海安市2020届高三测试空卷+解析(高考数学)

【答案】{3, 5} 解： f1(x) | x 1| ， fk1(x) f1( fk (x))
f2 (x) f1( f1(x)) f1(| x 1|) x, 0 x 1
| x 1| 1 2 x, 1 x 2 x 2, x 2
此时 y f1(x) 与 y ln x 不可能有三个交点，
A，B
两点分别为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右顶点和上顶点，且
AB 7 ，右准线 l 的方程为 x 4 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 A 的直线交椭圆于另一点 P，交 l 于点 Q.若以 PQ 为直径的圆经过原点，求直线 PQ 的方程.
解：（1）设椭圆的焦距为 2c(c 0) .
右两部分分别种植不同花卉.
设 EB x ， EF y （单位：m）.
（1）当点 F 与点 C 重合时，试确定点 E 的位置；
（2）求 y 关于 x 的函数关系式；
（3）试确定点 E，F 的位置，使直路 EF 的长度最短.
解：（1）当点 F 与点 C 重合时，
由题设知，
S△BEC
1 4
S
□
， ABCD
6
6
画草图
函数 y cos(3 x) ，x [5 ,t) (t 5) 既有最
2
6
6
小值又有最大值
3 t 13 或 t 5
2
6
2
实数 t 的取值范围是 ( 3 , 13] ( 5 ,) . 26 2
14. 已知函数 f1(x) | x 1| ， fk1(x) f1( fk (x)) ， k 5 ， k N .若函数 y fk (x) ln x 恰有 3 个不同 的零点，则锤子数学 k 的取值集合为_________.
f5 (x) 的图像如下
此时，有 2 个交点，满足题意， f6 (x) 也舍 故 k 的取值集合为{3, 5} .
海安市教师发展中心教研部 阙东进
锤子数学精彩解析
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.
1.已知集合 A 1, 0,3 ， B 1, 2,3 ，则锤子数学 A B ________.
舍去
f3 (x) f1( f2 (x)) f1( x 1 1)
1 x, 0 x 1
x
1
1
1
x
1,
1 x 2
3 x, 2 x 3
x 3, x 3
此时，由于 ln 3 1 ，所以只有 2 个交点，舍去
此时， y ln x 与 y x 1切于点 A(1, 0) ，且 与 f3 (x) 的交点分别为 A, B, C 共 3 个，满足题意 同理 f4 (x) 的图像如下
3 sin x cos x sin 2 x
3 2
sin
2x
1 2
cos
2x
1 2
sin
2x
6
1 2
因为0,
，对，所以
2x
6
6
, 116
，于是
1 2
sin
2x
6
1 2
3 2
.
所以当 2x
6
2
，即
x
3
时， a b 取最大值
3 2
.
16.（本小题满分 14 分）
如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 是棱 A1A 的中点. 求证：（1） AC∥平面 EDB1 ； （2）平面 EDB1 平面 B1BD .
【答案】 3,5
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.
15.（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 a 3 sin x,sin x ， b cos x,sin x , x 0, .
（1）若 a b ，求 x 的值
（2）求 a b 的最大值及取得最大值时 x 的值.
交于点 B，D，过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于点 E，则锤子数学 △AEC 的周长为________.
【答案】5
11.如图，已知两座建筑物 AB，CD 的高度分别为 15m 和 9m，且 AB BC CD ，从建筑物 AB 的顶部 A
看建筑物
CD
的张角为
CAD
，测得
tan
CAD
6 13
则锤子数学
OP
OQ
4
8k 2 4k 2
6 3
2k
12k 4k 2 3
8k 2 24 4k 2 3
0
解得 k 2 3 ，所以 k 3 .
所以直线 PQ 的方程为 3x y 2 3 0 或 x 3x y 2 3 0 .
方法二：设点
P
x0,
y0
x0
2
，所以直线
PQ
方程为
y
y0 x0
13. 已知函数 y cos(3 x) ，x [ 5 , t) (t 5) 既有最小值又有最大值，则锤子数学 实数 t 的取值范围
2
6
6
是________.
【答案】 ( 3 , 13] ( 5 ,) 26 2
解： y cos(3 x) sin x 2
x [5 ,t) ， x [5 ,t )
于是四边形 AEFO 是平行四边形，从而 AC∥EF .
又因为 AC 平面 EDB1 ， EF 平面 EDB1 所以 AC∥平面 EDB1 . （2）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， B1B 平面 ABCD，而 AC 平面 ABCD， 所以 B1B AC . 又在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 为正方形，所以 AC BD . 由（1）知， EF∥AC ，
2
x
2
，
与右准线 x 4 联立，得 g
4,
2 x0
y0 2
.
又以 PQ 为直径的圆过原点，所以 OP OQ ，则锤子数学 OP OQ 0 ，
所以
4x0
2 y02 x0 2
0
①，
又
x02 4
y02 3
1 ②，
联立①②解得
x0
6 5
或
x0
2
（舍），
所以
P(65
,
43 5
）或
P
6 5
【答案】 3
2.已知复数=满足 1 i z 2 i ，则锤子数学 复数 z 的模为________.
【答案】
10 2
3.某人 5 次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为 12，8，10，11，9.则锤子数学 这组数据的平均数
为________.
【答案】10
4.如图，是一个算法的流程图，则锤子数学 输出的 b 的值为________.
由题意得
a c a2
4, b2
c2,
解得 a2 4,b2 3 .
a2 b2
7,
所以椭圆的标准方程为：
x2 4
y2 3
1.
（2）方法一：由题意得直线 PQ 不垂直于 x 轴，设 PQ 的方程为 y k x 2 ，
联立
y
x2 4
k x 2,
y2 3
1,
消
y
得
4k
2
3
x2
16k
于是 EF BB1 ， EF BD .. 又 B1B 平面 B1BD ， BD 平面 B1BD ， B1B BD B ， 所以 EF 平面 B1BD 又因为 EF 平面 EDB1 ，所以平面 EDB1 平面 B1BD
17.（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知
,
4
3 5
所以直线 PQ 的斜率为 3 ，
从而直线 PQ 的方程为 3x y 2 3 0 或 3x y 2 3 0 .
18.（本小题满分 16 分）
下图是一块平行四边形园地 ABCD，经测量， AB 20m ， BC 10m ， ABC 120 .拟过线段 AB 上一点 E
设计一条直路 EF（点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为 3：1 的左，
9.已知 e1, e2 是夹角为 60°的两个单位向量， a 3e1 2e2 ， b 2e1 ke2 k R ，且 a a b 8 ，则锤子数
学 k 的值为________.
【答案】
6 7
10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : x2 y2 2x 8 0 ，直线 l : y k x 1 k R 过定点 A，与圆 C
证明：（1）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 设 AC 与 BD 相交于点 O，则锤子数学 O 为 BD 的中点，
取 B1D 的中点 F，连 OF，EF.
所以
OF∥BB
，
OF
1 2
BB1
.
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1∥BB1 ， AA1 BB1 ，
又点 E 是 A1A 的中点，所以 AE∥OF ， AE OF .
解：（1）因为 a 3 sin x,sin x ， b cos x,sin x
所以 a 3sin2 x sin2 x 2 sin x ， b cos2 x sin x2 1 ，
因为
a
b
，所以
sin x
1 2
，
因为
x
0,
，所以
sin
x
1 2
，
于是
x
6
或
5 6
.
（2） a b
2x
16k
2
12
0
又直线 PQ 过点 A 2, 0 ，则锤子数学 方程必有一根为 2，则锤子数学
xp
8k 2 4k 2
6 3
.
代入直线 y k x 2 ，得点 P
8k 4k
2 2
6 3
,
12k 4k 2 3
.
联立
y x
k 4,
x
2
,
所以
Q
4,
2k
.
又以 PQ 为直径的圆过原点，所以 OP OQ ，
【答案】4 5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 x2 y2 1的右焦点与抛物线 y2 2px( p 0) 的焦点重合，则锤子 数学 p 的值为________. 【答案】 2 2 6.一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球.现从中一次摸出 2 只球，则锤子数学 摸出 的 2 只球颜色相同的概率为________.
【答案】 2 5
7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为 1，高为 4.若将它制作成一个总体积不变的球，则锤子数学 该
球的表面积为________.
【答案】 4
8.已知等比数列 an 的前 n 项的和为 S3 ， a1 1 ， S6 9S3 ，则锤子数学 a3 的值为________. 【答案】4
于是
1 2
EB
h
1 4
AB
h
，其中
h
为平行四边形
AB
边上的高，
得
EB
1 2
AB
，即点
E
是
AB
的中点.
（2）因为点 E 在线段 AB 上，所以 0 x 20 .
当10 x 20 时，由（1）知，点 F 在线段 BC 上，
x x 6 15
6
1 x x 13
15 6
解得： x 12 或 x 15 2
AB BC CD
x 12 .
12.
设曲线 y
m x 1
(m
0)
在
x
t
(t
1)
处的切线为
l
，则锤子数学
点 P(2t,1) 到 l 的最大距离为
___________.
【答案】 2
解：
y
m ， x 1
y'
m (x 1)2
，则锤子数学
B，C 间的距离________m.
【答案】12
12.设曲线 y
m x
1
(m
0)
在
x
t
tLeabharlann Baidu
1 处的切线为 l，则锤子数学
点 P 2t, 1 到 l 的最大距离为________.
【答案】 2
13.已知函数 y cos
3 2
x
,
x
5 6
,
t
t
5 6
既有最小值也有最大值，则锤子数学
【答案】12
解：过 D 作 DE AB ，垂足为 E
tan EAD ED x AE 6
tan CAD tan(EAD BAC)
由 AB 15 ， CD 9 易得： EB 9 ， AE 6 令 BC x tan BAC BC x
AB 15
tan EAD tan BAC 1 tan EAD tan BAC
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锤子数学精彩解析
11. 如图，已知两座建筑物 AB, CD 的高度分别为15 m 和 9 m ，且 AB BC CD ，从建筑物 AB 的顶部 A
看建筑物 CD 的张角为 CAD ，测得 tan CAD 6 ，则锤子数学 B, C 间的距离______ m . 13
实数 t 的取值范围是
________.
【答案】
3 2
t
13 6
或
t
5 2
14.已知函数 f1 x x 1 ， fk1 x f1 fk x ， k 5 ， k N* .若函数 y fk x ln x 恰有 3 个不同的零
点，则锤子数学 k 的取值集合为________.
f
(t)
m ，且 t 1
f
' (t )
(t
m 1) 2
切线 l 的方程为：
y
t
m 1
(t
m 1) 2
(x
t)
整理得： mx (t 1)2 y 2tm m 0 点 P(2t,1) 到切线 l 的距离：
d | 2tm (t 1)2 2tm m | m2 (t 1)4
| (t 1)2 m | 2 . m2 (t 1)4