大学物理角动量和力矩
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❖ 质点系的动能 — 克尼希定理
质点系的总动能等于相对于质心系的动能加上 随质心整体平移的动能，即
Ek Ek'
1 2
m vc2
❖ 两质点体系的动能
Ek
Ekc
Ekr
1 2
mv
2 c
1 2
mr u2
❖ 碰撞 — 动量守恒
ch4
第四章 角动量守恒
§4-1 质点的角动量
1.引入
1）开普勒：若以太阳 为中心，行星的位置矢量 在相等时间内扫过(sweep through)相等的面积。
在计算氢原子的 角动量时的应用
ch4
本章习题：4 –1，3，4，5，9（1），10（2，3，4）
描述质点的运动方向相对于参考点的变化或物体 的转动特征的物理量
Angular momentum depends upon the position of the axis abour which it is to be calculated.
3.质点对z轴的角动量
Lz = Lcos
θ是L到z轴的角 可以在z轴上任意找一点， 求出质点对该点的角动量， 再求z轴分量
dL
M ex
dt
惯性系中成立
ch4
质点系对惯性系中某给定参考点的角动量的时间
变化率，等于作用在该质点系上所有外力对该给
定参考点的总力 矩
dL
M
ex
dt
i
ri
Fi
ex
4.角动量守恒定律（普遍的）
If no external torques act upon a system of particles, the angular momentum remains costant.
dL
M ex
M in
dt
2.质点系对固定点的总内力矩为零 3.质点系的角动量定理
The rate change of the totle angular momentum
about any axis is equal to the external torque
about that axis.
如果质点系所受到的总外力矩为零 ，则质点系的
角动量守恒
dL
0
或
L 常量
dt
ch4
5.几种特殊情况 ▪ 有心力场中的质点（系）对“心”的角动量总 是守恒的
▪ 质点系的重力的合力矩可集中到质心处理
Mg r Cmg
ch4
6. 守恒条件
角动量守恒：合外力对固定点的力矩为零 与参考系、研究系统和参考点都有关系
review
ch3
❖ 质心 质心坐标 质心速度 质心加速度
离 散 体
rc
mi ri
i
m
连续体
rc
rdm
m
表示质点系的质量分布的中心位置
vc
mi vi
i
p
m
m
代表质点系的总动量
mac
dp dt
F ex
代表质点系的合外力 描述质点系的平移轨迹
ch3
2）观察质点的匀速直线运动:质 点相对于参考点的掠面速度不变
动量、动能都不能对上述现象作 出统一描述，需要引入新的物理 量。
r 参考点O
v 质点m
ch4
2.质点对参考点的角动量
(Angular Momentum)
L = r mv r p
What counts for angular momentum is not how fast it is going away from the origin, but how much it is going around the origin.
动量守恒：合外力为零 与参考系和研究系统有关系
保守系机械能守恒：合外力作功为零 与参考系和研究系统有关系
三、质心系的角动量定理
M
MCex
rC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fiex
L LC mrC vC
dL
M ex
ch4
dt
固有角动量 轨道角动量
对质心角动量+随质心角动量
ch4
z
v// v
v
Or//
O’
r r
ch4
§4-2 力矩和角动量定理
一、力矩和质点的角动量定理
1.力矩 (torque)
M
r
F
力对某点的力矩 单位：N·m
2.质点的角动量定理：质点对任一固定点的角
动量的时间变d化L率，M等于外力对该点的力矩 dt
ch4
[例题4.1]圆锥摆由一根长为l的绳子悬挂着一个质量为m的
质心系的角动量定理
M
ex C
dLC dt
角动量定理对惯性系成立，但站在质心系上时，无 论其是否是惯性系，则角动量定理形式上仍成立
ch4
ω
只受重力作用的质点系对 质心的角动量守恒
ch4
[例题4.2]质量为m1和m2的两个质点的位矢和速度分别为r1,
v1和r2 , v2，试求：两质点相对于它们的质心的动量和角动
量LC。
质 心 位 矢rC
mi ri
i
m
质 心 速 度vC
mivi
i
m
r
r
rC
v
v
vC
p1
mr u
p2
mr u
Lc r1' p1' r2' p2'
mr r12 u r12 (mr u)
作匀速圆周运动的小球构成。若摆线与铅垂线成 角，试
求摆球的速率。
研究对象：圆锥摆
参考系：实验室
选择参考点：支点O 受力与运动分析
dL
M
dt
v sin gl
cos
g l cos
ch4
速度调节器
cos
g
2l
ch4
二、质点系的角动量定理
1.质点系角动量随时间的变化率
质点系的总动能等于相对于质心系的动能加上 随质心整体平移的动能，即
Ek Ek'
1 2
m vc2
❖ 两质点体系的动能
Ek
Ekc
Ekr
1 2
mv
2 c
1 2
mr u2
❖ 碰撞 — 动量守恒
ch4
第四章 角动量守恒
§4-1 质点的角动量
1.引入
1）开普勒：若以太阳 为中心，行星的位置矢量 在相等时间内扫过(sweep through)相等的面积。
在计算氢原子的 角动量时的应用
ch4
本章习题：4 –1，3，4，5，9（1），10（2，3，4）
描述质点的运动方向相对于参考点的变化或物体 的转动特征的物理量
Angular momentum depends upon the position of the axis abour which it is to be calculated.
3.质点对z轴的角动量
Lz = Lcos
θ是L到z轴的角 可以在z轴上任意找一点， 求出质点对该点的角动量， 再求z轴分量
dL
M ex
dt
惯性系中成立
ch4
质点系对惯性系中某给定参考点的角动量的时间
变化率，等于作用在该质点系上所有外力对该给
定参考点的总力 矩
dL
M
ex
dt
i
ri
Fi
ex
4.角动量守恒定律（普遍的）
If no external torques act upon a system of particles, the angular momentum remains costant.
dL
M ex
M in
dt
2.质点系对固定点的总内力矩为零 3.质点系的角动量定理
The rate change of the totle angular momentum
about any axis is equal to the external torque
about that axis.
如果质点系所受到的总外力矩为零 ，则质点系的
角动量守恒
dL
0
或
L 常量
dt
ch4
5.几种特殊情况 ▪ 有心力场中的质点（系）对“心”的角动量总 是守恒的
▪ 质点系的重力的合力矩可集中到质心处理
Mg r Cmg
ch4
6. 守恒条件
角动量守恒：合外力对固定点的力矩为零 与参考系、研究系统和参考点都有关系
review
ch3
❖ 质心 质心坐标 质心速度 质心加速度
离 散 体
rc
mi ri
i
m
连续体
rc
rdm
m
表示质点系的质量分布的中心位置
vc
mi vi
i
p
m
m
代表质点系的总动量
mac
dp dt
F ex
代表质点系的合外力 描述质点系的平移轨迹
ch3
2）观察质点的匀速直线运动:质 点相对于参考点的掠面速度不变
动量、动能都不能对上述现象作 出统一描述，需要引入新的物理 量。
r 参考点O
v 质点m
ch4
2.质点对参考点的角动量
(Angular Momentum)
L = r mv r p
What counts for angular momentum is not how fast it is going away from the origin, but how much it is going around the origin.
动量守恒：合外力为零 与参考系和研究系统有关系
保守系机械能守恒：合外力作功为零 与参考系和研究系统有关系
三、质心系的角动量定理
M
MCex
rC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fiex
L LC mrC vC
dL
M ex
ch4
dt
固有角动量 轨道角动量
对质心角动量+随质心角动量
ch4
z
v// v
v
Or//
O’
r r
ch4
§4-2 力矩和角动量定理
一、力矩和质点的角动量定理
1.力矩 (torque)
M
r
F
力对某点的力矩 单位：N·m
2.质点的角动量定理：质点对任一固定点的角
动量的时间变d化L率，M等于外力对该点的力矩 dt
ch4
[例题4.1]圆锥摆由一根长为l的绳子悬挂着一个质量为m的
质心系的角动量定理
M
ex C
dLC dt
角动量定理对惯性系成立，但站在质心系上时，无 论其是否是惯性系，则角动量定理形式上仍成立
ch4
ω
只受重力作用的质点系对 质心的角动量守恒
ch4
[例题4.2]质量为m1和m2的两个质点的位矢和速度分别为r1,
v1和r2 , v2，试求：两质点相对于它们的质心的动量和角动
量LC。
质 心 位 矢rC
mi ri
i
m
质 心 速 度vC
mivi
i
m
r
r
rC
v
v
vC
p1
mr u
p2
mr u
Lc r1' p1' r2' p2'
mr r12 u r12 (mr u)
作匀速圆周运动的小球构成。若摆线与铅垂线成 角，试
求摆球的速率。
研究对象：圆锥摆
参考系：实验室
选择参考点：支点O 受力与运动分析
dL
M
dt
v sin gl
cos
g l cos
ch4
速度调节器
cos
g
2l
ch4
二、质点系的角动量定理
1.质点系角动量随时间的变化率