知识讲解简谐运动

物理总复习：简谐运动

编稿：李传安审稿：张金虎

【考纲要求】

1、知道简谐运动的周期性和对称性

2、知道描述简谐运动的物理量

3、会分析振动过程中的位移、回复力、加速度、动能、势能等物理量的变化特点

4、知道简谐运动的振动方程。

【知识络】

【考点梳理】

考点一、简谐运动

1、定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的

作用下的振动叫简谐运动。表达式为：Fkx??

2、几个重要的物理量间的关系：

要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。

（1）由定义知：Fx?，方向与位移方向相反。

（2）由牛顿第二定律知：aF?,方向与位移方向相反。

（3）由以上两条可知：ax?，方向与位移方向相反。

（4）v和x、F、a之间的关系最复杂：当v、a同向（即v、 F同向，也就是v、x 反向）时v一定增大；当v、a反向（即v、 F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。

要点诠释：

物体从A由静止释放，从A→O→B→O→A，经历一次全振动，图中O为平衡位置，A、B为最大位移处，设向右O→A为正方向。

（1）位移：只要在平衡位置正方向就为正，只要在平衡

位置负方向就为负，与运动方向无关；

（2）加速度、回复力：始终指向平衡位置；

（3）速度：必须按规定的正方向确定；

（4）特殊点O、A、B物理量的特点：

平衡位置O点：位移为零、回复力为零、加速度为零、速度最大、动能最大、势能为零。正的最大位移A点：

位移正向最大、回复力最大（指向O，图中向左）、加速度最大（指向O，图中向左）、速度为零、动能为零、势能最大。

负的最大位移B点：

位移负向最大、回复力最大（指向O，图中向右）、加速度最大（指向O，图中向右）、速度为零、动能为零、势能最大。

（5）运动特点：从平衡位置O向A（或B）运动，速度越来越小，加速度（回复力）越来越大，做加速度增大的减速运动，是变减速运动；从A（或B）向平衡位置O运动，速度越来越大，加速度（回复力）越来越小，做加速度减小的加速运动，是变加速运动。

3、描述简谐运动的物理量：

振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所需的时间。

（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。

（2）周期T是描述振动快慢的物理量。周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。

（3）频率也是描述振动快慢的物理量。周期与频率的关系是1fT?。

4、表达式：sin()xAt????其中A是振幅，22fT?????，?是t=0时的相位，即初相位或初相。

5、简谐运动的能量特征：振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，振动物体总的机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。简谐运动的振幅不变，总的机械能守恒。

考点二、简谐运动的图像

1、简谐运动的图像

以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线。

（1）从平衡位置开始计时，函数表达式为sinxAt??，图象如图1。

（2）从最大位移处开始计时，函数表达式cosxAt??，图象如图2。

2、振动图像的物理意义

表示振动物体的位移随时间变化的规律，即任一个时刻质点的位移。

3、从图像中可以知道

（1）任一个时刻质点的位移（2）振幅A （3）周期T （4）速度方向：由

图线随时间的延伸就可以直接看出

（5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反。只要从振动

图象中认清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了。

例、一质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由可知（）

A．质点振动频率是4Hz

B．t＝2s时，质点的加速度最大

C．质点的振幅为2cm

D．t＝3s时，质点所受合外力最大

【答案】BC

【解析】由图可知，振动周期为T＝4s，因而振动频率f=0.25Hz，所以选项A错误。图中t＝2秒点是振动平衡位置，质点在平衡位置时所受合外力为零，速度最大，加速度为零；质点在最大位移处所受合外力最大，加速度最大，速度为零，因而选项B正确，选项D错误。振幅是质点偏离平衡位置的最大位移，由图可见，质点偏离平衡位置的最大位移为2cm，振幅为2cm，因而选项C正确。

考点三、典型的简谐运动

1、弹簧振子

（1）周期2mTk??，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度系数决定。

（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是2mTk??。这个结论可以直接使用。

在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

2、单摆（略）

考点四、受迫振动与共振

1、受迫振动

物体在周期性变化的驱动力作用下的振动叫受迫振动。物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。

2、共振

是一种特殊的受迫振动，当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动物体的振幅最大，这种现象叫共振。声音的共振叫共鸣。

要点诠释：（1）共振曲线：如图所示，共振曲线以驱动力频率为横坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标。它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，f驱与f固越接近，振幅A越大；当f驱=f固时，振幅A最大。

（2）受迫振动中系统能量的转化

受迫振动不是系统内部动能和势能的转化，而是与外界时刻进行着能量交换，系统的机械能也时刻变化。

（3）发生共振时，驱动力对振动系统总是做正功，总是向系统输入能量，使系统的机械能逐渐增加，振动物体的振幅增大。

当驱动力对系统做的功与摩擦力做的功以及介质阻力做的功之和相等时，振动系统的机械能不再增加，振幅不再增大。

例、如图为一单摆的共振曲线，根据图象解答：

（1）该单摆的摆长约为多少？

（2）共振时单摆的振幅多大？

【答案】（1）1l m（2）振幅A＝8cm

【解析】（1）从共振曲线可知，单摆的固有频率f=0.5Hz，

由单摆的周期公式2lTg??知频率1=2gfl?所以摆长

22=14glmf?

（2）从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅A＝8cm。

【典型例题】

类型一、简谐运动的图像

利用简谐运动的图象可以确定：

（1）可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图中，对应1t、2t时刻的位移分别为