工程数学作业2答案

工程数学作业（第二次）(满分100分)

第3章 线性方程组

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩

⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥

⎥为（C ）．

A. [,,]102-'

B. [,,]--'722

C. [,,]--'1122

D. [,,]---'1122

⒉线性方程组x x x x x x x 1231

3232326334

++=-=-+=⎧⎨⎪

⎩

⎪（B ）． A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤

⎦

⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤

⎦

⎥

⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．

A. αα12,

B. ααα123,,

C. ααα124,,

D. α1

⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解

B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解

C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解

D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．

A. 至少有一个向量

B. 没有一个向量

C. 至多有一个向量

D. 任何一个向量

9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ ）成立．

Ａ．λ是AB 的特征值 Ｂ．λ是A+B 的特征值

Ｃ．λ是A －B 的特征值 Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1 Ｄ．B P PA =' （二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当λ= １ 时，齐次线性方程组x x x x 12120

+=+=⎧⎨

⎩λ有非零解．

⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．

⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ３ ．

⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的． ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．

⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．

9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ 的根． 10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组

x x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341234

326

38502412432

---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨

⎪⎪⎩⎪⎪

解：

⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-261210

00

903927

01887104823

1901

843100185018871061231231411214120518361231413

21

24131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+33110004110046150

10124420

011365004110018871048231901

136500123300188710

4823

1901

432

31

334345719312

13r r r r r r r r r r ⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----−−→−++-+-31000

101001001020001

3100

411004615010124420013

42

41

441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==3

112

4321x x x x