14.1 无向图 有向图概念解析

设A,B为两集合, AB={(x,y) | xA且yB} AB为A与B的无序积, (x,y)叫无序对.
跟有序对不同,对无序对,无论x,y是否相同 ,有 (x,y)=(y,x). 如: (3,5)=(5,3)
例如:设A={a1,a2},B={b1,b2},则 A&B={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2)} A&A={(a1,a1),(a1,a2),(a2,a2)}
注意与笛卡儿积的区别 A×B={<a1,b1>,<a1,b2>,<a2,b1>,<a2,b2>} A×A={<a1,a1>,<a1,a2>,<a2,a1>,<a2,a2>}
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多重集合: 元素可以重复出现的集合. 在多重集合中: {1,1,2,2,3} ≠{1,2,3} 在集合论中,同一个元素在集合中多次出现被 认为是一个元素,如: {1,1,2,2,3}={1,2,3} 多重集合的概念引入是为了表示图的平行边.
注:在有向图中,有向边<a,b>,是有方向的, 箭头从a指向b,表示a是起点,b是终点.
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边的另一种表示方法:
为了表示的方便,边的还有另一种表示法:用ek表示 无向边或有向边. 如下图e1=(v1,v1), e2=(v1,v2)
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
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有向图
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1) V是顶点集, 元素也称为顶点 (2) E是边集,为笛卡儿积VV的多重子集，其元素 称为有向边，简称边.
用 有 序 对 <a,b> 表 示 顶 点 a 指 向 顶 点 b 的 边,<a,b>≠<b,a>
右图是有向图，试写出它的V和E V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,b>,<d,c>,<c,d>} 注意:顶点a指向b的边<a,b>有两条, <d,c>,<c,d>是两条方向相反的边.
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无向图
定义 一个无向图 G 是一个二元组 , 即 G=<V,E>, 其中 (1) V是一个非空集合,称为G的顶点集(vertex)， V中元素称为顶点或结点. (2) E为无序积VV的一个多重子集(元素可以重 复出现 ) ，称为G的边集 ,E中元素称为无向边， 简称边(edge). 用 无 序 对 (a,b) 表 示 连 接 顶 点 a 和 顶 点 b 的 边,(a,b)=(b,a). 例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 注意:连接v2,v3的边有两条. 无向图的边没有方向.
例5.7 给定图的集合表示,画出图形.

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顶点和边的关系-关联
ek
vi
vj
定义 设ek=(vi, vj)是无向图G=<V,E>的一条 边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联. 若vi vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1; 若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关 联次数为2; 若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数 为0. 无边关联的顶点称作孤立点.
图论
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图论部分前言

图论(Graph theory)是一门古老而年轻的学科. 古老 : 早在 18 世纪 , 学者们便运用图为工具来解决 一些实际问题. 年轻 : 直到 20 世纪中后期 , 尤其是随着计算机科学 与技术的发展,图的理论和应用研究逐渐得到重视, 图论作为一个数学分支,才确立了它的地位.
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欧拉将该问题抽象下右图.
抽象

用结点表示两岸和小岛,用结点间的连线表示桥. 问题转化为:是否能从某一点出发经过每条线段恰 好一次,然后再回到出发点.
最后,欧拉论证了七桥问题无解.
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a)ห้องสมุดไป่ตู้
b)
可以看到b)图是a)图的抽象,人们不注重结 点的位置\边的长短\形状.只关心结点与边的 联结关系. 这与几何学中的图形有本质区别.
像这样由结点和边组成的离散结构就是本章讨论的图.
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图论的应用

图论广泛应用于建立和处理离散对象及其关系, 如:关系(关系图)\网络\运筹规划等
在计算机科学领域:算法设计\操作系统\网络理论,都 有广泛应用. 其他领域:生物学\经济\控制论\运筹学等
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第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图
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基本概念 无序积AB :用来表示无向图的边.
是 ek 的终点, vi邻接到 vj, vj邻接于 vi.
a邻接于b, a是起点,b是终点
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邻域和关联集
设无向图G, vV(G) v的邻域 N(v)={u|uV(G)(u,v)E(G)uv} v的闭邻域 N (v) = N(v)∪{v} v的关联集 I(v)={e|eE(G)e与v关联} 设有向图D, vV(D) v的后继元集 D (v )={u|uV(D)<v,u>E(G)uv} v的先驱元集 D (v )={u|uV(D)<u,v>E(G)uv} N ( v ) ( v ) v的邻域 D D D (v) v的闭邻域 N D (v) N D (v) {v}

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1 图论的起源



图论的起源可以追溯到1736年, 瑞士数学家欧拉(Eular)(1707-1783)成功解决了当 时很有名的哥尼斯堡七桥问题, 并发表了第一篇图论论文,欧拉成为图论的创始人.
哥尼斯堡位于立陶宛的普雷格尔河畔 河中有有两个小岛和七座桥. 居民们提出的问题是:可否从城市或岛上的 一点出发,经由七桥,并且只经过每座桥一次, 然后回到原地.
问:e1与v1的关联次 数是多少 e2与v1和v2的关联 次数是多少?
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相邻(点相邻，边相邻，邻接到）
对无向图 G=<V,E>, vi,vjV, ek,elE, 若 (vi,vj) 组成一条边 , 则称 vi,vj 相邻 (点相邻); v1和v2点相邻 若ek,el至少有一个公共端点 , 则称 ek,el相邻(边相邻). e2和e3边相邻. 对有向图有类似定义 . 设 ek=vi,vj 是有 向图的一条边 ,又称vi 是 ek的始点 , vj
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相关概念与规定
通常用G(Graph)表示无向图.
D(Directed graph)表示有向图, 也常用G泛指无向图和有向图,
n 阶图: n个顶点的图 有限图: V, E都是有穷集合的图,本书只讨 论有限图 零图: 边集E= 平凡图: 1 阶零图 空图: 顶点集V=

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5.5例题分析: p134