阻尼最小二乘法(即Levenberg-Marquarat算法),是Gauss-Newton算法的一种修正法。
工程优化 4-最小二乘法
g ( x ) f ( x ) 2 ri ( x )ri ( x ) 2J ( x )T r ( x )
i 1
m
其中
r1 x ... 1 J ( x) rm ... x1 f ( x )的 Hessian 矩阵为
m i 1 T
r1 x n 称为 r ( x )的 Jacobi 矩阵 rm x n
T 2 xE
m
，rm ( x )) ，x E n 其中r ( x ) （r1 ( x )，r2 ( x )，
i 1 T
如果 r ( x )是线性函数，则称 是x的非线性函数。 问题 ( P )是线性最小二乘问题。
求解最小二乘问题等价于求解方程组： ri ( x ) 0 i 1,2,, m 最小二乘问题在数据拟合，参数估计和函数逼近 等方面有广泛的应用。
* 2 2
[ ( Ax * b ) A ]T [ ( Ax * b ) A ] Ax b A 2 T AT ( Ax * b )
* 2 2
Ax b A 2 T ( AT Ax * AT b )
*
2
2
Ax b A
*
*
由于牛顿法在标准假设下是局部二阶收敛的，因 此， Gauss-Newton 法的成功将依赖于所忽略的 G(x)中的二阶信息项S(x)在G(x)中的重要性。 可以证明： 如果S(x*)=0， 则Gauss-Newton 法也是 二阶收敛的。 如果S(x*)相对于J(x*)T J(x*) 是小的，则 Gauss-Newton 法是局部Q线性收敛的。 如果S(x*)太大，则Gauss-Newton 法可 能不收敛。
2
matlab中的levenberg-marquard方法
在MATLAB中，你可以使用`lsqnonlin`函数来实现Levenberg-Marquardt方法。
Levenberg-Marquardt方法是一种非线性最小二乘问题的优化算法，用于求解具有高度非线性的目标函数的最优解。
该方法通过调整参数来平衡最速下降法和高斯-牛顿法之间的权衡，从而实现更快的收敛速度和更好的稳定性。
下面是使用Levenberg-Marquardt方法求解非线性最小二乘问题的基本步骤：1. 定义目标函数：首先需要定义一个非线性函数，表示你想要求解的最小二乘问题。
2. 定义初始参数估计值：根据问题的特点，给出一个初始的参数估计值。
3. 定义残差函数：将目标函数与实际观测数据之间的差异定义为残差函数。
4. 调用`lsqnonlin`函数：使用`lsqnonlin`函数来求解最小二乘问题。
该函数需要输入目标函数、初始参数估计值和残差函数，并返回最优的参数估计值。
以下是一个简单的示例代码，演示如何在MATLAB中使用Levenberg-Marquardt方法求解非线性最小二乘问题：```matlab定义目标函数fun = @(x) x(1)*exp(-x(2)*[1:10]) - [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20];定义初始参数估计值x0 = [1; 0.1];定义残差函数residuals = @(x) norm(fun(x));调用lsqnonlin函数求解最小二乘问题options = optimoptions('lsqnonlin', 'Algorithm', 'levenberg-marquardt');x = lsqnonlin(residuals, x0, [], [], options);disp('最优参数估计值:');disp(x);```在上述示例中，我们首先定义了一个目标函数`fun`，然后给出了初始参数估计值`x0`。
第六章LevenbergMarquardt方法
:
min t
f
(xk
td k
)。
Step5 :若||
AT k
f
(xk
) ||
,
则x*
xk1 , 算法结束;否则,
k : k 1,转Step2。
Gauss-Newton 法的优缺点: 优点:
(1) 对于零残量问题(即 f (x) 0),有局部二阶收敛速度. (2) 对于小残量问题(即 f (x)较小,或者接近于线性),有快的
fi ( xk x j
)
Ak
;
g(k) j
m
i 1
fi ( xk
) fi ( xk x j
)
gk 。
Step 3 : 令 d k
( AkT gk
Ak )1
AT k
AT k
f
f (xk
( )
x
k
)
如果rank( A) n 如果rank( A) n
Step4 : 令
x k 1
xk
tkd k , 其中tk
考虑如下的信赖域模型：
min s.t.
f (xk ) A(xk )(x xk ) 2
.
x xk 2 hk
其中hk 为信赖域半径.
这个方程的解可由解如下方程组得到:
A xk T A xk k I z A xk T f (xk )
(7)
从而:
xk1 xk
6.采用进退方法调整：一次成功迭代后将缩小，迭代 遇到困难时将放大。 7. 调整算法： 初始：给定步长放大因子 1和步长缩小因子0 1,
给定f ( x), 初始点 x，的初值，控制终止常数 。
Step1 : 求解( A( x)T A( x) I )z AT ( x) f ( x)得z 。
第六章 Levenberg-Marquardt方法
T
f ( xk )
(7)
T
从而:
x
k 1
x A x
A x
k 1
k
T
A x
T
k
k I
1
A xk f (xk ) .
由于 A x A x I 正定(适当调整 ), 从而(7)产生的方向
如果
A x
k T
A x k f ( x k ) hk ,则 k 0 ;否则 k 0 .
S ( x ) f ( x ) A ( x x ) A d f ( x ) k
k k k
k k T k k [ A d f ( x ) ] [ A d f ( x ) ] , k k
k k 其中： d x x 。
2 k
2 k
k k T k k 记 ( x ) [ A d f ( x ) ] [ A d f ( x ) ] , 则可 min ( x ) k k
非线性最小二乘法
• 1.改进的Gauss-Newton法 • 2.Levenberg-Marquardt方法 • 3.信赖域(Biblioteka -M)方法一、非线性最小二乘法
1.一般形式：
min S ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
T 2
T 其中： f ( x ) ( f ( x ), f ( x ),..., f ( x )) 1 2 m T x ( x , x ,..., x ) 1 2 n ;
Step 2 : 若 S ( x z ) S ( x ), 则令 ： 并返回 Step 1 。
levenberg-marquardt方法
levenberg-marquardt方法
Levenberg-Marquardt （LM）算法是一种优化算法，用来最小化
非线性计算机问题它被广泛运用在机器学习中。
LM方法基于两种不同的方法：牛顿法（Newton's method）和梯度下降法（gradient descent）。
牛顿法快速找到最小值，但是只有当误差等于零时才有效。
而梯度下降法会随着迭代而减少，但是运行时间可能会很长。
LM方法融合了这两种优点，在迭代时会融合牛顿法和梯度下降法。
它首先能够根据当前误差是否近似零来确定是否使用牛顿法优化，如
果是，则使用牛顿法来改善特定的参数；如果不是，则使用梯度下降
法来找到最佳的参数值。
LM 方法的优势也很明显：无论理论误差是否近似零，它都能有
效的搜索极小值。
另外，它的运行速度也很快，能够帮助我们迅速搜
索到最优解。
总之，Levenberg-Marquardt算法是一种有效的优化方法，可以
在不同的条件下快速搜索到最优解。
它也受到越来越多人们关注，会
在未来有更多的用途。
阻尼最小二乘法
阻尼最小二乘法（damped least squres，又称Levenberg–Marquardt algorithm）the Levenberg–Marquardt algorithm (LMA)[1]provides a numerical solution to the problem of minimizing a function, generally nonlinear, over a space of parameters of the function. These minimization problems arise especially in least squares curve fitting andnonlinear programming.The LMA interpolates between the Gauss–Newton algorithm (GNA就是最小二乘) and the method of gradient descent.The LMA is more robustthan the GNA, which means that in many cases it finds a solution even if it starts very far off the final minimum. For well-behaved functions and reasonable starting parameters, the LMA tends to be abit slower than the GNA. LMA can also be viewed as Gauss–Newtonusing a trust region approach.However, the LMA finds only a local minimum, not a global minimum.这和最小二乘一样。
非线性最小二乘法Levenberg-Marquardt-method
非线性最小二乘法Levenberg-Marquardt-methodLevenberg-Marquardt Method(麦夸尔特法)Levenberg-Marquardt is a popular alternative to the Gauss-Newton method of finding the minimum of afunction that is a sum of squares of nonlinear functions,Let the Jacobian of be denoted , then the Levenberg-Marquardt method searches in thedirection given by the solution to the equationswhere are nonnegative scalars and is the identity matrix. The method has the nice property that, forsome scalar related to , the vector is the solution of the constrained subproblem of minimizingsubject to (Gill et al. 1981, p. 136).The method is used by the command FindMinimum[f, x, x0] when given the Method -> Levenberg Marquardt option.SEE A LSO:Minimum, OptimizationREFERENCES:Bates, D. M. and Watts, D. G. N onlinear Regr ession and Its Applications. New York: Wiley, 1988.Gill, P. R.; Murray, W.; and Wright, M. H. "The Levenberg-Marquardt Method." §4.7.3 in Practical Optim ization. London: Academic Press, pp. 136-137, 1981.Levenberg, K. "A Method for the Solution of Certain Problems in Least Squares." Quart. Appl. Math.2, 164-168, 1944. Marquardt, D. "An Algor ithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters." SIAM J. Appl. Math.11, 431-441, 1963.Levenberg–Marquardt algorithmFrom Wikipedia, the free encyclopediaJump to: navigation, searchIn mathematics and computing, the Levenberg–Marquardt algorithm (LMA)[1] provides a numerical solution to the problem of minimizing a function, generally nonlinear, over a space of parameters of the function. These minimization problems arise especially in least squares curve fitting and nonlinear programming.The LMA interpolates between the Gauss–Newton algorithm (GNA) and the method of gradient descent. The LMA is more robust than the GNA, which means that in many cases it finds a solution even if it starts very far off the final minimum. For well-behaved functions and reasonable starting parameters, the LMA tends to be a bit slower than the GNA. LMA can also be viewed as Gauss–Newton using a trust region approach.The LMA is a very popular curve-fitting algorithm used in many software applications for solving generic curve-fitting problems. However, the LMA finds only a local minimum, not aglobal minimum.Contents[hide]1 Caveat Emptor2 The problem3 The solutiono 3.1 Choice of damping parameter4 Example5 Notes6 See also7 References8 External linkso8.1 Descriptionso8.2 Implementations[edit] Caveat EmptorOne important limitation that is very often over-looked is that it only optimises for residual errors in the dependant variable (y). It thereby implicitly assumes that any errors in the independent variable are zero or at least ratio of the two is so small as to be negligible. This is not a defect, it is intentional, but it must be taken into account when deciding whether to use this technique to do a fit. While this may be suitable in context of a controlled experiment there are many situations where this assumption cannot be made. In such situations either non-least squares methods should be used or the least-squares fit should be done in proportion to the relative errors in the two variables, not simply the vertical "y" error. Failing to recognise this can lead to a fit which is significantly incorrect and fundamentally wrong. It will usually underestimate the slope. This may or may not be obvious to the eye.MicroSoft Excel's chart offers a trend fit that has this limitation that is undocumented. Users often fall into this trap assuming the fit is correctly calculated for all situations. OpenOffice spreadsheet copied this feature and presents the same problem.[edit] The problemThe primary application of the Levenberg–Marquardt algorithm is in the least squares curve fitting problem: given a set of m empirical datum pairs of independent and dependent variables, (x i, y i), optimize the parameters β of the model curve f(x,β) so that the sum of the squares of the deviationsbecomes minimal.[edit] The solutionLike other numeric minimization algorithms, the Levenberg–Marquardt algorithm is an iterative procedure. To start a minimization, the user has to provide an initial guess for the parameter vector, β. In many cases, an uninformed standar d guess like βT=(1,1,...,1) will work fine;in other cases, the algorithm converges only if the initial guess is already somewhat close to the final solution.。
levenberg-marquardt方法
levenberg-marquardt方法Levenberg-Marquardt方法是一种数值优化方法。
该方法主要是解决非线性最小二乘问题，是用于求解参数估计、函数拟合等问题的重要手段。
本文主要介绍Levenberg-Marquardt方法的原理、算法以及应用。
一、Levenberg-Marquardt方法的原理在介绍Levenberg-Marquardt方法之前，我们先介绍最小二乘问题。
最小二乘问题可以表示为：$$\min_{x\in R^n}||f(x)||_2^2$$其中，$f(x)$是一个从$R^n$到$R^m$，$m>n$的非线性函数。
我们要找到一个向量$x$，使得$f(x)$的平方范数最小。
我们可以使用梯度下降等方法进行求解，但是，这些方法存在收敛慢、易陷入局部最优等问题。
Levenberg-Marquardt方法就是为了解决这些问题而出现的。
Levenberg-Marquardt方法的主要思想是在牛顿法中加入一个衰减因子，这个衰减因子可以保证算法更快、更稳定地收敛到最优解。
具体而言，Levenberg-Marquardt方法将牛顿法中的Hessian矩阵加上一个一定的正定矩阵，这个正定矩阵的大小可以动态调整。
当这个矩阵的大小较小时，Levenberg-Marquardt方法就相当于梯度下降法；当这个矩阵的大小较大时，Levenberg-Marquardt方法就相当于牛顿法。
这个正定矩阵的大小可以通过迭代过程中的误差大小来动态调整。
二、Levenberg-Marquardt方法的算法Levenberg-Marquardt方法的算法可以表示为：输入：函数$f(x)$，初值$x_0$，最大迭代次数$maxIter$，误差容限$eps$，衰减因子$\lambda$，正定矩阵$J^TJ$。
输出：使得$f(x)$的平方范数最小的解$x$。
1.令$x=x_0$，$k=0$。
2.计算函数$f(x)$在$x$处的梯度$g_k=J_k^T(y_k-f_k)$，其中$y_k$是$f(x)$的近似值，$J_k$是$f(x)$在$x$处的雅可比矩阵，$f_k=f(x_k)$。
雅可比 阻尼最小二乘法
雅可比阻尼最小二乘法雅可比阻尼最小二乘法是一种常见的线性方程最小二乘拟合方法。
它通过引入阻尼因子来提高算法的稳定性和收敛速度。
本文将详细介绍雅可比阻尼最小二乘法的原理、应用领域以及实际计算过程，旨在帮助读者更好地理解和应用该方法。
首先，我们来了解一下最小二乘法。
在统计学和数学领域，最小二乘法是一种用于拟合数据的常用方法。
它通过寻找最小化测量值与拟合模型之间的残差平方和的参数值，来确定模型的最佳拟合结果。
最小二乘法在回归分析、数据拟合和信号处理等领域有广泛的应用。
雅可比阻尼最小二乘法是最小二乘法的一种改进方法。
传统的最小二乘法在处理非线性问题时可能会出现数值不稳定和收敛速度慢的问题。
而雅可比阻尼最小二乘法通过引入阻尼因子，可以减小误差的影响，提高算法的稳定性和收敛速度。
在应用领域上，雅可比阻尼最小二乘法广泛用于解决非线性最小二乘问题。
例如，在地球物理勘探中，我们常常需要根据测量数据来估计地下地质模型或者地震参数。
这些问题往往涉及到复杂的非线性关系，传统的最小二乘法难以处理。
而雅可比阻尼最小二乘法则可以通过迭代优化的方式，较好地解决这些问题。
下面，我们将详细介绍雅可比阻尼最小二乘法的计算过程。
首先，我们需要定义一个目标函数，用来衡量拟合模型与测量数据之间的差异。
然后，我们对目标函数进行求导，得到雅可比矩阵。
接下来，我们引入阻尼因子，并根据雅可比矩阵和目标函数的关系，构造一个线性方程组。
通过迭代求解这个线性方程组，我们可以得到最优的参数估计结果。
雅可比阻尼最小二乘法不仅可以提高非线性问题的求解效果，还可以加快算法的收敛速度。
但需要注意的是，选择合适的阻尼因子是非常重要的。
过大或过小的阻尼因子都可能导致结果的不稳定，甚至无法收敛。
因此，在实际应用中，我们需要通过试验和经验来选择合适的阻尼因子，以获得最佳的拟合结果。
总之，雅可比阻尼最小二乘法是一种常见且实用的线性方程最小二乘拟合方法。
它通过引入阻尼因子，提高了算法的稳定性和收敛速度。
matlab中levenberg-marquardt method
matlab中levenberg-marquardt method Matlab中的Levenberg-Marquardt方法引言：在科学和工程应用中，我们经常需要拟合数据并找到与其最匹配的数学模型。
Levenberg-Marquardt方法是一种常用于非线性最小二乘优化问题的算法，它通过迭代寻找能最小化残差平方和的参数。
本文将介绍Matlab 中实现Levenberg-Marquardt方法的基本原理和步骤，帮助读者理解和应用该方法。
第一步：定义问题和目标函数在使用Levenberg-Marquardt算法之前，首先需要定义一个问题并确定优化的目标函数。
以数据拟合问题为例，我们需要知道待拟合的数据集，并选择合适的数学模型来描述这些数据。
假设我们的拟合目标是通过一组参数`theta`最小化残差平方和，那么目标函数可以表示为：F(theta) = sum((y_data - f(x_data, theta)).^2)其中，`y_data`是观测到的数据集，`x_data`是对应的自变量数据，`f(x_data, theta)`是用来拟合数据的数学模型。
在Matlab中，我们需要自定义一个函数来实现该目标函数。
第二步：编写目标函数在Matlab中，我们可以使用function关键字来定义一个函数。
以`F(theta)`为例，我们可以通过如下方式编写目标函数：matlabfunction residual = objective_function(theta, x_data, y_data) residual = y_data - f(x_data, theta);residual = residual(:); 将残差矩阵转化为向量end在上述代码中，`theta`是参数向量，`x_data`和`y_data`是输入的数据集。
函数内部首先计算出真实的y值和拟合模型的输出之间的残差，然后将其转化为向量形式。
通俗易懂理解 lm(levenberg-marquardt)算法
通俗易懂理解lm(levenberg-marquardt)算法1. 引言1.1 概述Levenberg-Marquardt（简称LM）算法是一种优化算法，常用于参数估计和曲线拟合问题。
该算法结合了最小二乘法与高斯-牛顿方法的优势，能够快速且准确地找到使损失函数最小化的最优参数。
1.2 文章结构本文将首先介绍LM算法的基本原理，包括其产生历程、背景以及核心思想和优势。
之后将探讨该算法在不同领域中的应用案例，分别涉及优化问题求解、数据拟合和曲线拟合问题以及图像处理。
接下来，我们将详细讲解LM算法的实现步骤和关键技术点，包括初始参数设定、迭代控制策略、损失函数的定义与更新规则以及Jacobian矩阵计算及其优化方法。
最后，我们会对LM算法进行总结，并展望其未来发展趋势。
1.3 目的本文旨在以通俗易懂的方式解释LM算法，并通过实际应用领域的案例分析来展示它的价值与作用。
通过阅读本文,读者将能够全面理解LM算法的基本原理、实现步骤和关键技术点，并对其未来发展趋势有所了解。
无论是对于学术界还是工程领域，LM算法都具有重要的意义和应用价值，掌握该算法将为读者在相关领域中的研究和工作提供有力支持。
2. lm算法的基本原理:2.1 生产历程和背景Levenberg-Marquardt（LM）算法是用于非线性最小二乘问题求解的优化算法。
它起源于20世纪40年代，由K.A. Levenberg和D.W.H. Marquardt分别提出并发展而来。
LM算法在处理非线性优化问题上表现出色，因此被广泛应用于各个领域，如数据拟合、曲线拟合和图像处理等。
2.2 算法思想及优势LM算法的核心思想是将高效的最速下降法（steepest descent method）和牛顿法（Newton's method）结合起来，以克服两者在不同情况下的局限性。
它通过调整一个控制参数（称为阻尼因子）的大小来控制最速下降法和牛顿法之间的权衡。
阻尼最小二乘法
阻尼最小二乘法（damped least squres，又称Levenberg–Marquardt algorithm）the Levenberg–Marquardt algorithm (LMA)[1]provides a numerical solution to the problem of minimizing a function, generally nonlinear, over a space of parameters of the function. These minimization problems arise especially in least squares curve fitting and nonlinear programming.The LMA interpolates between the Gauss–Newton algorithm (GNA就是最小二乘) and the method of gradient descent.The LMA is more robust than the GNA, which means that in many cases it finds a solution even if it starts very far off the final minimum. For well-behaved functions and reasonable starting parameters, the LMA tends to be a bit slower than the GNA. LMA can also be viewed as Gauss–Newton using a trust region approach.However, the LMA finds only a local minimum, not a global minimum.这和最小二乘一样。
反演实验五
《地球物理反演概论》上机实验报告实验五：曲线拟合问题的阻尼最小二乘法姓名：学号：专业：地球物理学指导教师：邵广周完成时间：2017.12.28一、实验内容利用Levenberg-Marquardt 反演算法求解曲线拟合问题。
x m x m e m e m y 4231+=二、实验要求编制相应的程序，在计算机上实现Levenberg-Marquardt 算法，对曲线拟合问题进行求解。
三、算法原理1、搜索方向的确定反问题可陈述为寻找使与之间的误差最小的解，即：()()()()()[]2221122*min ,min min fMt M f it i f t Nf t d d d d dd RP d d P f P -++-++-=∈-==梯度法的迭代过程：k k k k s P P α+=+1需给定模型初始值：0P当0P 远离极小点*P 时，最速下降法的收敛速度快，而在极小点*P 附近时，牛顿法和高斯-牛顿法的收敛速度快。
LM 方法通过将Hessian 矩阵作如下修正，将最速下降法和牛顿法的优点结合起来：()()I P J P J H k k Tk k β+≈其中，I 为单位矩阵，k β为一个能始终保证k H 为正定的非负常数。
因此，LM 法的搜索方向定义为：()()()k k k Tk k f IP J P J s ∇+-=-1β当k β足够大时，I k β在Hessian 矩阵中占据优势，Hessian 矩阵的逆变为：()()()I IP J P J Hkk k Tk kββ111≈+≈--此时的搜索方向与最速下降法的搜索方向一致：k kk f s ∇-≈β1当k β非常小时，Hessian 矩阵的逆变为：()()()()()()111---≈+≈kT kk k Tk k P J P J IP J P J H β此时的搜索方向与高斯-牛顿法的搜索方向一致：()()()k k Tk k f P J P J s ∇-≈-1因此，在迭代开始时(远离极小点)应将k β的值设得足够大，使目标函数沿最速下降方向前进，而随着迭代次数的增加(目标函数值距极小点越来越近)应减小k β值，使目标函数按高斯-牛顿法收敛。
第六章 Levenberg-Marquardt方法
二、Levenberg-Marquadt方法
为了克服由雅可比矩阵奇异，导致线性搜索得不到进 一步下降方向. 只能得到极小点的一个差的估计. 改进策略： 采 用 信 赖 域 的 方 法 . ： 通 常 f ( x) 是 非 线 性 函 数 ， Gauss-Newton 法用线性化模型代替 f ( x ) ，得到线性最小 二乘问题. 这种线性化并不是对所有的 x x k 都成立，因此，考虑 约束线性化最小二乘问题.
d k H k1 S ( x k )
(5) (6)
所以
x k 1 x k H k1 S ( x k )
(6) 式称为Gauss Newton 公式，
（5）式称为Gauss Newton 方向。
S ( x k ) T 令 gk AT ( x k ) f ( x k ) Ak f ( x k )。 2
T T x k 1 x k d k x k ( Ak Ak )1 Ak f ( xk )
( 3)
则：(1)由迭代得到的x k 是收敛的;
性质：若 f（x）满足一定条件且 x 0充分接近 x *， ( 2)当 f ( x*) 0, 收敛阶至少是二阶的。
3. 改进的Gauss-Newton法：
（8）
其中， s x xk , gk 是目标函数 f ( x) 在当前迭代点 xk 处的梯
Gk I s g k
确定 sk 来表征,其中 是一个非负数.
(9)
如果 Gk 正定,且牛顿修正 sk Gk1gk 满足 sk hk ,则即为上述问 题的解. (9)式中 0.
考虑如下的信赖域模型：
min f ( x k ) A( x k )( x x k ) k 2 s . t . x x hk
lsqcurvefit函数的默认算法 -回复
lsqcurvefit函数的默认算法-回复lsqcurvefit函数是MATLAB中用于拟合非线性最小二乘问题的函数。
它可以根据给定的数据点和拟合模型，找到最佳的模型参数。
lsqcurvefit 函数的默认算法是Levenberg-Marquardt算法。
在本文中，我将详细介绍Levenberg-Marquardt算法的原理和具体步骤，以及如何使用lsqcurvefit函数进行拟合。
首先，我们需要了解什么是最小二乘问题。
最小二乘问题是指找到一个函数的参数，使得该函数的预测值与实际观测值之间的差异最小。
在非线性最小二乘问题中，函数的参数和变量之间存在非线性关系，因此无法直接求解。
这就需要使用迭代方法来搜索最佳的参数。
Levenberg-Marquardt算法是一种经典的非线性最小二乘拟合算法。
该算法的核心思想是将最小二乘问题转化为一个无约束的优化问题，通过迭代的方式逐步优化参数。
下面我们将逐步介绍Levenberg-Marquardt算法的具体步骤。
1. 初始化参数：首先需要初始化函数的参数。
根据拟合模型的要求，选择一个初始参数向量。
2. 计算雅可比矩阵：雅可比矩阵是一个m \times n的矩阵，其中m 是数据点的数量，n是参数的数量。
雅可比矩阵的元素是对应的模型函数关于参数的偏导数。
通过计算雅可比矩阵，可以得到每个数据点对参数的影响程度。
3. 计算残差向量：残差向量是实际观测值与模型预测值之间的差异。
通过将函数的参数代入模型中，可以得到每个数据点的模型预测值。
然后，计算实际观测值与模型预测值之间的差异。
4. 计算雅可比矩阵的转置矩阵：为了后续计算，需要计算雅可比矩阵的转置矩阵。
5. 计算增量向量：根据以下公式计算增量向量：(J^T J + \lambda I) \Delta P = J^T r其中，J^T是雅可比矩阵的转置矩阵，\lambda是一个调节因子，I是单位矩阵，\Delta P是参数的增量向量，r是残差向量。
基于Levenberg-Marquadt的非线性最小二乘新型换流变压器漏感矩阵识别法
新型换流变压器及其滤波器数学模型
如图ｌ所示，新型换流变压器采用一种全新的
滤波技术，利用变压器绕组间的谐波安匝平衡来实 现谐波就近抑制和隔离屏蔽的滤波技术，其滤波原 理不同于传统的无源滤波技术和有源滤波技术，拥 有特殊的绕组接线结构【１９－２０］。
Ａ
Ｃ
ｌｃ４
图ｌ
Ｆｉｇ．１
新型换流变压器原理接线图
其漏感值不可能完全符合实际，因此有必要找到精
ｃａｎ ｎｏｔ
ｆｏｒｍｅｒ ｅｘａｃｔｌｙ．Ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｌｅａｋａｇｅ ｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
ｏｎｌｙ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ
ｒｅｄｕｎｄａｎｃｙ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ，ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｍａｔｒｉｘ ｑｕｉｃｋｌｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｃｏｌｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｖｏｌｔａｇｅ ａｎｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｄａｔａ ｏｆ ｎｅｗ ｃｏｎｖｅｒｔｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｒ，ＳＯ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｍａｔｒｉｘ ｑｕｉｃｋｌｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ ａｎｄ ａｖｏｉｄ ｆａｌｌｉｎｇ ｉｎｔｏ ｌｏｃａｌ ｏｐｔｉｍａ
式中，三相新型换流变压器下标ｌ、２、３分别代表 一次绕组、延边和公共绕组，ｒ。、，．：、ｒ，为各绕组电 阻：帅为穿过铁心的公共磁链，惭、忱、妨为各绕 组漏磁链；惭，（ｉ＝１，２，３；ｊ＝ｌ，２，３；停可）为与两绕 组交链的漏磁链。根据图ｌ，“ｆ２、，３分别为惭、 忱、忱电感。ｍ１２、ｍ２ｌ、ｍ１３、ｍ３１、ｍ２３、ｍ３２为分 别对应惭２、忱１、惭３、％ｌ、忱３、％２的电感，由于 自漏磁通和互漏磁通主要是通过空气或者变压器油 闭合，因此对应的互漏阻抗均为常数，则有：
levenberg-marquardt算法拟合椭球误差方程matlab
levenberg-marquardt算法拟合椭球误差方程matlab 1. 引言1.1 概述在计算机科学和数学领域，拟合问题是一种常见的数值优化任务，其目标是通过寻找一个函数或者数学模型来最好地逼近给定的数据集。
椭球误差方程作为一种重要的拟合问题，在多个领域中都有广泛的应用，比如地理测量、图像处理等。
椭球误差方程拟合问题旨在使用已知的数据点来确定一个椭球表面，从而使得与实际观测值之间的误差最小化。
1.2 文章结构本文将系统地讨论Levenberg-Marquardt算法在拟合椭球误差方程中的应用。
首先，我们将介绍Levenberg-Marquardt算法的原理和特点，并探讨其在优化问题中的优势和局限性。
然后，我们将详细说明椭球误差方程模型以及相关参数的获取和预处理方法。
接下来，我们将介绍如何使用Levenberg-Marquardt 算法进行椭球误差方程的拟合，并分析其效果与收敛性能。
最后，我们将设计实验并对结果进行分析和讨论，并提出一些改进方法与展望。
1.3 目的本文旨在探究和研究Levenberg-Marquardt算法在椭球误差方程拟合问题中的适用性和效果。
通过实验证明该算法在解决这一特定问题上的优势，并且为相关领域的研究提供一定的参考和借鉴。
同时，本文也希望找出使用Levenberg-Marquardt算法拟合椭球误差方程存在的问题与局限性，并对后续工作提出展望，以进一步改进和完善该方法在实际应用中的效果。
2. Levenberg-Marquardt算法:2.1 算法原理:Levenberg-Marquardt算法是一种非线性最小二乘拟合算法，常用于解决参数问题的拟合。
该算法的目标是通过调整参数值，使得误差函数的平方和最小化。
它结合了高斯-牛顿方法和梯度下降法的优点，通过引入一个阻尼因子来平衡两者之间的权衡。
算法的核心思想是在每次迭代过程中，根据当前参数值计算误差函数的梯度矩阵和雅可比矩阵，并通过求解一个增量方程获得新的参数估计值。
math.net levenberg–marquardt算法
levenberg–marquardt算法Levenberg-Marquardt 算法是一种非线性最小二乘优化算法，常用于求解非线性最小二乘问题。
它是在1963 年由Levenberg 和Marquardt 分别独立提出的。
算法基本思想是通过迭代的方式逐步逼近问题的最优解。
在每一次迭代中，算法首先根据当前估计值计算出目标函数的雅可比矩阵和海森矩阵，然后利用这两个矩阵来更新估计值。
如果更新后的估计值比当前估计值更接近最优解，则接受更新；否则，将更新后的估计值回退一定比例，以避免过大的更新导致算法发散。
以下是Levenberg-Marquardt 算法的基本步骤：1.初始化：选择一个初始的估计值x0，以及一个正的初始权重矩阵H0。
2.在每一次迭代中，根据当前的估计值x 和权重矩阵H，计算出目标函数的雅可比矩阵J 和海森矩阵H。
3.使用雅可比矩阵J 和海森矩阵H 来计算出目标函数的梯度g = J' * H * J * x + J' * H* lambda，其中lambda 是用于控制权重矩阵H 的一个向量。
4.计算出梯度g 的范数||g||，如果||g|| < tol（其中tol 是预先设定的一个很小的正数），则停止迭代；否则，继续下一步。
5.使用梯度g 和海森矩阵H 来计算出下一次迭代的估计值xnew。
6.如果更新后的估计值xnew 比当前估计值x 更接近最优解，则接受更新，即x =xnew；否则，将更新后的估计值回退一定比例，即x = x - alpha * (xnew - x)，其中alpha 是一个正的回退因子。
7.更新权重矩阵H，如果||gnew|| < ||g||，则将H 乘以一个小于1 的因子；否则，将H 乘以一个大于1 的因子。
8.返回步骤2，继续下一次迭代。
总的来说，Levenberg-Marquardt 算法是一种非常有效的非线性最小二乘优化算法，适用于求解各种非线性最小二乘问题。