江苏南通高三数学试题
江苏省南通市2024届高三年级第一次调研测试数学试卷(附答案)
江苏省南通市2024届高三年级第一次调研测试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （ ）A. {}2,1--B. {}0,1C. {}0,1,2D. {}0,1,2,32 已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（ ） A. 25B. 16C. 9D. 53. 若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（ ）A.19B.13C. 3D. 95. 从正方体八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（ ） A. 每个面都等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（ ）.的是A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 8990918892则（ ）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（ ） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（ ） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC 和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===．的（1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列． （1）求{}n a 通项公式；（2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，离心率为2．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ． （1）若22k =，求3k ； （2）证明：()213k k k +为定值．21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． （1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <． 22. 已知函数()ln a f x x x=-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x的零点，1m n a ==+．①证明：0m x n ＜＜； ②探究0x 与2m n+的大小关系．的答案解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （ ）A.{}2,1-- B.{}0,1 C.{}0,1,2 D.{}0,1,2,3【答案】C 【答案解析】【详细分析】根据题意，由集合的交集运算即可得到结果. 【答案详解】因为{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，所以A B = {}0,1,2.故选：C2.已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（ ）A.25 B.16C.9D.5【答案】A 【答案解析】【详细分析】根据给定条件，求出,z z ，再利用复数乘法运算计算即得.答案详解】由8,6i z z z z +=-=，得43i,43i z z =+=-，所以()()43i 43i 25z z ⋅=+-=.故选：A3.若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【答案解析】【详细分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【答案详解】由题意8a b λμ⇔= ∥，则“8λμ=”是“a b ∥”的充要条件. 故选：C ．【4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（ ）A.19B.13C. 3D. 9【答案】B 【答案解析】【详细分析】根据等比数列通项和已知条件求出公比，然后代入即可. 【答案详解】设等比数列公比为q ，24623a a a =+，即2422223q q a a a =+，所以24123q q =+，所以213q =，由25247325113a a q q q a a q --===--，故选：B ．5. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（ ） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个详细分析判断即可. 【答案详解】如图，11D BAC -每个面都是等边三角形，A 不选；11A DD C -每个面都是直角三角形，B 不选；1D ABC -三个面直角三角形，一个面等边三角形，C 不选，选D ．故选：D.的6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【答案解析】【详细分析】将直线与抛物线联立方程组，Δ0=求出p ，得点M 坐标得解.【答案详解】设抛物线C 的焦点为F ，联立212y x x py=-⎧⎨=⎩，消y 可得2220x px p -+=，因为直线与抛物线相切，则2480p p ∆=-=，0p > ，2p ∴=，()2,1M ∴，1122M pMF y ∴=+=+=. 故选：B.7. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（ ） A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<【答案】C 【答案解析】【详细分析】方法一：设()()2f xg x x =利用导数得到函数单调性，从而求解； 方法二：设()1,f x =特例法得解.答案详解】方法一：∵()()2xf x f x '<，∴()()()'2320f x xf x f x x x ⎛⎫-⎝⎭'=< ⎪, 设()()2f xg x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递减， 所以()()()2e 4g g g >>，()()()22e 44e 16f f f ∴>>， 即()()()224e 216e e 4f f f >>，故C 正确．【方法二：设()1,f x =又22e 164e <<，C 正确． 故选：C8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【答案解析】【详细分析】由已知作图如图所示，设AEF α∠=，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果.【答案详解】如图所示，10,20EF FG ==， 令AEF α∠=，则10sin ,2AF AFE παα=∠=-，则BFGa ?，20cos ,20sin ,2BF BG BGF πααα==∠=-，则,10cos CGH CG αα∠==∴周长()()22210sin 20cos 220sin 10cos AB BC αααα=+=+++π60sin 60cos 4ααα⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭故选：D ．【点评】关键点评：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲8791908993乙 89 90 91 88 92则（ ）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差 【答案】BC 【答案解析】【详细分析】由中位数、极差的概念即可判断AC ，由平均数、方程计算公式即可验算BD. 【答案详解】甲的极差93876-=，乙的极差92884-=，A 错． 甲的平均数8791908993905++++=，乙的平均数8990918892905++++=，B 对．甲的中位数90，乙的中位数90，C 对．2==，D 错.故选：BC ．10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据函数的对称性及奇偶性可得()f x 是周期为4的函数，然后结合条件即可求解. 【答案详解】由()f x 为奇函数，即函数()f x 的图象关于()0,0对称， 又()()11f x f x +=-，则()f x 的图象关于1x =对称， 所以(2)()()f x f x f x +=-=-， 则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴为周期函数且周期为4T =，B 对．所以()()311f f =-=，A 对． 而(4)()()f x f x f x -=-=-，C 错．由上可知()()200f f =-=，()()400f f ==，所以()()()()()123410100f f f f f +++=--+++=，则181()(1)(2)1k f k f f ==+=-∑，D 对．故选：ABD ．11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（ ） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A 、B ，设(),M x y ，若MQ =，推出恒成立，即可判断C 、D.【答案详解】圆22230x y x ++-=即()2214x y ++=，圆心()1,0C -，半径2r =，又()0,1P ，所以CP =，因为点M 在圆22230x y x ++-=上，所以2MP ⎡∈+⎣，所以存在点M ，使得1MP =，故A 对．因为()2211284++=>，所以点Q 在圆外，又2CP r =<=，点P 在圆内，所以当QM 与圆C 相切时，MQP ∠取最大值， 此时π4MQP ∠=，所以π4MQP ∠≤，故B 对．对于D ，设(),M x y ，若MQ =222MQ MP ⇔=2222(1)(2)2(1)x y x y ⎡⎤⇔-+-=+-⎣⎦22230x y x ⇔++-=，又点M 在圆22230x y x ++-=上，MQ ∴=一定成立，故D 对，C 错.故选：ABD ．12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（ ） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】对于A ，2301ππ3V R d d =-，3102π3V R V =-化简即可验算；对于B ，3202π3V R V =-化简即可验算；对于C ，21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将2R d =代入即可判断；对于D ，求()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-的最小值即可. 【答案详解】2301ππ3V R d d =-（同底等高），()()3233232121πππππ23()23333V R R d d R R d d R d R d =-+=-+=-+，A 对．()()()323221ππππ223339V R R d d R d R d R d =+-≠+-+，B 错． ()221323232π121()2321πππ23133R R R d R d V d d V R R R R d d d d ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，2Rd=，121551612127V V ⨯∴==+-，C 对． 对于D ，,33R R d d ≤∴≥时，()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-， ()()()()223223232121231,0231231x x x x f x f x x x x x --+==>+-+-'， ()f x 在[)3,+∞ ，()()7320f x f ≥=，D 对． 故选：ACD.【点评】关键点评：判断D 选项的关键是首先得到21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后通过换元求导得函数最小值即可验证，从而顺利得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】23-##23- 【答案解析】【详细分析】根据定义域代入计算可得答案.【答案详解】21log 32112log 211333f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：23-. 14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．【答案】 ①. 8 ②. 16 【答案解析】【详细分析】由二项展开式结合分配律可得第一空答案，由赋值法可得第二空答案. 【答案详解】4432(2)8243216x x x x x +=++++，2x 的系数为232248a =-=， 令0x =，0116a -⨯=，即016a =-；1x =，0123450a a a a a a =+++++，1234516a a a a a ∴++++=.故答案为：8；16.15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案解析】【详细分析】由题意得π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ，结合题意可得ω，然后代入求值即可.【答案详解】π2sin 4i x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭()πsin ,1,242i x i ω⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭， 所以，π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ， ()ππ22π,,2sin 23334f x x ωω⎛⎫∴⨯=∴==+ ⎪⎝⎭，所以ππππ2sin 2sin 81243f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．【答案】3【答案解析】【详细分析】根据椭圆定义用a 表示1122||||||||PF QF PF QF 、、、，再利用余弦定理可解. 【答案详解】设1||PF m =，则1||4QF m =，又222||5||,PF QF =由椭圆定义，()()22524,a m a m -=-得3am =， 所以1122452,,,,3333a a a a PF QF PF QF ==== 又因为12//PF QF ，所以1221cos cos 0PF F QF F ∠+∠=，2222221254164499990,1524223333a a c a a c a a a a +-+-∴+=⋅⋅⋅⋅所以3c e a ==．故答案为：3. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见答案解析（2）7【答案解析】【详细分析】（1）由等腰三角形三线合一得OC AB ⊥，由线面垂直的性质得PO OC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，然后利用向量夹角公式即得. 【小问1答案详解】C 为底面圆周上一点，CA CB ∴⊥，又2,AC AB BC ==∴= ，又O 为AB 中点，OC AB ∴⊥， 又PO ⊥ 底面ABC ，OC ⊂底面ABC ，PO OC ∴⊥，又,AB PO O ⋂=,AB PO ⊂底面PAB ， OC ∴⊥平面PAB ．【小问2答案详解】PO ⊥ 底面ABC ，,OC OB ⊂底面ABC ，所以,PO OC PO OB ⊥⊥， 又因为OC AB ⊥，所以以O 为原点，,,OC OB OP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为2,PC AB AC ===，(()(),0,1,0,1,0,0PO P B C ==∴ ，(()0,1,,1,1,0PB BC ∴==-，设平面PBC 的一个法向量()1,,n x y z =，由11ꞏ0ꞏ0n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，00y x y ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩，取1z =，所以)1n = ，而平面APB 的一个法向量()21,0,0n =，设二面角A PB C --平面角为θ，显然θ为锐角，1212cos 7n n n n θ⋅∴=== ．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===． （1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ． 【答案】（1）3π4（2）2AD = 【答案解析】详细分析】（1）由两角和正切得tan 1A =-，进一步得3π,sin 4A C B ===，结合正弦定理即可求解.（2）由222BD AD CD =+结合余弦定理即可求解.【【小问1答案详解】()17tan tan 20tan tan 131tan tan 120B CA B C B C +=-+=-=-=---， 且(),,0,πA B C ∈，3π,sin 4A C B ∴=== 在ABC中，6sin sin 3c b c C B =⇒=⨯=． 【小问2答案详解】 设,6AD x CD x =∴=-，222282(6)2BD x x x ⎛⎫∴=+-⋅⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 2162802x x x ⇒-+=⇒=或，1406x << ，2x ∴=，即2AD =．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ． 【答案】（1）21n a n =- （2）{}8,11A =． 【答案解析】【详细分析】（1）首先根据条件和等差数列的定义，得{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可得； （2）由（1）得，122721k a n n =++-，根据k a 为正奇数，得到1221n -为正整数即可解出. 【小问1答案详解】n a成等差数列，()2141n n n a S a ∴+==+①， ()21141n n S a ++=+②，222211111422,220n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++-⇒=-+-∴---=②①，()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以12n n a a +-=，且()211141,1a a a =+∴=， 所以{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，()12121n a n n ∴=+-=-．【小问2答案详解】 由（1）得，()()()2132125(21)821121227212121n n k n n n n n a a a n a n n n ++++-+-+====++---k a 为正奇数，又21n -为正奇数，∴1221n -为正整数． 所以211,3n -=，2n ∴=或1n =，当1n =时，212111;2k k n -===，时，21158k k -==，，{}8,11A ∴=．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ． （1）若22k =，求3k ； （2）证明：()213k k k +为定值． 【答案】（1）32k =-（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线MN 的方程，联立方程组，由韦达定理可解；（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得12k k ，再结合（1）中结论即可得证. 【小问1答案详解】由题意知2222212a a cb a a bc =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，双曲线：2214x y -=．易知直线MN 的斜率不为零，所以设直线MN 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，22444x my x y =+⎧∴⎨-=⎩，得()2248120m y my -++=， 则()()()222Δ8441216120m m m =--⨯=+>，则121222812,44m y y y y m m +=-=--， ()()()12121223212121212222224y y y y y y k k x x my my m y y m y y ∴=⋅==--+++++ 2222123412842444m m m m m m -==--+⋅+--，23,22k k =∴=-． 【小问2答案详解】因为2121111222111111422444x y y y k k x x x x -=⋅===+---，()2131223131442k k k k k k k ∴+=+=-=-为定值．.21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． （1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <． 【答案】（1）50343（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）先求一位顾客中奖的概率，然后求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）欲求随机变量X 的分布列，需先求随机变量X 可取的数值，然后求得其相应的概率，根据数学期望的公式求得随机变量X 的期望. 【小问1答案详解】一位顾客中奖的概率为21335338C C C 2C 7⋅+=， ∴仅有最后一位顾客中奖的概率55250777343P =⨯⨯=． 【小问2答案详解】X 的所有可能取值为0,1,2,,n ，()()()()15252520,1,2,,777777n n P X P X P X P X n -⎛⎫⎛⎫======⨯==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ X 的分布列如下：X12Ln()2125551237777n E X n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 令()221555512317777n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①， ()()221555555221777777n n n n S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②， ①-②2125555177777n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51175757217n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭- ()492497,4742n S E X ∴<∴<⨯=． 22. 已知函数()ln a f x x x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x 的零点，1m n a ==+． ①证明：0m x n ＜＜；②探究0x 与2m n +的大小关系． 【答案】（1）答案见答案解析（2）①证明见答案解析；②02m n x +<． 【答案解析】【详细分析】（1）求导讨论0a ≥和<0a 两种情况，根据导数的正负得到单调区间. （2）①证明：由()f x 在()0,∞+上单调递增，0m x n <<⇔()()0f m f n <<，()f m f ==，()()ln 11a f n a a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性进而求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，证得结果；②()1ln 22m n a f h a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭利用导数证明函数()h a 在()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=，即证得()002m n f f x +⎛⎫>= ⎪⎝⎭，由()f x 的单调性即可证得结果.【小问1答案详解】()221a x a f x x x x='+=+． 当0a ≥时，()()0f x f x '>，单调递增；当0a <时，令()0f x x a =⇒=-' ()f x 在()0,a -上单调递减；(),a ∞-+上单调递增．【小问2答案详解】①证明：()f x 在()0,∞+上单调递增， 要证：0m x n <<⇔证()()0f m f n << 而()f m f ==令()g a =， ()1021g a a ==='<+，()g a ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g a g <=． ()0,f m ∴<()()()1ln 1ln 1111a f n a a a a =+-=++-++， 令()()1ln 111p a a a =++-+，则()()()22110111a p a a a a =-=>+++'()p a ∴在()0,∞+上单调递增，()()00p a p >=． ()0f n ∴>()()00f m f n m x n ∴<<⇒<<．②()1ln 22m n a f h a +++⎛⎫== ⎪⎝⎭()h a ='====0=> ()h a ∴()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=()0022m n m n f f x x ++⎛⎫∴>⇒< ⎪⎝⎭． 【点评】思路点评：本题利用函数的单调性将问题0m x n <<转化为()()0fm f n<<，()f m f ==，()()ln 11a f na a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性通过求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，得出()()0f m f n <<.在。
南通高考数学试题及答案
南通高考数学试题及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(1)的值为：A. 3B. 5C. 7D. 92. 已知向量a=(2,1)，b=(1,-1)，则向量a+b的坐标为：A. (3,0)B. (3,-2)C. (1,2)D. (1,-2)3. 若直线l的方程为y=2x+3，则该直线的斜率为：A. 2C. 3D. -34. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2+b^2=c^2，以下哪个选项是正确的？A. 三角形ABC是直角三角形B. 三角形ABC是等腰三角形C. 三角形ABC是等边三角形D. 无法确定三角形ABC的类型5. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 0D. -16. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：B. 2C. 3D. 47. 若复数z=a+bi满足|z|=1，则实数a和b满足的条件是：A. a^2+b^2=1B. a^2-b^2=1C. a^2+b^2=0D. a^2-b^2=08. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求导数f'(x)的值为：A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. 3x^2-6x+1D. 3x^2-6x-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值。
10. 若直线l的方程为x+2y-5=0，求该直线与x轴的交点坐标。
11. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，求该数列的前5项和。
12. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求该函数的顶点坐标。
三、解答题：本题共4小题，共90分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13. (本题满分15分) 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求证：(1) f(x)在(-∞,1)上单调递增；(2) f(x)在(1,+∞)上单调递减。
2025届江苏省南通市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2025届江苏省南通市第一中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-2．已知函数()xe f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 3．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥4．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②C ．②③D ．③5．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(2,3]C ．(2,5]D ．(3,5]7．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或88．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>9．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28B ．14C ．7D ．211．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） A ．2B ．98C ．1D ．7812．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12iz =-+，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．12i -D ．12i +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市(新版)2024高考数学苏教版测试(综合卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学苏教版测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题椭圆＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍第(2)题某学校高三年级组在每次考试后将全年级数学成绩的第百分位数定为“优秀”分数线.某次考试后，张老师将自己所带名学生的数学成绩录入计算机，并借助统计软件制作成如图所示的频率分布直方图.据此，以样本估计总体，可知此次考试的“优秀”分数线约为（）A．B．C．D．第(3)题在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形第(4)题设，则（）A．84B．56C．36D．28第(5)题从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（）A．B．C．D．第(6)题若实数、满足，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．第(7)题已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(8)题已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在单调递减D．为奇函数第(2)题已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（）A．复数的虚部为B．C．的最大值D．的最小值为第(3)题已知正实数a，b满足，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知在平面直角坐标系中椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上不同于四个顶点的任意一点，延长线段到，若在轴上存在一点，满足，垂足为，则__________.第(2)题设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点，使得在以线段为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率为__________．第(3)题在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题为了解果园某种水果的产量情况，随机抽测了100个水果的质量（单位：克），样本数据分组为，，，，，，其频率分布直方图如图所示.(1)从样本中质量在，的水果中用分层抽样的方法抽取6个，再从这6个水果中随机抽取3个，记为质量在中的水果个数，求；(2)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如下表所示：质量（单位：克）等级规格二等一等特等销售价格（元/个）4710试估计果园该种水果的销售收入.第(2)题在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．第(3)题已知抛物线上一点的横坐标为4，且到焦点的距离为5，(1)求抛物线的方程；(2)点是抛物线上异于原点的不同的两点，且满足，求的最小值．第(4)题在等比数列{}中，．(1)求{}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和S n．第(5)题已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线l的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程；(2)若曲线和曲线与直线l分别交于非坐标原点的A，B两点，求的值.。
江苏省南通市(新版)2024高考数学统编版考试(综合卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题将一副三角板排接成平而四边形ABCD （如图），，将其沿BD 折起，使得而ABD ⊥面BCD ．若三棱锥A -BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A．B．C．D．第(2)题“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第(3)题对于，给出下列四个不等式：①；②；③；④；其中成立的是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④第(4)题法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）A．B．C．D．第(5)题南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示．若输出的的值为56，则程序框图中①处可以填入（）A．B．C．D．第(6)题已知等比数列的前三项和为，则（ ）A．81B．243C．27D．729第(7)题在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．B．C．D．第(8)题若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题计算下列各式的值，其结果为2的有（）A．B．C．D．第(2)题设函数，则（）A ．的一个周期为B．在上单调递增C．在上有最大值D．图象的一条对称轴为直线第(3)题已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______.第(2)题养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼，做好标记后放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有4条鲤鱼被标记，据此估计该池塘里鲤鱼大约有________条．第(3)题某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为________；甲5个轮次通过的次数的期望是_____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术，某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额（单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额和收入附加额成线性相关．投资额（百亿元）234568911收入附加额（百亿元） 3.6 4.1 4.8 5.4 6.27.57.99.1(1)求收入的附加额与研发投资额的线性回归方程（保留三位小数）；(2)现从这8家企业中，任意抽取3家企业，用表示这3家企业中收入附加额大于投资额的企业个数，求的分布列及数学期望．参考数据：，，．附：在线性回归方程中，，．第(2)题如图，(1)求证:;(2)求PB与面ABC所成角的正切值．第(3)题已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，上顶点为，直线（为椭圆的半焦距）与轴交于点，且的面积为（为坐标原点）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为的右焦点，经过的直线与交于，两点，且直线，分别交于点，，证明：点是线段的中点．第(4)题如图所示，ABCD为矩形，PD垂直于平面AC，平面PBC与底面AC所成的角是45，M为PC的中点，证明:DM⊥平面PBC第(5)题在直三棱柱中，，M、N分别为棱BC和的中点，点P是侧面上的动点.(1)若平面AMN，试求点P的轨迹，并证明；(2)若P是线段的中点，求二面角的余弦值.。
2025届江苏省南通市南通第一中学高三数学第一学期期末考试试题含解析
2025届江苏省南通市南通第一中学高三数学第一学期期末考试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85B ．852C ．35D ．3522．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．3．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸6．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,27．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦8．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}9．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 12．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市(新版)2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知为虚数单位，，满足，则（）A．0B．1C．2D．3第(2)题函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为A．B．1C．D．第(3)题（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(5)题如果直线l将圆：x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（ ）A．B．C．D．第(6)题如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．第(7)题已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知函数有唯一零点，则A．B．C．D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（）注：，A．2020年10月，全国居民消费价格同比下降B．2020年11月，全国居民消费价格环比下降C．2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高D．2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格第(2)题一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，函数在区间上单调递增，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，则复数在复平面内对应的点的坐标为__________．第(2)题已知是抛物线上一动点，是圆关于直线的对称的曲线上任意一点，则的最小值为_______________________．第(3)题空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数恰有一个零点，且（Ⅰ）求a的取值范围（Ⅱ）求的最大值第(2)题已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：.第(3)题已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，为等腰三角形，当轴时，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线不与坐标轴垂直，线段的中垂线与轴交于点，若直线的斜率为，求直线的方程．第(4)题已知函数，．（1）令，讨论函数的单调性；（2）令，当时，若恒成立，求实数的取值范围．第(5)题的内角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．。
江苏省南通市部分学校2024-2025学年新高三阶段性学业水平阳光测评数学试卷
江苏省南通市部分学校2024-2025学年新高三阶段性学业水平阳光测评数学试卷一、单选题1．若集合{}1,0,2A =-，{}B x x A =∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,2 B ．{}1,0,2-C ．{}2,1,0,2--D ．{}1,0,1,2-2．设向量a r ，b r，c r ，满足0a ≠r r ，a b a c ⋅=⋅r r r r ，()//a b c +r r r ，则（ ）A ．b c =r rB ．22b c =r rC ．b c ⊥r rD ．//b c r r3．设R m ∈.下列选项中，12m m+>的充要条件是（ ） A ．0m ≠B ．1m ≠C ．21m ≠D ．3m m ≠4．采用分层随机抽样方法对某校共600名高三年级学生的身高（单位：厘米）进行调查，估计得到该年级男生、女生和全体学生的平均身高分别为170.0，160.4，165.6，则该年级的男生人数约为（ ） A ．315B ．320C ．325D ．3305．设两个等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若3n n n S T n n =⋅-，则55a b =（ ） A ．162B ．524C ．890D ．12106．图1是一尊名为“何尊”的西周青铜酒器，其高38.5厘米，器口直径28.6厘米.何尊内底铭文中出现了“宅兹中国”四字（图2），这是已知“中国”一词最早的文字记载，标志早期“中国”概念形成和发展过程中的关键节点.某同学为估算何尊的容积，设计了一个与之等高、等口径的组合体（图3）.该组合体由一个圆柱和一个圆台构成，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，圆柱与圆台的高之比为3:2，圆台的上、下底面积之比为9:25，则该组合体的体积约为（ ）A ．11.8升B ．12.7升C ．13.6升D ．14.5升7．设z ∈C ，且()()5 54z z ++=，则2z 的实部的取值范围为（ ） A ．[]8,36 B ．[]9,49 C ．[]10,64D ．[]11,818．在同一坐标系中，直线0ax by c ++=与圆220x y ax by c ++++=的图形情况可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为面11A ADD 的中心.记直线1BD 为1l ，直线BO 为2l ，直线1AC 与1AD 所成角为γ，平面OBD 与平面ABCD 所成锐二面角为δ，则（ ）A ．sin γ=B ．cos δ=C ．与点A 关于1l 对称的点在正方体内D ．与点C 关于2l 对称的点在正方体外10．已知抛物线C ：22y x =的焦点为,F N 是C 的准线上一个定点.在C 上任取一点M ，若3MN MF ≤，则点N 的纵坐标可能为（ ）A ．B ．65-C ．13D 11．设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()tan sin ααβ=+，则（ ）A ．()tan tan 0ααβ++<B ．()cos cos 0ααβ++<C ．πsin sin 022βα⎛⎫+-> ⎪⎝⎭ D ．()sincos 02βαβ++>三、填空题12．已知{n x }是公差不为0的等差数列.现从123456,,,,,x x x x x x ，这组数据中随机删除2个数，得到一组新的数据.这两组数据的极差相同的概率为.13．设函数()10100e x f x x =+，并记()n f x 为()1n f x -的导函数，其中*n ∈N ，若存在实数p 和q ，使得函数()N f x 满足()()()0N N f x p f x q q =⋅+≠，则N 的最小值为.14．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，离心率为2，左、右焦点分别为1F 和2F .P 为C 上位于第一象限内的点，线段2PF 的延长线与圆2F ：()2224x c y a -+=交于点Q ，且线段1QF 的中点在圆2F 上，则1tan F PQ ∠=.四、解答题15．粮稳则天下安.粮食安全是关乎全局和长远的战略问题，要确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中.现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期（单位：天），按从小到大排序结果如下： 96 97 100 103 106 107 107 108 110 110 113 116 121 129 131已知这组样本数据的第10百分位数、中位数、第80百分位数分别为a ，b ，c .(1)求a ，b ，c ；(2)在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间（a ，c ）的稻株记为“甲类”，其余记为“乙类”.现从该品种水稻中随机抽取4株，设其中甲类有X 株，求X 的分布列和数学期望（以样本中甲类稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于甲类的概率）.16．已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，()ln h x kx =，且()()()()2332f g f g >. (1)若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；(2)若()()()u x f x h x =-，()24f =，且()0u x ≥，求k 的取值范围；(3)若()()()u x g x h x =，()21f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 到直线4x =的距离与点P 到点()1,0F 的距离之比为常数2.记P 的轨迹为C ，曲线C 的上顶点为B . (1)推导C 的标准方程；(2)过B 的直线与C 相交于另一点A .若ABF △AB 的方程.18．如图，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 为边AB 的中点.S 是平面ABC 外的一点，且有()()20SA SB SC AB AC SC +⋅=+⋅=u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.(1)证明：SC SD ⊥；(2)已知1DE =，SD =3SE =，直线BC 与平面SDE . （i ）求SDE V 的面积； （ii ）求三棱锥S ABC -的体积.19．已知数列{n a }满足53ππ44n n a n ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1π5π,22n n a a +⎧⎫-∉⎨⎬⎩⎭，且1sin cos n n a a +=.(1)若1π4a =，求2a ，3a ，4a .(2)证明：数列{}1n n a a ++为等差数列；(3)设数列{}n b 的通项公式为cos n b n ω=.若数列{n n a b +}为等差数列，求1a .。
江苏省南通市2025届高三上学期九月份调研测试数学试题及参考答案
江苏省南通市2025届高三上学期九月份调研测试数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11，-=A ，{}101，，-=B A ，则（）A.BA ⊆ B.AB ⊆ C.ϕ=B A D.B ∈02.已知命题11,>+∈∀x R x p ：；命题x x x q =>∃3,0：，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.函数()()x x ee xf xx2sin -+=-在区间[]2,2-的大致图象为（）4.设α是空间中的一个平面，n m l ,,是三条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若n l n m ⊥⊥⊂，，αα，则m l ∥B.若m l ∥，n m ∥，α⊥l ，则α⊥nC.若m l ∥，α⊥m ，α⊥n ，则n l ⊥D.若n l m l n m ⊥⊥⊂⊂，，，αα，则α⊥l 5.在正三棱台111C B A ABC -中，2411==B A AB ，，A A 1与平面ABC 所成角为4π，则该三棱台的体积为（）A.352 B.328 C.314 D.376.设π2=a ，π2log =b ，π=c ，则（）A.ab c << B.ac b >> C.bc a >> D.cb a >>7.若函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>+<<-+=3,31,1log 2x x ax x x x f ，在()∞+-，1上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[]93，- B.[)∞+-，3 C.[]9,0 D.(]9，∞-8.设函数()()x b ax x x f ln 2++=，若()0≥x f ，则a 的最小值为（）A.2- B.1- C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中最小值为4的是（）A.xx y ln 4ln += B.xxy -+=222C.xx y sin 1sin 4+= D.1522++=x x y 10.定义在R 上的偶函数()x f ，满足()()()12f x f x f =-+，则（）A.()01=f B.()()011=++-x f x f C.()()x f x f 2121-=+ D.()10201=∑=i i f 11.在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别为B A AC 1,的中点，则（）A.∥MN 平面11A ADD B.1AC MN ⊥C.直线MN 与平面C C AA 11所成角为4πD.平面1MND 经过棱11B A 的三等分点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“0>xy ”是“y x y x +=+”的.（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空）13.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为.14.已知ba323+=，则b a -2的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，F E D ,,分别为B B BC AB 1,,的中点.（1）证明：∥11C A 平面DE B 1；（2）若1=AB ，AC AB ⊥，F A D B 11⊥，求点E 到平面11FC A 的距离.16.（本小题满分15分）已知函数()xxx f +-=11log 2.（1）判断并证明()x f 的奇偶性；（2）若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈31,31x ，[]2,2-∈t ，不等式()62-+≥at t x f 恒成立，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为菱形，⊥PB 平面ABCD .（1）证明：平面⊥P AC 平面PBD ；（2）若PC P A ⊥，二面角C BP A --的大小为120°，求PC 与BD 所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）设函数()cx bx ae x f x++=2.（1）若1=a ，1-==c b ，求证：()x f 有零点；（2）若0=a ，1-=b ，是否存在正整数n m ,，使得不等式()n c x f m ≤-≤的解集为[]n m ,，若存在，求n m ,；若不存在，说明理由.（3）若0≠b ，非空集合(){}()(){}00=∈==∈x f f R x x f R x ，求c a +的取值范围.19.（本小题满分17分）已知有限集{}()N n n a a a A n ∈≥=,2,,,21 ，若n n a a a a a a 2121=+++，则称A 为“完全集”.（1）判断结合{}222,1221+---，，是否为“完全集”，并说明理由；（2）若集合{}b a ,为“完全集”，且b a ,均大于0，证明：b a ,中至少有一个大于2；（3）若A 为“完全集”，且*N A ⊆，求A .参考答案一、单选题1.D 解析：∵{}11，-=A ，{}101，，-=B A ，∴B ∈0.2.B解析：命题p ：0=x 时，11=+x ，假命题；命题q ：0=x 或1或1-，真命题，则p ⌝和q 都是真命题.3.C解析：()x f 为奇函数，图象关于原点对称，排除AB，2π=x 时，0222>-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππe e f ，排除D，故选C.4.B解析：αα⊥⊂n m ，，则n m ⊥，又n l ⊥，m 与l 可能相交，A 错.m l ∥，n m ∥，则n l ∥，α⊥l ，则α⊥n ，B 正确.5.C解析：延长111CC BB AA ，，交于S 点，1AA 与平面ABC 所成角为SAO ∠，∴SO AO =，而3344233232=⋅⋅==AD AO ，3321=OO ,34234421=⨯⨯⨯=∆ABC S ，3232221=⨯⨯⨯=∆ABC S ，()3143323233431=⨯++⨯=V .6.C解析：22>=πa ，()2,1log 2∈=πb ，()2,1∈=πc ，a 最大.设()x x x f ln =，则()2ln 1xxx f -='，令()0='x f ，解得e x =，∴()x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，∵e <<2π，∴()()2f f <π，即22ln ln <ππ，即22ln 2ln <ππ，∴2ln ln <ππ∴ππ<2ln ln ，即ππ<2log ，即c b <，∴b c a >>.7.A解析：∵()x f 在()∞+，3上单调递增，∴()012≥-='x ax f 在()∞+，3上恒成立，∴9≤a ，∵()x f 在()∞+-，1上单调递增，∴()3313log 2a+≤+，∴3-≥a ，综上，a 的取值范围是[]93，-.8.B解析：∵()0≥x f 恒成立，则1是02=++b ax x 的根，即01=++b a ，∴ab --=1则()()()()x a x x x b ax x x f ln 11ln 2++-=++=,∵01≥++a x ，∴01≥+a ，即1-≥a ，∴a 的最小值为1-.二、选择题9.BCD解析：选项A，()1,0∈x 时，0ln 4ln <+=xx y ，A 错误；选项B，4222222=≥+=-xxy ，当且仅当x x -=222，即1=x 时“=”成立.B 正确；选项C，242sin 1sin 4=≥+=x x y ，当且仅当xx sin 1sin 4=，即21sin ±=x 时“=”成立，C 正确；选项D，4421411412222=≥+++=+++=x x x x y ，当且仅当14122+=+x x ，即32=x 时“=”成立.D 正确.10.AC解析：当1-=x 时，()()()111f f f =---，∴()()011==-f f ，A 正确；∴()()02=-+x f x f ，即()()x f x f -=+2，即()x f 关于1=x 对称，则()()x f x f +=-11，∴B 错，C 对；()()x f x f =+2，则()x f 的周期为2，无法判断()0f 的值，()10201=∑=i i f 的值无法判断，故D 错.11.ABD解析：∵M 分别为AC 的中点，∴M 也是BD 中点，又N 分别为B A 1的中点，∴MN 为D BA 1∆的中位线，则D A MN 1∥，又⊂D A 1平面11A ADD ,⊄MN 平面11A ADD ,∴∥MN 平面11A ADD ，故A 正确；如图建系，设正方体的边长为1，则()()11000,11，，，，C A ,()()0001011，，，，，D A∴()1111，，-=AC ,()1011--=，，D A ，∴011=⋅AC D A ,即11AC D A ⊥,∴1AC MN ⊥，B 正确；平面C C AA 11的垂线为BD ，而D A 1与BD 所成角为3π，∴直线MN 与平面C C AA 11所成角为6π，C 错误；()10021,2110,21,211，，，，，D N M ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=210,21，MN ，⎪⎭⎫⎝⎛-=21,21,11N D ,设平面1MND 的法向量为()c b a n ,,= ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅02121021211c b a N D n c a MN n，不妨设1=a ，则1,3-=-=c b ，∴()1,3,1--=n，11B A 靠近1A 的三等分点⎪⎭⎫ ⎝⎛1311，，P ，则⎪⎭⎫⎝⎛=0,3111，P D ,∴01=⋅n P D ，∈P 平面1MND ，D 正确.三、填空题12.充分不必要解析：∵0>xy ，∴y x ，同号，∴y x y x +=+，∴是充分条件，由y x y x +=+，则0≥xy ，∴是不必要条件，∴“0>xy ”是“y x y x +=+”的充分不必要条件.13.π3解析：球的直径为2，半径为1，设圆柱底面圆半径为r ，∴1412=+r ，∴23=r ，∴ππ312=⋅=r S 侧.14.8log 3解析：方法一：()ba 32log 3+=,∴()()b b b a bb-+⋅=-+=-3ln 32ln 232log 223，令()()x x f x-+⋅=32ln 3ln 2，则()23233232321323ln 33ln 2+-=+--⋅=-+⋅⋅='xx xx x x x x f ，令()0='x f ，解得2log 3=x ，∴()x f 在()2log 3，∞-上单调递减，在()∞+，2log 3上单调递增，∴()()8log 2log 4ln 3ln 22log 333=-⋅=≥f x f .方法二：由bba322323⋅≥+=可得：b a3832⋅≥，可得832≥-ba ，∴8log 23≥-b a ，当且仅当2log 3=b ，4log 3=a 时“=”成立.∴b a -2的最小值为8log 3.四、解答题15.解：（1）证明：∵E D ,分别为BC AB ,的中点，∴AC DE ∥.又∵11C A AC ∥，∴DE C A ∥11，∵⊄11C A 平面DE B 1，⊂DE 平面DE B 1，∴∥11C A 平面DE B 1.（2）法一：设O D B F A =11 ，∵F A D B 11⊥，∴︒=∠+∠9021，又∵︒=∠+∠9032，∴31∠=∠，又∵︒=∠=∠90111BD B F B A ，∴BD B F B A 111~∆∆，设m BF F B ==1，∴2121mm =，∴21=m ，∵∥DE 平面11FC A ，∴点D 到平面11FC A 的距离即为点E 到平面11FC A 的距离，由AB AC ⊥，A A AC 1⊥，A A A AB =1 ，∴⊥AC 平面AB A 1，∴DO AC ⊥，即11C A DO ⊥，又∵F A DO 1⊥，∴⊥DO 平面11FC A ，且254111=+=DB ，5525211==OB ，∴1053=OD ，即点E 到平面11FC A 的距离为1053.法二：建立如图所示空间直角坐标系，设m BF =，∴()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0212,0,1,0,12,0,011，，，，D m B m F m A ，∴()m F A m D B -=⎪⎭⎫⎝⎛--=,0,12,0,2111，，∴0221211=+-=⋅m F A D B ，解得21=m .设n AC =，∴()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2,21,1,021011,0,011n E n C F A ，，，，，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,,1210111n FC F A ，，，，设平面11FC A 的一个法向量()z y x n ,,=，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-021021z ny x z x ，∴()2,0,1=n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,2,211n E A ，∴点E 到平面11FC A的距离1053523===d .16.解：（1）由对数函数的定义可得011>+-xx，即()()011<+-x x ，∴11<<-x ，∴函数()x f 的定义域为()1,1-，关于原点对称，∵()()01log 11log 11log 222==+-+-+=+-xxx x x f x f ，∴()()x f x f -=-，∴()x f 为奇函数.（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++-=x x x x f 121log 121log 22，由复合函数的单调性可知，()x f 在⎦⎤⎢⎣⎡-31,31上单调递减，由题意知()()max 2min 6-+≥at t x f ，∴()1316max2-=⎪⎭⎫⎝⎛≤-+f at t.法一：由162-≤-+at t 在[]2,2-∈t 上恒成立，可得052≤-+at t 恒成立，令()52-+=at t t g ，只需()()⎩⎨⎧≤-+=≤--=-0524205242a g a g ，解得2121≤≤-a ，即a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2121，.法二：当0=t 时，16-≤-显然成立；当[)0,2-∈t 时，25t at -≤，即215max-=⎪⎭⎫⎝⎛-≥t t a ；当(]2,0∈t 时，25t at -≤，即215min =⎪⎭⎫⎝⎛-≤t t a ；∴2121≤≤-a ，即a 的取值范围为⎦⎤⎢⎣⎡-2121，.17.解：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，又∵⊥PB 平面ABCD ，∴AC PB ⊥，又B PB BD = ，∴⊥AC 平面PBD ，又∵⊂AC 平面P AC ，∴平面⊥P AC 平面PBD .（2）∵⊥PB 平面ABCD ，∴AB PB ⊥，BC PB ⊥，∴ABC ∠即为二面角C BP A --的平面角，即︒=∠120ABC ，建立如图所示空间直角坐标系，设m PB BC AB ===，2，由222AC PC P A =+，∴124422=+++m m ，解得2=m ，∴()()()()0,31000002200，，，，，，，，，，D B C P ，∴()()0,31202，，，，=-=BD PC ，设PC 与BD 所成角为θ，∴66262cos =⨯==θ.∴PC 与BD 所成角的余弦值为66.18.解：（1）当1=a ，1-==c b 时，()x x e x f x --=2，∵()0222<-=--e f ，()ef 11=-，且()x f 在R 上连续，由零点存在定理知，()x f 在()12--，上存在零点.（2）当0=a ，1-=b 时，()cx x x f +-=2，不等式()n c x f m ≤-≤的解集为[]n m ,，由图知m c cx x =-+-2的两根为n m ,，且442--≥c c n ，即02=++-c m cx x 的两根为n m ,，∴⎩⎨⎧+==+cm mn c n m ，∴mn n m =+2，即121=+n m ，∴2,1>>n m ，∴()()222=---n n m ，即()()221=--n m ，由n m <知⎩⎨⎧=-=-2211n m ，解得⎩⎨⎧==42n m ，此时6=c ，且满足442--≥c c n ，∴存在4,2==n m 符合题意.（3）由题意知()0=x f 的根均为()()0=x f f 的根，设0x 为()0=x f 的一个根，即()00=x f ，∴()()00=x f f ，∴()00=f ，∴0=a ，∴()()c bx x cx bx x f +=+=2，∴()()()()()()[]()()c bcx x b x f c x bf x f x cf x bfx f f ++=+=+=222，令()c bcx x b x g ++=22，当0=c 时，()0=x f 的两根b c x x -==21,0，而()00≠g ，022≠=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-c c c c b c g ，∴必有()x g 中04222<-=∆c b c b ，∴40<<c ，综上40<≤c .∴[)4,0∈=+c c a ，即c a +的取值范围为[)4,0.19.解：（1）∵()()()2222212212221221=+⨯-⨯-⨯-=++-+--，∴{}222,1221+---，，为“完全集”.（2）∵集合{}b a ,为“完全集”，∴ab b a =+，0,>b a ，∴ab b a ab 2≥+=，∴4≥ab ，∵b a ≠，∴4>ab .假设2,0≤<b a ，则40≤<ab ，这与4>ab 矛盾，故b a ,中至少有一个大于2.（3）若2=n ，设{}b a A ,=，∵A 为完全集，∴ab b a =+，且*,N b a ∈，b a ≠，由()()111=---b b a ，∴()()111=--b a ，∴⎩⎨⎧=-=-1111b a ，解得2==b a ，这与b a ≠矛盾，舍去.若3=n ，设{}c b a A ,,=，∵A 为完全集，∴abc c b a =++，且*,N c b a ∈，，c b a ≠≠，不妨设c b a <<，∴c abc 3<，∴3<ab ，故2,1==b a ，∴c c 23=+，∴3=c ，∴{}3,2,1=A 符合.若4≥n ，设{}n a a a A ,,,21 =，不妨设n a a a <<< 21，∵A 为完全集，，∴n n n na a a a a a a <=+++ 2121，∴n a a a n <-121 ，①另一方面()()!1121121-=-⋅≥-n n a a a n ，下证：()n n >-!1，4≥n ，∵4≥n 时，()()()022421!12>≥+-=---≥--n n n n n n n ，∴()n n >-!1，这与①矛盾，舍去.综上，{}3,2,1=A .。
2025届江苏省南通市南通中学高三最后一卷数学试卷含解析
2025届江苏省南通市南通中学高三最后一卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i -B ．33i +C ．13i +D ．13i -3．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 4．已知抛物线C ：28x y =，点P 为C 上一点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，又知点()5,2A ，则PQ PA +的最小值为（ ）A ．132B ．4102-C ．3D ．55．将函数f (x )=sin 3x -3cos 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +7．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B 5C 5D ．58．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-9．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．310．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ）A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+11．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]12． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市(新版)2024高考数学苏教版考试(综合卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学苏教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，是方程的两个根，则（）A．B．2C．D．第(2)题复数，则复数的实部和虚部分别是（）A．3，2B．3，2i C．1，2D．1，2i第(3)题已知函数的定义域为R，，，且，，当时，，则不等式的解集为（）A．或B．C．或D．第(4)题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（）A．B．C．D．第(5)题已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A．B．C．D．第(6)题在中，内角的对边分别为，，则的值为（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知，均为锐角，且，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在四棱锥中，是正方形，，，，为棱上一点，则下列结论正确的是（）A．点到平面的距离为1B．若，则过点，，的平面截此四棱锥所得截面的面积为C．四棱锥外接球的表面积为D ．直线与平面所成角的正弦值的最大值为第(2)题孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（ ）A ．最大值为.B ．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为C．D ．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小第(3)题重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中，动点P 在上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧于点Q ，且，则下列说法正确的是（ ）图1 图2A．若，则B ．若，则C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．第(2)题函数的对称中心为________．第(3)题已知点在不等式组，表示的平面区域上运动，则的取值范围是__________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数；(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若正数a使得对恒成立.求a的取值范围；(3)设函数，讨论其在定义域内的零点个数．第(2)题已知四面体.(1)证明：;(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.第(3)题已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）判断曲线与曲线公共点的个数，并说明理由.第(4)题如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，且满足.(1)求证：；(2)若，求线段的长.第(5)题在数列中，，（k为常数，），且，，构成公比不等于1的等比数列．(1)求k的值；(2)设，求数列的前n项和．。
江苏省南通市通州区、海安县2025届高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
江苏省南通市通州区、海安县2025届高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．122．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =3．2(1i i +=- ) A ．132i + B ．32i + C ．32i - D ．132i -+ 4．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74 B ．32C ．2D ．54 5．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<< B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,16．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB AC λμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B ．72C ．7D ．77．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( ) A ．152- B ．512+ C ．512- D ．512+或512- 8．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米11．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．1625D ．8512．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13 C ．12- D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通巿2025届高三最后一卷数学试卷含解析
江苏省南通巿2025届高三最后一卷数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A．3 BC．3D2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．33．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A ．14B ．13 C ．12D ．234．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,105． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．822+D ．842+7．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．3D ．32410．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-11．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为25，则实数m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-12．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2024-2025学年高三上学期10月调研考试 数学含答案
2024/2025学年度高三第一次调研测试数学（答案在最后）2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“N x ∀∈，20x >”的否定为（）A.N x ∀∈，20x ≤B.N x ∃∈，20x ≤C.N x ∃∈，20x > D.N x ∀∈，20x <2.已知集合{}2,Z A x x x =<∈，(){}2ln 3B x y x x ==-，则A B = （）A.{}02x x << B.{}23x x -<< C.{1}D.{0,1,2}3.已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则cos2α=（）A.725B.725-C.2425D.2425-4.已知函数()1,121,12xa x f x x x⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.0a < B.12a >-C.102a -<< D.102a ≤<5.已知函数()f x 部分图象如图所示，则其解析式可能为（）A.()()2ee xxf x x-=- B.()2()ee xxf x x-=+C.()()e exxf x x -=- D.()()e exxf x x -=+6.过点(3,1)作曲线ln(1)y x =-的切线，则这样的切线共有（）A.0条B.1条C.2条D.3条7.锐角α、β满足sin cos()sin βαβα=+，若1tan 2α=，则cos()αβ+=（）A.12B.2C.2D.2-8.若函数())2sin 20f x x x ωωω=->在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，则ω的取值范围为（）A.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,66⎛⎤⎥⎝⎦D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知011a b <<-<，则（）A .01b << B.a b> C.1a b -< D.14ab <10.已知1x ，2x ，3x 是函数32()1f x x a x =-+的三个零点（0a >，123x x x <<），则（）A.32a >B.120x x <<C .()()13f x f x ''= D.()()()1231110f x f x f x ''++='11.若定义在R 上的函数()f x 的图象关于点(2,2)成中心对称，且(1)f x +是偶函数，则（）A.()f x 图象关于0x =轴对称B.(2)2f x +-为奇函数C.(2)()f x f x += D.20()42i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()2sin cos 2x af x x +=-是奇函数，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．13.“1x y <<”是“ln ln x x y y <”的________条件．（选填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）14.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有________人．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知α、β为锐角，sin 10α=，1tan 3β=．（1）求tan 2α的值；（2）求2αβ+的大小．16.已知函数()e e 22x x f x x -=--+.（e 2.71828=⋅⋅⋅）（1）判断函数()2y f x =-的奇偶性并证明，据此说明()f x 图象的对称性；（2）若任意(1,)x ∈+∞，(ln )()4f m x f x +>，求实数m 的取值范围．17.若函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的相邻对称轴距离为π2，且π162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移5π12个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数=的图象．当∈0,π时，求不等式()24g x g x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭π的解．18.绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a ，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a 时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂.（1）如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，说明理由；如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时）（2）如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？（每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计）（参考数据：lg 30.477≈，60.90.53≈）.19.已知函数2()2ln 1f x x ax =-+，0a ≥．（1）若()f x 的最大值为0，求a 的值；（2）若存在(,)k m n ∈，使得()()()()f n f m f k n m '-=-，则称k 为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点”．（ⅰ）当0a =时，若1为()f x 在区间(,)m n 上的“巧点””，证明：2m n +>；（ⅱ）求证：任意0a >，()f x 在区间(,)m n 上存在唯一“巧点”k ．2024/2025学年度高三第一次调研测试数学2025.09一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1-【13题答案】【答案】充分不必要【14题答案】【答案】5四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）724（2）π4．【16题答案】【答案】（1）奇函数，理由见解析，()f x 图像关于(0,2)中心对称（2）e m >-．【17题答案】【答案】（1）()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）11π012x <≤【18题答案】【答案】（1）不能达到净化目的，最多可净化10.4小时；（2）第一次投放6瓶，第二次投放3瓶；或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶.【19题答案】【答案】（1）1a =（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析。
江苏省南通市(新版)2024高考数学部编版考试(强化卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学部编版考试(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题全集，集合，则（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的的值为（）A．B．C．D．第(4)题复数（是虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．第(5)题已知四边形中，，，在将沿着翻折成三棱锥的过程中，直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，设二面角，的大小分别为，则A．B．C．存在D．的大小关系无法确定第(6)题已知动点在直线上，动点在圆上，若，则的最大值为A．2B．4C．5D．6第(7)题任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，，，…，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（）A．46B．45C．44D．43第(8)题已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（）A．B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点D．在区间上单调递减第(2)题已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（ ）A ．取值范围是B ．当点A ，B ，P ，Q 不共线时，面积的最大值为6C ．当直线l 斜率时，AB 平分D ．最大值为第(3)题已知函数在区间内存在两个极值点，则（ ）A ．B ．C．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.第(2)题在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_________.第(3)题由y ＝﹣x 2+2x +1，y ＝x ，x ＝1，x ＝0围成封闭图形的面积为___.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求的取值范围．第(2)题已知函数 在时取得极值.(1)求实数；(2)若，求的单调区间和极值.第(3)题已知函数．（1）若直线是曲线的切线，求实数k 的值；（2）若对任意，不等式成立，求实数a 的取值集合．第(4)题已知点为抛物线的焦点，过点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，，，四点，，分别为，的中点．（1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（2）设直线交抛物线于，两点，试求的最小值．第(5)题已知双曲线 C 经过点 (2,3)，它的渐近线方程为 y = ±．椭圆 C 1与双曲线 C 有相同的焦点，椭圆 C 1的短轴长与双曲线 C 的实轴长相等．（1）求双曲线 C 和椭圆 C 1 的方程；（2）经过椭圆 C 1 左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 1 交于 A 、B 两点，是否存在定点 D ，使得无论 AB 怎样运动，都有∠ADF =∠BDF ？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，请说明理由．。
江苏省南通市(新版)2024高考数学部编版考试(综合卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学部编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离不大于，、分别为的左、右两支上一点，则的最小值为（）A．B．4C．D．2第(2)题已知甲、乙两名篮球运动员在四场小组赛中的得分（单位：分）如下表：甲612913乙811714则对于这两组数据，不相同的数字特征是（）A．平均数B．中位数C．方差D．极差第(3)题已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，若函数的最小正周期为，且对任意的恒成立，则的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题已知集合则（）A．B．C．D．第(6)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知，在下列不等式中成立的一个是（）A．B．C．D．第(8)题若集合，则（）．A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．第(2)题如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（）A．与所成的角是B．与平面所成的角的正弦值是C．平面与平面所成的锐二面角余弦值是D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为第(3)题已知为正实数，且，则（）A．的最大值为B．的最小值为C ．的最小值为D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题求曲线在点处的切线方程是________.第(2)题已知向量，若，则_____．第(3)题如图，在长方体中，，，M，N分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AMN，则取最小值时，三棱锥的体积为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知曲线上任意一点满足，直线过点，且与曲线交于，两点.（1）求曲线的方程；（2）设点，直线与的斜率分别为，，试探求与的关系.第(2)题随着科技的不断发展，“智能手机”已成为人们生活中不可缺少的必需品，下表是年广西某地市手机总体出货量（单位：万部）统计表.年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345手机总体出货量y/万部 4.9 4.1 3.9 3.2 3.5并计算求得(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程；(2)预测2023年该市手机总体出货量.附：线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.第(3)题设，函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若有两个相异极值点，，且，求证：.第(4)题已知函数．（1）若在处取得极值，求实数的值；（2）若恒成立，求实数的取值范围．第(5)题已知数列，记集合.(1)若数列为，写出集合；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值．。
江苏省南通市(新版)2024高考数学统编版考试(强化卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版考试(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．第(2)题的展开式中的系数为（）A．30B．40C．70D．80第(3)题如图，某几何体三视图为三个完全相同的圆心角为90°的扇形，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．第(4)题设是内任意一点，表示的面积，记，定义，已知，是的重心，则A．点在内B．点在内C．点在内D．点与点重合第(5)题已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为，回归直线方程为，若，，则（）A．9B．4C．-3D．-6第(6)题如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(7)题已知集合、满足，，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧围成的球面图形称为球面△ABC.已知R为地球半径，N为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（）A．若P，Q在赤道上，且，则三棱锥O-NPQ的体积为B．若P，Q在赤道上，且，则球面△NPQ的面积为C．若，则球面△NPQ的面积为D．若，则由球面△NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所围成的几何体的体积为第(2)题在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则（）A．B．直线A'C与EF所成角的余弦值为C．直线A'C与EF的距离为D．四面体A'BCD的外接球的表面积为第(3)题已知函数，则（）A．当时，恒成立B ．当时，是的极值点C．若有两个不同的零点，则的取值范围是D ．当时，只有一个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，，若关于x的方程有4个不同实根，则实数a的取值范围是______.第(2)题已知函数的图象上存在点使得(为自然对数的底数)，则实数的取值范围为__________.第(3)题设,则的最大值为 ________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图三棱锥中，，，．(1)证明：；(2)若平面平面，，求二面角的余弦值．第(2)题如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中．(1)证明：平面平面;(2)判断上底面圆周上是否存在点，使得二面角的余弦值为．若存在，求的长;若不存在，请说明理由．第(3)题如图，在长方体中，，和交于点E ，F 为AB 的中点.(1)求证：∥平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（i ）平面CEF 与平面BCE 的夹角的余弦值；（ii ）点A 到平面CEF 的距离.条件①：；条件②：直线与平面所成的角为.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.第(4)题若A 1，A 2，…，A m 为集合A ＝{1，2，…，n }（n ≥2且n ∈N *）的子集，且满足两个条件：①A 1∪A 2∪…∪A m ＝A ；②对任意的{x ，y }⊆A ，至少存在一个i ∈{1，2，3，…，m }，使A i ∩{x ，y }＝{x }或{y }．则称集合组A 1，A 2，…，A m 具有性质P ．如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为akl．a 11a 12…a 1m a 21a 22…a 2m …………a n 1a n 2…a nm（1）当n ＝4时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：A 1＝{1，3}，A 2＝{2，3}，A 3＝{4}；集合组2：A 1＝{2，3，4}，A 2＝{2，3}，A 3＝{1，4}．（2）当n ＝7时，若集合组A 1，A 2，A 3具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A 1，A 2，A 3；（3）当n ＝100时，集合组A 1，A 2，…，A t 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及|A 1|+|A 2|+…|A t |的最小值．（其中|A i |表示集合A i 所含元素的个数）第(5)题某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回地从装有大小相同的4个红球和2个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励40元的奖券，抽到黑球则奖励20元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励20元的奖券．记顾客甲第n 次抽奖所得的奖券数额的数学期望为．(1)求及的分布列；(2)写出与的递推关系式，并证明为等比数列；(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（参考数据：）。
江苏省南通市2024高三冲刺(高考数学)统编版真题(综合卷)完整试卷
江苏省南通市2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （，单位：）至少为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第(2)题已知是两个非零向量，且，，则的最大值为A ．B ．C．4D ．第(3)题在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．第(4)题若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(5)题已知数列的前项和为，则（ ）A ．190B ．210C ．380D ．420第(6)题若，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，是平面内一点，且，若，则点的轨迹长度为（ ）A．B ．C ．D．第(8)题已知、为单位向量，，非零向量满足，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的（）A．长轴长为B．离心率为C．焦距为D．面积为第(2)题已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为，则（）A．棱台的侧面积为B．棱台的体积为C．棱台的侧棱与底面所成的角D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为第(3)题设为复数，则下列命题中正确的是（）A．若复数满足，则B．C．若，则的最大值为D．若非零复数，，，满足，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为，过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为_______．第(2)题定义：关于的不等式（）的解集叫的邻域，若的（，）邻域为区间，则的最小值是________．第(3)题已知点是双曲线右支上两个不同的动点，为坐标原点，则的取值范围是_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题珙桐（gǒngtóng）为落叶乔木，高可达25米，有“植物活化石”之称，为中国特有的单属植物，属孑遗植物，也是全世界著名的观赏植物，是国家8种一级重点保护植物中的珍品，因其花形酷似展翅飞翔的白鸽而被西方植物学家命名为“中国鸽子树”．研究表明，珙桐种子发芽率与果实采集后堆置期间的环境平均温度有关．某生物试验小组为了验证这一结论是否可靠，分别从平均温度为7℃库房和－3℃库房，按环境温度不同进行分层抽样，从中抽取210粒种子进行试验．已知平均温度为7℃的库房堆置了8000粒果实，平均温度为－3℃的库房堆置了13000粒果实，试验结果如下表．发芽粒数未发芽粒数7℃的库房72c－3℃的库房b d(1)若，，求按分层抽样抽取的种子中，在平均温度－3℃环境下堆置的种子比在7℃环境下堆置的种子发芽率高的概率．(2)若－3℃库房的种子未发芽数是7℃库房的种子未发芽数的一半，试根据以上2×2列联表，判断是否有95%的把握认为“珙桐种子发芽率与果实采集后堆置期间的环境平均温度有关”．附：0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828，其中．第(2)题对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．(1)求椭圆伴随双曲线的方程；(2)如图，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若的面积为，求．第(3)题为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作．相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．第(4)题已知集合，，全集．(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围．第(5)题已知椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．。
江苏省南通市(新版)2024高考数学统编版真题(强化卷)完整试卷
江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版真题(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，，是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为A．B．C．D．第(2)题已知R，函数的最大值为，则的最小值是（）A．B．C．D．第(3)题设集合，Z为整数集，则中元素的个数是A．3B．4C．5D．6第(4)题已知正数a，b，c满足，，，下列说法正确的是（）A．B．C．D．第(5)题已知圆C：，若p：“”；q：“圆C与x轴、y轴均相切”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(7)题已知双曲线的左右焦点分别为，曲线C上的点M满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(8)题圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列命题中，正确的有（）A．若，，则B．若，则的最小值为3C．若，则D．若，则第(2)题如图，正四面体的棱长为，则（）A．点到直线的距离为B．点到平面的距离为C．直线与平面所成角的余弦值为D．二面角的余弦值为第(3)题受益于年轻人的线上消费倾向，在线外卖行业市场规模不断快速增长.如图为2011-2021年中国在线外卖行业市场规模及年增长率统计图，则下列结论正确的是（）2011-2021年中国在线外卖行业市场规模及年增长率A．2012-2021年中国在线外卖行业市场规模年增长率都不低于15%B．2012-2021年中国在线外卖行业市场规模年增长率的极差为56.3%C．2012-2021年中国在线外卖行业市场规模年增加量最大的是2014年D．2011-2021年中国在线外卖行业市场规模年平均增长率低于40%三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题点是正方体的体对角线上靠近点的四等分点，在正方体随机取一点，则点满足的概率为________.第(2)题小明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到:坐公交车平均用时分钟，样本方差为；骑自行车平均用时分钟，样本方差为.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法中正确的序号是______.①；②；③若小明计划前到校，应选择坐公交车；④若小明计划前到校，应选择骑自行车第(3)题直线的倾斜角为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在四棱锥中，底面为梯形，为上的点，且.(1)证明：面：(2)若面，面面，求二面角的正弦值.第(2)题在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．（1）求角A；（2）若，求的面积．第(3)题已知函数．(1)试讨论的单调性．(2)若，，求证：．第(4)题选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）当时，函数的最小值为，求实数的值.第(5)题在中，分别是角的对边，且满足.(1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，求的取值范围.。
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高三年级第一学期教学质量调研（三）
数学试题
一、填空題：本大题共
14小题，每小题
5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
.
1.已知集合
1
()12
x
A
x ，集合lg 0B x x ，则A B
▲?
2.若复数z 满足
1234z i i （i 是虚数单位），则复数z 的实部是
▲ ?
3.右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是▲ .
4.现把某类病毒记作
m n X Y ,其中正整数6,8(m n m
n ，）可以任意选
取，则m n ，都取到奇数的概率为▲
5?在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若中间一个小长方
形的面积等于其他7个小长方形的面积的和的1
5
,且样本容量为120,则中间一组的频数是
▲
_?
6.若双曲线
22
2
2
10,0x y a b
a
b
与直线3y
x 有交点，则离心率e
的取值范围为▲ .
7. 等比数列n a 中，11a ,前
n 项和为n S ,满足654320S S S ，
则5S =
▲
?
8.如图，在正三棱柱111ABC
A B C 中，已知13AB
AA ,点P 在棱1CC 上，
则三棱锥1P ABA 的体积为
▲.
9.已知
1sin cos
,05
,则
2
sin
sin 2
▲ .
11?定义：如果函数
y
f x 在区间,a b ,可上存在00
(x a x b ）,满足
f b
f a f
x b
a
,则称0x 是函数y
f x 在区间,a b 上的一个均
值点.已知函数
1
42x
x f x m 在区间[［0,1］]上存在均值点，则实数加的取值范围是
▲ .
12.已知
1,01a b ,且444 3
0ab a b ,则
12a
b
的最小值为. ▲?
13．已知
ABC 中，3,1AB AC ,且31AB AC
R 的最小值为
332
，若
P 为
边
AB 上任意一点,则PB PC 的最小值是
▲ .
14.已知函数
3
2
41f x
x
ax
x 在0,2上是增函数，函数
ln 2ln g x x a x ,若
3
12
,,x x e e （e 为自然对数的底数）时，不等式1
2
5g x g x 恒成立，则实数a 的取值范围是
▲ .
二、解答題：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答
.解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤
.
15．（本小题满分
14分）
已如函数2
13cos 22sin
4
f x x x
⑴求
f x 的最小正周期和单调递减区间；
⑵若方程
0f x
m 在区间
,
4
上有两个不同的实
数解,求实数m 的取值范围。
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥
P ABCD 中,底面ABCD 是矩形,点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交
于点F.
⑴求证：AB EF ；⑵
PA AD ,且PA
CD ，求证：AF
平面
FCD .
17?(本小题满分14分)
已知椭圆
22
22
:10
x y
C a b
a b
的离率为
1
2
，并且椭圆C过点
3
1,
2
(1) 求C的方程；
(2) 直线l为椭圆C的右准线，直线l与x轴的交点记为F,过右焦点F的直线与椭圆C交
于两点.设点M在直线l上，且满足MF AB，若直线OM与线段MB交于点
D。
.求证：点D为线段AB的中点.
18.(本小题满分16分)
某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积?如图，两海岸线
OA,帥所成角为2
3
，现欲在海岸线OA OB
，上分别取点,P Q修建海堤，以便围成三角形陆地
OPQ,已知海堤PQ长为6千米.
(1) 如何选择P Q
，的位置，使得OPQ的面积最大；
(2) 若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤PQ的另一侧选取点修建海堤,
MP MQ围成四边形陆地?当海堤与的长度之和为10千米时，求四边形MPOQ面积的最大值.
19. (本小题满分16分) 已知数列n a 的前n 项和n S 满足231n
n
S a n N
.
(1)
求数列
n a 的通项公式；
(2)
记1
11
n
n
n n
a b a a ，n T 是数列
n b 的前n 项和，求证：14
n
T n N
；
(3)
记2n n
n
a c a ，是否存在互不相等的正整数加
,,m s t ,使,,m s t 成等差数列，且
511,1,1m c c c 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的加
m,s,t ；如果不存在，请说明理由.
20. (本小题满分16分) 已知函数3
32,0f x x
ax a ?
(1) 当 2a 时，求函数y f x 的单调递增区间；
(2) 若函数y
f x 只有一个零点，求实数
a 的取值范围;
(3)
当0
1a 时，试问：过点2,0P 存在几条直线与曲线y f x 相切？。