近世代数课程教学

近世代数课程教学刍议

摘要：从近世代数的课程意义和课程特点出发，结合教学实践，阐述了教师如何通过教学内容的组织、教学策略的实施和教学方法的改进三个方面来提高近世代数的教学质量。

关键词：近世代数；教学；抽象；反例

中图分类号：g642.4 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）15-0077-03

一、近世代数课程的意义和特点

代数最初主要研究的是数，高等代数虽然引入了行列式、矩阵等概念，但还是离不开数.人们发现，许多抽象的对象也都具有类似于数的这一特征，于是对它们的结构和性质进行了研究，并且应用它们解决了许多重大的数学问题和实际问题，这就导致了近世代数的产生和发展.随着现代科技的飞速发展，特别是信息、电子科学研究的不断深化，近世代数的基本思想、理论和方法的重要作用越来越明显，而且它已经渗透到科学领域的各个方面与部门.尤其是近世代数在编码和信息安全方面的应用更被认为是基础数学应用

的一个成功典范.另外，近世代数中的等价、划分、同构等思想方法对于提高学生的数学修养、培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用.它需要学习者具有敏锐的直觉思维和严谨的逻辑思维，同时也需要构造性的思路和精练的抽象思维.

二、近世代数课程的教学研究与实践

由于近世代数的高度抽象性不同于其他数学学科，初学者很难掌

握用近世代数的基本思想和理论来处理或解决具体问题的方法，从而直接影响了后继课程学习的热情.这给教师提出了严峻的挑战，究竟如何组织教学，才能使学生轻松愉快地学习并掌握该课程内容？通过实践，我们觉得可从以下几个方面尝试.

1.教学内容的组织.教学内容的组织是教学工作的重要环节，它直接影响学生的学习兴趣与学习效果.近世代数的教材是代数学已发展成熟、理论完善之中的最重要的基础.由于教材的篇幅所限，大多以一种简化理想的、服从数学演绎推理的逻辑结构形式呈现，比较注意知识的科学性、系统性和逻辑体系，而对知识的发生与发展过程，对蕴含于知识之中的思维价值与智力价值则较少反映；对蕴含于数学问题中的数学思想和方法也较少予以明确的揭示.所以必须领会教材内容的精神实质，考虑学生学习过程的心理活动规律，改变教材的形式化表述顺序，立足于代数学知识产生的背景，对所选的材料按教育科学的原理加工、改编，用多种形式来呈现教学内容，将数学知识学术形态转化为教育形态，恢复原始的思考过程，注重分析各概念的来龙去脉，强化代数学中最基本的思想和方法，让学生逐步感悟到研究各种代数运算系统的作用和好处.这样不仅符合学生的认知规律，易于他们进入实质性的理解，也便于学生主动建构知识.

2.教学策略的实施.（1）重视概念教学.概念是判断、推理和论证的基础，准确地理解和掌握概念，才能做出正确的判断、推理和论证.近世代数本身是一种“概念的游戏”，其内容比较抽象.而且

近世代数的教材编排一般是“定义→定理→性质”的模式，单调枯燥，进一步影响了学生学习这门课程的情绪.教学中可以尽量调动学生已有的各种数学知识，举出丰富多彩的具体实例，揭示概念的本质特征，在形象与抽象之间架起一座桥梁，使学生主动地构建这些概念，即促进学生知识的正向迁移.例如，近世代数中“关系”的定义[1]：设m是一个集合，如果有一个法则r，它对m中的任二元素a，b可以确定“是”或“不是”符合这个法则，则称此法则r 为m的元素间的一个关系，当元素a与b符合这一法则时，记为arb，否则记为arb.在讲授时，可先从现实生活中举一个容易理解的例子，之后再举和理论有关的例子就不觉得“抽象”了.譬如，设m

为南阳师院数学与应用数学专业的全体同学的集合，规定arb？圳a与b来自一个省，则从该专业中任意抽出两个同学，他们如果来自一个省，则他们两个就有这种关系，如果不是来自一个省，则他们两个就没有这种关系.之后跟学生讲清楚，“关系”是需要自己去定义的，接着再举一些理论上的例子就好理解了.又如，等价关系的定义[1]：如果集合m的元素间的一个关系r满足以下条件：10对m中任意元素a，都有ara；（反身性）20如果arb，必有bra；（对称性）30如果arb，brc，必有arc（传递性），则称这个关系是m的一个等价关系.可以让学生验证前面定义的那个“关系”就是一个“等价关系”，这样把两个定义都形象地刻画了.接下来再向学生介绍学过的矩阵的等价、相似与合同都是矩阵间的等价关系，可带着学生验证其中的一个，其余让学生自己验证，便于他们掌握

验证等价关系的方法.（2）化抽象为具体.学生感到近世代数生涩难懂，原因之一在于它的概念和定理具有高度的抽象性和概括性.如果不把概念产生的背景讲清楚，学生就只是死记概念本身.这就要求教师授课时多举例子、多讲历史起源.例如，在讲“整环里的因子分解”时，先讲最初是数学家高斯为了解决n次方程是否有整数解这一问题才研究整数环的唯一分解性的，再以整数环为例进行讲解.这样学生心中就有了实实在在的例子，而不会感到抽象.（3）注重反例的作用.对于数学命题，证明与构造反例是两种不同的“论证”方法，具有同样的说服力，前者肯定命题，后者否定命题.近世代数理论性强、内容抽象，学生对一些概念的理解、性质的运用容易出现偏差.而构造反例能帮助学生理解概念、掌握性质，下面是教学中的几个具体例子.①同构映射？准的定义中隐含着三个

条件：？准是满射，？准是单射，？准保持运算，缺一不可.为了让学生更好地理解概念，除了举一些同构映射的例子，还可以举一些非同构映射的例子.例1 g1={非零有理数}，g1={有理数}，运算都是普通乘法.映射？准1（a）=a.（a∈g1），则？准1是g1到g1的单射且保持运算，但不是满射；g2{整数}，g2的运算是普通加法.g2=1，g2的代数运算是普通乘法.映射？准2（a）=1（a∈g2），则？准2是g2到 g2的满射且保持运算，但不是单射；g3=g3={实数}，运算都是普通乘法.映射？准3（a）=-a（a∈g3），则？准3是g3到g3的双射，但是不保持运算.可见？准1、？准2、？准3都不是同构映射.②无限群中存在有限阶的元.例2 在非零有理数