高三数学正态分布2

合集下载

高三数学知识点：正态分布

高三数学知识点：正态分布
已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116,64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比是多少？
解析过程：
要求成绩在140分以上的考生所占的百分比，可以利用正态分布的性质，即在均值左侧的面积为50%。

因此，首先需要求出成绩为140分的标准差，即（140-116）/8=3.然后，利用标准正态分布表可以得出，成绩在140分以上的考生所占的百分比为0.13%。

正态分布是一种非常重要的概率分布，其密度函数呈钟形曲线，均值、标准差是其两个重要参数。

在实际应用中，正态分布广泛用于描述各种自然现象和社会现象，如人口分布、气温变化等。

掌握正态分布的性质和应用方法，对于解决实际问题具有重要意义。

常见考法包括选择题和填空题，容易掌握。

但在考试中，也需要注意正态分布曲线的性质，避免出现低级错误。

总之，掌握正态分布的知识点和应用方法对于高中数学的研究和考试都非常重要。

更多相关知识点可登陆德智知识点网站和答疑平台进行研究和交流。

高中高三数学《正态分布》教案、教学设计

5.写作任务：要求学生撰写一篇关于正态分布在实际生活中的应用的小论文，字数在500字左右。这样可以锻炼学生的书面表达能力，同时加深他们对正态分布的理解。
6.预习任务：布置下一节课的相关内容，要求学生进行预习，为课堂学习做好准备。
在布置作业时，要注意以下几点：
1.针对不同层次的学生，适当调整作业难度，确保每个学生都能在完成作业的过程中获得成就感。
1.提问：询问学生关于数据分布的知识，如“你们在生活中见过哪些数据呈现一定的分布规律？”
2.实例展示：利用多媒体展示一些生活中的数据分布图像，如学生身高、考试成绩等，让学生观察并总结这些分布的特点。
3.引入正态分布：通过分析实例，引导学生发现这些数据分布的共同点，即呈现出对称、钟形的形状，从而引出正态分布的概念。
-练习巩固：设计难易程度不同的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
3.评价与反馈：
-采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、课后作业等，全面了解学生的学习情况。
-针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和建议，帮助他们克服学习难点，提高学习效果。
-定期进行教学反思，根据学生的学习情况和反馈，调整教学策略，不断提高教学质量。
因此，在教学过程中，应关注学生的个体差异，因材施教，充分调动他们的学习积极性，提高正态分布这一章节的教学效果。同时，注重培养学生的学习兴趣和实际应用能力，使他们在掌握知识的同时，增强数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：正态分布的概念、性质、图像特点及其在实际中的应用。
2.难点：正态分布的概率计算、期望和方差的推导及在实际问题中的运用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的热爱，激发他们学习数学的兴趣，使他们认识到数学知识在现实生活中的重要作用。

高中数学必修三正态分布知识点

高中数学必修三正态分布知识点正态分布的定义：如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。

当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。

叫标准正态曲线。

正态曲线x∈R的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x 轴;(3)曲线在x=μ处达到最高点;(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。

在标准正态总体N(0，1)中：二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。

正态分布-高考数学复习课件

2
∴该班学生数学成绩在120分以上(包含120分)的人数约为0.16×50＝8.
4
3
4. 在含有3件次品的10件产品中，任取4件， X 表示取到的次品的个数，
则 P ( X ＝2)＝
3
10
.
⁠
C23 C27
3
由题意得 P ( X ＝2)＝ 4 ＝ .
C10
10
关键能力重点探究
考点一
例1
正态分布的性质
份测量其纤维长度的均值 Yi ( i ＝1，2，…，20)，得到的数据如下.
Y1
24.1
Y2
31.8
Y3
32.7
Y4
28.2
Y5
28.4
Y6
34.3
Y7
29.1
Y8
34.8
Y9
37.2
Y 10
30.8
Y 11
30.6
Y 12
25.2
Y 13
32.9
Y 14
27.1
Y 15
35.9
Y 16
28.9
Y 17
；
⁠
；
⁠
.
⁠
[小题诊断]
1. (易错题)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N (0，
32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(
A. 4.56％
B. 13.59％
C. 27.18％
D. 31.74％
B )
2. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N (110，102).
越集中，30小于40，B正确，C不正确；对于选项D： P (280＜ X ＜320)

正态分布

y
（1）当x = μ 时,函数值为最大. 1 (0, ] （2）f ( x) 的值域为 2 s (3) f ( x) 的图象关于
μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
x
=μ 对称.
（－∞，μ] 时f ( x)为增函数. （4）当 x∈ （μ，+∞）时f ( x)为减函数. 当 x∈
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
X=m
3.特殊区间的概率:
若X~N
(m,s 2 ),则对于任何实数a>0,概率
m a m a
P(m a x ≤ m a)
x=μ
m ,s ( x )dx
m-a
m+a
特别地有（熟记）
P( m s X m s ) 0.6826, P( m 2s X m 2s ) 0.9544, P( m 3s X m 3s ) 0.9974.
【1】（07 湖南）设随机变量 x 服从标准正态分
1) ，已知 p （ x ＜－ 1.96 ） =0.025 ，则布 N (0， P(| x | 1.96) =（ C ）
A．0.025 C．0.950 B．0.050 D．0.975
y
o
x
【2】（07 浙江）已知随机变量 x 服从正态分布
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
练习：
1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函

高三数学正态分布知识点

高三数学正态分布知识点正文：正态分布是概率论和统计学中经常应用的一种重要分布。

其特点是在均值附近的概率较高，而在离均值较远处的概率较低。

在高中数学的学习中，正态分布也是一个重要的知识点。

本文将介绍高三数学正态分布的相关知识。

一、正态分布的定义正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。

对于一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / sqrt(2 * π * σ^2)) * exp(-(x - μ)^2 / (2 * σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。

二、正态分布的性质1. 对称性：正态分布是以均值为对称轴，两侧面积相等的曲线。

2. 峰度：正态分布的峰度是指曲线的陡峭程度，峰度值为3。

3. 切点：正态分布曲线与均值之间会有两个切点，也即均值加减标准差的位置。

三、标准正态分布标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。

它是对正态分布进行标准化后的结果。

对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - μ) / σ四、正态分布的应用正态分布在实际生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 质量控制：正态分布可以帮助企业在生产过程中进行质量控制，通过控制产品的均值和标准差，来确保产品的质量稳定。

2. 统计分析：正态分布在统计学中扮演了重要角色，可以用于分析和描述大量数据的分布情况，从而得出结论或进行预测。

3. 考试评分：在考试评分过程中，教师常常采用正态分布来确定分数段及相应的等级，从而更公平地进行评价。

4. 实验设计：科学实验中常常会涉及到测量误差和数据分布的问题，正态分布可以作为参考，帮助科研人员进行实验设计和数据分析。

五、常用的正态分布应用题1. 求解概率：给定正态分布的均值和标准差，可以求解指定区间的概率。

2. 求解分位数：给定正态分布的均值和标准差，可以求解给定概率下的分位数，即求解落在该概率下的随机变量取值。

高三数学正态分布2

钓号网陌陌账号交易
当代医学科学研究和创新的“双刃剑”效应是指A.当代医学科学研究和创新带来了医学的进步B.当代医学科学研究和创新带来了道德的退步C.当代医学科学研究和创新促进了人类健康D.当代医学科学研究和创新可能用于危害人类健康E.当代医学科学研究和创新既有促进人类健康的价值又有用于危男性，66岁。4个月前起刺激性咳嗽，右上胸痛，进行性加重。近2周来疼痛沿右肩向右上臂及前臂放射，并出现右额部不出汗、右眼难以睁开。体检：右侧瞳孔缩小，眼球内凹上睑下垂。右上肺叩浊音，听诊呼吸音降低。X线示右肺尖团块影，边缘不清。该例诊断首先应考虑()A．右肺尖结核B．肝性脑病的正确概念应是()A．肝脏疾病并发脑部疾病B．肝功能衰竭并发脑水肿C．肝功能衰竭所致的昏迷D．肝功能衰竭所致的精神紊乱性疾病E．严重肝病所致的神经精神综合征以祛风散邪为主，配伍补血、活血、益气、清热之品组方的方剂是A.大秦艽汤B.独活寄生汤C.消风散D.玉真散E.川芎茶调散不属于敌对进路。A.同一到发线上对向的列车进路B.同一到发线上对向的调车进路C.同一到发线上对向的列车进路与调车进D.同一咽喉区对向重迭的调车进路男，6岁，因发热、头痛4天，病情加重一天，呕吐两次，于8月29日入院。体查：体温40，颈硬，克氏征（+），脑脊液：潘氏试验（+），糖正常，氯化物正常，白细胞200×109/L，多核0.54，单核0.46.外周血白细胞14×109/L，中性粒细胞0.86。追问病史，近一周来同村儿童有十余人先后同样正常生产时，炉内至少剩多少铁水才能化冷料？为何？作为医学伦理学基本范畴的良心是指A.医学关系中的主体在道义上应享有的权力和利益B.医学关系中的主体在道义上应履行的职责和使命C.医学关系中的主体在道义上对周围人、事以及自身的内心体验和感受D.医学关系中的主体在对自己应尽义务的自我认知和评价E.医学关系中的主体在表现出行促进乳房发育成熟的主要激素是A.雌激素B.孕酮C.肾上腺皮质激素D.催乳素E.生长素 2005年爱知县世博会主题是A、"自然的才智"B、"自然之本"C、"人生的技巧和智慧"D、"循环化社会" 血浆的相对密度为。A.1.030～1.060B.1.050～1.078C.1.080～1.095D.1.090～1.111E.1.025～1.030 空压站开工用压缩机冷却器使用的是冷却空气温度。右上后牙于5天前结束金属烤瓷冠治疗，患者持续地对冷热刺激敏感，最可能的原因是。A.戴冠时机械刺激B.邻面接触紧密C.游离磷酸的刺激D.龋坏组织未去净E.有咬合高点龋病的易感因素不包括A.致龋菌在口腔内的数量及在牙体聚集滞留的时间B.宿主抗龋能力C.人群口腔卫生状态不佳D.不合理的膳食结构E.工作过于劳累，精神压力过大用高级语言编写的程序称为A．源程序B．应用程序C．用户程序D．实用程序能在Internet上进行文件上传和下载服务的协议叫文件传输协议，其英文缩写是。A.TCPB.IPC.FTPD.HTTP 被动屏蔽的方法不包括。A.既往献血情况核查B.健康问询C.自我评估D.体格检测E.血液筛查等结果 Everydeckofficershouldbeableefficientlycarryout：Administration；B.Navigation/CollisionAvoidance；Conning；D.Aboveofall. 速发性免疫性输血不良反应是。A.细菌污染反应B.输血相关性急性肺损伤C.枸橼酸盐中毒D.输血相关性移植物抗宿主病E.输血后紫癜重力坝在水压力及其他荷载作用下，主要依靠坝体自重产生的来满足稳定要求。A.抗滑力B.压应力C.摩擦力D.扬压力医学道德保密的作用最核心的是</br>医学道德保密的作用中提法不正确的是A.体现了患者对医务人员的无比信任B.体现了医务人员对病人人格和权利的尊重C.有利于保护医务人员个人的权利D.有利于医护工作的开展和医护质量的提高E.可以避免因泄密而给病人带来危害和发生医患纠纷小建中汤是由桂枝汤如何化裁而来A.倍用芍药加饴糖B.去芍药加饴糖C.加饴糖D.倍甘草加饴糖E.倍用甘草芍药 0.5mol硫的质量是，硫的摩尔质量是g/mol。临床预防方法不包括。A.健康教育B.筛检C.免疫预防D.化学预防E.临床治疗病案质量控制方法通常采用的步骤，除外。A.检查执行情况B.目标管理C.执行标准D.制订标准E.反馈厚壁空洞和薄壁空洞壁厚的界定标准为A.1mmB.2mmC.3mmD.4mmE.5mm 医学昆虫对人体最主要的危害形式是A.寄生B.吸血C.刺蜇D.引起皮肤病E.传播病原体儿童的年龄性别身高低于同年龄、同性别，参照人群值的正常范围，其类型属于A.体重低下B.生长迟缓C.消瘦D.营养性水肿E.以上都不是与水灭火系统相比较，气体灭火系统显著的缺点是。A、灭火剂造价高B、易受环境条件影响C、不好储存D、使用复杂我国现存最早最完善的针灸学专著是A.《黄帝内经》B.《难经》C.《针经》D.《马王堆汉墓出土的帛书》E.《针灸甲乙经》假定KM不变，则少量装卸货物后船舶的GM将。A．增加B．减小C．不变D．变化趋势不定巴豆制霜的目的是A.增效B.矫味C.减毒D.矫臭E.改性低钾血症心电图最早的改变是A.ST段降低B.T波降低、变平或倒置C.Q-T间期延长D.U波E.QRS增宽我国调控投资结构的经济手段包括。A.项目审批B.项目核准C.投资补助D.项目贴息E.项目备案患者，女，26岁。1周来右上后牙持续胀痛，并引起右侧头痛。检查时，见右侧后牙无龋坏和充填物，但右上后牙均叩痛(+)～(++)，患者晨起时，头痛重，有鼻阻和流脓鼻涕症状。下列检查项目最可能出现异常的是()A．温度测验B．电活力测验C．松动度检查D．相应面部扪诊E．X线片检查 [单选,配伍题]肩关节周围炎A.肩关节外展受限B.肩部疼痛、无活动受限C.肘关节外侧疼痛D.肘关节活动受限E.Finkelstein试验阳性目前认为与鼻咽癌发生密切相关的病毒是A.麻疹病毒B.风疹病毒C.EBVD.HIVE.HTLV 透平膨胀机制冷的工作原理是什么？以下哪一种寄生虫兼具无性和有性两种生殖方式完成一代的发育A.溶组织内阿米巴原虫B.钩虫C.丝虫D.蛔虫E.弓形虫女性，38岁，患慢性阻塞性肺疾病、肺源性心脏病，神志清楚，发绀明显，动脉血气提示代偿性呼吸性酸中毒，给予鼻导管吸氧4升/分，发绀略有减轻，但迅速进入嗜睡状态。为明确病情，检查首选()A．X线胸片B．心电图C．头颅CTD．血气分析E．测量血压

2025高三重要必考点正态分布

1．正态分布(1)正态曲线函数f(x)=x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X N(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.(3)正态分布的均值和方差若X N(,)，则E(X)=，D(X)=.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；(3)曲线在x=；(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(-+)0.6827；P(-2+2)0.9545；P(-3+3)0.9973.(2)3原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学中称为3原则.历届高考题最新模拟题选做1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()AA．0.954B．0.977C．0.488D．0.4772．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B)(随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%3．已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝(A)A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由X～N(1，σ2)，正态曲线关于X＝1对称，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2；故选A.3．已知三个正态密度函数φi(x)=−(x−μi)22σi2（x∈R，i=1,2,3）的图像如图所示，则（）A．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2>σ3B．μ1<μ2=μ3，σ1<σ2<σ3C．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2<σ3D．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3由题图中y=φi(x)的对称轴知：132u u u =，y=φ1(x)与y=φ2(x)(一样)瘦高，而y=φ3(x)胖矮，所以σ1=σ2<σ3.故选：D.4．已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(X<k－4)，则k的值为(B) A．6B．7C．8D．9[解析]∵(k－4)＋k2＝5，∴k＝7，故选B.5．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝(C) A．6B．5C．4D．3[解析]由题意可知P(ξ≥6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴P(ξ≥6)＝P(ξ<2)，∴μ＝6＋22＝4.选C．6．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<4)＝(D) A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由正态曲线的对称性知P(－2<ξ<4)＝2P(1<ξ<4)＝212－P(ξ>4)＝212－(1－P(ξ<4))＝0.8.故选D.7．若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.6826，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9544，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9974.已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(C)A．159B．46C．23D．13[解析]由题意，μ＝110，σ＝10，故P(X>130)＝P(X>μ＋2σ)＝1－0.95442＝0.0228.∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23.故选C．8．已知随机变量X ～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为(D)附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641[解析]由题意P(0＜X ≤1)＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.正方形OABC 内取一点，则点恰好落在阴影部分的概率为P ＝1×1－0.13591×1＝0.8641.选D.9．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(ABD)附：若随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826.A ．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30,280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413[解析]对于选项A ：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确；对于选项D ：P(280<X<320)＝P(μ<X<μ＋σ)≈0.6826×12≈0.3413，正确．故选ABD.10．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X 服从正态分布N(180,900)．(参考数据：①P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9973.则(BC)A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．P(240<X ≤270)＝0.0428[解析]这次考试标准分超过180分的约有500人，A 错；∵P(90<X<270)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9973，∴标准分在(90,270)内的人数约为0.9973×1000≈997，∴B 正确．甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为C232×＝38，∴C 正确；∵P(240<X<270)＝P (90<X<270)－P (120<X<240)2＝P (μ－3σ<X<μ＋3σ)－P (μ－2σ<X<μ＋2σ)2＝0.9973－0.95452＝0.0214，∴D 错误．故选BC ．11．已知随机变量X~N 4，22，则P 8<X <10的值约为（）附：若Y~N μ，σ2，则P μ−σ<Y <μ+σ≈0.6827，P μ−2σ<Y <μ+2σ≈0.9545，P μ−3σ<Y <μ+3σ≈0.9974A．0.0215B．0.1359C．0.8186D．0.9760【解题思路】由题意确定μ=4,σ=2，根据P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+ 2σ]，即可得答案.由题意知随机变量X~N4，22，故μ=4,σ=2，故P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+2σ]≈12(0.9974−0.9545)=0.02145≈0.0215,故选：A.12．已知随机变量服从正态分布X~N(2,σ2)，若P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，则a=（）A．0B．2C．−1D．−2根据正态分布的性质可得P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，即可得到1−2a、1+a关于x=2对称，从而得到方程，解得即可.解：因为P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，P(X≤1−2a)+P(X≥1−2a)=1，所以P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，所以1−2a+1+a=2×2，解得a=−2.故选：D.13．已知随机变量X服从正态分布N6,σ，若P X<4+5P X>8=1，则P4<X<6=（）A．16B．14C．13D．19根据正态分布的对称性可得：P X<4=P X>8，P4<X<6=12−P X<4，结合题意可求P X<4=16，进而可求P4<X<6．X~N6,σ，则P X<4=P X>8，∴P X<4+5P X>8=6P X<4=1，则P X<4=16，∴P4<X<6=12−P X<4=13，选：C．1．新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为1～14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示．(1)由直方图可认为答题者的成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别为答题者的平均成绩x－和成绩的方差s2，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，204.75＝14.31；②z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<z<μ＋2σ)＝0.9544；③0.84134＝0.501,0.84133＝0.595.[解析](1)由题意知：x－＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，因为z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x－＝70.5，σ2＝D(ξ)＝204.75，σ＝14.31，∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，而P(μ－σ<z<μ＋σ)＝P(56.19<z<84.81)＝0.6826，∴P(z≥84.81)＝1－0.68262＝0.1587，∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为0．1587×10000＝1587人．(2)由(1)知，成绩超过56.19的概率为1－0.1587＝0.8413，而ξ～B(4,0.8413)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44·0.84134＝1－0.501＝0.499.2．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝142.75≈11.95；②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.[解析](1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－为：x－＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z<38.45)＝P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)＝0.6826，∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得每包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的概率为213.02.0=+X ～X 的取值为0，1，2，3，4，P(X ＝0)＝16121404=⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；P(X ＝1)＝41421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝2)＝42421⎪⎭⎫ ⎝⎛C =38；P(X ＝3)＝43421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝4)＝44421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝116.∴X 的分布列为X 01234P116143814116∴E(X)＝4×12＝2.(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数位学生，求他的数学成绩恰在64分到0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，。

高三数学一轮复习正态分布

3).作出判断. 如果a ( 3, 3)，接受统计假设 ; 如果a ( 3, 3)，就拒绝统计假设 .
例题10.一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布N（， 84 ），质量员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度少于2，他是让钢筋工继续用钢筋切割机截割钢筋呢？还是让钢筋工停止生产，检修钢筋切割机？
解：设为行车时间（）走第一条路线，及时赶到的概率为： 1 70 50 0 50 P（ 70 （ 0 ））（） 10 10 70 50 （）（） 0.9722 2 10 走第二条路线，及时赶到的概率为： 70 60 0 50 P（ 70 （ 0 ））（） 4 4 70 60 （）（ .5 0.9938 2 ） 4
解：). ~ N(0,2.5), 0, 2 2.5 (1 又 f (x) 1 2
( x ) 2 22
e
的概率密度函数为f(x)
1 5
e
x2 5
(x R )
解： ).设表示5件产品中的合格品数. (2 ~ B(5, P)(p p(| | 3)),
0.0228
EX:已知总体服从正态分布N(120,12.96), 求满足下列条件的个体在总体中所占的比例: (1)数值不大于129; (2)数值大于108; (3)数值在112.8与123.6之间.
(1)0.9938
(2)0.9996
(3)0.8186
例题7.生产工艺工程中产品的尺寸的偏差（m m）~ N（，.5 0 2 ），如果产品的尺寸与规定的偏差的绝对值不超过3m m为合格品，求：（）的概率密度函数； 1 （）生产的5件产品的合格率不小于 %的概率. 2 80

高中数学必修2-3第二章2.4正态分布

2．4正态分布1．问题导航(1)什么是正态曲线和正态分布(2)正态曲线有什么特点曲线所表示的意义是什么(3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率2．例题导读请试做教材P74练习1题．1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝⎠⎛abφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为________X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴________上方，与x轴________不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线________x＝μ对称；(3)曲线在________x＝μ处达到峰值________1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为________1；(5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()(3)正态曲线可以关于y轴对称．()答案：(1)×(2)×(3)√2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()A．0 B．σC．－μD．μ答案：D3．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝()答案：D4．已知正态分布密度函数为f(x)＝12πe－x24π，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．答案：02π正态分布的再认识(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．(3)从正态曲线可以看出，对于固定的μ而言，随机变量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．对于固定的μ和σ，随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大，即3σ原则．正态分布密度曲线如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．[解]从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，∴σ＝ 2.于是φμ，σ(x)＝12π·e－（x－20）24，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，另一是最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．扫一扫进入91导学网正态分布密度曲线1．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．求正态分布下的概率设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．[解]因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝ 6.(2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)，所以P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝124－ 6)＝ 9. [互动探究] 在本例条件下，试求P (X ≥5)．解：因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，所以P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)]＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝12(1－ 4)＝ 8.(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用．(2)常用结论有①对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； ②P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)；③P (a ＜X ＜b )＝P (X ＜b )－P (X ≤a )．2．(1)(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝%.)A ．%B ．%C ．%D ．%解析：选B.由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝ 6，P (－6＜ξ＜6)＝ 4，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝错误!＝ 9＝%，故选B.(2)设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4＜X ＜8)＝，则P (X ＜0)＝________．解析：概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为，在0左边的概率等于在8右边的概率，即－＝.答案：(3)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)．①求c的值；②求P(－4＜X＜8)．解：①由X～N(2，9)可知，密度函数曲线关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.②P(－4＜X＜8)＝P(2－2×3＜X＜2＋2×3)＝4.正态分布的实际应用某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分的学生为不及格学生．(1)成绩不及格的人数占多少(2)成绩在80～90之间的学生占多少[解](1)设学生的得分情况为随机变量X，则X～N(70，102)，其中μ＝70，σ＝10.在60到80之间的学生占的比为P(70－10<X≤70＋10)＝6＝%，∴不及格的学生所占的比为12×(1－6)＝7＝%.(2)成绩在80到90之间的学生所占的比为12×[P(70－2×10<X≤70＋2×10)－P(70－10<X≤70＋10)]＝12×4－6)＝%.正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．3．(2015·杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．解：∵X～N(50，102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30＜X≤60)＝P(30＜X≤50)＋P(50＜X≤60)＝12P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＋12P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝12× 4＋12× 6＝ 5. 即他在(30，60]分内赶到火车站的概率是 5.数学思想正态分布中的化归与转化思想已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝ 6，则P (X >4)＝( ) A ． 8 B ． 7 C ． 6 D ． 5[解析] 由于X 服从正态分布N (3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)，故P (X >4)＝1－P （2≤X ≤4）2＝1－ 62＝ 7.[答案] B[感悟提高] 化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一，在解决正态分布的应用问题时，化归与转化思想起着不可忽视的作用．本小题考查正态分布的有关知识，求解时应根据P (X >4)＋P (X <2)＋P (2≤X ≤4)＝1将问题转化．1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝φμ，σ(x )＝18πe －（x －10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. 2.(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772 附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝ 6， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝ 4.解析：选C.由P (－1<X ≤1)＝ 6，得P (0<X ≤1)＝ 3，则阴影部分的面积为 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×错误!＝3 413，故选C.3．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若X 在(0，1)内取值的概率为，则X 在(0，2)内取值的概率为________．解析：如图，易得P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)，故P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×＝.答案：4．设X ～N (5，1)，求P (6<X ≤7)．解：由已知得P (4<X ≤6)＝ 6， P (3<X ≤7)＝ 4.又∵正态曲线关于直线x ＝5对称， ∴P (3<X ≤4)＋P (6<X ≤7)＝ 4－ 6 ＝ 8.由对称性知P (3<X ≤4)＝P (6<X ≤7)，所以P (6<X ≤7)＝错误!＝ 9.[A.基础达标]1．设随机变量ξ～N (2，2)，则D (12ξ)＝( )A ．1B ．2 D ．4解析：选C.∵ξ～N (2，2)，∴D (ξ)＝2. ∴D (12ξ)＝122D (ξ)＝14×2＝12.2．下列函数是正态密度函数的是( ) A ．f (x )＝12σπe（x －μ）22σ2，μ，σ(σ＞0)都是实数B ．f (x )＝2π2πe －x 22C ．f (x )＝122πe －（x －1）24D ．f (x )＝12πe x 22解析：选B.对于A ：函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A 错误；对于B ：符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B 正确；对于C ：从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，故C 不正确；对于D ：指数部分缺少一个负号，故D 不正确．3．(2015·高考湖北卷)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )解析：选D.由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P (Y ≥μ2)＝12，P (Y ≥μ1)>12，故P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；因为σ1＜σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 错；对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选D.4．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝，则P (0＜ξ＜2)＝( ) A ． B ． C ． D ．解析：选C.如图，正态分布的密度函数图象关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＜2)＝，并且P (0＜ξ＜2)＝P (2＜ξ＜4)，则P (0＜ξ＜2)＝P (ξ＜4)－P (ξ＜2)＝－＝.5．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝( )A ．1B ．4C ．2D ．不能确定解析：选B.根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态分布密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.6．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)成立，则μ＝________．解析：∵ξ～N (μ，σ2)，故概率密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ＜1)＝P (ξ＞3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2.答案：27．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得P (ξ>2)＝12×[1－2P (0<ξ<1)]＝12×(1－＝.答案：8．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于kg小于等于kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．解析：依题意可知，μ＝，σ＝2，故P＜X≤＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝6，从而属于正常情况的人数为1 000× 6≈683.答案：6839．(2015·苏州高二检测)某个工厂的工人月收入服从正态分布N(2 500，202)，该工厂共有1 200名工人，试估计月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有多少人解：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(2 500，202)，所以μ＝2 500，σ＝20，所以月收入在区间(2 500－3×20，2 500＋3×20)内取值的概率是4，该区间即(2 440，2 560)．因此月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有1 200×(1－4)＝1 200× 6≈3(人)．10．(2015·漳州高二检测)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分)服从正态分布N(50，102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60，42)．(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线解：由已知X～N(50，102)，Y～N(60，42)．由正态分布的2σ区间性质P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝4.然后解决问题的关键是：根据上述性质得到如下结果：对X：μ＝50；σ＝10，2σ区间为(30，70)，对Y：μ＝60；σ＝4，2σ区间为(52，68)，要尽量保证用时在X?(30，70)，Y?(52，68)才能保证有95%以上的概率准时到达．(1)时间只有70分钟可用，应该走第二条路线．(2)时间只有65分钟可用，两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达，但是走市区平均用时比路线二少了10分钟，应该走第一条路线．[B.能力提升]1．设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，P(|X－μ|＜3σ)将会()A．单调增加 B．单调减少C．保持不变D．增减不定解析：选C.对于服从正态分布的随机变量X，不论μ，σ怎么变化，P(|X－μ|＜3σ)总等于4.2．设正态总体落在区间(－∞，－1)和区间(3，＋∞)的概率相等，落在区间(－2，4)内的概率为%，则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为()A．(1，12π) B．(1，2)C．(12π，1) D．(1，1)解析：选A.正态总体落在区间(－∞，－1)和(3，＋∞)的概率相等，说明正态曲线关于x＝1对称，所以μ＝1.又在区间(－2，4)内的概率为%， ∴1－3σ＝－2，1＋3σ＝4，∴σ＝1.∴f (x )＝12πe －（x －1）22，x ∈R ，∴最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，12π. 3．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，则下列结论正确的是________． ①P (|ξ|＜a )＝P (ξ＜a )＋P (ξ＞－a )(a ＞0)； ②P (|ξ|＜a )＝2P (ξ＜a )－1(a ＞0)； ③P (|ξ|＜a )＝1－2P (ξ＜a )(a ＞0)； ④P (|ξ|＜a )＝1－P (|ξ|＞a )(a ＞0)．解析：因为P (|ξ|＜a )＝P (－a ＜ξ＜a )，所以①不正确；因为P (|ξ|＜a )＝P (－a ＜ξ＜a )＝P (ξ＜a )－P (ξ＜－a )＝P (ξ＜a )－P (ξ＞a )＝P (ξ＜a )－(1－P (ξ＜a ))＝2P (ξ＜a )－1，所以②正确，③不正确；因为P (|ξ|＜a )＋P (|ξ|＞a )＝1，所以P (|ξ|＜a )＝1－P (|ξ|＞a )(a ＞0)，所以④正确．答案：②④4．设随机变量X ～N (1，22)，则Y ＝3X －1服从的总体分布可记为________．解析：因为X ～N (1，22)，所以μ＝1，σ＝2. 又Y ＝3X －1，所以E (Y )＝3E (X )－1＝3μ－1＝2， D (Y )＝9D (X )＝62，所以Y ～N (2，62)．答案：Y ～N (2，62) 5．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P <Z <；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间，的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝ 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝ 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×＋180×＋190×＋200×＋210×＋220×＋230×＝200，s2＝(－30)2×＋(－20)2×＋(－10)2×＋0×＋102×＋202×＋302×＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P<Z<＝P(200－<Z<200＋＝6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间，的概率为6，依题意知X～B(100，6)，所以E(X)＝100× 6＝.6．请仔细阅读下面这段文字，然后解决后面的问题．在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是：(1)提出统计假设：某种指标服从正态分布N(μ，σ2)；(2)确定一次试验中的取值a；(3)作出统计推断：若a∈(μ－3σ，μ＋3σ)，则接受假设，若a?(μ－3σ，μ＋3σ)，则拒绝假设．问题：某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N(30，，质检人员从该厂某一天生产的1 000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为kg/cm2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格为什么解：由于在一次试验中ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率为，故ξ几乎必然落在上述区间内．把μ＝30，σ＝代入，得区间(μ－3σ，μ＋3σ)＝，，而?，，∴据此认为这批砖不合格．。

高三数学正态分布2

121游戏中心
[单选]《女职工劳动保护特别规定》自公布之日起施行。（）国务院发布的《女职工劳动保护规定》同时废止。A、1997年7月1日B、1988年7月1日C、1988年7月21日D、1991年7月1日 [单选,A2型题,A1/A2型题]当毛细血管血液的还原血红蛋白超过下列哪项数值时，皮肤黏膜即可出现发绀（）。A.100g/LB.80g/LC.60g/LD.50g/LE.40g/L [单选]上消化道出血是指出血的部位是（）A.食管至幽门B.十二指肠以上的消化器官C.屈氏韧带以上的消化器官D.胃以上的消化器官E.食管至空肠 [问答题,简答题]PT一次保险器的作用？ [单选]下列关于Hailey-Hailey病的描述，错误的是()A．是一种常染色体显性遗传病B．致病基因定位于3q21-q22C．预后常留有瘢痕D．一般10～30岁发病 [单选,A4型题,A3/A4型题]男，70岁.受凉后发热，伴胸痛2天，T38.5℃。近2个月来，常有干咳，少量白色泡沫痰，无咯血及痰中带血。体格检查，左下肺呼吸音减弱，心音正常。胸片：左下肺叶见直径3cm的块影，分叶状，边缘毛糙。上述病人合适的治疗方法是()A．左下肺叶切除术B．放射治疗 [单选]治疗胃溃疡肝胃不和证应首选（）A.化肝煎合左金丸加减B.贯煎合芍药甘草汤加减C.黄芪建中汤加减D.柴胡疏肝散合五磨饮子加减E.活络效灵丹合丹参饮加减 [单选]预防风心病加重的根本措施是（）.A.积极治疗心力衰竭B.积极锻炼身体C.饮食清淡，避免妊娠D.预防和治疗感染E.卧床休息 [单选]下列选项中哪项不是小肠运动的基本形式？（）A、钟摆运动B、集团蠕动C、蠕动和逆蠕动D、分节运动 [多选]氧化铝的同素异构体中常见的是（）。A、α—Al2O3B、β—Al2O3C、γ&a

2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.9正态分布

（单位：cm）分别为76，85，93，99，108，以原设备生产性能为标准，试问这台设
备是否需要进一步调试，说明你的理由.
附：若～ , 2 ，则 − 2 < < + 2 ≈ 0.954 5，
− 3 < < + 3 ≈ 0.997 3.
返回至目录
解：（1） =
2 =
1
10
1
10
× 87 + 87 + 88 + 92 + 95 + 97 + 98 + 99 + 103 + 104 = 95，
× 64 + 64 + 49 + 9 + 0 + 4 + 9 + 16 + 64 + 81 = 36，则 = 6.
（2）①因为 ∼ 95,36 ，所以
> 107 = > + 2 ≈ 0.5 −
率约为
1
2
1 − 0.682 7 = 0.158 65.所以理论上在130分以上的人数约为0.158 65 × 40 ≈
6.故选C.
返回至目录
考点三正态分布的应用
例3 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径（单位：cm）的
数据如下：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
返回至目录
（4）在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿
轴
_____平移，如图1所示.
图1
返回至目录
（5）当取定值时，正态曲线的形状由确定.当较小时，峰值高，曲线

高三总复习数学课件二项分布及其应用、正态分布

解析：根据n重伯努利试验公式得，该同学通过测试的概率为C×0.62×0.4＋ 0.63＝0.648.
答案：A
2．第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其中有 5
项成果均属于芯片领域．现有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成
果”中分别任选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有 1 名
答案：B
2．(人教A版选择性必修第三册P77·T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感
染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率
约为
()
A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45
答案：A
3．(湘教版选择性必修第二册 P130 ·例 4 改编)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比
赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜
的概率均为23，则甲以 3∶1 的比分获胜的三册P87·习题T1改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X～N(80,25)，如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．(附：若X～ N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7) 解析：P(X≥85)＝12[1－P(75≤ X< 85)]≈1－02.682 7≈0.158 7.
n重伯努利试验 ②特征：同一个伯努利试验重复做n次；各次试验的结
果_相__互__独__立___
2.二项分布 (1)二项分布的定义：一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0<p<1)，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝_C_kn_p_k_(_1_－__p_)n_－_k_，k＝ 0,1,2，…，n.如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p) ． (2)二项分布的均值与方差：如果 X～B(n，p)，那么 E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) ．

高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)：二项分布与正态分布

二项分布与正态分布【考点梳理】1．条件概率2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.4．正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )()222x μσ--　(σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【考点突破】考点一、条件概率【例1】(1)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P(B |A )＝________.(2)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110B ．15C ．25D ．12 [答案] (1) 14(2) C[解析] (1)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P ABP A ＝12π2π＝14.(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.【类题通法】1. 利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.2. 借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【对点训练】1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12 [答案] B[解析] 法一 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11025＝14.法二事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.2．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A ．35B ．59C ．110D ．25 [答案] B[解析] 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1335＝59. 考点二、相互独立事件同时发生的概率【例2】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为：(2)设Y 率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【对点训练】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.[解析] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13 ×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为【例3】空气质量指数(AirQuality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列.[解析] (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35. ∴P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，ξ的分布列为【类题通法】利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【对点训练】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X，求X的分布列.[解析] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则落在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3，p＝0.6.因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432， P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216，所以X 的分布列为【例4】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2(2)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数约为________．[答案] (1) C (2) 10[解析] (1)画出正态曲线如图，结合图象知：P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12[1－P (ξ<0)－P (ξ>4)]＝12(1－0.2－0.2)＝0.3.(2)由题意，知P (ξ>110)＝1－2Pξ2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10. 【类题通法】对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )；(2)P (X <x 0)＝1－P (X ≥x 0)；(3)P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．【对点训练】1．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P (ξ<2)＝0.8，则P (0<ξ<1)的值为________． [答案] 0.3[解析] P (0<ξ<1)＝P (ξ<2)－P (ξ<1)＝0.8－0.5＝0.3.2．某地高三理科学生有15 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80<ξ≤100)＝0.35，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 [答案] C[解析] ∵数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，P (80<ξ≤100)＝0.35，∴P (80<ξ≤120)＝2×0.35＝0.70，∴P (ξ>120)＝12×(1－0.70)＝0.15，∴应抽取的份数为100×0.15＝15.。

高考数学一轮总复习课件：正态分布

解析 ∵X～N(4，σ2)，∴P(X≥6)＝P(X≤2)＝p，∴P(x≤6) ＝1－P(X>6)＝1－p.故选D.
5．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，曲线图象如下，可得下列说法中正确的是( A )
A．甲学科总体的方差最小 B．丙学科总体的均值最小 C．乙学科总体的方差最小 D．甲、乙、丙学科总体的均值不相同
【解析】因为ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，所以曲线
的对称轴是直线x＝1，又ξ在(0，2)内取值的概率为0.6，根据正
态曲线的性质，则在(2，＋∞)内取值的概率为P(ξ>2)＝
1－0.6 2
＝
0.2.故选D.
【讲评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的
意义，主要考查正态曲线的对称性；一般地，X是服从正态分
A．0.997 4
B．0.963 8
C．0.881 9
D．0.993 6
【解析】由于σ＝9，μ＝47，那么P(|X－47|<27)＝P(|X－ μ|<3σ)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997 4.
(3)(2021·深圳一模)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝
1 2πσi
e－
（x－μi）2 2σi2
【解析】本题考查正态分布．因为数学成绩x服从正态分
布N(100，17.52)，则P(100－17.5<x<100＋17.5)＝
P(82.5<x<117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩不超过
82.5分的概率为P(x≤82.5)＝
1－P（82.5<x<117.5） 2
≈
1－0.68 2

2.4正态分布2

我们从上图看到，正态总体在m 2 , m 以外取值的概率只有4.6％，在m 3 , m 3 以外
取值的概率只有0.3 ％。际( m运用3由当通中于, am常就这称只33些考这)时概之虑些正率内这情态值,个况其总区很他发体间小区生的,（称间为取一为取值小值般3几概几不乎原率乎超总则事不过取.件可值5能。％于.区在）实间，
二、正态曲线的特点
(x)
1
e
(
xm ) 2 2
2
,
x
R
( 0)
2
1、曲线位于x轴 _上___方，与x轴 _不__相__交__.
2、曲线是单峰的，它关于直线 _x___m_ 对称.
3、曲线在
_x___m__
处达到最大值
1
____2____.
4、曲线与x轴之间的面积为 __1_____.
正态总体的密度函数表达式
【解】因为 ξ～N(90，100)，所以 μ＝90，σ＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是 0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10 ＝110，于是考试成绩 ξ 位于区间(70，110)内的概率为 0.954 5. (2)由 μ＝90，σ＝10，得 μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是 0.682 7，所以考试成绩 ξ 位于区间(80，100)内的概率就是 0.682 7.一共有 2 000 名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有 2 000×0.682 7 ≈1 365(人)．
经试验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分

高中数学选修2-3：第八讲正态分布含解析精品

第八讲正态分布【教材扫描】1．正态曲线我们把函数,()x μσϕ=22()2x μσ--，(,)x ∈-∞+∞（其中μ是样本均值，σ是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态分布随机变量X 落在区间(,]a b 的概率为()P a X b <≤=,()d ba x x μσϕ⎰，即由正态曲线，过点(,0)a 和点(,0)b 的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X 落在区间(,]a b 的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a ，()b a b <，随机变量X 满足,()()d ba x P a Xb x μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作2(,)N μσ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为2(,)X N μσ～．其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的性质（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3）曲线在x μ=；（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布的3σ原则若2(,)X N μσ～，则对于任意的实数0a >，,()d ()a a P a X a x x μμμσϕμμ+--<≤+=⎰为下图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X 落在区间(,]a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．特别地，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(3P X μσ-<3)μσ≤+0.9974=．由(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=，知正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则．【知识运用】题型一：利用正态曲线的对称性求概率【例1】已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，()40.76P X <=，则(0)P X ≤=A ．0.24B ．0.48C ．0.52D ．0.76【解析】由2(2,)X N σ～，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线2x =，则(0)P X ≤=(4)P X ≥=1410().760.24P X =-<=-=．故选A【变式】1.若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，已知( 1.9)0.028P ξ<-=，则||( 1.9)P ξ<=A ．0.028B ．0.056C ．0.944D ．0.972【解析】由随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，可得( 1.9)1( 1.9)P P ξξ<=-≤-，所以||( 1.9)P ξ<=?( 1.9 1.9)( 1.9)( 1.9)12( 1.9)120.0280.944P P P P ξξξξ-<<=<-≤-=-≤-=-⨯=．故选C2．已知随机变量X ～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0．32，则P(a≤X<4－a)＝________．解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0．36．答案：0．363．设随机变量X ～N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)．(1)求c 的值；(2)求P(－4<X≤8)．解：(1)由X ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)．∵P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2，∴c ＝2．(2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4．题型二：由特殊区间求概率【例2】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X （单位：kg ）服从正态分布(,4)N μ，且正态分布密度曲线如下图所示．若体重大于58 kg 小于等于62kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为A ．997B ．954C ．819D ．683【解析】由题意，可知60μ=，2σ=，故(5862)()0.6826P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，从而属于正常情况的人数是1 0000.6826683⨯≈．故选D【变式】某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为1000μ=g ，21σ=，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为1007g 时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布2(,)N μσ，根据3σ原则可知，产品质量在3μσ-=10003997g -=和3100031003g μσ+=+=之间的概率为0.9974，而质量超出这个范围的概率只有0.0026，这是一个几乎不可能出现的事件．但是检验员随机抽取的产品为1007g ，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的题型三：正态分布实际运用[例3] 在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N(90,100)．(1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[解] ∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10．(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0．954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0．954 4．(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100．由于变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0．682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0．682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0．682 6≈1 365(人)．【变式】1．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10．∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0．954 4．答案：0．954 42．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0．052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3．7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0．052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0．052)在(4－3×0．05,4＋3×0．05)之外的取值的概率只有0．003，3．7∉(3．85,4,15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．【强化练习】1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件解析：选D ∵P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0．997 4．∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0．997 4＝0．002 6．∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2．3．设随机变量X ～N(1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( ) A ．4 B ．2 C ．12D ．1 解析：选D 因为X ～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D(X)＝1． 4．若随机变量X 的密度函数为f(x)＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2．5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] 解析：选C 由于X ～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0．682 6,0．954 4,0．997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0．682 6≈41人，60×0．954 4≈57人，60×0．997 4≈60人．6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-=A ．0.4B ．0.2C ．0.1D ．0.6 【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若( 1.1)0.023P ξ>=，则( 1.1 1.1)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.023C ．0.977D ．0.046【解析】因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，则0μ=，则正态分布密度曲线关于直线0x =对称；由( 1.1)0.023P ξ>=及正态曲线的性质有( 1.1)0.023P ξ<-=，所以( 1.1 1.1)1P ξ-≤≤=-( 1.1)( 1.1)10.0230.0230.954p P ξξ>-<-=--=．故选A ．8．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=A ．12a -B ．2aC ．1a -D ．12a + 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以A ． 9．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝________．解析：由题意知曲线关于x ＝2对称，因此P(X<2)＝12．答案：129．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=______________．【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=- 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=______________．【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=．11()f x(,)μ-∞+∞∈，0σ>，则可以作为正态分布密度函数的为______________．（填函数对应的序号）(,)μ-∞+∞∈，所以(,)μ-∞-+∞∈，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若1σ=0μ=时的正态分布密度函数；对于12．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，其正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，且7288()0.6826P X <≤=．（1）求参数μ，σ的值；（2）求7(64)2P X <≤的值．【解析】（1）因为正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，所以正态曲线关于直线80x =对称，所以80μ=．又7288()0.6826P X <≤=，结合()0.6826P X μσμσ-<≤+=可知8σ=．（2）因为(2P μσ-<2)0.9544X μσ≤+=，且()(6496)P X P X <=>，()640.9772P X >=．又1()(()1721728810.68260.15872)()2P X P X ≤=-<≤=⨯-=，所以()()()647264720.9772(10.15870.13)59P X P X P X <≤=>->=--=．13、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．附：12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（2）①由（1）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.2P Z =-<< 20012.2)0.6826+=．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ～，所以()1000.682668.26E X =⨯=．。

高三数学一轮复习：1228二项分布与正态分布

二项分布与正态分布
1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|A) 来表示，其公式为 P(B|A)＝PPAAB(P(A)＞0)．注：P(B|A)不同于 P(A|B)，是在 A 发生的条件下 B 发生的概率在古典概型中，若用 n(A)和 n(AB)分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件的个数，则 P(B|A)＝nnAAB． (2)条件概率具有的性质 ①0≤P(B|A)≤1． ②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件 (1)对于事件 A，B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A，B 是相互独立事件． (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)．
取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16．”(1)求抽奖者获奖的概率； (2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有 9 张卡片的盒中随机抽出 1 张不放回，再用剩下 8 张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X 表示获奖的人数，求 X 的概率分布和均值．
例 5 (2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． (1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的概率分布和均值； (2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
)
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

Байду номын сангаас
lol电竞彩票网
[问答题,简答题]回族、基督教、佛教患者的特殊饮食习惯是什么？ [单选]下列哪一项不是胎儿十二指肠闭锁的超声表现A.双泡征B.双泡征中大的无回声区是胃泡C.双泡征中小的无回声区是十二指肠D.羊水过多E.结肠扩张 [单选]下列何证不属气分发热？（）A.壮热B.身热不扬C.身热夜甚D.日晡潮热 [单选]下列哪一项是胎儿循环的遗迹A.镰状韧带B.肝十二指肠韧带C.肝静脉韧带D.冠状韧带E.以上都不是 [单选,A2型题,A1/A2型题]玻璃器皿干热消毒要求（）。A.160～170℃2小时B.160～170℃1小时C.100℃2小时D.150℃2小时E.140℃2小时 [单选]投标文件的参考格式最主要的是()。A.投标书B.邀请书C.招标书D.工程量清单 [单选]关于印刷要素的说法，错误的是（）。A.印刷要素包括原稿、印版、承印物、印刷油墨和印刷机械B.以非纸张材料作为承印物的印刷称为"特种印刷"C.按版面结构特征不同，印版分为凸版、凹版和平版三种D.原稿可分为文字原稿、线条原稿和图像原稿三大类 [单选]某餐饮公司2012年6月取得餐饮收入154万元，包间服务费20万元，茶水收入25万元;直接成本支出120万元。已知服务业适用的营业税税率为5%，该公司当月应缴纳营业税税额的下列计算中，正确的是()。A.154×5%=7.7万元B.(154+20)×5%=8.7万元C.(154+20+25)×5%=9.9 [单选]人居环境可划分为以下哪几大系统（）。A.自然系统、人类系统、社会系统、居住系统B.人类系统、居住系统、自然系统、社会系统、支撑系统C.自然系统、人类系统、社会系统、支撑系统D.自然系统、人类系统、支撑系统、居住系统E.社会系统、自然系统、人类系统、居住系统、公共系 [单选,B1型题]高肾素性高血压的治疗首选（）A.硝普钠B.呋塞米C.洛汀新（贝那普利）D.硝苯地平E.利血平 [单选]保留完整水疱皮的作用除外（）A.防止创面干燥加深B.减轻疼痛C.减少水分蒸发D.减少污染、感染E.充分引流 [单选]如果你经常外出带着家门的钥匙，下面的哪种做法可能会有危险（）A.把钥匙挂在脖子上B.把钥匙放在衣兜里C.把钥匙放在随身的包里 [填空题]绿色蔬菜加工时为保持蔬菜绿色人们常用（）、（）、（）、（）等进行护色。 [单选]经济结构和居民成分复杂，有较健全的初级社会服务系统，开始摆脱传统的以家庭为单位的服务方式，逐步建立社会化服务系统。具有以上特征的属于哪种社区类型（）A.城市社区B.农村社区C.集镇社区D.海滨社区E.乡镇社区 [多选]一般网络地址由哪几部分组成（）A.逻辑地址B.链路地址C.网络地址D.主机地址 [单选]用于公路路基的填料，确定其最小强度是按()。A．弯拉应力值B．弯沉值C．E0值D．CBR值 [单选]t分布曲线是（）A.正态分布曲线B.标准正态分布曲线C.当自由度越大，t分布曲线的尾部越高D.t分布是一条以均数为中心左右对称的曲线E.t分布是一簇曲线，随自由度的改变而不同 [名词解释]收货人 [填空题]氨是一种（）气体，有强烈的（）气味，沸点为（），自燃点（），与空气混合物爆炸极限（）。 [判断题]离心泵的叶轮由铸钢制成，可分为全开式、半开式和封闭式三种。A.正确B.错误 [单选]港口与航道工程施工期项目经理的技术管理工作中不妥的是（）。A.组织项目及时熟悉、审查图纸B.组织进行项目全面一次性的技术交底C.主持生产技术碰头会D.贯彻、检查各级的技术责任制，明确各级组织和人员的分工 [判断题]境外个人在境内取得的经常项目合法人民币收入，凭本人有机效身份证件和有交易额的相关证明材料办理购汇。A.正确B.错误 [单选]应当在海上打桩活动开始之日的（）天前向所涉及海区的主管机关递交发布海上航行警告、航行通告的书面申请。A.3B.7C.15D.30 [单选]石油中的铁、镍、铜、钒、砷等微量元素通常只占石油总含量的（）%左右。A、1B、3C、5D、7 [判断题]推动长三角水稻农业发展的动力是人口压力.A.正确B.错误 [单选]温经理所领导的团队根据组织目标确定了相应的发展目标——“到7月底，提高对问题的诊断能力”。这属于发展循环周期中的（）阶段。A．明确发展要求B．同意发展目标C．选择发展方法D．评估其有效性 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于疼痛康复治疗叙述不正确的是（）A.药物治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法B.物理治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法C.神经病理性疼痛是急性疼痛中治疗较差的疼痛D.神经病理性疼痛需要合并使用抗痉厥药和三环类抗抑郁药E.镇痛药是主要作用于中枢神经 [单选,A2型题,A1/A2型题]休克时最能反映组织和细胞是否缺氧、缺氧程度、休克是否好转与恶化的主要实验室检查是（）。A.动脉血pH值B.动脉血乳酸水平C.血清钾离子浓度D.血清乳酸脱氢酶含量E.动脉血二氧化碳结合力 [单选]变压器进行短路试验的目的是（）。A.求变压器短路电流B.求变压器绕组电阻值C.求变压器的短路阻抗和绕阻损耗 [单选,A2型题,A1/A2型题]Hayem液中NaCl的主要作用是（）A.调节细胞渗透压B.防腐作用C.防止细胞黏附D.固定细胞形态E.提高稀释液比密 [单选,A1型题]以下哪个选项是四逆汤主治证的病位（）A.心、肾B.肝、脾C.心、肝D.脾、肾E.脾、肺 [单选]经第三十一届国际合作社联盟代表大会确立，并经1997年9月第三十二届代表大会批准的合作社原则，包括（）原则。A.自治和独立B.自治和兼容C.民主开放D.自愿与社员资格控制 [单选]利用8155芯片作为8031单片机的I／O口扩展，它可为系统提供（）位I／O线。A、14；B、12；C、16；D、22。 [单选,A1型题]健康喂养的3个月婴儿，体重5kg。用牛奶喂养，每天应给予（）A.8％糖牛奶（ml）5.50另给水分（ml）200B.8％糖牛奶（ml）450另给水分（ml）200C.8％糖牛奶（ml）600另给水分（ml）100D.8％糖牛奶（ml）500另给水分（ml）300E.8％糖牛奶（ml）650另给水分（ml）200 [单选]酶联免疫吸附实验(ELISA)是()A．中和试验B．补体结合试验C．直接凝集试验D．反向凝集试验E．既可查抗原又可查抗体 [单选]为了达到管理优化的目的，提高管理效益，必须对管理进行充分的系统分析，这就是管理的（）。A.系统原理B.人本原理C.整分合原理D.弹性原理E.排队论原理 [单选]关于抑郁发作的临床表现，下列说法正确的是（）。A.心情不好即抑郁发作B.症状持续至少2周C.不会出现幻觉D.多数伴有自罪妄想E.自杀是重度抑郁发作的标准之一 [配伍题,B1型题]一个昏迷病人被送到医院，医生对他进行处理，这种医患关系属于（）。</br>医生劝病人“你应该参加一些晨间锻炼”，这种医患关系属于（）。A.主动-被动型B.指导-合作型C.共同参与型D.强制-被动型E.指导-参与型 [问答题]什么是公共卫生监测？ [单选]《公路安全保护条例》自2011年7月1日起施行。1987年10月13日国务院发布的（）同时废止。A、《中华人民共和国公路管理条例》B、《超限运输车辆行驶公路管理办法》C、《中华人民共和国公路法》

高三数学正态分布2

最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》知识讲解

高三数学知识点：正态分布

高中高三数学《正态分布》教案、教学设计

高中数学必修三正态分布知识点

正态分布-高考数学复习课件

正态分布

高三数学正态分布知识点

高三数学正态分布2

2025高三重要必考点正态分布

高三数学一轮复习正态分布

高中数学必修2-3第二章2.4正态分布

高三数学正态分布2

2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.9正态分布

高三总复习数学课件 二项分布及其应用、正态分布

高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)：二项分布与正态分布

高考数学一轮总复习课件：正态分布

2.4正态分布2

高中数学选修2-3：第八讲 正态分布 含解析 精品

高三数学一轮复习：1228二项分布与正态分布

高三总复习数学课件二项分布及其应用、正态分布

高中数学选修2-3：第八讲正态分布含解析精品