2020湖南省中考数学专题复习 新定义阅读理解题含答案
中考数学专题复习新定义阅读理解题(一)
（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是，最小的“本位数”是．
（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？
4．阅读下列材料解决问题：
材料一：完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数．例如， 是一个完全平方数．
材料二：对一个四位数，我们可以记为 ，即 ，若一个四位数的千位数字与百位数字相同，十位与个位数字相同，记为 ，我们称之为和谐四位数．
4．（1）3；（2）证明见解析；（3）7744
【解析】
【分析】
（1）对12进行分解，即可得到n为3时，12n成为完全平方数的最小正整数；
（2）将 用整式表示出来，再对整式进行因式分解即可；
（3）由题意易知100x+y要被11整除，且 ，可得x+y=11，再对x、y逐一进行检验即可．
【详解】
解：（1）∵n是使12n成为完全平方数的最小正整数，
2．（1）0；25,（2）证明见详解;（3）满足条件s的最大值 ．
【解析】
【分析】
（1）根据定义即可求出；
（2）对任意一个四位数n= ，m= 根据定义求 ,由 均为整数， 也为整数,可得对任意一个四位数n， 均为整数；
（3）由定义可得 = ,由 是一个完全平方数,满足条件s的最大值只要 最大即可,可求 最大=9,可得9b-11为平方数，9b-11=25，解方程即可．
12=2×2×3，
∴n=3．
（2）∵ ，
∴任意一个和谐四位数都是 的倍数．
（3）∵四位数 是一个完全平方数， 是一个完全平方数，
能被 整除，
．
能被 整除，而 ，
只有 ，经检验 ，
故这个四位数为 ．
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题(含答案)
中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大． 其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)， 例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形． 选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ， 又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°， 在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ， 由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ， 令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3， 令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。
新定义与阅读理解创新型问题(共31题)(学生版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
新定义与阅读理解创新型问题(31题)一、单选题1(2023·湖北武汉·统考中考真题)皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L-1，其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A0,30，B20,10,O0,0，则△ABO内部的格点个数是()A.266B.270C.271D.2852(2023·湖南张家界·统考中考真题)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于()A.πB.3πC.2πD.2π-33(2023·重庆·统考中考真题)在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n，x-y-z-m-n=x-y-z-m+n，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.34(2023·湖南岳阳·统考中考真题)若一个点的坐标满足k,2k，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y=t+1x2+t+2x+s(s,t为常数，t≠-1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是()A.s<-1B.s<0C.0<s<1D.-1<s<05(2023·山东·统考中考真题)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, 3),B(-2,-6),C(0,0)等都是三倍点”，在-3<x<1的范围内，若二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是()A.-14≤c<1 B.-4≤c<-3 C.-14<c<5 D.-4≤c<56(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23二、填空题7(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A 处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A 处(舀水)转动到B 处(倒水)所经过的路程是米．(结果保留π)8(2023·湖北随州·统考中考真题)某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，⋯⋯，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，⋯⋯丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．9(2023·湖南常德·统考中考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在AB上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB长l 的近似值s 计算公式：s =AB +CD 2OA，当OA =2，∠AOB =90°时，l -s =．(结果保留一位小数)10(2023·北京·统考中考真题)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．11(2023·重庆·统考中考真题)对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵7-1=6，3-1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8-1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记P M =3a +b +c +d ，Q M =a -5，若P MQ M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为．12(2023·四川乐山·统考中考真题)定义：若x ，y 满足x 2=4y +t ,y 2=4x +t 且x ≠y (t 为常数)，则称点M (x ,y )为“和谐点”．(1)若P (3,m )是“和谐点”，则m =．(2)若双曲线y =kx(-3<x <-1)存在“和谐点”，则k 的取值范围为．13(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y =(x -2)20≤x ≤3 的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数y =14x 2+bx +c 0≤x ≤3 图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =．14(2023·重庆·统考中考真题)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab -bc =cd ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41-12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53-32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a 312，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题15(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两个实数根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．材料2：已知一元二次方程x 2-x -1=0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n +mn 2的值．16(2023·江苏徐州·统考中考真题)两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边(阴影部分)，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题(保留作图痕迹，不写作法)．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．17(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．18(2023·山西·统考中考真题)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F, G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654-1722是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC ，分别交EH ,FG 于点P ,Q ，过点D 作DM ⊥AC 于点M ，交HG 于点N ．∵H ,G 分别为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ．(依据1)∴DN NM =DG GC．∵DG =GC ，∴DN =NM =12DM ．∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形，∴HE ∥GF ，即HP ∥GQ ．∵HG ∥AC ，即HG ∥PQ ，∴四边形HPQG 是平行四边形．(依据2)∴S ▱HPQG =HG ⋅MN =12HG ⋅DM ．∵S △ADC =12AC ⋅DM =HG ⋅DM ，∴S ▱HPQG =12S △ADC ．同理，⋯任务：(1)填空：材料中的依据1是指：．依据2是指：．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形EFGH 为矩形；(要求同时画出四边形ABCD 的对角线)(3)在图1中，分别连接AC ,BD 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与对角线AC ,BD 长度的关系，并证明你的结论．19(2023·河北·统考中考真题)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式：从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式．例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点M(4,2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,3)．(1)设直线l1经过上例中的点M,N，求l1的解析式；并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x,y)．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x,y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；(3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C，横坐标依次为a,b,c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．20(2023·湖南张家界·统考中考真题)阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2-S1=(a+b)2-a2=(a+b)+a⋅(a+b)-a=(2a+b)⋅b=b+2a b例如：当a=1，b=3时，S2-S1=3+23根据以上材料解答下列问题：(1)当a=1，b=3时，S3-S2=，S4-S3=；(2)当a=1，b=3时，把边长为a+n b的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出S n+1-S n等于多少吗？并证明你的猜想；(3)当a=1，b=3时，令t1=S2-S1，t2=S3-S2，t3=S4-S3，⋯，t n=S n+1-S n，且T=t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值．21(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD 和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．22(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是A -1,2 ，B -1,-1 ，C 3,-1 ，D 3,2 ，在点M 11,1 ，M 22,2 ，M 33,3 中，是矩形ABCD “梦之点”的是；(2)点G 2,2 是反比例函数y 1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H 的坐标是，直线GH 的解析式是y 2=．当y 1>y 2时，x 的取值范围是．(3)如图②，已知点A ，B 是抛物线y =-12x 2+x +92上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点，连接AC ，AB ，BC ，判断△ABC 的形状，并说明理由．23(2023·北京·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，点A -1,0 ，B 1-22,22，B 222,-22 ①在点C 1-1,1 ，C 2(-2,0)，C 30,2 中，弦AB 1的“关联点”是．②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；(2)已知点M 0,3 ，N 655,0 ．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=1 2，则tanβ=13．证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，易证△AEB≌△EFC AAS∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=DFAD =k3k=13，若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；(3)求直线AE的解析式．“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min 观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm(观察值)302928.12725.8任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2 利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3 (1)计算任务2得到的函数解析式的w值．(2)请确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．26(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A =∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B)．当∠ABE=∠A 时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM 与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．27(2023·吉林长春·统考中考真题)【感知】如图①，点A 、B 、P 均在⊙O 上，∠AOB =90°，则锐角∠APB 的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在AC上(点P 不与点A 、C 重合)，连结PA 、PB 、PC ．求证：PB =PA +PC ．小明发现，延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，通过证明△PBC ≌△EBA ，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是⊙O 的内接四边形，∴∠BAP +∠BCP =180°．∵∠BAP +∠BAE =180°，∴∠BCP =∠BAE ．∵△ABC 是等边三角形．∴BA =BC ，∴△PBC ≌△EBA (SAS )请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在⊙O 上，且点P 与点B 在AC的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =22PA ，则PBPC的值为．28(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC的一条三等分线．29(2023·河南·统考中考真题)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为个单位长度．(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD=m，求P，P3两点间的距离．(3)拓展应用：在(2)的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．30(2023·甘肃兰州·统考中考真题)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点A 1,2 ，B 3,2 ，P 2,2 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．(1)如图2，已知点A 1,0 ，B 3,0 ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过G -1,0 ，T 0,33两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；(2)如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC ⊥y 轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，OC =5，点P 是△ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；(3)如图4，以A 1,0 ，B 2,0 ，C 2,1 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y =-x +b 的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．31(2023·云南·统考中考真题)数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性、形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=(4a+2)x2+(9 -6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T．(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．。
2020年九年级数学中考复习专题新定义导学案含答案解析
2020年中考总复习专题新定义一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝．7．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．专题新定义参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（﹣a，）在直线y2＝kx+1+k上，则＝﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1＝0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）＝0，∴a﹣1＝0或ka﹣1＝0，则a＝1或ka﹣1＝0，若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a＝1或a＝，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是﹣3．【解答】解：∵a*b＝a×（a﹣b）3，∴3*4＝3×（3﹣4）3＝3×（﹣1）3＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为2．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x＝3．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣2，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2＝0，解得：m＝2，则关于x的方程变为+＝1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入最简公分母2（x﹣1）＝4≠0，故x＝3是原分式方程的解，故答案为：x＝3．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝1或﹣2．【解答】解：当（x+1）2＜x2，即x＜﹣时，方程为（x+1）2＝1，开方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，解得：x＝0（舍去）或x＝﹣2；当（x+1）2＞x2，即x＞﹣时，方程为x2＝1，开方得：x＝1或x＝﹣1（舍去），综上，x＝1或﹣2，故答案为：1或﹣27．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，故答案为﹣7.5．三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m＝99（100﹣10y﹣x），∵m是四位数，∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【解答】解：∵y＝x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，∴﹣4＝0+p．∴p＝﹣4，∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，∴，∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，∴，解得，n＝﹣3，∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，∴﹣4＝﹣m﹣3，∴m＝1．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴P A＝PD，PC＝PB，∴∠P AD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠P AD，∠APC＝2∠PBC，即∠P AD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′＝BC＝3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝＝，∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【解答】解：（1）∵f（x）＝+2x（x＜0），∴f（﹣3）＝+2×（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝+2×（﹣4）＝﹣故答案为：﹣，﹣；（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝+2x1﹣﹣2x2＝（x1﹣x2）（2﹣）∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝1；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L 过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”都能（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：设A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ab．根据“互换点”的意义，可知A（a，b）的“互换点”是（b，a）．∵ba＝ab＝k，∴（b，a）也在反比例函数y＝的图象上．故答案为：都能；（2）∵M、N是一对“互换点”，点M的坐标为（2，﹣5），∴N（﹣5，2）．设直线MN的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线MN的表达式为y＝﹣x﹣3；（3）∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，∴设A（k，﹣），∵A，B是一对“互换点”，∴B（﹣，k），设直线AB的解析式为y＝mx+n，∵直线AB经过点P（，），∴，解得，∴A（2，﹣1），B（﹣1，2），或A（﹣1，2），B（2，﹣1）．将A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为6．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围0＜r＜3﹣或r＞．【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（0，6）、B（4，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．当x＝2时，y＝﹣x+6＝3，∴点C的坐标为（2，3），∴点B，C的“X矩形”的面积＝（4﹣2）×（3﹣0）＝6．故答案为：6．（2）①∵点M，N的“X矩形”是正方形，∴∠ABO＝45°，∴点B的坐标为（6，0），直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．∵点M到y轴的距离为3，∴点M的坐标为（3，3）．∵点M，N的“X矩形”的面积为4，∴点N的横坐标为3﹣2＝1或3+2＝5，∴点N的坐标为（1，5）或（5，1）．∴经过点N的反比例函数的表达式为y＝．②如图1，取AB的中点E，当点E为MN的中点时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最小值，此时r＝OE﹣MN＝3﹣，∴0＜r＜3﹣；如图2，当点N与点B重合（或点M与点A重合）时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最大值，∵MN＝3，∴BF＝MN＝．在Rt△OBF中，OB＝6，BF＝，∴OF＝＝，∴r＞．故答案为：0＜r＜3﹣或r＞．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．第21页（共21页）。
中考数学复习--新定义与阅读理解综合练习
(1)填空： i 3＝ ________， i4＝ ________；
(2)计算： (1＋i ) × (－3 4i)； (3)计算： i ＋ i2＋ i 3＋ …＋ i 2017.
15. 定义一种对正整数 n 的运算 “F ”：
(1)当 n 为奇数时，结果 为 3n＋ 5;
n
n
(2)当 n 为偶数时，结果为
一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲
150 米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继
续以原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程
y( 米 )与甲出
发的时间 x( 秒) 的函数图象．
(1)在跑步的全过程中，甲共跑了 ____米，甲的速度为 ____米 /秒；
(2)乙在途中等候甲用了多少时间？
12.对于函数 y＝ xn＋ xm，我们定义 y′＝ nxn－ 1＋ mxm－ 1 (m、n 为常数 )．例如 y＝ x4＋ x2，则 y′ ＝4x3＋ 2x.
已知：函数 y＝1x3＋(m－ 1)x2＋ m2x(m 为常数 )． 3
(1)若方程 y′＝ 0 有两个相等实数根，求 m 的值； 1
(2)若方程 y′＝ m－ 有两个正数根，求 m 的取值范 围． 4
(其中 k 是使 为奇数的正整数2k2k行．例如n＝ 26
时，则
F（2） 26第―一―次→ 13
F（1） F（2） 第―二―次→ 44第―三―次→
11―→…
) ，并且运算可以重复进
那么，当 n＝ 1796 时，第 2020 次“F”运算的结果是多少？
16．甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑
x ()
1
0 ，化简得 x 2
中考数学复习考点知识与题型归类解析45---新定义型、阅读理解型问题
中考数学复习考点知识与题型归类解析45---新定义型、阅读理解型问题一、选择题10．（2020·遵义）构建几何图形解决代数问题“数形结合“思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15° ＝AC CD2类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．＋1 B ．－ 1 C ．D ． 127．（2020·河南）定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根9．（2020·枣庄）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ） A ．x ＝4 B ．x ＝5 C ．x ＝6 D ．x ＝78.（2020·淮安）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是A.205B.250C.502D.5209．（2020·随州）将关于x 的一元二次方程0=q +px -x 2变形为q -px x 2=，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如=-=⋅=)(23q px x x x x …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：0=1-x -x 2，且x ＞0，则3x +2x -x 34的值为（ ） A.51- B.53- C.51+ D.53+ 12.(2020·潍坊)若定义一种新运算：(2)6(2)a b a b a bab ab 例如：31312⊗=-=；545463⊗=+-=．则函数(2)(1)y x x =+⊗-的图象大致是（ ）A. B. C. D.7．（2020·恩施）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（ ）． A. 1- B. 1C. 0D. 2二、填空题12．（2020·衢州）定义(1)a b a b =+※，例如232(31)248=⨯+=⨯=※，则(1)x x -※的结果为 ．18．（2020·枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a ＋21b －1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝________．16．（2020·乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么：（1）当－1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是________；（2）当－1≤x ＜2时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方，则实数a 的范围是________．11．(2020·青海)对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下： a ⊕b，如：3⊕212⊕4＝______．17．（2020·宜宾）定义：分数nm （m ，n 为正整数且互为质数）的连分数123111a a a +++（其中a 1，a 2，a 3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作nm△11a +21a +31a +…， 例如：719＝1197＝1527+＝11275+＝112215++＝1121152++＝11211122+++，719的连分数为11211122+++，记作719△12+11+12+12，则 △11+12+13．三、解答题24.(2020·宁波)(本题14分)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝a ，请用含a 的代数式表示∠E .（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ＝BD ，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积.22．（2020·黔西南州）规定:在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题:（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A．矩形 B．正五边形C．菱形 D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有:________（填序号）；（3）下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（）个；A．0 B．1 C．2 D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．22．（2020·重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”，因为4,2,6都不为0，且4+2=6，6能被6整除; 643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除． （1）判断312，675是否是“好数”?并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．28．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB =1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A ´B ´（A´，B´分别为点A ，B 的对应点），线段AA ´长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12P P 和34P P ，则这两条弦的位置关系是 ；xyP 2P 1P 3P 41BOA在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y +上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．27．（2020·常州）(10分)如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间)．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ ·PH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为(0，4)，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点________(填“A ”“B ”“C ”或“D ”)，⊙O 关于直线m 的“特征数”为________；②若直线n 的函数表达式为y ＝3x ＋4，求⊙O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy ，直线l 经过点M (1，4)，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点N (－1，0)是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．（2020·山西）20．阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．任务:(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是 ; （2） 根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS ＝90°;（3）①尺规作图:请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（ 在木板上保留作图痕迹，不写作法）;②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） ．x 年x 月x 日 星期日 没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢?办法一:如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出CD ＝ 30cm ，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则∠DCE 必为90°．办法二:如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS ＝MN ，得到点S ，作直线SC ，则∠RCS ＝90°．我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也第20题图①50cm40cm 30cmEABDC第20题图②N MQ SABRC{解析} （{答案}18．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值.【问题】解方程：2224250x x xx 【提示】可以用“换元法”解方程. 解：设t （t ≥0），则有222x x t ， 原方程可化为：2450t t 【续解】229t21．（2020·怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，过点D 作BD 垂线交第20题图③第20题图④BC 的延长线于点E ，且∠DBC ＝45°，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，∠BCD ＝60°．求⊙O 的半径．20. （2020·张家界）阅读下面材料：对于实数,a b ，我们定义符号min{,}a b 的意义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b 时，min{,}a b b =，如：min{4,2}2,min{5,5}5-=-=．根据上面的材料回答下列问题： （1）min{1,3}-=______； （2）当2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时，求x 的取值范围． （1）﹣1 ；（2）x≥13424．（2020·长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H 函数”的打“×”①x y 2＝（ ） ②()0≠m xmy ＝（ ） ③13－＝x y （ ） （2）若点A （1，m ）与点B （n ，－4）关于x 的“H 函数”()02≠a c bx ax y ＋＋＝的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ,b ,c 的值或取值范围；的（3）若关于x 的“H 函数”c bx ax y 322＋＋＝（a ,b ,c 是常数）同时满足下列两个条件：①0＝＋＋c b a ,②()()0322＜＋＋－＋a b c a b c ,求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．25. (2020·湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA 、OBC ABCS S 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ．①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若1CMES=，求正方形ABCD 的面积．26．（2020·内江）我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：x m n =⨯（m ，n 是正整数，且m n ≤），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n ⨯是x 的最佳分解．并规定：()mf x n=． 例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以()311862f ==． （1）填空：()6________f =；()9_________f =；（2）一个两位正整数t （10t a b =+，19a b ≤≤≤，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求()f t 的最大值；（3）填空：①()22357_____________f ⨯⨯⨯=；②()32357_____________f ⨯⨯⨯=；③()42357_____________f ⨯⨯⨯=；④()52357_____________f ⨯⨯⨯=．20．（2020·通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※n ＝m 2n ﹣mn ﹣3n ， 如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2（2）若3※m ≥﹣6，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．22．（7分）（2020•呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x ﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y ，将原方程转化为：y 2﹣y ＝0这个熟悉的关于y 的一元二次方程，解出y ，再求x ，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x ，y 满足，求x 2+y 2的值．21．（9分）（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y ＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．。
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解阅读理解问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题．既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力．这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律．该类问题一般是提供一定的材料或介绍一个概念或给出一种解法等，让考生在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题．基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”．类型一新概念学习型新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用．例1 (2017·枣庄) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p ×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【自主解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．变式训练1．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 ______________2．(2016·荆州) 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．类型二新公式应用型新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题．解决这类问题，一是要所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；二是要创造条件，准确、规范、灵活地解答．例2（2017•日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．例如：求点P解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．∴点P根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；1问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S的最大值和最小值．△ABP【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d=【自主解答】解：（1）点P1=4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b=0的距离d=1，∴=1， 解得b=或．（3）点C （2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3， ∴⊙C 上点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S △ABP 的最大值=×2×4=4，S △ABP 的最小值=×2×2=2．变式训练3．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D 中每一个点都是等可能的，用A 表示“实验结果落在D 中的某个小区域M 中”这个事件，那么事件A 发生的概率P(A)＝ .如图，现在等边△ABC 内射入一个点，则该点落在△ABC 内切圆中的概率是____ ．4．(2016·随州)如图1，PT 与⊙O 1相切于点T ，PB 与⊙O 1相交于A ，B 两点，可证明△PTA ∽△PBT ，从而有PT 2＝PA ·PB ．请应用以上结论解决下列问题：如图2，PAB ，PCD 分别与⊙O 2相交于A ，B ，C ，D 四点，已知PA ＝2，PB ＝7，PC＝3，则CD ＝______.类型三 新方法应用型新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题．例3 (2017·毕节)D M 93 35）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【自主解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．变式训练5、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．设另一个因式为（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=-4m=3n 解得：n=-7，m=-21∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．问题：（1）若二次三项式x2-5x+6可分解为（x-2）（x+a），则a=______；（2）若二次三项式2x2+bx-5可分解为（2x-1）（x+5），则b=______；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是（2x-3），求另一个因式以及k的值．解：（1）∵（x-2）（x+a）=x2+（a-2）x-2a=x2-5x+6，∴a-2=-5，解得：a=-3；（2）∵（2x-1）（x+5）=2x2+9x-5=2x2+bx-5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，则2n-3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k 的值为12．故答案为：（1）-3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）． 6、（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++． 令111234t ++=，则 原式=11(1)()(1)55t t t t -+--- =22114555t t t t t +---+ =15 问题：（1）计算1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014-----⨯+++++--------⨯++++。
中考数学专题51新定义及阅读理解型问题含解析.doc
2019-2020 年中考数学专题51新定义和阅读理解型问题（含解析）新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。
因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。
本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。
1.阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：ab＞0 ；b定义运算“※”为： a※ b 求1※ 2 的值 .ab＜0 .b1小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1， b=-2 ，又 b＜ 0，所以 1※（ -2 ）= 2 ．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（ 1）计算： 2※ 3= ；5（ 2）若 5※ m=6，则 m= ．（ 3）函数 y=2※ x（x≠0）的图象大致是（）y y y y2【答案】解：（） 3O xOx O xO 1 x （ 2）± 6（ 3） D【解析】考点：规律探索应用，反比例函数的图像2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题（ 2）在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AB=c， AC=b， BC=a，且 b>a，若 Rt △ ABC是奇异三角形，求? a： b：c；（ 3）如图， AB 是⊙ O的直径， C 是⊙ O 上一点（不与点 A， B 重合）， D 是半圆ADB的中点， C， D 在直径AB的两侧，若在⊙ O内存在点 E，使 AE=AD， CB=CE．①求证：△ ACE是奇异三角形；②当△ ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】（1）真命题．（ 2） a： b： c=1：2：3．（3）①见解析②60°或120°．【解析】2： 1 ．然后分两种情况讨论 .试题解析：解：（ 1）真命题．（ 2 分）（ 3）在 Rt ABC中， a2+b2=c2，①证明：∵ AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=∠ ADB=90°，在 Rt2 2 2 ACB中， AC+BC=AB；在 Rt2 2 2 ADB中， AD+BD=AB．∵ D 是半圆ADB的中点，∴AD BD ，∴ AD=BD，（ 6 分），2 2 2 2（ 7 分）∴ AB =AD+BD=2AD，2 2 2又∵ CB=CE． AE=AD，∴ AC+ CE=2AE．∴ ACE是奇异三角形．（ 8 分）考点： 1. 命题； 2. 勾股定理； 3. 圆周角定理及推论；4. 直角三角形的性质 .3. 阅读理解：对于任意正实数a 、 ，∵ ( a－ b ) 2 ≥ 0，∴a － 2 ab ＋ ≥ 0，∴ ＋ ≥ 2 ab ，只有当abb a b＝ b 时，等号成 立 .结论：在 a ＋ b ≥2 ab（ a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值 p ，则 a+b ≥2p，只有当 a ＝ b 时， a ＋ b 有最小值 2 p.根据上述内容，回答下列问题：（ 1）若 m ＞ 0，只有当 m ＝时， m ＋ m 有最小值；若 ＞ 0，只有当 ＝时， 2 ＋ m 有最小值.m mm1（ 2）如图，已知直线 L 1： y ＝ 2 x ＋ 1 与 x 轴交于点 A ，过点 A 的另一直 线 L 2 与双曲线 y ＝ x（ x >0）相交于点 B （2， m ），求直线 L 2 的解析式 .（ 3）在（ 2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作∥y 轴交直线L1 于点 ，试CDD求当线段最短时，点 、 、 、 D 围成的四边形面积 .CD A B Cm18【答案】（1）当m m有最小值为 2；当m 2时，2m1时，m有最小值为 8（ 2）yx2（ 3） 23∴A（ -2 ，0）y 8(x 0)又点 B（ 2， m）在x 上，∴ m4, B(2, 4)设直线L2的解析式为：y kx b ，则有，解得：2k b0 2k b 4k 1b 2∴直线L2的解析式为：y x 2；1 6 4 1(5 6) 22 2 12 11234.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。
中考数学专题复习新定义问题【含解析】
新定义问题【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决【典例解析】类型一：规律题型中的新定义例题1：（2015•永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．变式训练1：（2015•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2）C. (—2013,—2)D. (—2013,2)类型二：运算题型中的新定义例题2：（2016·四川宜宾）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．【解析】实数的运算．先根据log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．【解答】解：log1001000===．故答案为：．变式训练2：(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ；（2）若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是 ．类型三： 探索题型中的新定义例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解析】考点：黄金分割的识别【解答】：由作图方法可知DF=5CF ，所以CG=CF )15(-，且GH=CD=2CF ，从而得出黄金矩形CG=CF )15(-，GH=2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形。
2020年中考九年级数学第一轮复习专题：新定义问题
中考九年级数学第一轮复习专题：新定义问题1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． （2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M 的12倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6y x=的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关于y 轴对称．∠若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．∠点D 在直线AB 上，点D 的31倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数6y x=的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.图 1图 2图 32、对于给定的∠ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在∠ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于∠ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于∠ABC的内半圆.（1）在Rt∠ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，∠ 如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于∠ABC的最大内半圆的半径长；∠ 如图2，画出BC关于∠ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；图1 图2（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线=3y x上运动（P不与O重合），将OE关于∠OEP的内半圆半径记为R，当34≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围.3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，过∠T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若︒<∠≤︒18060MPN ，则称P 为∠T 的环绕点．(1)当∠O 半径为1时，∠在)2,0(),1,1(),0,1(321P P P 中，∠O 的环绕点是___________;∠直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在∠O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）∠T 的半径为1，圆心为（0，t ），以)0(33,>m m m ）（为圆心，m 33为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在∠T 的环绕点，直接写出t 的取值范围．4、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，2)，点B 在x 轴上，以AB 为直径作∠C ，点P 在y 轴上，且在点A 上方，过点P 作∠C 的切线PQ ，Q 为切点，如果点Q 在第一象限，则称Q 为点P 的离点.例如，图1中的Q 为点P 的一个离点.(1)已知点P (0，3)，Q 为P 的离点.∠如图2，若B (0，0)，则圆心C 的坐标为 ，线段PQ 的长为； ∠若B (2，0)，求线段PQ 的长；(2)已知1≤P A ≤2, 直线l ：3y kx k =++（k ≠0）.∠当k =1时，若直线l 上存在P 的离点Q ，则点Q 纵坐标t 的最大值为 ； ∠记直线l ：3y kx k =++（k ≠0）在11x -≤≤的部分为图形G ，如果图形G 上存在P 的离点，直接写出k 的取值范围.图2图15、在ABC △中，D 是边BC 上一点，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，如果与边BC 有交点E （不与点D 重合），那么称»DE 为ABC △的A -外截弧． 例如，右图中»DE是ABC △的一条A -外截弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △存在A -外截弧，其中点A 的坐标为(5,0)，点B 与坐标原点O 重合．（1）在点1(0,2)C ，2(5,3)C -，3(6,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ； （2）若点C 在直线2y x =-上， ∠求点C 的纵坐标的取值范围；∠直接写出ABC △的A -外截弧所在圆的半径r 的取值范围．ED CBA6、平面直角坐标系xOy 中有点P 和某一函数图象M ，过点P 作x 轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为P y ，Q y ．如果P Q y y ＞，那么称点P 为图象M 的上位点；如果P Q y y =，那么称点P 为图象M 的图上点；如果P Q y y ＜，那么称点P 为图象M 的下位点． （1）已知抛物线22y x =-.∠ 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ； ∠ 如果点D 是直线y x =的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（2）将直线3y x =+在直线3y =下方的部分沿直线3y =翻折，直线3y x =+的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．∠H 的圆心H 在x 轴上，半径为1．如果在图象G 和∠H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标H x 的取值范围．7、在平面直角坐标系xOy 中，已知P （a ,b ）,R （c ,d ）两点，且a ≠c ，b ≠d ，若过点P 作x 轴的平行线，过点R 作y 轴的平行线，两平行线交于一点S ,连接PR ，则称∠PRS 为点P ,R ，S 的“坐标轴三角形”.若过点R 作x 轴的平行线，过点P 作y 轴的平行线，两平行线交于一点S ',连接PR ，则称∠RP S '为点R ,P ，S '的“坐标轴三角形”.右图为点P ，R ,S 的“坐标轴三角形”的示意图.（1）已知点A （0，4），点B （3，0）,若∠ABC 是点A ,B ,C 的“坐标轴三角形”，则点C 的坐标为 ;(2)已知点D （2，1），点E （e ，4），若点D ,E ,F 的“坐标轴三角形”的面积为3，求e 的值. （3）若⨀O 的半径为3√22，点M （m ,4）.若在⨀O 上存在一点N ，使得点N ，M , G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求m 的取值范围.8、对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当P A＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）∠如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；∠若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．图1 备用图9、已知线段AB 与点P ，若在线段AB 上存在．．点Q ，满足PQ AB £，则称点P 为线段AB 的“限距点”.图28-1 图28-2（1） 如图28-2，在平面直角坐标系xOy 中，若点)01-(，A ，)01(，B .① 在)20(，C ，)2--2(，D ，)3-1(，E 中，是线段AB 的“限距点”的是________； ② 点P 是直线1+=x y 上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点)1(，t A ，)1-(，t B ，直线32+33=x y 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N . 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范围.10、在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于x 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于x 轴，直线l 的二次对称点．例如：点Q （0，1）关于x 轴，直线x =1的二次对称点是Q ′（2，-1）． （1）如图1，点A (0，-1)．①若点B 是点A 关于x 轴，直线l 1：x =2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ②点C (-4，1)是点A 关于x 轴，直线l 2：x =a 的二次对称点，则a 的值为 ； ③点D (-1，0)是点A 关于x 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为 ；（2）如图2，⨀O 的半径为2．若⨀O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴，直线l 4：x = b 的二次对称点，且点M ′在射线x y 3= (x ≥0)上，求b 的取值范围；（3）E (∠,t )是y 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴，直线l 5:x y 33=的二次对称点，且点N ′在x 轴上，求t 的取值范围．图1 图211、在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是，“和谐距离”是；（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，∠EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；（3）已知∠O的半径为2，点P是∠O上的一动点，点Q是平面内任意一点，∠OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．12、对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：如果点P 为图形M 上任意一点，点Q 为图形N 上任意一点，那么称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记作 d （M ，N ）．若图形M ，N 的“近距离”小于或等于1，则称图形M ，N 互为“可及图形”．（1）当∠O 的半径为2时，∠如果点A （0，1），B （3，4），那么d （A ，∠O ）=________,d （B ，∠O ）= _________； ∠如果直线y x b =+与∠O 互为“可及图形”，求b 的取值范围；（2）∠G 的圆心G 在x 轴上，半径为1，直线5y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，如果∠G 和∠CDO 互为“可及图形”，直接写出圆心G 的横坐标m 的取值范围．13、在平面直角坐标系xOy中，∠O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足1322r d r≤≤，则称点P为∠O的“随心点”．（1）当∠O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（32-，2），D（12，12-）中，∠O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是∠O的“随心点”，求∠O的半径r的取值范围；（3）当∠O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在∠O的“随心点”，直接写出b的取值范围．14、对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：将点P 沿向右或向上的方向平移一次．．．．，平移距离为d (0d >)个长度单位，平移后的点记为P ′，若点P ′在图形G 上，则称点P 为图形G 的“达成点”．特别地，当点P 在图形G 上时，点P 是图形G 的“达成点”．例如，点P (－1，0)是直线y x =的“达成点”． 已知∠O 的半径为1，直线l ：y x b =-+． (1) 当3b =-时，∠在O (0，0)，A (－4，1)，B (－4，－1)三点中，是直线l 的“达成点”的是： ； ∠若直线l 上的点M (m ，n )是∠O 的“达成点”，求m 的取值范围；(2) 点P 在直线l 上，且点P 是∠O 的“达成点”．若所有满足条件的点P 构成一条长度不为0的线段，请直接写出b 的取值范围．。
中考数学专题复习《新定义问题》专项检测(含答案)
新定义问题1. 定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[－3.6]＝－4.对于任意实数x ，下列式子中错误的是( )A. [x ]＝x (x 为整数)B. 0≤x －[x ]<1C. [x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D. [n ＋x ]＝n ＋[x ](n 为整数)2.对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max{a ，b }表示a ，b 中较大的数，如：max{2，4}＝4.按照这个规定，方程max{x ，－x }＝2x ＋1x的解为( )A. 1－ 2B. 2－ 2C. 1－2或1＋ 2D. 1＋2或－13.定义运算：a ⊗b ＝a (1－b )．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③(a ⊗a )＋(b ⊗b )＝2ab ；④若a ⊗b ＝0，则a ＝0或b ＝1.其中结论正确的序号是( )A. ①④B. ①③C. ②③④D. ①②④4. 对于实数m ，n ，定义一种运算“※”：m ※n ＝m 2－mn －3.下列说法错误的是( )A. 0※1＝－3B. 方程x ※2＝0的根为x 1＝－1，x 2＝3C. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1※t ＜0（－3）※t ＜0无解D. 函数y ＝x ※(－2)的顶点坐标是(1，－4)5. 用“♥”定义一种新运算．对于任意实数m ，n 和抛物线y ＝ax 2，当y ＝ax 2♥(m ，n )后都可以得到y ＝a (x －m )2＋n .当y ＝2x 2♥(3，4)后都可以得到y ＝2(x －3)2＋4.函数y ＝x 2♥(1，n )得到的函数如图所示，n＝________． 第5题图6. 4个数a ，b ，c ，d 排列成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋3 x －3x －3 x ＋3＝12，则x ＝________．7. 新定义[a ，b ]为一次函数y ＝ax ＋b (其中a ≠0，且a ，b 为实数)的“关联数”．若“关联数”[3，m ＋2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程1x －1＋1m ＝1的解为________．8. 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x ，即当n 为非负整数．．时，若n －12≤x <n ＋12，则x n =，如0.460,3.674==给出下列关于x 的结论： ①1.4931=； ②22x x =； ③若1142x -=，则实数x 的取值范围是9≤x <11; ④当x ≥0，m 为非负整数时，有20132013m x m x +=+；⑤x y x y +=+．其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)． 9.如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”. 以下关于倍根方程的说法，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①方程x 2－x －2＝0是倍根方程；②若(x －2)(mx ＋n )＝0是倍根方程，则4m 2＋5mn ＋n 2＝0； ③若点(p ，q )在反比例函数y ＝2x的图象上，则关于x 的方程px 2＋3x ＋q ＝0是倍根方程；④若方程ax 2＋bx ＋c ＝0是倍根方程，且相异两点M (1＋t ，s )，N (4－t ，s )都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根为54.10.在直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )和Q (x ，y ′)，给出如下定义：若y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧y （x ≥0）－y （x <0），则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3)．(1)若点(－1，－2)是一次函数y ＝x ＋3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为________．(2)若点P 在函数y ＝－x 2＋16(－5≤x ≤a )的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－16≤y ′≤16，则实数a 的取值范围是________． 【答案】专题四 新定义问题1. C 【解析】对于A 选项，取x ＝2，[2]＝2，成立；对于B 选项，取x ＝3.5，3.5－[3.5]＝3.5－3＝0.5<1，成立；对于C 选项，x ＝2.5，y ＝3.5，则[x ＋y ]＝[6]＝6，[x ]＋[y ]＝2＋3＝5，6＞5，故选项C 错误；对于D 选项，n ＝2，x ＝3.5, [2＋3.5]＝[5.5]＝5，2＋[3.5]＝2＋3＝5，成立．故答案选择C.2. D 【解析】分类讨论：(1)当x ＞－x ，即x ＞0时，max{x ，－x }＝x ，即x ＝2x ＋1x，∴x 2－2x －1＝0，解得x 1＝1－2＜0(舍去)，x 2＝1＋2；(2)当x ＜－x ，即x ＜0时，max{x ，－x }＝－x ，即－x ＝2x ＋1x，∴x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝x 2＝－1＜0，符合题意．综上所述，符合题意的方程的解是1＋2或－1. 3. A 【解析】合题意；B. 方程x ※2＝0即为x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，正确，故本选项不符合题意；C.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1※t ＜0（－3）※t ＜0即为⎩⎪⎨⎪⎧1－t －3＜09＋3t －3＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＞－2t ＜－2无解，正确，故本选项不符合题意；D. 函数y ＝x ※(－2)即为y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，顶点坐标为(－1，－4)，错误，故本选项符合题意．5. 2 【解析】根据题意得y ＝x 2♥(1，n )是函数y ＝(x －1)2＋n ；由图象得此函数的顶点坐标为(1，2)，∴此函数的解析式为y ＝(x －1)2＋2.∴n ＝2.6. 1 【解析】根据新定义规定的算法：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋3 x －3x －3 x ＋3＝12，即(x ＋3)2－(x －3)2＝12，整理得12x ＝12，解得x ＝1.7. x ＝53 【解析】根据“关联数”[3，m ＋2]所对应的一次函数是正比例函数，得到y ＝3x ＋m ＋2为正比例函数，即m ＋2＝0，解得m ＝－2，则分式方程为1x －1－12＝1，去分母得：2－(x －1)＝2(x －1)，去括号得：2－x ＋1＝2x －2，解得x ＝53，经检验x ＝53是分式方程的解．8. ①③④ 【解析】9. ②③【解析】10. (－1，2)；－5≤a≤4 2 【解析】(1)根据“可控变点”定义知它们的横坐标不变，∴M点的横坐标为－1.当横坐标为负数时，它们的纵坐标互为相反数．∴M(－1，2)；(2)当P点的横坐标为负数时，其纵坐标的取值范围是－9≤y<16，则其“可控变点”的纵坐标为－16<y′≤9，符合－16≤y′≤16这一条件．当P点横坐标为非负数时，y′＝y，因此只要y＝－x2＋16≥－16，即0≤x≤42，∴－5≤a≤4 2.。
2020九年级数学中考复习 新定义专题训练 含答案解析
2020九年级数学中考复习新定义专题训练一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝．7．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．2020年04月22专题新定义参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B （﹣a，）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1＝0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）＝0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（﹣a，）在直线y2＝kx+1+k上，则＝﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1＝0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）＝0，∴a﹣1＝0或ka﹣1＝0，则a＝1或ka﹣1＝0，若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a＝1或a＝，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y＜0，据此得，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是﹣3．【分析】根据a*b＝a×（a﹣b）3，可以求得所求式子的值．【解答】解：∵a*b＝a×（a﹣b）3，∴3*4＝3×（3﹣4）3＝3×（﹣1）3＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为2．【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线y＝x上任意取一点，然后计算这个点到直线y＝x﹣4的距离即可．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．【点评】此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关键．考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x＝3．【分析】首先根据题意可得y＝x+m﹣2，再根据正比例函数的解析式为：y＝kx（k≠0）可得m的值，把m的值代入关于x的方程，再解分式方程即可．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣2，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2＝0，解得：m＝2，则关于x的方程变为+＝1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入最简公分母2（x﹣1）＝4≠0，故x＝3是原分式方程的解，故答案为：x＝3．【点评】此题主要考查了解分式方程，以及正比例函数，关键是求出m的值，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝1或﹣2．【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．【解答】解：当（x+1）2＜x2，即x＜﹣时，方程为（x+1）2＝1，开方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，解得：x＝0（舍去）或x＝﹣2；当（x+1）2＞x2，即x＞﹣时，方程为x2＝1，开方得：x＝1或x＝﹣1（舍去），综上，x＝1或﹣2，故答案为：1或﹣2【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，故答案为﹣7.5．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【分析】（1）先直接利用“极数”的意义写出三个，设出四位数n的个位数字和十位数字，进而表示出n，即可得出结论；（2）先确定出四位数m，进而得出D（m），再再根据完全平方数的意义即可得出结论．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m＝99（100﹣10y﹣x），∵m是四位数，∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．【点评】此题主要考查了完全平方数，新定义的理解和掌握，整除问题，掌握新定义和熟记300以内的完全平方数是解本题的关键．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【分析】（1）先求出二次函数的顶点坐标，再把求得的顶点坐标代入一次函数解析式求得P，进而求得一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式进行计算得结果；（2）根据函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，列出n的方程求得n，再求出二次函数的顶点坐标，再将其顶点坐标代入一次函数解析式中求得m．【解答】解：∵y＝x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，∴﹣4＝0+p．∴p＝﹣4，∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，∴，∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，∴，解得，n＝﹣3，∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，∴﹣4＝﹣m﹣3，∴m＝1．【点评】本题是一个新定义阅读题，主要考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，求一次函数与坐标轴的交点，求二次函数与x轴的交点，三角形的面积，根与系数的关系，关键是根据新定义，求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数中便可得结果．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC＝∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴P A＝PD，PC＝PB，∴∠P AD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠P AD，∠APC＝2∠PBC，即∠P AD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′＝BC＝3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝＝，∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．【点评】此题属于几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；（2）由（1）结论可得；（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立．【解答】解：（1）∵f（x）＝+2x（x＜0），∴f（﹣3）＝+2×（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝+2×（﹣4）＝﹣故答案为：﹣，﹣；（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝+2x1﹣﹣2x2＝（x1﹣x2）（2﹣）∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数．【点评】本题考查函数的概念，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质解答．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝1；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．【分析】（1）根据新定义，转化为实际是求点D到点A的距离，当k＝1时，求d（L，△ABC）实际是求两条平行线之间的距离，通过作垂线，转化为直角三角形用勾股定理求得；（2）若d（L，△ABC）＝0就是求直线L与三角形ABC由公共点，可以先考虑仅有一个公共点时k的值，然后根据一次函数的性质，求得k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1就是求W到三角形ABC的距离小于或等于1，可以先求距离为1时的b的值，然后根据一次函数的性质，求得b的取值范围．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L 过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．【点评】理解新定义的意义，将新定义的问题转化为数学问题是解决问题的关键，用特殊情况下计算结果，依据函数的性质进而推算出结果，是常用的方法，同时注意分类讨论的数学思想方法．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”都能（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【分析】（1）根据乘法满足交换律即可求解；（2）根据“互换点”的意义求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线MN的表达式；（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征可设A（k，﹣），由“互换点”的意义可得B（﹣，k），利用待定系数法求出直线AB的解析式，再将A、B的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求出此抛物线的表达式．【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：设A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ab．根据“互换点”的意义，可知A（a，b）的“互换点”是（b，a）．∵ba＝ab＝k，∴（b，a）也在反比例函数y＝的图象上．故答案为：都能；（2）∵M、N是一对“互换点”，点M的坐标为（2，﹣5），∴N（﹣5，2）．设直线MN的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线MN的表达式为y＝﹣x﹣3；（3）∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，∴设A（k，﹣），∵A，B是一对“互换点”，∴B（﹣，k），设直线AB的解析式为y＝mx+n，∵直线AB经过点P（，），∴，解得，∴A（2，﹣1），B（﹣1，2），或A（﹣1，2），B（2，﹣1）．将A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，方程组的解法，理解“互换点”的意义是解题的关键．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为6．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围0＜r＜3﹣或r＞．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的函数表达式，代入x＝2即可求出点C的坐标，再利用矩形的面积公式即可求出点B，C的“X矩形”的面积；（2）①根据正方形的性质可得出∠ABO＝45°，结合点A的坐标可得出点B的坐标及直线AB的函数表达式，由点M到y轴的距离为3可得出点M的坐标，再由正方形的面积结合点M的坐标即可得出点N的坐标，进而可得出经过点N的反比例函数的表达式；②找出⊙O与点M，N的“X矩形”相交的最小、最大值，由此即可得出结论．【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（0，6）、B（4，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．当x＝2时，y＝﹣x+6＝3，∴点C的坐标为（2，3），∴点B，C的“X矩形”的面积＝（4﹣2）×（3﹣0）＝6．故答案为：6．（2）①∵点M，N的“X矩形”是正方形，∴∠ABO＝45°，∴点B的坐标为（6，0），直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．∵点M到y轴的距离为3，∴点M的坐标为（3，3）．∵点M，N的“X矩形”的面积为4，∴点N的横坐标为3﹣2＝1或3+2＝5，∴点N的坐标为（1，5）或（5，1）．∴经过点N的反比例函数的表达式为y＝．②如图1，取AB的中点E，当点E为MN的中点时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最小值，此时r＝OE﹣MN＝3﹣，∴0＜r＜3﹣；如图2，当点N与点B重合（或点M与点A重合）时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最大值，∵MN＝3，∴BF＝MN＝．在Rt△OBF中，OB＝6，BF＝，∴OF＝＝，∴r＞．故答案为：0＜r＜3﹣或r＞．【点评】本题考查了待定系数法求一次（反比例）函数解析式、矩形的面积、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB 的函数表达式；（2）①根据正方形的性质找出直线AB的函数表达式；②画出图形，利用数形结合解决问题．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠F AB与∠EBA互余，即可求解；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．【点评】本题为四边形综合题，涉及到直角三角形中线定理、三角形相似等知识点，这种新定义类题目，通常按照题设顺序逐次求解，较为容易．。
2020年中考数学压轴题型专练：数学新定义题型(含答案)
2020中考数学 压轴题型专练：数学新定义题型（含答案）1.我们规定:若m u r =(a ,b ),n r =(c ,d ),则m u r •n r =ac ＋bd ．如m u r =(1,2),n r =(3,5),则m u r •nr=1×3＋2×5=13．(1)已知m u r =(2,4),n r =(2,－3),求m u r •n r ；(2)已知m u r =(x －a ,1),n r =(x －a ,x ＋1),求y =m u r •n r ,问y =m u r •n r的函数图象与一次函数y =x －1的图象是否有交点,请说明理由．解:(1)∵m u r =(2,4),n r=(2,－3), ∵m u r •n r=2×2＋4×(－3)=－8；(2)无交点．理由:∵m u r =(x －a ,1),n r=(x －a ,x ＋1),∵y =m u r •n r=(x －a )2＋(x ＋1)=x 2－(2a －1)x ＋a 2＋1 ∵y =x 2－(2a －1)x ＋a 2＋1联立方程:x 2－(2a －1)x ＋a 2＋1=x －1, 化简得:x 2－2ax ＋a 2＋2=0, ∵∵=b 2－4ac =－8＜0,∵方程无实数根,两函数图象无交点．2,T (4,2)=1． (1)求a ,b 的值；(2)若T (m ,m ＋3)=－1,求m 的值．解:(1)(1,1)2,21a bT --==--即a －b =－2, T (4,2)=42182a b+=+,即2a ＋b =5,解得a =1,b =3；(2) 根据题意得3(3)12(3)m m m m ++=-++,解得127m =-,经检验,127m =-是方程的解. 3.一个三位正整数M ,其各位数字均不为零且互不相等．若将M 的十位数字与百位数字交换位置,得到一个新的三位数,我们称这个三位数为M 的“友谊数”,如:168的“友谊数”为“618”；若从M 的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数,并将得到的所有两位数求和,我们称这个和为M 的“团结数”,如:123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32=132． (1)求证:M 与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N ,其百位数字为2,十位数字为a 、个位数字为b ,且各位数字互不相等(a ≠0,b ≠0),若N 的“团结数”与N 之差为24,求N 的值． 解:(1)由题意可得,设M 为100a ＋10b ＋c ,则它的友谊数为:100b ＋10a ＋c , (100a ＋10b ＋c )－(100b ＋10a ＋c )=100a ＋10b ＋c －100b －10a －c∵M 与其“友谊数”的差能被15整除；(2)由题意可得,N =2×100＋10a ＋b =200＋10a ＋b ,N 的团结数是:10×2＋a ＋10a ＋2＋10×2＋b ＋10×b ＋2＋10a ＋b ＋ 10b ＋a =22a ＋22b ＋44,∵22a ＋22b ＋44－(200＋10a ＋b )=24,已知a、b为整数,且a≠0,b≠0,a≠b,解得84ab⎧⎨⎩＝＝或18ab⎧⎨⎩＝＝,即N是284或218．4.定义:如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)满足a＋b＋c=0．那么我们称这个方程为“凤凰”方程．(1)已知ax2＋bx＋c=0(a≠0)是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c 的关系；(2)已知关于x的方程m(x2＋1)－3x2＋nx=0是“凤凰”方程,且两个实数根都是整数．求整数m的值．解:(1)由题意得:a＋b＋c=0,b=－a－c,∵ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个相等的实数根,∵∵=b2－4ac=0,把b=－a－c代入到b2－4ac=0中得:(－a－c)2－4ac=0,(a－c)2=0,∵a=c；(2)m(x2＋1)－3x2＋nx=0,(m－3)x2＋nx＋m=0,当x=1时,2m－3＋n=0,n=3－2m,解得因为方程两个实数根都是整数,∵整数m为0或2或4或6．5. 设三个内角的度数分别为α、β、γ,如果其中一个角的度数是另一个角度数的3倍,那么“和谐”,并把满足条件的α、β、γ(β≤γ)称为“和谐”的一组值．例如α=30°,β=60°,γ=90°是“和谐”的一组值．(1)当α=48°,写出以α=48°为其中一个内角的“和谐”的一组值；(2)当α≥135°时,符合条件的“和谐”的值是否只有一组,写出你的判断并用含α的代数式表示β、γ；(3)α为何值时,符合条件的“和谐”的值分别有一组、二组、三组值？请你分别写出对应α的值或范围(直接填在下表中)．解:(1)α=48°,β=33°,γ=99°或α=48°,β=16°,γ=116°．(3)α≥135°,45°≤α＜135°,0°＜α＜45°．【解法提示】α≥135°时,只有一组；45°≤α＜135°时,有二组；0°＜α＜45°时,有三组．6. 观察下表:我们把某格中字母相加所得到的多项式称为特征多项式,例如第1格的“特征多项式”为4x＋y,回答下列问题:征多项式”为 ；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10,第2格的“特征多项式”的值为－16． ∵求x ,y 的值；∵在∵的条件下,第n 格的“特征多项式”是否有最小值？若有,求出最小值和相应的n 值；若没有,请说明理由．解:(1):16x ＋9y ；25x ＋16y ；(n ＋1)2x ＋n 2y ；【解法提示】第3格的“特征多项式”为:16x ＋9y ；第4格的“特征多项式”为:25x ＋16y ；第n 格的“特征多项式”为:(n ＋1)2x ＋n 2y ；(2)∵∵第1格的“特征多项式”的值为－10,第2格的“特征多项式”的值为－16,∵根据题意可得:4109416x y x y +-+-⎧⎨⎩＝＝,∵有最小值,7.在平面直角坐标系xOy中,定义一种变换:使平面内的点P(x,y)对应的像为P′(ax ＋by,bx－ay),其中a、b为常数．已知点(2,1)经变换后的像为(1,－8)．(1)求a,b的值；(2)已知线段OP=2,求经变换后线段O′P′的长度(其中O′、P′分别是O、P经变换后的像,点O为坐标原点)．解:(1)根据题意,得21 28a bb a+--⎧⎨⎩＝＝,解得23 ab-⎧⎨⎩＝＝；(2)∵OP=2,点P的坐标是(x,y),∵根据勾股定理知,x2＋y2=4．∵O′、P′分别是O、P经变换后的像,点O为坐标原点,∵O′(0,0),P′(2x－3y,－3x－2y),8.定义新运算:(a,b)∵(c,d)=(ac,bd),(a,b)∵(c,d)=(a＋c,b＋d),(a,b)*(c,d)=a2＋c2－bd .(1)已知(1,2)∵(p,q)=(2,－4),分别求出p与q的值；(2)在(1)的条件下,求(1,2)∵(p,q)的结果．解:(1)∵(a,b)∵(c,d)=(ac,bd),∵(1,2)∵(p ,q )=(1×p ,2×q ), ∵(1,2)∵(p ,q )=(2,－4), ∵p =2,2q =－4, ∵q =－2；(2)∵p =2,q =－2,(a ,b )∵(c ,d )=(a ＋c ,b ＋d ), ∵(1,2)∵(p ,q ) =(1,2)∵(2,－2) =(3,0)．9.已知抛物线21111y a x b x c =++,22222y a x b x c =++,且满足111222(0,1)a b c k k a b c ===≠,则抛物线12,y y 互为“友好抛物线”. (1)若y 2有最大值8,则y 1也有最大值,这样的说法对吗,为什么？ (2)结合二次函数的特点和你对“友好抛物线”的理解,写出至少2条结论. 解:(1)不对.当k >0时,y 1有最大值为8k ; 当k <0时,y 1有最小值为8k .（2）①当a 1与a 2符号相反时其开口方向相反,当| a 1|≠| a 2|时,两抛物线开口大小不同； ②y 1与y 2的对称轴相同;③如果1y 与x 轴有两个不同的交点,则y 2与x 轴也有两个不同的交点(写出2条合理结论即可)10. 在直角坐标系中,如果二次函数y =ax 2＋bx ＋2(a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,2),且AB =OC ,那么我们称这个二次函数为“和合二次函数”．理由；(2)“和合二次函数”y=ax2＋bx＋2的图象经过点(－6,2)．∵求a与b的值；∵此函数图象可由抛物线y=ax2经过怎样的平移得到？与x轴的交点坐标为A(－4,0),B(－2,0),AB=2,∵AB=OC,(2)∵y=ax2＋bx＋2与x轴交点的横坐标为x1,x2,11.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①,在∵ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sad A,这时sad A=BCAB=底边腰,容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题:（1）sad60°= ,sad90°= ；（2）如图②,已知sin A=35,其中∵A为锐角,试求sad A的值.第11题图解（2）设AB =5a ,BC =3a ,则AC =4a ,如解图,在AB 上取AD =AC =4a ,作DE ∵AC 于点E ,则DE =AD ·sin A =4a ·35,AE =AD ·cos A =4a ·45,CE =4a 165-a =45a ,CD 5==,∵sad A =5CD AC =.第11题解图12.阅读材料,解答下面问题:如果一个三角形能被经过其顶点的一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形,这条线段为这个三角形的特异线．如图∵,∵ABC 中,∵A =36°,∵ABC =∵C =72°,BD 平分∵ABC ,∵ABC 被分成了两个等腰三角形,即∵ABD、∵BDC．我们称BD为∵ABC的特异线,∵ABC为特异三角形．(1)如图∵,∵ABC中,∵B=2∵C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E．求证:AE是∵ABC的一条特异线．(2)若∵ABC是特异三角形,∵A=30°,∵B为钝角,请在图∵、图∵中尝试画出∵ABC 的两条特异线,并标出∵C的度数,(说明:图形为示意图,只需画出图形,标出角度即可).第12题图解:(1)∵DE是线段AC的垂直平分线,∵EA=EC,即∵EAC是等腰三角形,∵∵EAC=∵C,∵∵AEB=∵EAC＋∵C=2∵C,∵∵B=2∵C,∵∵AEB=∵B,即∵EAB是等腰三角形,∵AE是∵ABC是一条特异线；(2)如解图∵,BD是特异线时,如果AB=BD=DC,则∵BDA=∵A=30°,∵∵BDC=150°,∵∵C=15°,如解图∵,AD=AB,DB=DC,则∵ADB=∵ABD=75°,∵∵C=37.5°．第12题解图13. 定义,如果一个锐角等腰三角形满足一个角度数是另一个角度数的2倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．(1)“智慧三角形”顶角的度数为；(2)如图∵,正五边形ABCDE中,对角线AC,BE交于点P．求证:∵APE是“智慧三角形”；(3)如图∵,六边形ABCDEF中,AB∵DE,BC∵EF,CD∵AF,且∵A=108°,∵B=144°,∵求∵D的度数；∵求证:AB＋BC=DE＋EF．第13题图(1)解:36°；【解法提示】分两种情况:∵底角度数是顶角度数的2倍时,设顶角度数为x,则底角度数为2x,由三角形内角和定理得:x＋2x＋2x=180°,解得x=36°,即顶角度数为36°；∵顶角度数是底角度数的2倍时,设底角度数为x,则顶角度数为2x,由三角形内角和定理得:x＋x＋2x=180°,解得x=45°,2x=90°(不合题意)；综上所述:“智慧三角形”顶角的度数为36°；(2)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,∵AB=AE=BC,∵ABC=∵BAE=108°,∵∵ABE=∵AEB=∵ACB=36°,∵∵PAE=108°－36°=72°,∵∵APE=72°,∵∵APE=∵PAE=2∵AEB,∵AE=PE,∵∵APE为智慧三角形；(3)∵解:延长FA、CB交于点G,延长AB、DC交于点H,延长CD、FE交于M,如解图所示,∵∵BAF=108°,∵ABC=144°,∵∵BAG=72°,∵ABG=36°,∵∵G=72°,同理:∵H=72°,∵AB∵DE,∵∵CDE=180°－72°=108°；∵证明:∵∵G=∵BAG,∵BG=AB,同理:EM=DE,∵BC∵EF,CD∵AF,∵四边形GCMF是平行四边形,∵GC=FM,即BG＋BC=EM＋EF,∵AB＋BC=DE＋EF．第13题解图14. 定义:如果三角形有一条边上的中线恰好等于这条边的边长,那么称这个三角形为“匀称三角形”,这条中线为“匀称中线”．(1)请根据定义判断下列命题的真假(请在真命题后的横线内打“√”,假命题后的横线内打“∵”)∵等腰直角三角形一定不存在匀称中线．∵如果直角三角形是匀称三角形,那么匀称中线一定是较长直角边上的中线．(2)已知:如图∵,在Rt∵ABC中,∵C=90°,AC＞BC,若∵ABC是“匀称三角形”,求BC:AC:AB的值；(3)拓展应用:如图∵,∵ABC是∵O的内接三角形,AB＞AC,∵BAC=45°,将∵ABC绕点A逆时针旋转45°得∵ADE,点B的对应点为D,连接CD 交∵O于M,连接AM．∵请根据题意用实线在图∵中补全图形；∵若∵ADC是“匀称三角形”,求tan∵AMC的值．第14题图解:(1)√,√；(2)如解图∵,∵∵C=90°,AC＞BC由(1)可知∵ABC的匀称中线是AC边上的中线,设D为AC中点,则BD为匀称中线,设AC=2a,则CD=a,BD=2a,∵∵C=90°,(3)∵补全图形如解图∵；∵如解图∵,∵∵ABC绕点A逆时针旋转45°得∵ADE,∵∵DAE=∵BAC=45°,AD=AB,∵∵DAC=90°,AD＞AC,∵∵ADC是匀称三角形,过点C作CH∵AB于H,则∵AHC=∵BHC=90°,第14题解图解:由p2－p－1=0及1－q－q2=0,可知p≠0,q≠0,根据以上阅读材料所提供的方法,完成下面的解答:根据2m2－5m－1=0和2n2－5n－1=0的特征,∵m、n是方程2x2－5x－1=0的两个不相等的实数根,。
专题15 专项训练卷(二) 新定义型试题-2020-2021学年度人教版七年级数学下册(解析版)
2020－2021学年度人教版七年级数学下册新考向多视角同步训练专项训练卷(二) 新定义型试题1.(2019山东枣庄中考,21,★☆☆)对于实数a 、b,定义关于“⊕”的一种运算:a⊕b＝2a+b,例如3⊕4＝2×3+4＝10.(1)求4⊕(－3)的值；(2)若x⊕(－y)＝2,(2y)⊕x＝－1,求x+y 的值.2.(2020湖南张家界中考,20,★☆☆)阅读下面的材料:对于实数a,b,我们定义符号min{a,b}的意义:当a<b 时,min{a,b}＝a ；当a≥b 时,min{a,b}＝b,如:min{4,－2}＝－2,min{5,5}＝5.根据上面的材料回答下列问题:(1)min{－1,3}＝________；(2)当min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x －32，x+23 ＝x+23 时,求x 的取值范围3.(2019上海浦东新区期末,19,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,对于任意两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)的 “识别距离”,给出如下定义:若x 1－x 2 ≥y 1－y 2 ,则点P 1(x 1,y 1)与点P 2(x 2,y)的“识别距离”为x 1－x 2若x 1－x 2 <y 1－y 2 ,则点P 1(x 1,y 1)与点P 2(x 2,y 2）的“识别距离”为y 1－y 2(1)已知点A(－1,0),点B 为y 轴上的动点①若点A 与点B 的“识别距离”为2,则写出满足条件的点B 的坐标为________；②直接写出点A 与点B 的“识别距离”的最小值为________；(2)已知点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ m ，34 m+3 ,点D 的坐标为(0,1),求点C 与点D 的“识别距离”的最小值及相应的点C 的坐标.4.(2020河北石家庄外国语学校期末,20,★★☆)于实数a 、b,定义两种新运算“*”和“⊕”:a*b＝a+kb,a⊕b＝ka+b(其中k 为常数,且k≠0),若对于平面直角坐标系xOy 中,点P 的坐标为(a,b),有点P ′(a*b,a⊕b)与之对应,则称点P ′为点P 的“k 衍生点”例如:P(1,4)的“2衍生点”为P ′(1+2×4,2×1+4),即P ′(9,6)(1)点P(－1,6)的“2衍生点”P ′的坐标为________；(2)若点P 的“5衍生点”P ′的坐标为(－3,9),求点P 的坐标；(3)若点P 的“k 衍生点”为点P ′,且直线PP ′平行于y 轴,线段PP ′的长度为线段OP 长度的3倍,求k 的值5.(2019甘肃兰州模拟,20,★★☆)对于实数a,我们规定:用符号[ a ]表示不大于 a 的最大整数,称[ a ]为a 的根整数,例如:[9 ]＝3,[10 ]＝3(1)仿照以上方法计算:[ 4 ]＝________,[37 ]＝________；(2)若[x ]＝1,写出满足题意的x 的整数值:________；(3)如果我们对a 连续求根整数,直到结果为1例如:对10连续求根整数2次,[10 ]＝3→[ 3 ]＝1,这时的结果为1,对120连续求根整数,________次之后结果为1；(4)只需进行3次连续求根整数运算,最后结果为1的所有正整数中,最大的是________6.(2019江西九江期末,20,★★★定义:可化为其中一个未知数的系数都为1,另一个未知数的系数互为倒数,并且常数项互为相反数的形式的二元一次方程组,称为“相关线性方程组”,如⎩⎪⎨⎪⎧kx+y ＝b1kx+y=-b 所示,其中k 、b 称为该方程组的“相关系数”.(1)若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧2x+3＝y mx+ny ＝－6可化为“相关线性方程组”,则该方程组的解为________________； (2)若某“相关线性方程组”有无数组解,求该方程组的两个“相关系数”之和7.(2019四川成都七中期末,22,★★★)阅读下列材料:我们给出如下定义:数轴上给定不重合的两点A 、B,若数轴上存在一点M,使得点M 到点A 的距离等于点M 到点 B 的距离,则称点M 为点A 与点B 的“平衡点”解答下列问题:(1)若点A 表示的数为－3,点B 表示的数为1,点M 为点A 与点B 的“平衡点”,则点M 表示的数为________；(2)若点A 表示的数为－3,点A 与点B 的“平衡点”M 表示的数为1,则点B 表示的数为________；(3)点A 表示的数为－5,点C 、D 表示的数分别是－3、－1,点O 为原点,点B 为线段CD 上一点①设点M 表示的数为m,若点M 为点A 与点B 的“平衡点”,则m 的取值范围是________；②当点A 以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时,点C 同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方 向移动设移动的时间为t(t>0)秒,若点O 可以为点A 与点B 的“平衡点”,求t 的取值范围.8.(2020河南濮阳期末,22,★★★)规定:{x}表示不小于x 的最小整数,如{4}＝4,{2.6}＝－2,{－5}＝－5.在此规定下,任意数x 都能写出如下形式:x ＝{x}－b,其中0≤b<1.(1)直接写出{x},x,x+1的大小关系；________________________。
初中数学中考复习 第6关 以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题(原卷版)
第6关 以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题【考查知识点】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力. 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.【解题思路】“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.【典型例题】【例1】（2019·湖南中考真题）从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,,k S =，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（ ）A ．10B ．6C ．5D ．4【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出i i a b +共有几个不同的值是解题的关键．【例2】（2020·四川绵阳实中、绵阳七中初三月考）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：(4)(62)(46)(12)10i i i i ++-=++-=-；2(2)(3)6326(1)7i i i i i i i -+=-+-=---=-； 2(4)(4)1616(1)17i i i +-=-=--=；22(2)4444134i i i i i +=++=+-=+根据以上信息，完成下面计算：2(12)(2)(2)i i i +-+-=_______．【名师点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的混合运算.【例3】（2019·湖南中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1),(0,1),-P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号） 【名师点睛】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．【例4】(2018新疆中考)如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．【名师点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．【方法归纳】阅读试题提供新定义、新定理，根据所给的内容类比解决新问题 ；阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题；阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供新的方法或新的知识，并灵活运用这些新方法或新知识，去分析、解决类似的或相关的问题。
中考数学专项突破——新定义阅读理解创新题型(word版+详细解答)
中考数学专项突破——新定义阅读理解创新题型1.阅读下列材料，解答下列问题：材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”.如：65362，362-65=297=11×27，称65362是“网红数”.材料二：对任意的自然数p 均可分解为p =100x +10y +z （x ≥0，0≤y ≤9,0≤z ≤9且想，x ，y ，z 均为整数），如：5278=52×100+10×7+8，规定：G （p ）= zx x z x x -++-+112）（ . （1）求证：任意两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：s =300+10b +a ，t =1000b +100a +1142（1≤a ≤7,0≤b ≤5，且a 、b 均为整数），当s +t 为“网红数”时，求G （t ）的最大值.（1）证明：设两个“网红数”为mn ，ab （n ，b 分别为mn ，ab 末三位表示的数，m ，a 分别为mn ，ab 末三位之前的数字表示的数）， 则n -m =11k 1，b -a =11k 2， ∴mn +ab =1001m +1001a +11（k 1+k 2）=11（91m +91a +k 1+k 2）. 又∵k 1，k 2，m ，n 均为整数，∴91m +91a +k 1+k 2为整数，∴任意两个“网红数”之和一定能被11整除.（2）解：s =3×100+10b +a ，t =1000（b +1）+100（a +1）+4×10+2， S +t =1000（b +1）+100（a +4）+10（b +4）+a +2，①当1≤a ≤5时，s +t =））（）（）（（2a 4b 4a 1b ++++， 则））（）（（2a 4b 4a +++-（b +1）能被11整除，∴101a +9b +441=11×9a +2a +11b -2b +40×11+1能被11整除， ∴2a -2b +1能被11整除.∵1≤a ≤5，0≤b ≤5，∴-7≤2a -2b +1≤11，∴2a -2b +1=0或11，∴a =5，b =0，∴t =1642，G （1642）=17141， ②当6≤a ≤7时，s +t =））（）（）（（2a 4b 6a 2b ++-+， 则））（）（（2a 4b 6a ++--（b +2）能被11整除，∴101a +9b -560=11×9a +2a +11b -2b -51×11+1能被11整除，∴2a -2b +1能被11整除.∵6≤a ≤7，0≤b ≤5，∴3≤2a -2b +1≤15，∴2a -2b +1=11，∴⎩⎨⎧==1b 6a ，⎩⎨⎧==2b 7a ， ∴t =2742或3842，G （2742）=28251，G （3842）=39361， 综上，G （t ）的最大值为39361. 2.若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P ，到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ，b .定义：若数K ＝a 2＋b 2－ab ，则称数K 为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a ＝2，b ＝4，那么K ＝22＋42－2×4＝12；若P 所表示的数为12，则a ＝11，b ＝13，那么K ＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)， K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴m 1＋m 2＝7，m 1－m 2＝3，∴⎩⎨⎧==2m 5m 21， ∴⎩⎨⎧==39k 228k 21.3.若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36.(1)求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；(2)若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值.解：（1）设A 的十位数字为a ，个位数字为b ，则A ＝10a +b ，它的“诚勤数”为100a +20+b ，它的“立达数”为10a +b +2， ∴100a +20+b -（10a +b +2）＝90a +18＝6（15a +3），∵a 为整数，∴15a +3是整数，则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；（2）设B ＝10m +n ，1≤m ≤9，0≤n ≤9（B 加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），∴B +2＝10m +n +2，则B 的“立达数”为10（m +1）+（n +2-10），∴m +1+n +2﹣10=21（m +n ），整理，得m +n ＝14，∵1≤m ≤9，0≤n ≤9，∴⎩⎨⎧==6n 8m 、⎩⎨⎧==8n 6m 、⎩⎨⎧==5n 9m 、⎩⎨⎧==9n 5m 、⎩⎨⎧==7n 7m ， 经检验：77、86和95不符合题意，舍去，∴所求两位数为68或59．4．一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k 为“魅力数”，把这个商叫做k 的魅力系数，记这个商为F （k ）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记(722)4F =．(1)计算：(304)(2052)F F +；(2)若m 、n 都是“魅力数”，其中3030101m a =+，40010n b c =++(0≤a ≤9，0≤b ≤9，0≤c ≤9，a 、b 、c 是整数)，规定：(,)a c G m n b-=．当()()24F m F n +=时，求(,)G m n 的值． 解：（1）∵30+2×4=38，38÷19=2，∴F (304)=2.∵205+2×2=209,209÷19=11， ∴F （2025）=11.∴F （304）+F （2052）=13；（2）∵m =3030+101a =3000+100a +30+a ，∴F （m ）=19a 23a 10300+++=19a 12303+=15+19a 1218+. ∵m 是“魅力数”， ∴19a 1218+是整数. ∵0≤a ≤9，且a 是偶数，∴a =0,2,4,6,8.当a =0时，19a 1218+=1918不符合题意. 当a =2时，19a 1218+=1942不符合题意. 当a =4时，19a 1218+=1966不符合题意.当a =6时，19a 1218+=1990不符合题意. 当a =8时，19a 1218+=19114=6符合题意. ∴a =8，此时m =3838，F （m ）=F （3838）=6+15=21.又∵F （m ）+F （n ）=24，∴F （n ）=3.∵n =400+10b +c ，∴F （n ）=19c 2b 40++=3， ∴b +2c =17，∵n 是“魅力数”，∴c 是偶数，又∵0≤c ≤9，∴c =0，2,4,6,8.当c =0时，b =17不符合题意.当c =2时，b =13不符合题意.当c =4时，b =9符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=948-=94. 当c =6时，b =5符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=568-=52. 当c =8时，b =1符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=188-=0. ∵ 94＞52＞0， ∴G （m ，n ）的最大值是94. 5.已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位数字的4倍，如果和是13的倍数，则称原数为“超越数”．如果数字和太大不能直接观察出来，就重复上述过程．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”．（1）请判断42356是否为“超越数”（填“是”或“否”），若ab+4c ＝13k（k为整数），化简abc除以13的商（用含字母k的代数式表示）．（2）一个四位正整数N＝abcd，规定F（N）＝|a+d2﹣bc|，例如：F （4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a＝c，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值．解：（1）否，4235+4×6＝4259，425+4×9＝461，46+4×1＝50，因为50不能被13整除，所以42356不是超越数.∵ab+4c＝13k，∴10a+b+4c＝13k，∴10a+b＝13k﹣4c，∵abc＝100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝130k﹣40c+c＝130k﹣39c＝13（10k﹣3c），abc＝10k﹣3c；∴13（2）由题意得d＝5，a＝c，∴N＝1000a+100b+10c+5，∵N能被13整除，∴设100a+10b+c+4×5＝13k，∴101a +10b +20＝13k ，且a 为正整数，b ，k 为非负整数， 1≤a ≤4，∴a ＝2，b ＝9，k ＝24 或a ＝3，b ＝8，k ＝31，或a ＝4，b ＝7，k ＝38，∴F （N ）＝|2+25﹣18|＝9，或F （N ）＝|3+25﹣24|＝4，或 F （N ）＝|4+25﹣28|＝1，∴F （N ）最小值为1．6.一个两位正整数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n 为“启航数”，将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数'n .把'n 放在n 的后面组成第一个四位数，把n 放在'n 的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为()F n ，例如：23n =时，32n '=，23323223(23)8111F -==-. （1）计算(42)_____;F = 若m 为“启航数”，()F m 是一个完全平方数，求()F m 的值；（2）s t 、为“启航数”，其中10,10s a b t x y =+=+（1≤b ≤a ≤9，1≤x 、y ≤5，且y x b a ,,,为整数） 规定：(,)s t K s t t-=，若()F s 能被7整除，且()()81162F s F t y +-=，求(,)K s t 的最大值.解：（1）F （42）=162，设m =pq （1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数）， 则()=81()11pqqp qppq F m p q -=-，∵()F m 完全平方数，∴p q -为完全平方数，∵1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数，∴0＜p -q ≤8，∴14p q -=或，∴F （m ）=81或324；（2）由题意知：s =ab ，t =xy （1≤b ≤a ≤9,1≤x 、y ≤5，且a b x y 、、、为整数），∴()81()F s a b =-，()81()F t x y =-，∵()F s 能被7整除，∴81()7a b -为整数， 又∵1≤b ≤a ≤9，∴0＜a -b ≤8，∴7a b -=，∴9,28,1a b a b ====或，∴s =92或81.又∵()()81162F s F t y +-=，∴81（a -b ）+81（x -y ）-81y =162，∴2y =x +5，∵1≤x ，y ≤5且x y ≠，∴1,33,4x y x y ====或，∴t =13 或34， ∴79(92,13)13K =，K （92，34）=3458，68(81,13)13K =，47(81,34)34K = K max =1379. 7.若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t ＝100（x +y ）+10y +x （x +y ≤9），则称实数t 为“加成数”，将t 的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数q，例如：321是一个“加成数”，将其h．规定q＝t﹣h，f（m）＝9百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝213，108＝12．∴q＝321﹣213＝108，f（m）＝9（1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值；（2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．q，解：（1）∵f（m）＝9∴当f（m）最小时，q最小，∵t＝100（x+y）+10y+x=101x+110y，h＝100y+10x+x+y＝101y+11x，∴q＝t﹣h＝101x+110y﹣（101y+11x）＝9y+90x，且1≤y≤9，0≤x ≤9，x、y为正整数，当x＝0，y＝1时，q＝9，此时对应的“加成数”是110；（2）∵f（m）是24的倍数，设f（m）＝24n（n为正整数），q，q＝216n，则24n＝9由（1）知：q＝9y+90x＝9（y+10x），∴216n＝9（y+10x），24n＝y+10x，（x+y＜10）①当n＝1时，即y+10x＝24，解得：x＝2，y＝4，则这样的“节气数”是24；②当n＝2时，即y+10x＝48，解得：x＝4，y＝8，x+y＝12＞10，不符合题意；③当n＝3时，即y+10x＝72，解得：x＝7，y＝2，则这样的“节气数”是72；④当n＝4时，即y+10x＝96，解得：x＝9，y＝6，x+y＝15＞10，不符合题意；⑤当n＝5时，即y+10x＝120，没有符合条件的整数解，综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72．8.在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．（1）解：是；【解法提示】∵361568﹣315668＝45900，且45900÷17＝2700，∴根据最佳拍档数的定义可知，31568是“最佳拍档数”；故答案为：是设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，∵N是四位“最佳拍档数”，∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，＝5940﹣90x﹣900y，＝90（66﹣x﹣10y），∴66﹣x﹣10y能被17整除，①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；（2）证明：设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，它的“顺数”：1000z+600+10y+x，它的“逆数”：1000z +100y +60+x ，∴（1000z +600+10y +x ）﹣（1000z +100y +60+x ）＝540﹣90y ＝90（6﹣y ），∴任意三位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除， 设四位正整数K 的个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ，千位数字为a ，∴（10000a +6000+100z +10y +x ）﹣（10000a +1000z +100y +60+x ）＝5940﹣900z ﹣90y ＝90（66﹣10z ﹣y ），∴任意四位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除， 同理得：任意三位或三位以上的正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．9.若实数a 可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a ＝n 1-1n ＋1，那么我们称a 为第n 个“1阶倒差数”，例如21＝1-21，∴21是第1个“1阶倒差数”，61＝21-31，∴16是第2个“1阶倒差数”．同理，若b ＝n 1-2n 1 ，那么，我们称b 为第n 个“2阶倒差数”．(1)判断132是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；(2)若c ，d 均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且d 1-c 1＝22，求c ，d 的值．解：(1)132不是“1阶倒差数”，235；【解法提示】∵32＝1×32＝2×16＝4×8，不是两个连续自然数的积， ∴321不是“1阶倒差数”． 第5个“2阶倒差数”为51-71＝352. (2)设m 是由两个连续奇数2x -1，2x +1组成的“2阶倒差数”，则m =1x 21--1x 21+=））（（）（1x 21x 21x 21x 2-+--+=1x 422-. ∵c ，d 是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，∴可设c ＝1y 422-，d ＝1z 422-， ∵d 1－c 1＝22，∴4z 2－12－4y 2－12＝22，即z 2－y 2＝11，∴(z ＋y )(z －y )＝11>0，∴z ＞y .∵11＝1×11，∴⎩⎨⎧=-=+1y z 11y z ，解得⎩⎨⎧==6z 5y ， ∴c =15422-⨯=299，d =16422-⨯=2143. 10.任意一个正整数n ，都可以表示为：n ＝a ×b ×c （a ≤b ≤c ，a ，b ，c 均为正整数），在n 的所有表示结果中，如果|2b ﹣（a +c ）|最小，我们就称a ×b ×c 是n 的“阶梯三分法”，并规定：F （n ）＝bc a +，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）＝231+＝2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p 是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）＝2；（2）t是一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．解：（1）∵m为立方数，∴设m＝q×q×q，∴|2q﹣（q+q）|＝0，∴q×q×q是m的阶梯三分法，∴F（m）=q qq+=2；（2）由已知，[23（10x+y）+x+y]能被13整除，整理得：231x+24y能被13整除，∵231x+24y＝13（18x+2y）﹣（3x+2y），∴3x+2y能被13整除，∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴3≤3x+2y≤45，∵x，y均为整数，∴3x+2y的值可能为13、26或39，①当3x+2y＝13时，∵x ≥y ，x +y ≤10，∴x ＝3，y ＝2，t ＝32，∴32的阶梯三分法为2×4×4， ∴F （32）＝23242=+； ②同理，当3x +2y ＝26时，可得x ＝8，y ＝1或x ＝6，y ＝4， ∴t ＝81或64，∴F （81）＝4，F （64）＝2； ③同理，当3x +2y ＝39时，可得x ＝9，y ＝6（不合题意舍去）， ∴综合①②③，F （t ）最小值为23.。
中考数学复习阅读理解专题试题
阅读理解专题阅读理解型问题一般文字表达较长，信息量较大，各种关系错综复杂，往往是先给一个材料，或者介绍一个新的知识点，或者给出针对某一种题目的解法，然后再给合条件出题.解决这类题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含的数学知识、结论，或者提醒的数学规律，或者暗示的解题方法，然后展开联想，如何从题目给定的材料获得新信息、新知识、新方法进展迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.一、新定义型例1 对于实数a ，b ，定义运算“*〞：a*b ＝22()().a ab a b ab b a b ⎧-⎪⎨-⎪⎩≥，＜例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．假设x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，那么x 1*x 2＝_________________．分析：用公式法或者因式分解法求出方程的两个根，然后利用新定义解之.解：可以用公式法求出方程x 2－5x ＋6＝0的两个根是2和3，可能是x 1=2，x 2=3，也可能是x 1=3，x 2=2，根据所给定义运算可知原题有两个答案3或者－3．.此题容易无视讨论思想，会少一种情况.评注：此题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题．考察了学生观察问题，分析问题，解决问题的才能． 跟踪训练：1.假设定义：f(a,b)=(-a,b)，g(m,n)=(m,-n)，例如(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，那么((2,3))g f -等于〔 〕A ．〔2，-3〕B ．〔-2，3〕C ．〔2，3〕D ．〔-2，-3〕2．对于实数x,我们规定【x 】表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，假设5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，那么x 的值可以是〔 〕 A ．40 B ．45 C ．51 D ．56二、类比型例2 阅读下面材料后，解答问题.分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：01-x 3x 2 01x 2-x ＜，＞++等 .那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法那么可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：〔1〕假设a ＞0 ，b ＞0 ，那么b a ＞0，假设a ＜0 ，b ＜0，那么b a＞0； 〔2〕假设a ＞0 ，b ＜0 ，那么b a ＜0 ，假设a ＜0，b ＞0 ，那么ba＜0.反之，〔1〕假设b a＞0，那么⎩⎨⎧⎩⎨⎧；＜，＜或，＞，＞0b 0a 0b 0a 〔2〕假设ba＜0 ，那么__________或者_____________． 根据上述规律，求不等式 ﹙A ﹚ ，＞012x +-x ﹙B ﹚2x 2-3x+2021＜2021的解集. 分析：对于〔2〕，根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后解一元一次不等式组即可．对于〔A 〕，据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；对于〔B 〕，将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可. 解：〔2〕假设＜0，那么或者故答案为或者；由上述规律可知，不等式﹙A ﹚转化为或者所以x ＞2或者x ＜﹣1．不等式﹙B ﹚即为2x 2-3x+1＜0.∵2x 2-3x+1=﹙x －1﹚〔2x-1〕，∴2x 2-3x+1＜0可化为﹙x －1﹚〔2x-1〕＜0.由上述规律可知①10230x x ->⎧⎨-<⎩或者②10230x x -<⎧⎨->⎩解不等式组①，无解， 解不等式组②，得21<x<1. ∴不等式2x 2-3x+2021＜2021的解集为21<x<1． 评注：此题本质是一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的方法是解题关键．例4 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin 〔α±β〕=sinαcosβ±cosαsinβ；tan 〔α±β〕=tan tan 1tan tan αβαβ± .利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：tan15°=tan〔45°-30°〕=tan 45-tan 301tan 45tan 30︒︒+︒︒=1==根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题 〔1〕计算：sin15°；〔2〕一铁塔是标志性建筑物之一〔图1〕，小草想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小草站在与塔底A 相距7米的C 处，测得塔顶的仰角为75°，小草的眼睛离地面的间隔DC ，〕．分析：〔1〕把15°化为〔45°-30°〕以后，再利用公式sin 〔α±β〕=sinαcosβ±cosαsinβ计算，即可求出sin15°的值；〔2〕先根据锐角三角函数的定义求出BE 的长，再根据AB=AE+BE 即可得出结论． 解：﹙1﹚sin15°=sin〔45°-30°〕=sin45°cos30°-232162622-==〔2〕在Rt △BDE 中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米， ∴BE=DEtan ∠BDE=DEtan75°． ∵tan75°=tan〔45°+30°〕=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒=31(33)(33)126333(33)(33)1+++==+--3∴BE=7〔333≈27.7〔米〕． 答：乌蒙铁塔的高度约为．评注：此题考察了特殊角的三角函数值和仰角的知识，此题难度中等，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用.例5阅读材料：小艳在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=〔1+〕2．擅长考虑的小艳进展了以下探究：设a+b=〔m+n〕2〔其中a，b，m，n均为正整数〕，那么有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小艳就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小艳的方法探究并解决以下问题：〔1〕当a，b，m，n均为正整数时，假设a+b=，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a= ，b= ；〔2〕利用所探究的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + =〔 + 〕2；〔3〕假设a+4=，且a，m，n均为正整数，求a的值.分析:〔1〕根据完全平方公式的运算法那么，即可得出a，b的表达式；〔2〕首先确定m，n的正整数值，然后根据〔1〕的结论即可求出a，b的值；〔3〕根据题意，4=2mn，首先确定m，n的值，通过分析m=2，n=1或者者m=1，n=2，然后即可确定a的值．解：〔1〕∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为m2+3n2，2mn．〔2〕设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4，2，1，1．〔3〕由题意，得a=m2+3n2，b=2mn.∵4=2mn，且m，n为正整数，∴m=2，n=1或者者m=1，n=2.∴a=22+3×12=7，或者a=12+3×22=13．评注：此题主要考察二次根式的混合运算，完全平方公式，关键在于纯熟运算完全平方公式和二次根式的运算法那么．例6 阅读：大家知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图3-①.观察图①可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P 的坐标(1,3)就是方程组⎩⎨⎧=+-=012,1y x x 的解，所以这个方程组的解为⎩⎨⎧==.3,1y x 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧局部，如图3-②. y≤2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的局部，如图3-③.(5) 图3答复以下问题：(1)在如图3-④所示直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组⎩⎨⎧+-=-=22,2x y x 的解；(2)用阴影表示不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥0,22,2y x y x 所围成的区域.分析：通过阅读材料可知，要解决第(1)小题，只要画出函数x=-2和y=-2x+2的图象，找出它们的交点坐标即可；第(2)小题，该不等式组表示的区域就是直线x=-2及其右侧的局部，直线y=-2x+2及其下方的局部和y=0及其上方的局部所围成的公一共区域.解：〔1〕如图3-⑤所示，在坐标系中分别作出直线x=-2和直线y=-2x+2，观察图象可知，这两条直线的交点是P(-2,6). 所以⎩⎨⎧=-=6,2y x 是方程组⎩⎨⎧+-=-=22,2x y x 的解. 〔2〕如图3-⑤所示.评注：此题给出了一个全新的知识情景，通过阅读材料，可知材料中给出一种解决问题的方法，即方程组的解就是两个函数图象的交点坐标；不等式或者不等式组的解集可以用坐标系中图形区域直观地表示出来，不仅要掌握这种方法，还能在原解答的根底上，用这种方法解决类似的问题.解答这类问题的关键是弄清解题原理，详细分析解题思路，梳理前后的因果关系以及每一步变形的理论根据，然后给出问题的解答.通过该题的解答，我们理解了用函数的图象来解方程组或者不等式组，是解方程组或者不等式组的一种特殊方法. 跟踪训练：3.先阅读理解下面的例题，再按要求解答以下问题：解一元二次不等式x 2-4＞0. 解：不等式x 2-4＞0可化为 〔x+2〕〔x-2〕＞0，由有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞，得 ①2020x x +>⎧⎨->⎩②2020x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ＜-2.∴〔x+2〕〔x-2〕＞0的解集为x ＞2或者x ＜-2，即一元二次不等式x 2-4＞0的解集为x ＞2或者x ＜-2．〔1〕一元二次不等式x 2-16＞0的解集为 ； 〔2〕分式不等式103x x ->-的解集为 ；材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为23326A =⨯=.一般地，从n 个不同的元素中选取m 个元素的排列数记作mn A .(1)(2)(3)(1)m n A n n n n n m =---⋅⋅⋅-+ 〔m ≤n 〕.材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的组合，组合数为2332321C ⨯==⨯. 例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为3665420321C ⨯⨯==⨯⨯.阅读后答复以下问题：〔1〕从5张不同的卡片中选出3张排成一列，有几种不同的排法？ 〔2〕从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？ 答案：1. 解：由题意，得f(2，－3)=(－2，－3)，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3)，应选B ． 2 .C3.解：〔1〕不等式x 2-16＞0可化为 〔x+4〕〔x-4〕＞0，由有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞，得①4040x x +>⎧⎨->⎩或者②4040x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①，得x＞4，解不等式组②，得x＜-4.∴〔x+4〕〔x-4〕＞0的解集为x＞4或者x＜-4，即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或者x＜-4．〔2〕∵13xx->-，∴1030xx->⎧⎨->⎩或者1030xx-<⎧⎨-<⎩解得x＞3或者x＜1.4.解：〔1〕3554360A=⨯⨯=；〔2〕3887656 321C⨯⨯==⨯⨯.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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新定义阅读理解题1. 材料：解形如(x ＋a )4＋(x ＋b )4＝c 的一元四次方程时，可以先求常数a 和b 的均值a ＋b 2，然后设y ＝x ＋a ＋b 2，再把原方程换元求解．用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法”．例：解方程：(x －2)4＋(x －3)4＝1解：∵－2和－3的均值为－52，∴设y ＝x －52，原方程可化为(y ＋12)4＋(y －12)4＝1. 去括号得(y 2＋y ＋14)2＋(y 2－y ＋14)2＝1. y 4＋y 2＋116＋2y 3＋12y 2＋12y ＋y 4＋y 2＋116－2y 3＋12y 2－12y ＝1. 整理得2y 4＋3y 2－78＝0.(成功地消去了未知数的奇次项) 解得y 2＝14或y 2＝－74(舍去)． ∴y ＝±12，即x －52＝±12.∴x ＝3或x ＝2. (1)用阅读材料中这种方法解关于x 的方程(x ＋3)4＋(x ＋5)4＝1130时，先求两个常数的均值为________．设y ＝x ＋________．原方程转化为：(y －________)4＋(y ＋________)4＝1130；(2)用这种方法，求解方程(x ＋1)4＋(x ＋3)4＝706.2. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．例如：求91与56的最大公约数解：91－56＝35，56－35＝21，35－21＝14，21－14＝7，14－7＝7，所以，91与56的最大公约数是7.请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公约数；(2)求三个数78、104、143的最大公约数．3.材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余．材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差(高位数字减去低位数字)均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k(k≠0)时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数．(1)证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；(2)一个四位k阶数的两倍与两位数m2的差能被11整除(1≤m≤6)，且这个四位k阶数和两位数m2对3同余，求这个四位k阶数．4.我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：a＝2n＋1，b ＝2n 2＋2n ，c ＝2n 2＋2n ＋1(n 为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数；(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a ＝12(m 2－n 2)，b ＝mn ，c ＝12(m 2＋n 2)(m 、n 为正整数，m ＞n )时，a 、b 、c 构成一组勾股数；利用上述结论．．，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n ＝5，求该直角三角形另两边的长．5. 《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不大于100的“纯数”的个数．6.大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家．化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算：∴26445÷123＝215. ∴(x3＋2x2－3)÷(x－1)＝x2＋3x＋3.请用以上方法解决下列问题：(1)计算：(x3＋2x2－3x－10)÷(x－2)；(2)若关于x的多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值及相应的商．7.阅读下列材料解决问题：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，则这个数能被13整除．如：593814，814－593＝221，221是13的17倍，所以593814能被13整除．(1)若对任意一个七位数，末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，证明这个七位数一定能被13整除；(2)已知一个五位自然数，末三位为m＝500＋10y＋52，末三位以前的数为n＝10(x＋1)＋y(其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数)，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求这个五位数．8.对任意的一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于另一个数位上的数字，那么我们就把该数称为“三角形数”，现把n的百位数字替换成：十位数字加上个位数字后与百位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n1；把n的十位数字替换成：百位数字加上个位数字后与十位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n2；把n的个位数字替换成：百位数字加上十位数字后与个位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n3(若出现替换后的数位上的数字大于等于10，则该数位上的数字向前一位进位)．我们把n1、n2、n3的和记作F(n)．例如n＝345，则n1＝645，n2＝345，n3＝342，F(n)＝645＋345＋342＝1332；又知n＝839，则n1＝439，n2＝949，n3＝832，F(n)＝439＋949＋832＝2220.(1)计算：F(212)，F(739)；(2)如果一个“三角形数”t：t＝100x＋10y＋z(2≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x，y，z均为整数)，满足x ＋y＋z＝17，正整数s＝100x＋30y＋109和正整数m＝204＋10y，满足s－m得到的新数的各个数位上的数字之和是18，规定：k(t)＝|t－t2t－t1|，求k(t)的最大值．参考答案新定义阅读理解题1.解：(1)4，4，1，1；(2)∵1和3的均值为2，∴设y＝x＋2，原方程可化为(y＋1)4＋(y－1)4＝706.去括号整理得y4＋6y2－352＝0.解得y2＝16或y2＝－22(舍去)．∵y＝±4，即x＋2＝±4，∴x＝－6或x＝2.2.解：(1)∵108－45＝63，63－45＝18，45－18＝27，27－18＝9，18－9＝9，∴108与45的最大公约数是9；(2)先求104与78的最大公约数，104－78＝26，78－26＝52，52－26＝26，∴104与78的最大公约数是26；再求26与143的最大公约数，143－26＝117，117－26＝91，91－26＝65，65－26＝39，39－26＝13，26－13＝13，∴26与143的最大公约数是13，∴78、104、143的最大公约数是13.3. (1)证明：设这个任意四位阶梯数的个位为n，阶数为k，则该四位阶梯数表示为：n＋10(n＋k)＋100(n ＋2k)＋1000(n＋3k)，它与个位数的差为：n＋10(n＋k)＋100(n＋2k)＋1000(n＋3k)－n＝n＋10n＋10k＋100n＋200k＋1000n＋3000k－n＝1110n＋3210k＝6(185n＋535k)，∵6(185n＋535k)是6的倍数，∴6(185n＋535k)能被6整除．即一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；(2)解：设这个任意四位阶梯数的个位为n ，则该四位阶梯数表示为：n ＋10(n ＋k )＋100(n ＋2k )＋1000(n ＋3k )，2[n ＋10(n ＋k )＋100(n ＋2k )＋1000(n ＋3k )]－10m －2＝2222n ＋6420k －10m －2＝11(202n ＋583k )＋7k －10m －2，7k －10m －2是11的倍数；(1111n ＋3210k )÷3与(10m ＋2)÷3的余数相同．易得k 可取－1，－2，1，2，当m ＝1，2，3，4时，无论k 取何值，7k －10m －2都不是11的倍数，当m ＝5时，k ＝－2，此时四位k 阶数为1357，当m ＝6时，k ＝1，此时四位k 阶数为8765，5432.综上，这个四位数是1357，8765，5432.4. (1)证明：由题意知，c 2＝(2n 2＋2n ＋1)2＝(2n 2＋2n )2＋2(2n 2＋2n )＋1＝(2n 2＋2n )2＋4n 2＋4n ＋1＝(2n 2＋2n )2＋(2n ＋1)2.即c 2＝b 2＋a 2，∴满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数；(2)解：当n ＝5时，a ＝12(m 2－25)，b ＝5m ，c ＝12(m 2＋25)， 当a ＝37时，解得m ＝311，非正整数，不合题意，舍去，当b ＝37时，解得m ＝375，非正整数，不合题意，舍去， 当c ＝37时，解得m ＝7，满足题意，此时a ＝12，b ＝35，∴该直角三角形的另外两边的长为12，35.5. 解：(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位9＋0＋1＝10，产生了进位，∴2019不是“纯数”．∵在计算2020＋2021＋2022时，个位0＋1＋2＝3，十位2＋2＋2＝6，百位0＋0＋0＝0，千位2＋2＋2＝6，它们都没有产生进位，∴2020是“纯数”；(2)由题意，当“纯数”n 为一位数时，n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＝3n ＋3＜10，∴0≤n ＜73，故n ＝0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个， 当“纯数”n 为两位数时，设n ＝10b ＋a (其中1≤b ≤9，0≤a ≤9，且a ，b 为自然数)，则n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＝30b ＋3a ＋3.此时a ，b 应满足的条件分别为：3a ＋3＜10，即a ＝0，1，2；1≤b ≤3，即b ＝1，2，3.∵3×3＝9(个)，∴在两位数的自然数中，“纯数”有9个．∵100＋101＋102＝303，不产生进位，∴100是“纯数”，∴3＋9＋1＝13(个)．∴在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.6.解：(1)(x3＋2x2－3x－10)÷(x－2)＝x2＋4x＋5；（2）列除式：∴(x3＋2x2－3x－10)÷(x－2)＝x2＋4x＋5；(2)列除式如下：∵多项式2x4＋5x3＋ax2＋b能被二项式x＋2整除，∴余式b＋4(a－2)＝0，即4a＋b＝8.∵a，b是自然数，∴当a＝0时，b＝8，此时多项式为2x4＋5x3＋8，商为2x3＋x2－2x＋4；当a＝1时，b＝4，此时多项式为2x4＋5x3＋x2＋4，商为2x3＋x2－x＋2；当a＝2时，b＝0，此时多项式为2x4＋5x3＋2x2，商为2x3＋x2.7. (1)证明：设任意七位数的末三位为s，末三位以前的数为t，则这个七位数为ts，由题意可令t－s＝13k(k为整数)．ts＝1000t＋s＝1000t－13k＋t＝1001t－13k＝13(77t－k)，∴这个七位数一定能被13整除；(2解：)①当1≤y≤4时，m＝500＋10(5＋y)＋2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m′＝100(5＋y)＋52，m′－n＝100(5＋y)＋52－10(x＋1)－y＝99y－10x＋542＝13(42＋8y －x )－(4＋5y －3x )，∵1≤x ≤8，1≤y ≤4，且x ，y 都为整数，∴－21≤－(4＋5y －3x )≤15.∴－(4＋5y －3x )的值为13或0或－13.Ⅰ.若－(4＋5y －3x )＝13，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝2.（舍去）. Ⅱ.若－(4＋5y －3x )＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴这个五位数为94592，41562.Ⅲ.若－(4＋5y －3x )＝－13，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. ∴这个五位数为33582.②当5≤y ≤9时，m ＝600＋10(y －5)＋2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m ′＝100(y －5)＋62，m ′－n ＝100(y －5)＋62－10(x ＋1)－y＝99y －10x －448＝13(8y －x －34)－(6＋5y －3x )，∵1≤x ≤8，5≤y ≤9，且x ，y 都为整数，∴－48≤－(6＋5y －3x )≤－7.∴－(6＋5y －3x )的值为－39，－26，－13.Ⅰ.若－(6＋5y －3x )＝－39，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝9. ∴这个五位数为59642.Ⅱ.若－(6＋5y －3x )＝－26，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7. ∴这个五位数为67622.Ⅲ.若－(6＋5y －3x )＝－13，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5. ∴这个五位数为75602.综上所述：这个五位数为：94592，41562，33582，59642，67622，75602.8. 解：(1)由题得，当n ＝212时，n 1＝112，n 2＝232，n 3＝211， ∴F (212)＝112＋232＋211＝555；当n＝739时，n1＝539，n2＝839，n3＝731，∴F(739)＝539＋839＋731＝2109；(2)s－m＝100x＋30y＋109－204－10y＝100(x－1)＋20y＋5，①当1≤y≤4时，x－1＋2y＋5＝18，∴x＋2y＝14，∴x＝14－2y，把x＝14－2y代入x＋y＋z＝17中，得14－2y＋y＋z＝17，∴z＝y＋3，∵2≤x≤9，1≤z≤9，∴2≤14－2y≤9且1≤y＋3≤9，∴2.5≤y≤6且－2≤y≤6，∵1≤y≤4，∴2.5≤y≤4，∵y为整数，∴y＝3或4，当y＝3时，z＝6，x＝8，∴t＝836；当y＝4时，z＝7，x＝6，∴t＝647；②当5≤y≤9时，x－1＋1＋2y－10＋5＝18，x＋2y＝23，∴x＝23－2y，把x＝23－2y代入x＋y＋z＝17中，得z＝y－6，∵2≤x≤9，1≤z≤9，∴2≤23－2y≤9且1≤y－6≤9，∴7≤y≤10.5且7≤y≤15，∵5≤y≤9，∴7≤y≤9，∵y为整数，∴y＝7或8或9，当y＝7时，z＝1，x＝9，不是三角形数，应舍去；当y＝8时，z＝2，x＝7，∴t＝782；当y＝9时，z＝3，x＝5，不是三角形数，应舍去，综上，t＝836或647或782，当t＝836时，t1＝136，t2＝916，∴k (836)＝|836－916836－136|＝435， 当t ＝647时，t 1＝547，t 2＝697，∴k (647)＝|647－697647－547|＝12， 当t ＝782时，t 1＝382，t 2＝712，∴k (782)＝|782－712782－382|＝740， ∵12>740>435， ∴k (t )的最大值为12.。