求函数的值域课件
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域的求法
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y ∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x －1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
2.3函数的值域公开课一等奖课件省赛课获奖课件
3
一、基本函数的值域
1. 一次函数y=kx+b (k≠0)的值域为① R .
2. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的值域：当a
＞0时，值域为②
［
4ac 4a
b
2
，
;当) a＜0时，
值域为③
(，4ac 4a
b2
.
］
4
3. 反比例函数y=kx (x≠0，k≠0)的值域为 ④ {y|y≠0，y∈R} .
因此当x=-2时，［f(x)］max=f(-2)=3，
当x=-1时，［f(x)］min=f(-1)=-1，
因此函数的值域是［-1，3］.
23
(因2)此由当f (xx) (12，(1x)x3时2 1，) f
0，可得x=1. ′(x)＜0，
2
因此f(x)在区间 (1，1) 上是减函数，
2
同理可得f(x)在区间(1，2)上是增函数.
C
)
C. [1，1)?
D. [13， )
3
3
0
1 x2 1
1
1
1 3
1 x2 1
1， 3
故选C.
9
3.函数y=f(x)的值域是［-π,10］，则函数 y=f(x-10)+π的值域是( B )
A. ［-π,10］
B. ［0,π+10］
C. ［-π-10,0］ D. ［-10,π］ 由于y=f(x) 向右平移10个单位长度 向上平移π个单位长度
s2in(α+
).4
由于α∈［0,π］，
因此 ［ , 5 ］, 因此sin( )［ 2 ,1］，
高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：2.2函数的定义域、值域
§2.2函数的定义域、值域本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.2.函数的值域⑴定义在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域・(2)基本初等函数的值域思考探究函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2.函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.课前热身1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）A.（—8, —2]B.（一8, 2]C.（一8, -1）U（-1,2]D.[2, +8）答案：C解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll,2 2・・.0V2x+lVl, .\-|<x<0.2・若/(兀)=,则/(兀)的定义域为(log ；(2x+l)D. (0, +8)3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的\[x 函数为（）A・y=.smx B. j-lnXXC. y=xe x sinxX解析：选D•函数丿=7-的定义域为仪IxHO},选项A中由sinxHOFH乃r, kj故A不对；选项B中x>0,故B不对; 选项C中xGR,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{xlx^O},故选D.4.函数f(x)=Y^p(x^R)的值域为答案：(0,1]X2—x+1 (x<l)5-函数他+ (5)的值域是答案：(0, 4-00)考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义•求下列函数的定义域:2⑵尸玄丙+0-4)。
函数定义域与值域_课件
综合（2019江苏）
设函数 f(x)
x
(xR)
，区间
1 x
M=[a，b](a<b)，集合N={ yyf(x),xM}
则使M=N成立的实数对(a，b)有 （ ） (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个
练习：求下列函数的值域
1、y= 2x +1 1-2x
综合2
y 1 x2 x 在[m,n]的值域 2
为[2m,2n],求m,n=?
求y
x 的值域
适用于一 次分式
x1
二、反函法：适用于便于解出x(用y表示)
化代分式回归基础
分 母 除以 分子
y
1
x
1 1
图象法： y1 如 何 平 y 移 11
2 a log a 2 log a a 2
例5、求函数f(x)=lg(ax－k•2x)(a>0且a≠1，
a≠2)的定义域。 例6、已知函数f(x)的定义域是(0,1],
？把2改写成 以a为底的指
数和对数
求g(x)=f(x+a)+f(x-a)(其中-1/2<a≤0) 的定义域。
综合2： 设函数 f(x ) lo 2x x g 1 1 lo 2 (x g 1 ) lo 2 (p g x ) ⑴求f(x)的定义域；
3、y= 1 x2 -4
2、y= sinx+1 1-sinx
y x 4,求满足下列条件的 值函 域数 x
①x≠0
三、Δ法(适用于二次分式) 其它：图象法
重要不等式
分类讨论
单调性
②x∈（0,+∞） ③x∈[1，5]
引申：
2012届高考数学(文)一轮复习课件5函数的定义域与值域(人教A版)
答案:B
2019/4/12
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-4,0]
D.[-1,1]
答案:A
2019/4/12
类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分
的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这
2019/4/12
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其
对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
2019/4/12
考点陪练
2019/4/12
2019/4/12
考点陪练
1.(2010 湖北)函数 3 A. ,1 4 C.(1, )
2019/4/12
⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已
知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1 得出x的范围即为所求.
2019/4/12
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
2019/4/12
②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 f lg x 1 的定义域为 0,9 , 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 .
求函数的最大(小)值与值域课件
D．(0,4)
解 析 ： 由 已 知 得 0≤16 － 4x ＜ 16,0≤ 16－4x＜ 16＝4，即函数 y＝
16－4x的值域是[0,4)．
答案：C
二、利用配方法和均值不等式 求函数的最值
例
2，求
y
x2
1 x2
9(x
0)
的最小值
解析： ； y x2 1 9(x 0) x2
2 (2)当函数 f(x)在(1，2)上单调时，求 a 的取值范围．
2
＝－
＝－
，
考点突 x 四 利用x 导数求最值
破 令 f′(x)＝0，解得 x＝1或 1. 2
当 x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递
2
2
减；当 x∈(1，1)时，f′(x)>0， 2
四、 用换元法求最值
（2）求函数 y 2 4x x2
②解：令 t=4x x2 0 得 0x4 在此区间内 (4x x2) max =4 ，(4x x2 )min =0 ∴函数 y 2 4x x2 的值域是{ y| 0 y 2}
五、利用函数的单调性求最值
例 5、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足
(ⅱ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)min ＝f(b)，f(x)max＝f(a)；
(ⅲ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增(减)，在区间[b， c]上递减(增)，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值为 f(b)．
返回
《新课程标准》中函数 求最值与值域的要求
.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替
高考数学复习考点知识讲解课件6 函数的定义域与值域
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— 4—
(新教材) 高三总复习•数学
(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
— 14 —
(新教材) 高三总复习•数学
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
— 返回 —
— 13 —
(新教材) 高三总复习•数学
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
— 11 —
— 返回 —
函数值域求法大全课件
• 通过进一步化简，得到$y = t + \frac{1}{t} - 2$。
示例解析
• 根据不等式性质，当$t > 0$时，$y \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} 2 = 0$。
• 当且仅当$t = 1$时取等号，因此 $y$的值域为$\lbrack 0, +\infty)$。
函数域求法大全件
• 反表示法 • 判式法 •元法
01
引言
函数值域的概念
函数值域定义
函数值域是指函数在定义域内所 有可能的输出值的集合。
函数值域的表示
函数值域通常用闭区间或开区间 的形式表示，如 [a, b] 或 (a, b)。
函数值域的重要性
确定函数的输出范围
通过求函数的值域，可以确定函数在 定义域内的所有可能输出值的范围， 从而更好地理解函数的性质和行为。
示例解析
示例
求函数$y = frac{1}{x}$的值域。
解析
将原函数转化为$x = frac{1}{y}$的形式，即反函数形式。由于$x$不能为0，所以$y$不能为无穷大，因此原函数 的值域为$y in (-infty, 0) cup (0, +infty)$。
05
判式法
定义与特点
定义
判别式法是一种通过判断一元二次方程实数根的情况，从而确定二次函数值域的方法。
解析
将函数$f(x) = x^2 2x$转化为二次函数形 式，得到$f(x) = (x 1)^2 - 1$。利用判别 式法，当Δ = b^2 4ac = 0时，函数取得 最小值-1，因此函数的 值域为$[-1, +infty)$。
示例2
求函数$f(x) = x^2 + 4x + 3$的值域。
《函数的定义域和值域》中职数学拓展模块5.1ppt课件2【语文版】
温馨提醒：函数表达式有意义的准则一般有：①分式中 的 分
母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；
④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R____． (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
4ac－b2
【解析】(1)函数有意义需满足2x－ －x1＞ ＞00， ， 即 1＜x＜2，所以，函数的定义域为(1，2)．
0≤x2≤2
(2)由x＋1>0
，得
1＋lg（x＋1）≠0
－ 2≤x≤ x>－1 x≠－190
2 ，∴－1<x<－190或
－190<x≤ 2.故函数 g(x)的定义域为(－1，－190)∪(－190， 2]．
【解析】由 22xx－ －－＋xx11>≠≠≥1000，， ，，得xxx≥≠<－ 12，，1，
则－ x≠11≤，x<2，所以定义域是{x|－1≤x<1 或 1<x<2}．
2．(2014·山东济南模拟)若函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为
R，则实数 a 的取值范围是__[0_，__3_)__．
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
【解析】因为函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为 R， 所以 ax2＋2ax＋3＝0 无实数解， 即函数 y＝ax2＋2ax＋3 的图象与 x 轴无交点． 当 a＝0 时，函数 y＝3 的图象与 x 轴无交点； 当 a≠0 时，则 Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得 0<a<3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3)．
高中数学课件 第2章 第2节 《函数的定义域和值域》
因此， 因此，g(x)min＝g(2)＝1－2a， ＝ － ， 而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， － ＝ － － － ＝ － ， 故当0≤a≤ 故当 当 时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； ＝ － ， ＝ － ；
＜a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a， 时 ＝ － ， ＝ ，
3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 不等式法：借助于基本不等式 ＋ 不等式法
(a>0，b>0)求数 ， 求数
的值域.用不等式法求值域时， 的值域 用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 用不等式法求值域时 条件“一正、二定、三相等”. 条件 一正、二定、三相等 一正 4.单调性法：首先确定函数的定义域， 4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 单调性法 性求函数的值域，常用到函数 ＝ ＋ 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ 增区间为(－ ，－ 增区间为 －∞，－ (0， ). ， ]和[ 和 (p>0)的单调性： 的单调性： 的单调性
＋∞)，减区间为 － ,0)和 ，减区间为(－ 和
[特别警示 (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 特别警示] 用换元法求值域时， 特别警示 用换元法求值域时 量的范围变化；用判别式求函数值域时， 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变 量x是否属于 是否属于R. 是否属于 (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 不论用哪种方法求函数的值域， 不论用哪种方法求函数的值域 域，这是求值域的重要环节. 这是求值域的重要环节
函数的值域与最值复习PPT优秀课件
达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖 南 卷 ) 函 数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
27
学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)， 可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可 知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函 数 的 值 域 是 函 数 值 的 集 合 ，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时 ， D=[N ， M] ， 其 中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数，要特别注意自变量 和新变量的范围.
2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第二单元第二节 函数的定义域与值域
1 5 - 0 1 2 4
2
故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-≦,1 ].
方法二:≧y=2x与 y - 1 - 2x 均为定义域上的增函数,
1 x | x 上的增函数, y 2 x 1 2 x 是定义域为 2 1 1 ≨ y max 2 - 1 - 2 1 ,无最小值. 2 2
8 ( x 2) 1
2
2
,
( x 2) 1 1, y 8, 显 然 y>0,
值 域 为 0， 8
令 （3） u x 2 x 1， 则 u 0, u ( x 1) 2
x 2x 0 9 x 0
2
故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3). 学后反思 求函数的定义域,先列出不等式或不等式组,然后求 出它们的解集,其准则一般是: (1)分式中,分母不为零;
(2)偶次方根中,被开方数非负;
(3)对于y= x ,要求x≠0;
0
(4)对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1;
2
（2 )y=
8
x
2
4x 5
2
；
(3) y
lg 1 ( x 2 x 1)
2
(4) y 1 2 x x
解析 （1）y
x
2
x ( x
m ax
1 2
)
2
1 4
y
2,
m in
y
1 4
, 值域为
1 2, 4
(2) y
1- t 2
2
(2)方法一:令 1 - 2x t(t 0), 则 x
函数值域的求法2
1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2.单调性法：利用函数的单调性求最值例3求函数)4(log 221x x y -=的值域。
解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成， 故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f由复合函数的单调性（同增异减）知：),2[+∞-∈y 。
3.判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例4求函数22()1x f x x x =++的最值. 解：由22()1x f x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤. 因此()f x 的最大值是23，最小值是－2. 例5 求函数y _=_2211x x x +++的值域._____ 解：原函数化为关x 的一元二次方程（y-1_)2x +（y_-_1_）x=_0_（1）当y ≠1时，_x ∈R_,△_=_(-1)2-4(y-1)(y-1)_≥0__ 解得：21≤y ≤23 （2）当y=1，时，x_=_0,而1∈[_21,_23] _ 故函数的值域为[21，23]_ 4.配方法：利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。
此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a ≠0)的函数的值域与最值。
【三维设计】高考数学第二章第二节函数的定义域和值域课件新人教A版
5．y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为 (0，＋∞) ． π 6．y＝tan x的定义域为 {x|x≠kπ＋2，k∈Z} ． 7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
二、函数的值域
1．在函数概念的三要素中，值域是由 定义域 和 对应关系 所
为(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：C
1 3．函数y＝ 2 的值域为 x ＋2 A．R 1 C．{y|y≤2}
2
(
)
1 B．{y|y≥2} 1 D．{y|0<y≤2}
1 1 1 解析：∵x ＋2≥2，∴0< 2 ≤ .∴0<y≤2. x ＋2 2
答案： D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x－ 4 4．(教材习题改编)函数f(x)＝ 的定义域为________． |x|－5
1 (2011· 江西高考)若 f(x)＝ ，则 f(x)的定 log 1 2x＋1
2
(
)
[自主解答]
1 x>－ ， 2x＋1>0， 2 由已知得 log 1 2x＋1≠0， ∴ 2x＋1≠1. 2
1 即x>－2且x≠0.
[答案]
C
2x－1 若本例中的函数变为f(x)＝ ，试求f(x)的定义域． log 1 2x＋1
确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的 作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 2 2 4 ac － b 4ac－b {y|y≥ 4a } ；当a＜0时，值域为 {y|y≥ 4a } ．
《函数概念》PPT课件
⑥当函数y=f(x)是用表格给出时,函数的定义域
是指表格中实数的集合.
⑦当函数y=f(x)是用图象给出时,函数的定义域
是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合.
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3
§1.2.1函数的概念
【1】设 A {x | 0≤ x ≤ 2}, B {x | 1≤ y ≤ 2}. 下图表示从A到B的函数是…………( ).D
x≤b { x | x ≤b }
x＞a x＜b
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{ x | x ＞a } { x | x ＜b }
区间
( a, b) ( a, b]
[a,b) [a,b] (-∞ , +∞ ) [a , + ∞ ) (－∞ , b ] (a,+∞) (－∞ , b )
名称
开区间 半开半闭区间 闭区间
4
3
2
配方法
1
－1 o
•
x 1 2 3 4
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§1.2.1函数的概念
【3】已知y=2x2-x+5(0≤x≤15),
求值域.
解：y
2x2
x
5
2(
x
1 4
)2
39 8
.
y
[
39 8
,440].
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§1.2.1函数的概念
(8) y=|x+1|－|1－x| 解：由 y = | x + 1 | －| x －1 |
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§1.2.1函数的概念
【1】把下列不等式写成区间表示
1. -2<x<4,记作：(_-2_,_4_)； 2.x >4,记作:___(4_,_+_∞__)__； 3. 5≤x≤7,记作: [5；,7] 4. 2≤x＜5,记作: [2,5；)
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（3）y = x2+4x+3 （4）y =3-2x-x2
(-3≤x≤1) x∈[-3,1]
练习：1.求下列函数的值域
（ 1） y =
1 x 3
2
1 4x （ 2） y = 2x 3
（ 3） y
2 =x -4x+3
x∈[-1,4]
（2）y = 2x －3 + 4 x 13
y
t 13 则x 且t 0 4 2
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 }
（ 3） y =
2 x2
(－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ [0, + ∞ ) 值域为 ____________
（ 4） y =
x3
例2、求下列函数的值域: (1) y =
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
定义域为R
k 反比例函数: y (k 0) x
值域为R
定义域为{x|x ≠0}
值域为{y|y ≠0}
定义域为R
2
二次函数 : f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
4ac b } 当a>0时，值域为: { y | y 4a 4ac b } 当a<0时，值域为: { y | y 4a
三：换元法
• 通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无 理函数化为代数函数来求函数值域的方法 (关注新元的取值范围). • 例2 求函数 y=x+ 1-x 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法， 它可以使复杂问题简单化，但是在解题的 过程中一定要注意换元后新元的取值范围。
求下列函数的值域： （ 1） y = x +
x2 2x 3 例5 求函数 y = 的值域. 2 2x 2x 1
4*、求函数 y =
x2 2x 3 的值域 2 2x 2x 1
解：由题知 x ∈ R，则有 2yx 2 + 2yx + y = x 2 －2x －3 ( 2y －1 )x 2 + 2( y + 1 )x + ( y + 3 ) = 0 1 当y 时 , 0 2
t 13 y 3 t 2
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
解：设 t = 2
4 x 13
7
2
o
x
7 7 由图知：y [ , ) 故函数的值域为： 2 2
四、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零).
2
常用的求函数的值域的方法有以下 几种：
• • • • • • 1.直接法 2.配方法 3.换元法 4.分离系数法 5.图像法 *判别式法
1.直接法：有的函数的结构并不复杂，
可以通过基本函数的值域及不等式的性 质直接观察求出函数的值域。
• 例1：求函数 y x 1的值域
二、配方法：
• 形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数常用配方法求 函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围. • 例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间 上的值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]
解：由 y
1 x 2x 5
1 7 7 ( 2 x 5) 2 2 1 2 2x 5 2 2x 5
7 1 2 0 y 2 2x 5
故函数的值域为
1 1 ( , ) ( , ) 2 2
Hale Waihona Puke 练习．求下列函数的值域(1)y=3x+2(-1≤x≤1)
1 , x 2 x x6
的值域
(2)求函数 y
[3,5] 的值域
4( y 1)2 4(2 y 1)( y 3) 0
2
故函数的值域为 [－4，1 ]
1 y 3 y 4 0 4 y 1且y 2 1 1 7 当y 时 , x 有解 y 2 2 6
变式:(1)求函数
1 y 2 x x6
函数值域的求法
函数
y=f(x) 因变量 对应法则 定义域 自变量x的取值范围为 ___________________ 自变量
值域 因变量y的取值范围为 ___________________
1:在初中我们学习了哪几种函数?函数表达式是 什么?它们的定义域各是什么? 值域 呢?
一次函数 : y=ax+b(a≠0)
(2)
x 1 y x
∴-3≤3x≤3 即-1≤y≤5 ∴值域是[-1，5] ∵ ∴-1≤3x+2≤5
解:(1) ∵-1≤x≤1
解:(2)
x 1 1 1 ∵y= x x
∴y≠1
1 0 x
即函数的值域是 { y| yR且y1}
求下列函数的值域：
2x 1 （1）y = 3x 3 1 4x （2）y = 2x 3