程，我们可以使用分离变量法来解得通解。
二阶常系数线性微分方程可以表示为d²y/dx² + a dy/dx + by = 0，其中a和b是常数。
对于这个方程，我们可以假设一个特解y=e^(rx)来解方程。
将这个特解代入方程，我们可以得到一个特征方程r² + ar + b = 0。
解这个特征方程，我们可以得到两个不同的根r₁和r₂，也就是说特征方程有两个解。
现在我们来证明二阶常系数齐次线性微分方程的通解。
假设我们有一个二阶常系数齐次线性微分方程d²y/dx² + a dy/dx + by = 0，其中a和b是常数。
我们假设这个方程的通解为y = e^(rx)，其中r是一个常数。
将这个通解代入方程，我们可以得到一个特征方程r² + ar + b = 0。
解这个特征方程，我们可以得到两个不同的根r₁和r₂。
因此，我们可以得到两个特解y₁ = e^(r₁x)和y₂ = e^(r₂x)。
根据线性微分方程的性质，我们知道齐次线性微分方程的通解是两个特解的线性组合。
因此，我们可以将通解表示为y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)，其中C₁和C₂是任意常数。
这就是二阶常系数齐次线性微分方程的通解。
举一个具体的例子来说明。
假设我们有一个二阶常系数齐次线性微分方程d²y/dx² - 2 dy/dx + y = 0。
我们可以解特征方程r² - 2r + 1 = 0，得到一个重根r=1、因此，我们可以得到一个特解y₁ = e^(x)。
根据通解的表达式，我们可以得到这个方程的通解为y = C₁e^(x) + C₂xe^(x)，其中C₁和C₂是任意常数。
二次微分方程的通解
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程ypyqy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye rx 代入方程 ypyqy 0得r 2prqe rx 0由此可见 只要r 满足代数方程r 2prq 0 函数ye rx 就是微分方程的解特征方程 方程r 2prq 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 求出特征方程的根与通解的关系1特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=2特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为 x r e y 11=是方程的解 又0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以xr xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=3特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数ye ix 、ye ix是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数ye x cos x 、ye x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数y 1e ix 和y 2e ix 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ix e x cos xi sin xy 2e ix e xcos xi sin x y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解因此方程的通解为ye x C 1cos xC 2sin x求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy 0的通解的步骤为第一步 写出微分方程的特征方程r 2prq 0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解例1 求微分方程y 2y 3y 0的通解解 所给微分方程的特征方程为r 22r 30 即r 1r 30其根r 11 r 23是两个不相等的实根 因此所求通解为yC 1e x C 2e 3x例2 求方程y 2yy 0满足初始条件y |x 04、y | x 02的特解解 所给方程的特征方程为r 22r 10 即r 120其根r 1r 21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为yC 1C 2xe x将条件y |x 04代入通解 得C 14 从而y 4C 2xe x将上式对x 求导 得yC 24C 2xe x再把条件y |x 02代入上式 得C 22 于是所求特解为x 42xe x解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112i r212i是一对共轭复根因此所求通解为ye x C1cos2xC2sin2xn阶常系数齐次线性微分方程方程y n p1y n1p2 y n2 p n1yp n y0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2 p n1p n都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D 及微分算子的n次多项式L D=D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n y0或L D y0注 D叫做微分算子D0yy D yy D2yy D3yy D n yy n分析令ye rx则L D yL D e rx r n p1r n1p2 r n2 p n1rp n e rx Lre rx因此如果r是多项式Lr的根则ye rx是微分方程L D y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程Lrr n p1r n1p2 r n2 p n1rp n0称为微分方程L D y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Ce rx一对单复根r12i对应于两项e x C1cos xC2sin xk重实根r对应于k项e rx C1C2x C k x k1一对k重复根r12i 对应于2k项e x C1C2x C k x k1cos x D1D2x D k x k1sin x例4 求方程y42y5y0 的通解解这里的特征方程为r42r35r20 即r2r22r50它的根是r1r20和r3412i因此所给微分方程的通解为yC1C2xe x C3cos2xC4sin2x解 这里的特征方程为r 4 40 它的根为)1(22,1i r ±=β )1(24,3i r ±-=β 因此所给微分方程的通解为 )2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程 方程ypyqyfx称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p 、q 是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yYx 与非齐次方程本身的一个特解yyx 之和yYx yx当fx 为两种特殊形式时 方程的特解的求法一、 fxP m xe x型当fxP m xe x 时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为yQxe x 将其代入方程 得等式 Qx 2pQx 2pxP m x1如果不是特征方程r 2prq 0 的根 则2pq 0 要使上式成立 Qx 应设为m 次多项式 Q m xb 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解yQ m xe x2如果是特征方程 r 2prq 0 的单根 则2pq 0 但2p 0 要使等式 Qx 2pQx 2pxP m x成立 Qx 应设为m 1 次多项式QxxQ m xQ m xb 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解yxQ m xe x3如果是特征方程 r 2prq 0的二重根 则2pq 0 2p 0 要使等式 Qx 2pQx 2pxP m x成立 Qx 应设为m 2次多项式Qxx 2Q m xQ m xb 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解 yx 2Q m xe x综上所述 我们有如下结论 如果fxP m xe x 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy fx 有形如 yx k Q m xe x的特解 其中Q m x 是与P m x 同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2例1 求微分方程y 2y 3y 3x 1的一个特解解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数fx 是P m xe x型其中P m x 3x 1 0 与所给方程对应的齐次方程为 y 2y 3y 0它的特征方程为r 22r 30由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为 yb 0xb 1把它代入所给方程 得3b 0x 2b 03b 13x 1比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 3b 03 2b 03b 11 由此求得b 01 311=b 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y例2 求微分方程y 5y 6yxe 2x 的通解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且fx 是P m xe x 型其中P m xx 2 与所给方程对应的齐次方程为 y 5y 6y 0它的特征方程为r 25r 60特征方程有两个实根r 12 r 23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 YC 1e 2x C 2e 3x由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为 yxb 0xb 1e 2x把它代入所给方程 得2b 0x 2b 0b 1x比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b 2b 01 2b 0b 10 由此求得210-=b b 11 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=提示 yxb 0xb 1e 2x b 0x 2b 1xe 2xb 0x 2b 1xe 2x 2b 0xb 1b 0x 2b 1x 2e 2xb 0x 2b 1xe 2x 2b 022b 0xb 12b 0x 2b 1x 22e 2xy 5y 6yb 0x 2b 1xe 2x 5b 0x 2b 1xe 2x 6b 0x 2b 1xe 2x2b 022b 0xb 12b 0x 2b 1x 22e 2x 52b 0xb 1b 0x 2b 1x 2e 2x 6b 0x 2b 1xe 2x2b 042b 0xb 152b 0xb 1e 2x 2b 0x 2b 0b 1e 2x方程ypyqye x P l x cos xP n x sin x 的特解形式应用欧拉公式可得 e x P l x cos xP n x sin x x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++= 其中)(21)(i P P x P n l -= )(21)(i P P x P n l += 而m max{l n } 设方程ypyqyPxe ix 的特解为y 1x k Q m xe ix 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解 其中k 按i 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 于是方程ypyqye xP l x cos xP n x sin x 的特解为x k e x R 1m x cos xR 2m x sin x综上所述 我们有如下结论如果fxe x P l x cos xP n x sin x 则二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyfx的特解可设为yx k e x R 1m x cos xR 2m x sin x其中R 1m x 、R 2m x 是m 次多项式 m max{l n } 而k 按i 或i 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1例3 求微分方程yyx cos2x 的一个特解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且fx 属于e x P l x cos xP n x sin x 型其中0 2 P l xx P n x 0 与所给方程对应的齐次方程为 yy 0它的特征方程为r 210由于这里i 2i 不是特征方程的根 所以应设特解为 yaxb cos2xcxd sin2x把它代入所给方程 得3ax 3b 4c cos2x 3cx 3d 4a sin2xx cos2x 比较两端同类项的系数 得 31-=a b 0 c 0 94=d 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-= 提示 yaxb cos2xcxd sin2xya cos2x 2axb sin2xc sin2x 2cxd cos2x2cxa 2d cos2x 2ax 2bc sin2xy 2c cos2x 22cxa 2d sin2x 2a sin2x 22ax 2bc cos2x 4ax 4b 4c cos2x 4cx 4a 4d sin2xy y 3ax 3b 4c cos2x 3cx 4a 3d sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a b 0 c 0 94=d。
二阶常系数齐次线性微分方程
因r 是特征方程(2)的二重根 故 1 是特征方程( )的二重根,
r + pr + q = 0, 且 2r + p = 0, 1 1
2 1
′ 于是有 u′ = 0. 故取
即得方程( ) u = x, 即得方程(1)的另一根 rx y2 = xe .
1
从而得到方程( ) 从而得到方程(1)的通解为
y = ( C1 + C2 x) e .
y = (C1 + C 2 x )e 2 x . 故所求通解为
内容小结
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q 为 数) 常 特征根: 特征根 r1 , r2
(1) 当 r1 ≠ r2 时, 通解为 y = C1 e
r1 x
+ C2 e
r2 x
(2) 当 r1 = r2 时, 通解为 y = (C1 + C 2 x ) e (3) 当 r1,2 = α ± β i 时, 通解为
y = C1 y1 + C2 y2
也是方程( )的解. 也是方程(1)的解
是方程( )的解, 证 因 y1, y2 是方程(1)的解 即有 及 从而
′′ ′ y1 + py1 + qy1 = 0,
′′ ′ y2 + py2 + qy2 = 0,
( C1 y1 + C2 y2 )′′ + p( C1 y1 + C2 y2 )′ + q( C1 y1 + C2 y2 )
为此令 y2 = u( x) er1x , 对 y2 求导得
( u′′ + 2ru′ + r2u) + p( u′ + ru) + qu = 0, e 1 1 1 即 u′′ + ( 2r + p) u′ + ( r2 + pr + q) u = 0. 1 1 1
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112xx y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。
二阶常系数齐次微分方程的通解推导
微分方程是数学中的重要内容，它描述了自然界和社会现象中许多变化规律。
在微分方程中，常系数齐次线性微分方程是一类常见且重要的微分方程。
本文将重点讨论二阶常系数齐次微分方程的通解推导，通过详细的推导过程，使读者能够清晰理解其中的数学原理和推导过程。
二、基本概念1. 二阶常系数齐次微分方程所谓二阶常系数齐次微分方程，是指具有形式为$ay''+by'+cy=0$的微分方程，其中a、b、c为常数。
2. 通解对于微分方程$ay''+by'+cy=0$，它的通解是指其所有解的集合。
通解包括了微分方程的所有特解，能够完整描述微分方程的解的形式。
三、推导过程1. 特征方程对于二阶常系数齐次微分方程$ay''+by'+cy=0$，我们首先构造其特征方程。
特征方程是指将微分方程中的y''、y'和y分别用r表示，得到的关于r的代数方程。
对于方程$ay''+by'+cy=0$，其特征方程为$ar^2+br+c=0$。
解特征方程$ar^2+br+c=0$得到其根$r_1$和$r_2$。
特征根的性质决定了微分方程的解的形式。
特征根的情况分为三种：（1）特征根为不相等的实数；（2）特征根为相等的实数；（3）特征根为共轭复数。
3. 解的形式根据特征根的情况，可以确定微分方程的解的形式。
当特征根为不相等的实数时，微分方程的解为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$；当特征根为相等的实数时，微分方程的解为$y=(c_1+c_2x)e^{rx}$；当特征根为共轭复数时，微分方程的解为$y=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)$。
4. 通解根据解的形式，我们可以得到微分方程的通解。
通解是微分方程的所有解的集合，包括了方程的特解。
通解的形式可以通过特征根的情况确定，并且包括了任意常数$c_1$和$c_2$，从而完整描述了微分方程的解的形式。
二阶常系数线性微分方程的解法-19页PPT文档资料
u0
取 u = x , 则得 y2xer1x,因此原方程的通解为 y(C 1C 2x)er1x
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3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o isix n )
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 c3 o x 3 s s3 i x )n 所求通解为
x (5 c3 o x 3 s3 ix ) n
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定理 4.
分别是方程
y p y q f y k ( x )( k 1 ,2 , ,n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
t 0 2
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为
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(YpYqY)
f(x ) 0 f(x )
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故 y Y (x ) y * (x )是非齐次方程的解, 又Y 中含有
高等数学§6-4二阶线性常系数齐次微分方程-文档资料
( p q ) e 0 ex 0 ,
2
x
故有
2 p q 0
特征方程
特征根
2 p p 4 q , 1 ,2 2
x 1 2x 那么， ye ， ye 就是齐次方程的两 解
一般地，我们有线性方程解的叠加原理.
定理 1 . 如果 y (x ) 和 y x ) 是二阶常系数线性齐 微分方 1 2( ( 其中 c ,c 为任意常数 ) 1 2
的通解为： p y qy 0 相等实根，则方程 y
x x 1 1 y c e c xe 1 2
2 p q 0的两个 （3）若 1、2 是特征方程
共轭复根，
i , i 1 2
的通解为： p y qy 0 则方程 y
1 x y2 (y y ) e sin x , 1 2 2 i
得齐次方程的通解为
x y e ( C cos x C sin x ). 1 2
求二阶常系数线性齐次方程的通解步骤如下：
2 第一步：写出微分方程的特征方程 p q0
与 2 第二步：求出特征方程的两个特征根 1
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y p y qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y p y qy f ( x )
二、二阶常系数齐次线性方程解法
y p y qy 0 -----特征方程法
x 设 y e , 将其代入上方程, 得
2 特征方程为 2 5 0 ,
解得 1 2 i, 1 ， 2
故所求通解为
x y e ( C cos 2 x C sin 2 x ). 1 2
2.2二阶常系数线性微分方程的解法
13
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
1. f (x) Pm(x)ex ( 其中 pm ( x)是 x 的 m 次多项式 )
这时方程②为 ay by cy Pm ( x)ex
③
可以设 y Q( x)ex ( 其中Q( x) 是多项式 ) 。
例 1．求方程 y 5 y 6 y 2x 3 的特解。
解： f ( x) 2x 3 (2x 3)e0x ，
属 f ( x) Pm ( x)e x 型（ m 1, 0 ），
特征方程为 r2 5r 6 0 ， r1 2 ， r2 3 ，
∵ 0 不是特征根，
∴设特解为 y Q1( x)e0x Aox A1 ，
得 erx (ar 2 br c) 0 ，但 erx 0 ，故有
ar 2 br c 0 ，
②
2
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
ar 2 br c 0 ，
②
若 r 是一元二次方程②的一个根，则 y erx 就是 方程①的一个特解。
方程②叫做方程①的特征方程。
按特征方程的两个根 r1, r2 的三种可能情况： 1． r1 r2 是两个不相等的实根； 2． r1 r2 是两个相等的实根；
9
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
高阶常系数线性齐次方程的解法 n 阶常系数线性齐次方程为
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ， ③
其特征方程为 a0r n a1r n1 an1r an 0 . ④
方程②是一个一元 n 次方程， 有 n 个根。类似二阶常系
Q( x) 应为 m 次多项式 , Q( x) 应为 m 1 次多项式 ,
WJF8-6二阶常系数线性齐次微分方程的解法-PPT精品文档
1
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) 3. 有一对共轭复根 (0 i , r i , 特征根为 r 1 2
( i ) x x e e (cos x i sin x ) 欧拉公式:
y e 1
( i ) x
e ,y 2
( i ) x
1 x y ( y y ) e cos x , 1 1 2 2 1 x y ( y y ) e sin x , 2 1 2 2 i x x y e sin x , y e cos x , 由定理8.1, 1 2 也是齐次方程的特解且 y 线性无关 , 1, y 2
（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
特征根的情况 实根 r1 r2 实根 r1 r2 复根 r1, 2 i 通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x
y (C1 C2 x )e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x )
2 y y y 0 的通解 . 例3 求方程 2 r r 1 0 , 解 特征方程为 2 1 r ,1 1, 2 2 x
故所求通解为 例4 解
x 2 y C e C e . 1 2
求方程 2 y y y 0 的通解 .
2 特征方程为 2 r r 1 0 ,
2 rx ( r pr q ) e 0 erx 0 ,
故有
Hale Waihona Puke 2 r pr q 0
2
p p 4 q r , 1 ,2 2
特征方程
特征根
r x r 1 2x 则 ye , ye 就是方程的特解 .
二阶常系数齐次微分方程的通解c1
二阶常系数齐次微分方程的通解c1二阶常系数齐次微分方程是微积分中的重要概念，它在许多实际问题的建模与求解中起到了至关重要的作用。
本文将从基本概念、解的存在唯一性、通解的求解方法等几个方面来介绍二阶常系数齐次微分方程的通解。
我们来了解一下二阶常系数齐次微分方程的基本概念。
二阶常系数齐次微分方程是指形如y''+ay'+by=0的微分方程，其中a、b为常数，y是未知函数。
这个方程的次数是2，常系数是a和b，而齐次表示等号右边为零。
这个方程描述了未知函数y的二阶导数、一阶导数和本身之间的关系。
接下来，我们来讨论二阶常系数齐次微分方程解的存在唯一性。
根据微分方程的理论，二阶常系数齐次微分方程的解存在且唯一。
这是因为该方程是一个线性微分方程，在给定初值条件的情况下，可以通过求解特征方程来得到解的表达式。
然后，我们来介绍二阶常系数齐次微分方程的通解的求解方法。
对于形如y''+ay'+by=0的二阶常系数齐次微分方程，我们可以通过求解特征方程来得到通解。
特征方程的求解过程是将微分方程中的未知函数y替换为特征方程的解e^(rx)，其中r是特征方程的根。
将特征方程的根代入原方程，得到r的值，然后再将r的值代入特征方程的解中，得到通解。
特别地，当特征方程的根为实数时，通解可以表示为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)，其中C1和C2为任意常数，r1和r2为特征方程的两个不同实根。
当特征方程的根为共轭复数时，通解可以表示为y=e^(ax)(C1cosbx+C2sinbx)，其中C1和C2为任意常数，a为特征方程的实部，b为特征方程的虚部。
我们来总结一下二阶常系数齐次微分方程的通解c1。
二阶常系数齐次微分方程是指形如y''+ay'+by=0的微分方程，它描述了未知函数y的二阶导数、一阶导数和本身之间的关系。
该方程的解存在且唯一，可以通过求解特征方程来得到通解。
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二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
来源：文都教育
在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析
通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为
12,λλ，则
1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e
C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x
x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；
证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=
212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，
令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx
λλλ'-=⇒
=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得
221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ (1)
1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为
21212()121212
[
]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。
2）当12λλ=且为实数时，由（1）式得原方程的通解为
2111221[]x x x y e c dx C y C e c xe λλλ=+==+⎰，即1212x x y C e C xe λλ=+；
3）当12,i λλαβ=±时，12λλ≠，由1）中结论知，原方程的通解形式也是
1212x x y C e C e λλ=+，但由于12λλ和都是复数，这个通解是复数，为了求出原方程的实数解，需要利用欧拉公式：cos sin i e i θ
θθ=+，由此得1()(cos sin )x i x x i x x e e e e e x i x λαβαβαββ+==⋅=+，同样有
2()(cos sin )x i x x e e e x i x λαβαββ-==-，于是
121212(cos sin )(cos sin )x x x x y C e C e C e x i x C e x i x λλααββββ=+=++-=
±±121212
[()cos ()sin ](cos sin )x x e C C x i C C x e C x C x ααββββ=++-=+，其中取12C C 和为互为共轭的复数，即±±±±11221211=(),=()22
C C iC C C iC -+，按习惯，上式通常写成形式12(cos sin )x y e C x C x αββ=+.
二、典型例题分析
例1、设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()y x = .
解：∵在0x =处()y x 取得极值3，且()y x 二阶可导，∴(0)3,(0)0y y '==；
微分方程的特征方程为 022=-+λλ，特征值为1,221=-=λλ，
原方程的通解为x x e C e C y 221+=-，
由0)0(,3)0(='=y y 得⎩⎨⎧=+-=+0
232121C C C C ，解得2,121==C C ，故x x e e y 22+=-. 注：本题是考研数学2015年数二（12）和数三（12）题。
例2. 求二阶微分方程为'''0y y y ++=的通解。
解：特征方程为210λλ++=，特征根为1,212λ=-，
因此齐次微分方程的通解为212(sin )x
Y e C x C -=+. 微分方程中最主要的考点是一阶线性微分方程和二阶常系数线性微分方程，大家对它们的各种求解方法和通解公式及特解求法一定要熟练掌握，而三阶微分方程则仅对数一和数二的考生有些要求，但仅限于三阶常系数线性齐次微分方程。
关于可降阶的高阶微分方程实际上也仅限于二阶微分方程。
另外，对于变量可分离的微分方程和齐次微分方程大家也要掌握其求解方法。
文都网校的蔡老师衷心地期望各位考生能学好考好、金榜题名。