近世代数课程教学
简论近世代数课程的教学
简论近世代数课程的教学
近世代数课程是一门基础学科，在高中数学课程中占有重要的地位，其教学内容涉及到许多角度的数学思想和解决问题的能力。
在这门课程中，学生要掌握数值代数、函数、概率与统计等方面的基本概念和算法，加深对数学知识体系的了解。
为了有效引导学生深入学习近世代数，使其能够更好地掌握相关知识，在教学中应注重强化抽象思维能力的培养，能够培养学生的解题能力和创新精神，达到从数学抽象思想中进行解题的能力，面对解题过程中发生的任何问题，一个有效的解题机制也是非常重要的。
让学生熟悉近世代数课程中函数、数轴动态图、指数和对数函数、微分与积分等内容，也是其重要教学技巧之一。
这里强调两个重要技巧：一是增强学生自主学习的能力，让学生通过自主学习来解决实际问题；二是提高学生的主动学习能力，引导学生在理解数学内容的基础上进行自主的研究，积极地探索数学的内涵，深化其理解和回答更复杂的问题。
总之，在教授近世代数课程时，应注重深入分析实际问题，引导学生学以致用，注重提高学生解决问题的能力，从而培养学生良好的科学素养和思维性能力，能够解决实际问题。
提升学生数学学习兴趣和综合能力，为未来学习科学技术提供坚实的基础。
《高等数学》.
近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。
本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。
它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。
它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。
其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。
通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。
由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。
并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。
还要注重培养抽象思维和推理的能力。
3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。
4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。
6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。
近世代数第三版课程设计
近世代数第三版课程设计简介近世代数是现代数学的一个重要分支，它涉及到很多方面，如群论、环论、域论等等。
而近世代数第三版课程则主要讲解了开放群的基本概念、同态、同构以及群等基础知识，并讨论了有限群的结构。
这门课程旨在培养学生对群、环、域的具体概念、基础理论，以及其应用的深刻认识和熟练运用能力。
本文档将对近世代数第三版课程的教学设计和实施进行详细阐述。
教学目标本课程的教学目标主要包括以下方面：1.熟悉开放群的定义及其基本性质；2.掌握同态、同构的概念及其在开放群中的应用；3.熟练掌握有限群的分类及其内部结构；4.培养学生运用代数学工具解决实际问题的能力。
教学内容本课程将涵盖以下主要内容：1.群的基本概念：群、子群、商群、正规子群、左余元、右余元、循环群。
2.开放群的基本性质：陪集、拉格朗日定理、同余原理、群同态、群同构。
3.有限群的分类：Sylow定理、Cauchy定理、Frattini定理、群的自同构。
4.代数学的应用：密码学、群论在物理、化学领域的应用。
教学方法1.讲授法：讲授法是本课程教学中的主要方法，教师将对内容进行讲解，帮助学生明确概念和原理。
2.解题法：这种方法通过例题和习题的讲解和引导，帮助学生掌握具体的解题方法及技巧，提高能力。
3.讨论法：讨论法是一种较为灵活的教学方法，它可以促进学生自主学习和探究，培养其独立思考和创新能力。
4.实验法：通过实验和模拟实践的方法，帮助学生更加深入理解和应用所学知识。
教学评价本课程的教学评价主要包括以下方面：1.作业：作业的设计将有助于学生巩固和深化所学内容，提升其应用能力和解决问题的能力。
2.考试：考试旨在检验学生对所学知识的掌握程度和应用能力，既考察知识点的掌握，也注重习题应用能力。
3.评估方式：教师将综合考虑作业、考试等方面的表现，结合学生平时表现，以及思维能力、创新能力等方面的考虑，进行综合评估。
总结本文档主要对近世代数第三版课程的教学设计和实施进行了详细阐述，包括教学目标、教学内容、教学方法、教学评价等方面。
关于近世代数课程教学的一些建议
２０１ ２年 ９月
南 阳师 范学院 学报
Ｊ ｕｒ ａ ｆＮａ ｙ ｎ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ ｏ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ ｙ
Ｖｏ ＿ １ ｌ １ Ｎｏ ９ ． Ｓ ｐ． ２ ２ ｅ ０１
关 于 近 世 代 数 课 程 教 学 的 一 些 建 议
近 世 代数 作 为 一 门数 学 学科 本 身 并不 是 孤 立
位对 高校 学生 实践 创 新 能 力 的要 求 １ 提高 的情 ３益
况 下 ， 得 毕 业 生 的 就 业 压 力 也 越 来 越 大 ， 就 势 使 这
２ １２ 加 强 近世代 数 与高等 代数 之间 的联 系 ．．
的 ， 和前修 课程数 学 分析 、 析几 何有 联 系 ， 别 它 解 特 是 与 高等代 数课 程有 着紧密 的联 系 ． 师 在近 世代 教 数 课程 的讲 授 中 ， 尤其 是要加 强 它与 高等代 数 的联
必影 响 了在校 学生 的学 习兴趣 ． 但是 传统 的近世 代
数课 程教 学是 单纯地 追求 概念 的抽 象性 、 逻辑 的严 密性 、 结论 的明确 性 和体 系 的完 整性 ， 这样 势 必 会
使近 世代 数课 程 的知识 与现实 脱节 ， 导致 一些 学生 感 到 近世 代数 枯燥 乏 味 、 用 ， 而 直 接影 响 了学 无 从
一
近世 代数 是数学 与应 用数 学 、 算数 学等专 业 计
的 一 门 重 要 的 专 业 基 础 课 ， 是 由 于其 抽 象 程 度 较 但
高， 和现实 生 活联 系较 少 ， 之 成 了一 门艰 涩 难 懂 使
的课 程． 当今社 会 高 校毕 业 生 越 来越 多 ， 在用 人 单
近世代数教学大纲
近世代数教学大纲《近世代数》课程教学大纲2021年制订，2021年修订课程代码：031209课程名称：近世代数/Modern Algebra 课程类别：专业主干课开设学期：第六学期开课单位：数学与计算机应用学院应用数学系开课对象：数学与应用数学专业三年级先修课程：高等代数课时：54学时，其中讲授48学时选定教材：近世代数初步（第二版），石生明，北京，高等教育出版社，2021。
参考书：近世代数，熊全淹，武汉，武汉大学出版社，2021。
抽象代数学，谢邦杰，上海，上海科学技术出版社，1982。
近世代数，杨子胥，北京，北京师范大学出版社，2021。
课程概述：近世代数是以讨论代数系统的性质与结构为中心的一门学科，它是高等代数的延续，是现代数学的重要分支之一，是进入数学王国的必经之路，是培养学生严密的逻辑思维能力的重要课程之一。
本课程的思想和方法已经渗透到数学的许多分支，形成新的数学领域。
它的结果也已经应用到科学技术的许多领域（如计算机科学、理论物理、理论化学等）。
教学要求：通过教学使学生了解近世代数的基本概念和理论，掌握研究代数结构的一般方法，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。
教学重点和教学难点：本课程的教学重点有群、环、域的定义及其联系和区别，同态基本定理的证明及其应用。
教学难点有同态基本定理，Lagrange定理，Cayley 定理，有限域的构造等的应用。
学时分配：章节第一章第二章第三章第四章主要内容基本概念群环和域有限域及其应用各教学环节学时分配讲授 8 18 16 6 实验讨论习题 0 2 2 2 课外其它合计 8 20 18 8 备注各章教学要求及教学要点第一章基本概念学时：8 教学要求：1. 掌握代数运算的定义，理解代数运算与映射的关系。
2. 理解群、环、域的定义，了解群、环、域的基本性质。
教学内容：一、代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念，代数运算与映射的区别。
近世代数教学PPT(精品)
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去， 设 是给定的集合 .由 A1 , A2 ,, A n
A1 , A2 ,, 的一切元素 An
所成的集合叫做
A1 , A2 ,, 的并； An
由 A1 , A2 ,, An的一切公共元素所成的集合叫做
A1 , A2 ,, An 的交. A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为：
诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗 根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年 后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已 引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理 想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论， 证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域 的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出 素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也 就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽 象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代 数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素 的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数 的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人 之一。
近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的 数学分支。 1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996） 根据该学科领域几位创始 人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果, 编 著了《近世代数学》(Moderne Algebra）一书,这 是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代 数的教科书。
近世代数理论的三个来源
近世代数课程教学研究刍议
不少 同学 在 高等代 数 的学 习过 程 中 已经 遇 到 困
难， 在学 习近世代数 时更 是 困难重 重 。
２ 近 世 代 数 教 学 研 究
２ １全 盘 考 虑近 世代 数 的教 学 内容 ， 之成 为 一 ． 使
个 有 机 整 体
近世 代数是数学 专业重要 的专业基 础课 。通 过本 课程 的学 习 ， 强学 生对 近 世代 数 基本 概 念 加
和结论 的认 识 ， 进一步 掌握 代数学 的思维 与方法 ，
收稿 日期 ：０ ９ Ｏ １ ２０ —１ 一 ５ 第 一 作者 简介 ： 兰（ ９４ ， ． 苏 苏州 人 ， 吉学 院 数 学 系， 徐 １ ６ 一） 女 江 昌 副教 授 ． 究 方 向 ： 数 、 研 代 图论 。
７ ６
归 纳及一 些 图表 。
２ ２重 视 实例 和 应 用 ， 合 知 识 点 ． 整
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理 ” 其结 论是 ： ， 第一 个代 数体 系与 同态 核做 商 ， 得到 的新代 数体 系 （ 体 系） 商 与第 二个 代数 体 系 同 构 。商 体 系中的元 素是 原代 数体 系 中同态 核 的陪 集， 也是 等价类 。这样 ， 虽然 不能 像建 立 同构 映射 那样 ， 第 二个 代数 体 系 的结 构 完 全 推知 第 一 个 从
１ 引言
为 以后 深入学 习代数专 业知识奠 定扎实 的基础 。 近世代 数【 课 程 中的习题 课 、 外作业 、 ２ ］ 课 研究 性 习题等 ， 实际 上 是 实践 教学 内容 。我们 尝试 让
学生作 一些研 究 性 习题 ， 以此培 养 学 生进行 长时 间思考 数学 问题 的 习惯 ， 锻炼 学 生 的逻 辑推 理 能 力 和表达 书写 能力 ， 发学生的 自主学 习欲望 ， 激 培 养研 究性学 习能力 。这种 习题 不 同的同学 有不 同
《近世代数》教案1(含绪论)
韶关学院课程教学设计（ 2 学时）教学过程、内容（含教与学的方法）绪论一、抽象代数发展简史1、代数的组成代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分.初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根），以及方程的根有何性质等问题.抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪.抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科.由于代数可处理实数与复数以外的集合，例如向量、矩阵超数、变换等，这些集合分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数.抽象代数，包含有群论、环论、域论、模论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科.抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言.2、高次方程的根式解问题什么叫代数？代数的基本问题是什么呢？代数就是字母运算学，这是法国数学家韦达的观点，也是关于代数的第一种观点.到了15-16世纪，代数学的中心问题开始转移到代数方程理论上来了，（关于代数的观点发生了变化，将代数定义为代数方程理论）.我们知道，一次、二次的方程有根式解，三次和三次以上的方程是否有根式解呢？经过数学家们的努力，1542年意大利数学家卡当给出了三次方程的求根公式.这个公式实际上是泰塔格利亚发现的，卡当恳切要求泰塔格利亚把求解公式告诉他，并发誓对他保密.但卡当不顾自己的誓言，把这个方法的叙述发表在他的《重要的艺术》里.所以这个公式不应该叫卡当公式，而应叫泰塔格利亚公式.在三次方程成功地解出之后，接着卡当的学生费拉里成功的解出了四次方程.三次、四次方程有求根公式，那么五次和五次以上的方程是否有公式解呢？世界上许多数学家试图找出五次和五次以上的方程的公式解，经过了三百年没有成功.在这期间，德国数学家高斯在1799年他的博士论文中作出了代数基本定理的证明.“每个次数 1的复系数多项式在复数域中有一个根.”探求四次以上的方程的求解问题，多少数学家作了努力，但都失败了.直到1824年轻的数学家阿贝尔证明了“高于四次的一般方程用根式求解的不可能性”.这样，代数的这个问题才告一个段落.阿贝尔（1802-1829）是一个挪威的数学家，出生（1802.8.5）于一个穷牧师家里，兄弟姐妹七个，他排行第二，小学教育基本上是由父亲完成的.中学时是一个比阿贝尔大七岁的数学教师，名叫洪波义.此人学过一些纯粹数学，对中学数学很熟，他采取让学生发挥独立的工作能力的教学方法，给一些适合他们的数学问题鼓励学生们去解决.第一学年来，洪波义在学生的报告书上对阿贝尔的评语是：“一个优秀的数学天才”.他私人教阿贝尔高等数学.在中学读书的最后一年，他开始考虑当时著名的难题：五次方程的一般解问题.他按高斯对二次方程的处理方法，起初，阿贝尔以为他已经解决了用根式解一般的五次方程的问题.他的方法洪波义看不懂，也不知道有什么地方错，因此便拿去找教授看，结果也没有人了解他的东西.一位叫达根的教授劝告阿贝尔研究一些椭圆积分.后来阿贝尔用实际例子来验证，证明他的发现是错误的.当阿贝尔18岁时父亲去世了，大哥精神不正常，家庭生活十分贫困.阿贝尔上大学是由洪波义出面，希望几个教授帮忙，结果教授们和朋友们都把薪水分出一点，凑起来给阿贝尔作为学习和生活的经济来源.阿贝尔自己还写信给当局提出要求，幸运地获得了免费的宿舍.1824年，阿贝尔重新考虑了一元五次方程的根式解问题.他试图证明这个解答是不可能的.首先他成功的证明了下述定理：“可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理函数.”然后阿贝尔用这个定理证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性.阿贝尔的家境贫困，大学毕业后，他靠为一些学生补习功课而生活，好心的朋友克勤为了替阿贝尔谋求一个职业而尽力奔走，终于在1828.10.8写信告诉阿贝尔“职业是肯定有了”.但克勤不知道，我们的阿贝尔在三月肺结核病病情恶化了，4月6日，这世上少有的天才就这样怀着沉重的心情，在他未婚妻旁离开了人间.克勤的消息来迟了.“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌150年！”法国数学家厄米特说：这话并不夸张.在和阿贝尔同时代的一个法国青年伽罗华读到了阿贝尔的著作，不到20岁，就在代数方程论上作出了卓越的贡献，创立了“伽罗华理论”.他使阿贝尔的思想得到了更好的发展.3、伽罗华和他的理论的兴起法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题.他是第一个提出“群”的思想的数学家，一般称他为近世代数的创始人.伽罗瓦使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期.伽罗瓦是巴黎附近一个小镇镇长的儿子，他积极参加学生运动.伽罗华在中学时遇到了一位叫里沙的好老师（数学家），在里沙的指导下开始学习阿贝尔的著作，给出5次及5次以上方程有根式解的充要条件.他的论文三次交到法兰西科学院评审（柯西、付里叶、波松）.最后是波松“完全不能理解！”.伽罗瓦是1832年5月31日死于爱情决斗.伽罗瓦提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题.伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响.抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念.后来凯莱对群作了抽象定义(Cayley，1821-1895).他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响.“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”.直到1878年，凯莱又写了抽象群的四篇文章才引起注意.1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842-1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群.1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856-1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念.1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体.20世纪初给出了群的抽象公理系统.群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开.例如，找出给定阶的有限群的全体.群分解为单群、可解群等问题一直被研究着.有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决.伯恩赛德（Burnside，1852-1927年）曾提出过许多问题和猜想.如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的.前者至今尚未解决，后者于1963年解决.舒尔（Schur，1875-1941）于1901年提出有限群表示的问题.群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出.庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说：“群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学.”这当然是过分夸大了.1843年，哈密顿（Hamilton, W. R. ）发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数.第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数.1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数.1870年，克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象定义.4、诺特和抽象代数学的兴起有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是爱米·诺特（1882-1935）, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，其父亲麦克斯是一位大数学家，1900年入埃朗根大学（上千名学生中只有两位女生），1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位.诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响.1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式.她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组.还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题.对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明.她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起. 1922年，诺特终于被聘为教授，但政府不承认.1920-1927年间她主要研究交换代数与“交换算术”.1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡.1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念.1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理.1926年发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件.诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变.诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一.1927－1935年，诺特研究非交换代数与“非交换算术”.她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上.后又引进交叉积的概念并用决定有限维伽罗瓦扩张的布饶尔群.最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数.诺特的学生范．德．瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构.这就发生了质变.由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支.人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展.诺特的思想通过《近世代数学》得到广泛的传播.她的主要论文收在《诺特全集》(1982年)中. 1955年范．德．瓦尔登的《近世代数学》改版为《代数学》（一、二册）（瓦尔登后来研究数学史）.抽象代数的另一部分是域论.1910年施泰尼茨（Steinitz，1871-1928）发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑.他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得.环论是抽象代数中较晚成熟的.尽管环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪的产物.韦德伯恩（Wedderburn，1882-1948）《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环.环和理想的系统理论由诺特给出.她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论.诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础.诺特对环和理想作了十分深刻的研究.人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年.1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论.到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子.这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映.到了20世纪60年代，美国代数学家贾柯勃逊编著的《抽象代数学》（一、二、三册）代替了瓦尔登的《代数学》，到了20世纪70-80年代贾柯勃逊改版为《基础代数学》（一、二册）分别于1974年和1980年出版.5、代数是研究代数系统的科学抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响.抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展.经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位.而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响.泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来.中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代.当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著.现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的.在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量.可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了.一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学.现代数学的基础课程正在更新.50年代数学系的教学计划，以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体.时至今日，人们认为光靠这“老三高”已不够用了，应该发展“新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛函分析.现代数学理论是由这三根支柱撑着的.现在，我们来追寻它们形成和发展的历史足迹，并从这一侧面窥视21世纪数学的特征.参考文献：[1] 乐秀成, 刘宁. 青年数学家、战士和人:E.伽罗瓦[J]. 自然辩证法通讯, 1980,(06)[2] 胡作玄. 爱米·诺特与抽象代数学的兴起[J]. 自然辩证法通讯, 1983,(02)二、近世代数的特点、意义与学习方法1、近世代数的特点代数学经历了两个转变，它有三种观点：第一种观点：代数是字母运算学（这是韦达的观点）；第二种观点：代数是代数方程理论；第三种观点：代数是研究各种代数系统（即研究群、环、域等的结构与性质）.第一、第二是具体的，第三是抽象的，它的对象不一定是数，如向量、矩阵、线性变换等.由于它理论的抽象，对象的广泛，因而就带来应用的广泛性.近世代数的大多数概念是采取公理化定义，这就使它的理论更严谨，许多学科都用到近世代数的思想和方法.近世代数具有以下特点：概念的抽象性、理论的严谨性、应用的广泛性.2、学习近世代数的意义一是数学类专业的基础课程，后继课程学习的需要，更高一级学校学习的准备；二是指导中学教学与实践，处理好中学数学的有关教材内容，能在高观点下看清中学数学的来龙去脉；三是培养同学的科学思维、逻辑推理和运算的能力,以及辩证唯物论观点.3、学习方法与要求学习的四步曲：预习、听课（笔记）、复习、练习；①预习：认真看书，做好预习工作，带着问题来听课，做到有的放矢；②听课（笔记）：认真听课，做好笔记，笔记的形式可以多样，与书上不同的；③复习：认真做好复习工作，多思考、多提问题.问题可以自问自答；有问题要自己先想想，再问老师.要扣概念，找模型；④练习：复习后再练习、作业，作业要独立完成，不要抄题解、不要抄别人的.请记住：预习、听课（笔记）、复习、练习，再预习等，这就是学习上的良性循环.我们一定要做到学习上的良性循环，克服恶性循环，牢牢掌握学习的主动权，努力做到：概念准、理论熟、思路活、计算快.教材：张禾瑞著的《近世代数基础》.参考书：吴品三的《近世代数》；熊全淹的《近世代数》；谢帮杰的《抽象代数学》；范．德．瓦尔登的《代数学》（一、二册）；贾柯勃逊的《基础代数学》（一、二册）；[美]G.伯克霍夫、S.麦克莱恩 著，王连祥、徐广善译 《近世代数概论》.三、近世代数的教学安排51课时,讲四章内容，共135页，每次课约7页.教学安排如下：第一章 基本概念 10课时（含绪论），含习题2课时；第二章 群 论 18课时，含习题4课时；第三章 环与域 16课时，含习题4课时；第四章 整环里的因子分解（2节） 5课时，含习题1课时；复习 2课时.教学内容及各章课时（见教学进度表）并参考“《近世代数》课程标准”.第一章 基本概念在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除.数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算.这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算.近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究各种代数系统，即带有运算的集合.因此我们的讨论就从最基本的概念——集合、映射开始.§1.1 集 合一、集合及其表示集合是一个不加定义的基本概念，它描述性的定义为：作为整体看的一堆东西若干个（有限或无限多个）固定事物的全体组成一个集合的事物叫做这个集合的元素.注意：1.强调“全体”，2.确定集合的表示法：1.列举法；2.性质法；3.图象法集合用大写拉丁字母A ，B ，C ，…来表示.元素用小写拉丁字母a ，b ，c ，…来表示.集合的属于与不属于的表示：a A∉∈，a A二、若干记号1.数集：N，Z，Q，R，C，*Z，*Q2.逻辑：全称号：∀（对于任意）特称号：∃（存在），|∃（存在唯一）若A则B：A B⇒A等价于B：A B⇔或者：∨，而且：∧三、空集合、子集与集合的相等空集合：一个没有元素的集合，记为∅子集：设A，B是两个集合，若x B x A⊆.∀∈⇒∈，则称B是A的子集，记为B A 空集合是任何集合的子集，即∀集合A，均有A∅⊆.为此需证明命题“x x A∀∈∅⇒∈”，但这个前提不成立.任一命题，只要前提不真，那么，无论结论如何，整个命题被认为成立，故有A∅⊆.真子集：若集合B是集合A的子集，而且至少有一个A的元不属于B，则称B是A的真子集，记为B A⊂.集合的相等：若集合A和集合B所包含的元素完全一样，则称集合A等于集合B，记为A B=⇔⊆∧⊆.=.充要条件：A B A B B A四、集合的运算、幂集合、卡氏积设A，B是全集U的两个子集，则A，B的交、并、差为：⋂=∈∧∈{|}A B x x A x B第 11 页 {|}A B x x A x B ⋃=∈∨∈\{|}A B x x A x B =∈∉但性质：交换律，结合律，分配律幂集合：设A 是给定的两个集合，A 的所有子集所组成的的集合叫做A 的幂集合，用A 2表示.例如：设{a b c}A =，，，则A 2={{a}{b}{c}{a b}{b c}{a c}{a b c}}∅，，，，，，，，，，，，. 卡氏积：设1A ，2A ，…，n A 是n 个集合集合12n 12={|(,,,),,1,2,,}n i i A A A x x a a a a A i n ⨯⨯⨯=∈= 称作集合1A ，2A ，…，n A 的积，这也是一个集合.当12n A A A === 时，记为n A .。
《近世代数》教学大纲
《近世代数》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程概况适用专业：数学与应用数学课程名称：近世代数课程编码：0741123090教学时数：72二、总则1.本课程的目的和要求：近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。
其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。
群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。
2.本课程的主要内容：本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。
要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。
能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。
3.教学重点与难点：重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.难点：商群、商环。
4.本课程的知识范围及与相关课程的关系集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。
三、课程说明1. 课程代码：（中文）近世代数（英文）Abstract Algebra2. 课程类别：专业必修课3.学分:4学分4. 学时：72学时5.适用专业：数学与应用数学6. 适用对象：本科7.首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订本。
二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。
8. 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。
四、教学安排《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。
学时分配五、教学环节该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
《近世代数》课程教学改革的探索
《近世代数》课程教学改革的探索摘要：《近世代数》是现代数学的重要基础，它在信息与计算机科学、现代物理学与化学、量子信息等领域都有着广泛应用。
在教学中，应注重其所授知识在各领域中的应用及所蕴含的思维方式，以解决具体问题的需求牵引为导向、以掌握解决问题的方法为目的。
故笔者提出关于《近世代数》课程教学改革的一些基本措施。
关键词：近世代数、教学改革、思维教学1、引言随着近代数学的不断发展，《近世代数》的基本思想、理论与方法已经应用到各个学科方向，其实际应用也日益广泛，这就使得它在数学课程中的地位日益重要。
由于此课程比较理论、抽象，教学重理论轻应用，从而导致在教学中容易重定理证明轻实例计算和思维拓展，大多忽略了问题的实际意义，导致学生们普遍认为抽象代数太抽象、枯燥、难学、学而无用。
事实上，如果学生没有彻底理解和掌握《近世代数》中的每个概念，以及概念的来源，很难与现实生活中的实际问题相联系。
在很多高校中，本科阶段一般只有数学与应用数学专业才开此课程。
但其实此课程对于很多工科学生也是一门必不可少的选修课程。
《近世代数》课程内容逻辑性很强，课后习题也不是很容易解答，另外教学学时不充裕，这些都导致了学生很难较好地掌握《近世代数》课程的基本内容以及理论精髓。
要想此课程上有较好的教学效果，作为任课教师就必须在教学上下一番功夫，仔细揣摩如何教学。
传统的《近世代数》课程教学单纯地追求书本概念的抽象性，逻辑思维的严密性，结论的明确性与体系的完整性。
即使这样的教学从理论上说是比较好的，但是它忽略了课程知识与现实的脱节，从而导致学生对此课程感觉乏味、枯燥，最后导致学生以低头睡觉、玩手机来应付此课程。
因此，我校《近世代数》课程的改革势在必行。
无论是在教学内容、教学方法、考查手段上都必须进行相应的变革。
2、《抽象代数》课程改革的措施(1) 激发学生探索和学习《近世代数》知识的兴趣，开阔学生的代数视角。
首先回答学生学习此课程时所持的三个疑问：为什么要学习《近世代数》，即学习《近世代数》有何意义；《近世代数》的发展历史；如何来学好《抽象代数》。
(完整版)近世代数教学大纲
《近世代数》教学大纲课程名称：近世代数英文名称：Abstract Algebra课程编号：0641008 学分：3 学时：54先修课程：高等代数、初等数论替代课程：无适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）（一）课程目的要求本课程的目的是引导学生掌握近世代数的基本概念和基本理论，从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的，帮助学生为进一步的学习和研究打好代数学方面的知识基础.主要是群、环、域的基本概念以及基本理论。
在学习本课程中，要求学生掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法，提高数学修养与技巧，以便能深入理解中学代数的内容和方法，为进一步学习其它学科创造条件。
（二）课程简介近世代数是数学与应用数学专业必修课程，是现代数学的一个重要分支，是研究多种代数结构的一门学科。
它的内容对中学代数教学有指导意义，它的思想方法已经渗透到数学的多个分支，它的结果已应用到众多学科领域，现在本课程已作为师范院校数学专业学生的必修课。
本课程的学习分为三个部分，第一部分学习近世代数的预备知识，包括集合、映射、代数运算及等价关系等基本概念。
第二部分学习群的基本理论，主要包括群的定义和基本性质, 子群和商群理论, 群同态和同构定理, 置换群的基本理论，有限群的Lagrange定理。
第三部分学习环论的基础内容, 主要包括环, 子环, 商环的定义和基本性质, 环同态和同构定理, 素理想与极大理想，环上的多项式环的构造，扩域和有限域。
（三）教学方式教学方式是以教师讲授为主，注重知识点之间的比较，运用类比方法；根据课堂教学情况，适当补充一些例题，以帮助学生课后巩固所学知识；适时给出思考题，培养学生的独立思考能力；对一章进行总结时，适当配备一些典型习题讲解, 以帮助学生理解和掌握抽象的概念和性质定理。
（四）教材和主要教学参考书教材：《近世代数》（第二版），朱平天，李伯洪，邹园编，科学出版社, 2009年出版主要教学参考书：1.张禾瑞编:《近世代数基础》，人民教育出版社, 1984年版。
《近世代数》课程教学改革与探索[权威资料]
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《近世代数》课程教学改革与探索摘要：《近世代数》是我校数学与应用数学专业开设的一门内容高度概括、抽象、逻辑推理严谨、系统的课程。
随着科学技术的发展，近世代数的基本思想、理论与方法已经渗透到科学领域的各个方面。
本文从分析近世代数课程特点和当前教学面临的现状出发，结合对近世代数课程的教学实践和经验，提出了在近世代数教学中提高教学质量的一些建议。
关键词：近世代数课程改革教学实践G642 A 1672-1578（2013）10-0021-021 引言代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支，其研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。
按照研究对象不同，代数可以分为初等代数，线性代数，抽象代数，泛代数以及计算代数等几类。
近世代数（或叫抽象代数）课程是高校开设的代数课程之一。
近世代数是研究各种代数结构的性质与分类的一门学科，是现代数学的基础。
该课程具有形式化推理多、应用范围广、抽象程度高、逻辑性强等特点。
近年来，近世代数的基本思想、基本理论与方法已经渗透到科学领域的很多方面，实际应用也日趋广泛。
同时近世代数课程具有高度的抽象性，它的内容很难与现实生活中的实际形体相联系，理论上具有很强的逻辑性，并且近世代数的习题比较难，再加上学时有限，要想让学生在这有限的学时内较好的掌握近世代数的内容要领，在讲课方法上必须仔细揣摩。
传统的近世代数课程教学是单纯地追求概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，这样势必会使近世代数课程的知识与现实脱节，导致一些学生感到近世代数枯燥乏味、无用，从而直接影响了学生对近世代数课程和后继课程的学习热情。
所以，近世代数课程的教学改革势在必行，在教学内容、教学方法、教学手段上都必须进行改革。
2 近世代数课程改革的措施2.1从学生出发，激发学生的学习兴趣2.1.1 注重背景知识的介绍近世代数研究各种代数结构的性质和分类，形式化推理多，习题比较难。
数学的抽象是各种具体对象中提炼出共性，从而使应用更加广泛。
近世代数讲义教学设计
近世代数讲义教学设计一、教学目标本课程的主要目标是让学生熟悉经典近世代数理论和运用现代数学工具解决代数问题的方法和技巧。
具体目标如下：•熟悉近世代数理论的核心概念和基本性质•掌握群、环、域等代数结构的定义、性质以及常见例子•能够运用现代数学工具解决矩阵方程、线性代数问题等•能够阅读和理解相关学术文献，掌握学术写作的基本规范二、教学内容与安排1. 群论•群的定义及基本性质•群的例子（如循环群、对称群等）•子群和正规子群•拓扑群2. 环论•环的定义及基本性质•环的例子（如整数环、多项式环等）•Z n环的结构•环的同态和理想3. 域论•域的定义及基本性质•域的例子（如有理数域、实数域、复数域等）•代数元和超越元•域的扩张4. 线性代数•线性空间与线性变换•矩阵的运算与初等矩阵•矩阵的特征值和特征向量•线性方程组、矩阵方程和行列式5. 近世代数理论的应用•量子力学中的代数结构•编码理论中的有限域•密码学中的应用三、教学方法1. 理论讲授本课程的主要教学方法是理论讲授。
教师将通过板书演示、PPT讲解等方式，向学生讲授代数概念、定理等理论知识。
在讲授时，教师将注重几何意义、应用背景等方面的介绍，以便帮助学生更好地理解、消化所学内容。
2. 讨论与互动在课程的某些环节中，教师还将与学生进行讨论、互动，以便深入探讨一些概念、结论在实际中的应用。
讨论的资料包括理论应用文献、学术会议论文等。
3. 上机实践在课程的结尾阶段，教师还将安排一些上机实践环节，让学生通过举例、练习等方式深度理解所学的代数概念、定理。
在上机实践过程中，教师将根据实际情况进行答疑解惑、引导讨论等活动。
四、教学评估本课程的教学评估主要是通过考试、作业等方式进行。
教师将根据学生的学习情况进行定期的考试和作业，以检验学生对所学知识的掌握程度。
同时，教师还将对学生参与讨论、上机实践等方面进行评估，以检验学生的综合素质。
在评估过程中，教师应注重引导学生主动参与、探索、思考，鼓励他们发挥自己的创意和创造性。
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近世代数课程教学刍议
摘要：从近世代数的课程意义和课程特点出发，结合教学实践，阐述了教师如何通过教学内容的组织、教学策略的实施和教学方法的改进三个方面来提高近世代数的教学质量。
关键词：近世代数；教学；抽象；反例
中图分类号：g642.4 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）15-0077-03
一、近世代数课程的意义和特点
代数最初主要研究的是数，高等代数虽然引入了行列式、矩阵等概念，但还是离不开数.人们发现，许多抽象的对象也都具有类似于数的这一特征，于是对它们的结构和性质进行了研究，并且应用它们解决了许多重大的数学问题和实际问题，这就导致了近世代数的产生和发展.随着现代科技的飞速发展，特别是信息、电子科学研究的不断深化，近世代数的基本思想、理论和方法的重要作用越来越明显，而且它已经渗透到科学领域的各个方面与部门.尤其是近世代数在编码和信息安全方面的应用更被认为是基础数学应用
的一个成功典范.另外，近世代数中的等价、划分、同构等思想方法对于提高学生的数学修养、培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用.它需要学习者具有敏锐的直觉思维和严谨的逻辑思维，同时也需要构造性的思路和精练的抽象思维.
二、近世代数课程的教学研究与实践
由于近世代数的高度抽象性不同于其他数学学科，初学者很难掌
握用近世代数的基本思想和理论来处理或解决具体问题的方法，从而直接影响了后继课程学习的热情.这给教师提出了严峻的挑战，究竟如何组织教学，才能使学生轻松愉快地学习并掌握该课程内容？通过实践，我们觉得可从以下几个方面尝试.
1.教学内容的组织.教学内容的组织是教学工作的重要环节，它直接影响学生的学习兴趣与学习效果.近世代数的教材是代数学已发展成熟、理论完善之中的最重要的基础.由于教材的篇幅所限，大多以一种简化理想的、服从数学演绎推理的逻辑结构形式呈现，比较注意知识的科学性、系统性和逻辑体系，而对知识的发生与发展过程，对蕴含于知识之中的思维价值与智力价值则较少反映；对蕴含于数学问题中的数学思想和方法也较少予以明确的揭示.所以必须领会教材内容的精神实质，考虑学生学习过程的心理活动规律，改变教材的形式化表述顺序，立足于代数学知识产生的背景，对所选的材料按教育科学的原理加工、改编，用多种形式来呈现教学内容，将数学知识学术形态转化为教育形态，恢复原始的思考过程，注重分析各概念的来龙去脉，强化代数学中最基本的思想和方法，让学生逐步感悟到研究各种代数运算系统的作用和好处.这样不仅符合学生的认知规律，易于他们进入实质性的理解，也便于学生主动建构知识.
2.教学策略的实施.（1）重视概念教学.概念是判断、推理和论证的基础，准确地理解和掌握概念，才能做出正确的判断、推理和论证.近世代数本身是一种“概念的游戏”，其内容比较抽象.而且
近世代数的教材编排一般是“定义→定理→性质”的模式，单调枯燥，进一步影响了学生学习这门课程的情绪.教学中可以尽量调动学生已有的各种数学知识，举出丰富多彩的具体实例，揭示概念的本质特征，在形象与抽象之间架起一座桥梁，使学生主动地构建这些概念，即促进学生知识的正向迁移.例如，近世代数中“关系”的定义[1]：设m是一个集合，如果有一个法则r，它对m中的任二元素a，b可以确定“是”或“不是”符合这个法则，则称此法则r 为m的元素间的一个关系，当元素a与b符合这一法则时，记为arb，否则记为arb.在讲授时，可先从现实生活中举一个容易理解的例子，之后再举和理论有关的例子就不觉得“抽象”了.譬如，设m
为南阳师院数学与应用数学专业的全体同学的集合，规定arb？圳a与b来自一个省，则从该专业中任意抽出两个同学，他们如果来自一个省，则他们两个就有这种关系，如果不是来自一个省，则他们两个就没有这种关系.之后跟学生讲清楚，“关系”是需要自己去定义的，接着再举一些理论上的例子就好理解了.又如，等价关系的定义[1]：如果集合m的元素间的一个关系r满足以下条件：10对m中任意元素a，都有ara；（反身性）20如果arb，必有bra；（对称性）30如果arb，brc，必有arc（传递性），则称这个关系是m的一个等价关系.可以让学生验证前面定义的那个“关系”就是一个“等价关系”，这样把两个定义都形象地刻画了.接下来再向学生介绍学过的矩阵的等价、相似与合同都是矩阵间的等价关系，可带着学生验证其中的一个，其余让学生自己验证，便于他们掌握
验证等价关系的方法.（2）化抽象为具体.学生感到近世代数生涩难懂，原因之一在于它的概念和定理具有高度的抽象性和概括性.如果不把概念产生的背景讲清楚，学生就只是死记概念本身.这就要求教师授课时多举例子、多讲历史起源.例如，在讲“整环里的因子分解”时，先讲最初是数学家高斯为了解决n次方程是否有整数解这一问题才研究整数环的唯一分解性的，再以整数环为例进行讲解.这样学生心中就有了实实在在的例子，而不会感到抽象.（3）注重反例的作用.对于数学命题，证明与构造反例是两种不同的“论证”方法，具有同样的说服力，前者肯定命题，后者否定命题.近世代数理论性强、内容抽象，学生对一些概念的理解、性质的运用容易出现偏差.而构造反例能帮助学生理解概念、掌握性质，下面是教学中的几个具体例子.①同构映射？准的定义中隐含着三个
条件：？准是满射，？准是单射，？准保持运算，缺一不可.为了让学生更好地理解概念，除了举一些同构映射的例子，还可以举一些非同构映射的例子.例1 g1={非零有理数}，g1={有理数}，运算都是普通乘法.映射？准1（a）=a.（a∈g1），则？准1是g1到g1的单射且保持运算，但不是满射；g2{整数}，g2的运算是普通加法.g2=1，g2的代数运算是普通乘法.映射？准2（a）=1（a∈g2），则？准2是g2到 g2的满射且保持运算，但不是单射；g3=g3={实数}，运算都是普通乘法.映射？准3（a）=-a（a∈g3），则？准3是g3到g3的双射，但是不保持运算.可见？准1、？准2、？准3都不是同构映射.②无限群中存在有限阶的元.例2 在非零有理数
乘群中，1的阶是1，-1的阶是2，其余元的阶均无限.③有零因子环r的子环s未必有零因子.例3 数域p上的n级矩阵环pn×n是有零因子环，全体n级数量矩阵作成pn×n的一个子环，而这个子环是没有零因子的.④理想没有传递性.例4
a=2a 4b0 2ca，b，c∈z，b=2a 2b0 2ca，b，c∈z，c=a b0 ca，b，c∈z都是整数环上2阶全矩阵环的子环，易见环a是环b的理想，环b是环c的理想，而环a不是环c的理想.⑤强化知识的应用.近世代数的强大生命力不仅在于其深刻的理论，还在于其广泛的应用.教学中教师一般从教学的目的出发，强调理论较多，涉及应用较少.所以会经常遇到学生询问，学这门数学课有什么用？为激发学生的学习兴趣，教师在讲完概念和理论后，要举一些实际应用.例如，在讲授群的概念时可举例：设v是域p上n维线性空间，则v的所有可逆的线性变换对乘法组成群，它同构于p上全体n阶可逆方阵组成的乘法群，这是群论在高等代数中的应用；考虑平面上正n（n≥3）边形的全体对称的集合，它包含n个旋转和n个反射（沿n条不同的对称轴），很容易看出这个集合对于变换的乘法，即变换的连续施加来说组成一个群，这是群论在几何学中的应用；而物理学中在讨论晶体类型的对称性变换过程中，晶体学家就是把晶体的全体对称性变换作为群来进行研究的，这又是群论在物理学中的应用等等.二元域（有限域）在纠错码和线性移位寄存器序列中的应用，更产生了相当优美的结果.这是更深层次地反映了近世代数在当代数字化信息时代中的作用.
3.教学方法的改进.在近世代数的教学中，要突破传统的讲授法教学模式，探索多元化教学模式和方法，我们提出了近世代数课堂开拓思维的方法，利用多媒体进行多彩的图形演示，体现数学美，不仅如此，还要根据教学内容增加引导自学法、讨论法和问题法等.在学法上，引导学生进行分析归纳提炼方法，类比联想沟通知识间的关系，猜测探索寻求问题解决的途径，安排形式多样的习题课，开展讨论课，布置近世代数的学期论文等等.实践证明，多种方法的应用既活跃了课堂气氛，增加了学生学习数学的浓厚兴趣，变被动学习为主动学习，又给学生留以独立思考的空间，促进学生思维的发展，使得学生能够初步具备用近世代数的基本思想和理论来处理或解决具体问题的能力.
总之，近世代数课堂教学中的策略可以有效地培养学生思维，提高学生的数学素养，不断完善学生的知识结构，并为进一步学习数学专业后继课程打下良好的基础.
参考文献：
[1]杨子胥.近世代数[m].北京：高等教育出版社，2003.。