14.1 无向图 有向图概念解析
chap14 有向图
有向H图的应用
任务的最佳排序问题：假设有任务t1, t2, …tn需在
同一设备上串行执行，从任务ti转到任务tj所需的 设备调整时间是aij，如何排任务执行次序，使设 备调整需时间最少？
1、建图：建立有向图D, 顶点对应于要执行的任务，
vivjA(D)当且仅当aijaji。边vivj带权aij。
T的高度为3 ;
T中的蓝色结点及弧构成 T的一个以v2为根的子树.
27
有序树
定义14.3.3：若对一个树T的结点(弧)从
上至下，同一层结点(弧)从左至右规定了 一个次序，则称T为有序树。 v0 有序树的编号：
v1 v2 v3
v21
v211 v212
v22
v213
v31
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m元(有序)树
定义14.3.4：设T是(有序)树，m 1。
3 v3
D D’
17
竞赛图
竞赛图：完全图的定向图称为竞赛图。
n阶竞赛图可用来表示n个选手之间进行
循环赛的胜负状态。
有一人全胜，其余各胜 一场： 有一人全输，其余各胜 两场：
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竞赛图都含有向H通路
有向图D的有向H通路是指一条包含D的所有顶
点的有向通路（有向哈密尔顿通路）。 推论14.2.1：每个竞赛图都含有向H通路。 证明：设D是竞赛图， D的基础图G是完全图， 于是， (G) = |V(D)| =p , 由定理14.2.1知，D中含长为p–1的有向通路， 也就是说，该通路上包含了所有的p个顶点， 即为有向H通路。
3(a). D 中任何一条有向(u, v)-通路(u≠v)P均满足 (u)≠(v) 3(b). D 中的任何弧(u,v) v 1 的首尾不同色 2 4. 总之，基础图G的 任何两个邻接的顶 点在下均不同色， 4 即是G的正常(k+1) v2 着色。 故k≥ (G) –1
离散数学课件14图的基本概念
标定图与非标定图、基图
• 将图的集合定义转化成图形表示之后，常 用ek表示无向边(vi,vj)（或有向边<vi,vj>） ，并称顶点或边用字母标定的图为标定图 ，否则称为非标定图。
• 将有向图各有向边均改成无向边后的无向 图称为原来图的基图。
• 易知标定图与非标定图是可以相互转化的 ，任何无向图G的各边均加上箭头就可以 得到以G为基图的有向图。
称NG(v)∪{v}为v的闭邻域，记做NG(v)。 称{e|e∈E∧e与v相关联}为v的关联集，记做IG(v) 。
• 设有向图D＝<V，E>，v∈V， 称{u|u∈V∧<v,u>∈E∧u≠v}为v的后继元集，记做 Г+D(v)。 称{u|u∈V∧<u,v>∈E∧u≠v}为v的先驱元集，记做 Г (v)。 -2020/7/23
2020/7/23
无序积与多重集合
• 设A，B为任意的两个集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B}为A与B的无序积，记作 A&B。
可将无序积中的无序对{a,b}记为(a,b)，并且 允许a＝b。
无论a,b是否相等，均有(a,b)＝(b,a)，因而 A&B＝B&A。
• 元素可以重复出现的集合称为多重集合或者 多重集，某元素重复出现的次数称为该元素 的重复度。 2020/7/23
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举例
NG(v1) {v2，v5}
＝
NG(v1)
＝
{v1，v2，v5}
IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
干货非常详细的有向图模型与无向图模型原理总结
干货非常详细的有向图模型与无向图模型原理总结本文是小编结合了多个图模型的经典文章所作的一个总结，对于一谈到图模型和马尔科夫知识就产生厌恶的同学，本文会带你循序渐进的去理解图模型的算法原理。
目录1. 为什么要用有向图模型和无向图模型2. 有向图模型的条件独立概率表示方法3. 无向图模型的条件独立概率表示方法4. 有向图模型举例——贝叶斯网络5. 有向图模型举例——隐马尔科夫模型6. 无向图模型举例——马尔科夫随机场7. 小结概率建模在机器学习领域有着广泛的应用，如贝叶斯分类、隐马尔可夫模型和条件随机场。
在实际的人工智能项目中，我们常常面对高维空间的特征，若以概率的角度去构建机器学习模型，你首先需要做的就是分析高维特征空间的联合概率举例来说，对于K维随机向量，其联合概率为高维空间的分布，一般难以建模。
假设每个随机变量为离散值并有m 个取值，下面开始介绍如何估计随机向量X的联合概率P(X)。
1）最直接的方法是分析随机变量中所有可能的组合，每个随机变量有m个取值，K维随机向量X共有的可能取值，若要通过该方法正确的构建模型，则需要大量的训练数据。
若每一个可能的随机向量X 的联合分布用一个参数表示，那么构建该模型需要参数，当m=2，K=100时，模型参数的大小约为，这大大超出了目前计算机的存储能力。
这里需要提醒的一点是随机向量X共有的可能取值，而模型参数个数是的原因是所有可能取值的概率和等于1，即自由度降低了1。
2）我们对模型结构进行独立性假设，假设随机变量是相互独立的，那么随机向量X的联合概率为：独立性假设相比于第一种方法大大的减少了模型参数个数，如m=2，K=100时，模型参数个数是100，第一种方法的模型参数约为。
3）针对前两种估计联合概率方法的缺点，我们对模型结构进行了条件独立性假设，如果在给定的条件下相互独立，则联合概率有：上式是条件独立性的一个例子，独立性假设大大的减少了模型参数量，举个例子来说：假设有四个二值变量，用第一种方法计算联合概率，那么模型需要个参数。
第14章-图基本概念
不同的圈（以长度3的为例） ① 定义意义下 无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个 有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
试讨论l=3和l=4的情况
v 的关联集 I( v ) { e |e E ( G ) e 与 v 关 } 联 ② vV(D) (D为有向图)
v的后继D 元 (v)集 {u|uV(D)v,u E(D)uv} v的先驱D 元 (v)集 {u|uV(D)u,v E(D)uv} v的邻域ND(v)D (v)D (v) v的闭邻N域 D(v)ND(v){v}
2 m d (v) d (v) d (v)
v V
v V 1
v V 2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
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握手定理应用
补例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其 余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？ 解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
8
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数:如果关联一对顶点的无向边多
于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） 如果关联一对顶点的有向边多于1条，并且这些边的始点与
终点相同，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (3) 多重图：含平行边的图称为多重图。 (4) 简单图：既不含平行边也不含有环的图。 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念
无向图及有向图
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关联与关联次数、环、孤立点
设G＝<V,E>为无向图，ek＝(vi,vj)∈E， 称vi,vj为ek的端点，ek与vi或ek与vj是彼此相关联的。 若vi≠vj，则称ek与vi或ek与vj的关联次数为1。 若vi＝vj，则称ek与vi的关联次数为2，并称ek为环。 任意的vl∈V，若vl≠vi且vl≠vj，则称ek与vl的关联次数 为0。
设D＝<V,E>为有向图，ek＝<vi,vj>∈E，称vi,vj为ek的
端点。
若vi＝vj，则称ek为D中的环。
无论在无向图中还是在有向图中，无边关联的顶点均 称为孤立点(isolated vertices)。
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相邻与邻接
设无向图G＝<V，E>，vi，vj∈V，ek，el∈E。
以该序列为度数列设设vv1v2v3v4且dv1dv2dv33dv41由于dv41因而v4只能与v1v2v3之一相邻去掉v4后与v4关联的边也去掉于是剩余的v1v2v3组成的图的度数应该是233此时因为最大度为3不满足n12的要求因此这三个点构成的图必定有平行边或者环不是简单图此时若加入v4及与v4关联的边构成的图必定也不是简单图
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬 挂边。度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
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图的度数举例
度数列：4、4、2、1、3 边：7
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
出：4、0、2、1 入：1、3、1、2
d+(a)＝4，d-(a)＝1
离散数学第十四章图论基本概念
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
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几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
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点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
图的基本概念
图的基本概念图是一种直观的离散模型，由于其在众多领域中的广泛应用，越来越引起人们的兴趣，其应用领域包括计算机科学、化学、运筹学、电子工程、语言学和经济学。
我们这一讲学习三种图模型，即无向图、有向图和加权图，看看它们可以表示哪些事物，然后研究两个问题，即欧拉回路问题和汉密尔顿回路问题。
1. 无向图无向图是由有限个点和这些顶点之间的若干连线所组成的。
例如，下面的无向图由3个顶点和5条边组成。
我们把这个图用集合语言描述如下：({v 1, v 2, v 3}, {{v 1, v 1}, {v 1, v 2}, {v 1, v 3},{v 2, v 3},{v 2, v 3}})多重集（multi-set ）：集合中同一个元素可出现多次。
定义1.1 设V 是非空的有限集合，E 是V 上的无序对所组成的有限多重集，则称二元组(V ,E)为无向图（undirected graph ），其中V 称为顶点集，其中的元素称为顶点（vertex ）或者结点（node ），E 称为边集，其中的无序对称为无向边（undirected edge ），简称边。
边{v 1, v 2}通常简记为v 1v 2，并称该边连接顶点v 1和v 2，其中的顶点称为这条边的端点（ends 或end-points ）。
只有一个端点的边称为环（loop ）。
具有相同端点的两条边统称为平行边或者多重边。
不含环和平行边的无向图称为简单无向图。
作为数学模型，其中顶点表示一些不同的对象，边表示两个对象之间的某种联系。
例1.2 Bacon 数查找任意演员的Bacon 数的网址： 。
例1.3 并行计算的循环模型例1.4 并行计算的超立方体模型（hypercube ）2. 有向图定义2.1 若V 是非空的有限集， E 是V 上的有序对组成的有限多重集，则称(V , E)为有向图。
有向边(a,b)通常简记为ab ，其中顶点a 和b 分别称为该有向边的始起点和终点。
图论--图的基本概念
图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。
注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。
某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。
例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。
从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。
1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。
通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。
与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。
通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。
⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。
（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。
（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。
1阶零图N1称作平凡图。
平凡图只有⼀个顶点，没有边。
（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。
（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。
（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。
（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。
概率图模型之有向图与无向图
概率图模型之有向图与无向图概率图模型之有向图与无向图2010-11-22 16:38:34| 分类：技术仓库 | 标签： |字号大中小订阅转自/blog/cns!2D7821B3AF3C6073!155.entry概率图模型之有向图与无向图图模型用图结构描述随机变量之间的依赖关系，结点表示随机变量，边表示随机变量之间的依赖关系，可以是有向图和无向图。
一无向图模型无向图模型又叫马尔可夫网络、马尔可夫随机场，是关于一组有马尔可夫性质随机变量X的全联合概率分布模型。
1 无向图模型的表示给定包含n个随机变量的问题域，则定义在问题域U上的无向图模型包括拓扑结构和参数两部分:拓扑结构S:节点表示随机变量，两节点之间的连线表示它们之间具有直接的相互影响。
参数Θ:无向图模型参数是对节点之间相互影响的定量描述。
它是拓扑结构S中每个极大完全子图所对应的势函数的集合。
其中，极大完全子图(clique)是指不包含于其它完全子图的完全子图（完全子图中任何两节点是直接相连的），势函数则反映了极大完全子图的每种可能状态的能量。
2 无向图模型的联合概率分解利用无向图模型可将图的联合概率分解为一系列因子式。
给定无向图模型拓扑结构S和参数Θ之后，问题域U上的联合概率密度函数可写为:其中N为无向图中极大完全子图的数目。
3 例子：二有向图模型1 一个简单的例子2 一般情况考虑任意联合分布，通过连续使用乘法规则利用局部马尔可夫性简化简化：在给定其所有父亲节点的情况下，随机变量X与其非后继条件独立。
其中pai是Xi的父节点集合。
三有向图模型与无向图模型的对比：1 共同之处将复杂的联合分布分解为多个因子的乘积2 不同之处有向图模型因子是概率分布、无需全局归一无向图模型因子是势函数，需要全局归一3 优缺点无向图模型中势函数设计不受概率分布约束，设计灵活，但全局归一代价高有向图模型无需全局归一、训练相对高效。
关于图的基本概念无向图及有向图课件
握手定理（图论基本定理）
定理7.1 设图G=<V,E>为无向图或有向图，
V = {v1, v2,…, vn},,|E|=m，则
n
d vi 2m
i 1
说明 任何无向图中，各顶点度数之和等于边数的
两倍。
证明 G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在 计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然 ，m条边，共提供2m度。
→/wiki/File:K
图论的起源
欧拉最后给出任意一种河──桥图能否全 部走一次的判定法则。如果通奇数座桥的 地方不止两个，那么满足要求的路线便不 存在了。如果只有两个地方通奇数座桥， 则可从其中任何一地出发找到所要求的路 线。若没有一个地方通奇数座桥，则从任 何一地出发，所求的路线都能实现，他还 说明了怎样快速找到所要求的路线。
第7章 图的概念
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示 4. 最短路径及关键路径
14
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
15
预备知识
有序积: A×B={ <x,y> |x∈A∧y∈B} 有序对: <x,y>≠<y,x> 无序积: A&B={ (x,y) |x∈A∧y∈B} 无序对: (x,y)=(y,x) 多重集: {a,a,a,b,b,c}≠{a,b,c} 重复度: a的重复度为3, b的为2, c的为1
关联与关联次数、环、孤立点
设D＝<V,E>为有向图，ek＝<vi,vj>∈E， 称vi,vj为ek的端点。
若vi＝vj，则称ek为D中的环。 无论在无向图中还是在有向图中，无边关
14.1 无向图 有向图概念
5
图论的应用
图论广泛应用于建立和处理离散对象及其关系, 如:关系(关系图)\网络\运筹规划等
在计算机科学领域:算法设计\操作系统\网络理论,都 有广泛应用. 其他领域:生物学\经济\控制论\运筹学等
6
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图
7
基本概念 无序积AB :用来表示无向图的边.
9
无向图
定义 一个无向图 G 是一个二元组 , 即 G=<V,E>, 其中 (1) V是一个非空集合,称为G的顶点集(vertex)， V中元素称为顶点或结点. (2) E为无序积VV的一个多重子集(元素可以重 复出现 ) ，称为G的边集 ,E中元素称为无向边， 简称边(edge). 用 无 序 对 (a,b) 表 示 连 接 顶 点 a 和 顶 点 b 的 边,(a,b)=(b,a). 例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 注意:连接v2,v3的边有两条. 无向图的边没有方向.
注:在有向图中,有向边<a,b>,是有方向的, 箭头从a指向b,表示a是起点,b是终点.
11
边的另一种表示方法:
为了表示的方便,边的还有另一种表示法:用ek表示 无向边或有向边. 如下图e1=(v1,v1), e2=(v1,v2)
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
12
相关概念与规定
通常用G(Graph)表示无向图.
有向图及无向图的比较研究ppt课件
分析2：顶点Vi 的度＝第 i 行 (列) 中1 的个数；
特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余全1。
ppt精选版
16
有向图的邻接矩阵如何表示？
v1
A
v2
顶点表： ( v1 v2 v3 v4 )
邻接矩阵： 0 10 01 0 v1
A.Edge = 0 0 0 0 v2
v3
v4
0 0 0 01 v3
2 有向图的邻接表和逆邻接表 1）有向图的邻接表 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为起点的弧：用线性链表存储
例
下标 编号 link
0 V0 1 V1 2 V2 3 V3
1
2
3 0
类似于无向图的邻接表， 所不同的是：
以同一顶点为起点的弧： 用线性链表存储
V0
V1
m-1
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V2
V3
1 无向图的邻接表 顶点：通常按编号顺序将顶点数据存
储在一维数组中； 关联同一顶点的边：用线性链表存储
该结点表示边 （Vi Vj）,其中的1是Vj
在一维数组中的位置
下标 编号 link
例
V0
V1
V2
0 V0 1 V1 2 V2
3 V3
1
3
0
2
4
1
3
4
0
2
V3
V4 4 V4
1
2
m-1
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无向图的邻接矩阵如何表示？
v1
v2
顶点表：（ v1 v2 v3 v4 v5 ）
A
v3
邻接矩阵：
v4
00 10 00 10 00 v1
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2
顶点和边的关系-关联
ek
vi
vj
பைடு நூலகம்
定义 设ek=(vi, vj)是无向图G=<V,E>的一条 边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联. 若vi vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1; 若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关 联次数为2; 若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数 为0. 无边关联的顶点称作孤立点.
问:e1与v1的关联次 数是多少 e2与v1和v2的关联 次数是多少?
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相邻(点相邻，边相邻，邻接到）
对无向图 G=<V,E>, vi,vjV, ek,elE, 若 (vi,vj) 组成一条边 , 则称 vi,vj 相邻 (点相邻); v1和v2点相邻 若ek,el至少有一个公共端点 , 则称 ek,el相邻(边相邻). e2和e3边相邻. 对有向图有类似定义 . 设 ek=vi,vj 是有 向图的一条边 ,又称vi 是 ek的始点 , vj
像这样由结点和边组成的离散结构就是本章讨论的图.
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图论的应用
图论广泛应用于建立和处理离散对象及其关系, 如:关系(关系图)\网络\运筹规划等
在计算机科学领域:算法设计\操作系统\网络理论,都 有广泛应用. 其他领域:生物学\经济\控制论\运筹学等
6
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图
7
基本概念 无序积AB :用来表示无向图的边.
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有向图
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1) V是顶点集, 元素也称为顶点 (2) E是边集,为笛卡儿积VV的多重子集，其元素 称为有向边，简称边.
用 有 序 对 <a,b> 表 示 顶 点 a 指 向 顶 点 b 的 边,<a,b>≠<b,a>
右图是有向图，试写出它的V和E V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,b>,<d,c>,<c,d>} 注意:顶点a指向b的边<a,b>有两条, <d,c>,<c,d>是两条方向相反的边.
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相关概念与规定
通常用G(Graph)表示无向图.
D(Directed graph)表示有向图, 也常用G泛指无向图和有向图,
n 阶图: n个顶点的图 有限图: V, E都是有穷集合的图,本书只讨 论有限图 零图: 边集E= 平凡图: 1 阶零图 空图: 顶点集V=
13
5.5例题分析: p134
图论
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图论部分前言
图论(Graph theory)是一门古老而年轻的学科. 古老 : 早在 18 世纪 , 学者们便运用图为工具来解决 一些实际问题. 年轻 : 直到 20 世纪中后期 , 尤其是随着计算机科学 与技术的发展,图的理论和应用研究逐渐得到重视, 图论作为一个数学分支,才确立了它的地位.
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无向图
定义 一个无向图 G 是一个二元组 , 即 G=<V,E>, 其中 (1) V是一个非空集合,称为G的顶点集(vertex)， V中元素称为顶点或结点. (2) E为无序积VV的一个多重子集(元素可以重 复出现 ) ，称为G的边集 ,E中元素称为无向边， 简称边(edge). 用 无 序 对 (a,b) 表 示 连 接 顶 点 a 和 顶 点 b 的 边,(a,b)=(b,a). 例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 注意:连接v2,v3的边有两条. 无向图的边没有方向.
设A,B为两集合, AB={(x,y) | xA且yB} AB为A与B的无序积, (x,y)叫无序对.
跟有序对不同,对无序对,无论x,y是否相同 ,有 (x,y)=(y,x). 如: (3,5)=(5,3)
例如:设A={a1,a2},B={b1,b2},则 A&B={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2)} A&A={(a1,a1),(a1,a2),(a2,a2)}
注意与笛卡儿积的区别 A×B={<a1,b1>,<a1,b2>,<a2,b1>,<a2,b2>} A×A={<a1,a1>,<a1,a2>,<a2,a1>,<a2,a2>}
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多重集合: 元素可以重复出现的集合. 在多重集合中: {1,1,2,2,3} ≠{1,2,3} 在集合论中,同一个元素在集合中多次出现被 认为是一个元素,如: {1,1,2,2,3}={1,2,3} 多重集合的概念引入是为了表示图的平行边.
是 ek 的终点, vi邻接到 vj, vj邻接于 vi.
a邻接于b, a是起点,b是终点
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邻域和关联集
设无向图G, vV(G) v的邻域 N(v)={u|uV(G)(u,v)E(G)uv} v的闭邻域 N (v) = N(v)∪{v} v的关联集 I(v)={e|eE(G)e与v关联} 设有向图D, vV(D) v的后继元集 D (v )={u|uV(D)<v,u>E(G)uv} v的先驱元集 D (v )={u|uV(D)<u,v>E(G)uv} N ( v ) ( v ) v的邻域 D D D (v) v的闭邻域 N D (v) N D (v) {v}
注:在有向图中,有向边<a,b>,是有方向的, 箭头从a指向b,表示a是起点,b是终点.
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边的另一种表示方法:
为了表示的方便,边的还有另一种表示法:用ek表示 无向边或有向边. 如下图e1=(v1,v1), e2=(v1,v2)
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
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1 图论的起源
图论的起源可以追溯到1736年, 瑞士数学家欧拉(Eular)(1707-1783)成功解决了当 时很有名的哥尼斯堡七桥问题, 并发表了第一篇图论论文,欧拉成为图论的创始人.
哥尼斯堡位于立陶宛的普雷格尔河畔 河中有有两个小岛和七座桥. 居民们提出的问题是:可否从城市或岛上的 一点出发,经由七桥,并且只经过每座桥一次, 然后回到原地.
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欧拉将该问题抽象下右图.
抽象
用结点表示两岸和小岛,用结点间的连线表示桥. 问题转化为:是否能从某一点出发经过每条线段恰 好一次,然后再回到出发点.
最后,欧拉论证了七桥问题无解.
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a)
b)
可以看到b)图是a)图的抽象,人们不注重结 点的位置\边的长短\形状.只关心结点与边的 联结关系. 这与几何学中的图形有本质区别.