重庆八中高一数学期中试题
2019-2020学年重庆八中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年重庆八中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等差数列中，，，则该数列公差为A. B. 1 C. D. 22.太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量单位：亿千瓦时的茎叶图如图，若其众数为x，中位数为y，则A. 144B. 141C.D.3.已知向量，，若，则A. 0B. 1C. 4D. 84.下列说法中，一定成立的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.已知等比数列的前n项和为且，，则A. 16B. 19C. 28D. 366.若向量，满足，，，则与的夹角为A. B. C. D.7.中，，则一定是A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.中，D在边AC上满足，E为BD的中点，则A. B. C. D.9.将两直角边长分别为1，2的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的体积为A. B. C. D.10.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. 5 D. 211.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为A. B. C. D.12.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos C的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量夹角为，则______．14.x0123y13当m变化时，回归直线直线必经过定点______．15.已知数列的前项和为，，，则______．16.如图，在中，D是BC的中点，点E在边AB上，，，AD与CE的交点为若，则______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列中，，．求的通项公式；设，记为数列前n项的和，若，求m．18.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量千辆小时与汽车的平均速度千米小时之间的函数关系为：．在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？保留分数形式若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？19.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生满分150分，且抽取的学生成绩都在内的成绩并制成频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；同一组中的数据以该组区间的中点值作代表用分层抽样的方法从成绩在和的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率．20.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且．求的外接圆直径；求的取值范围．21.若数列的前项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．22.三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利勃劳卡德命名的，他在1875年曾描述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q，如图所示．研究发现：等腰直角三角形中，若是斜边的等腰直角三角形，求线段QA的长度；若中，，，，求的值；若中，若线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，当时，求公比q的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：等差数列中，，，，，故选：B．由已知结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．2.答案：C解析：解：由茎叶图可知数据为：53，53，54，55，56，64，67，68，77，77，77，78，数据的中位数为，众数为，所以，故选：C．直接根据图中数据观察以及计算即可得到结论．本题考查茎叶图中位数和众数，通过定义计算即可，属于基础题．3.答案：D解析：解：向量，，则，又向量，且，所以，解得．故选：D．根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．4.答案：B解析：解：对于选项A：令，，，，所以结论错误．对于选项B：由于，所以b为正数，故结论正确．对于选项C：当，，所以结论错误．对于选项D：当a和b为正数时，结论成立，故错误．故选：B．直接利用赋值法和不等式的的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：C解析：解：根据题意，等比数列的前n项和为且，，则，则有，，，则有，解可得；又由，则；故选：C．根据题意，由等比数列的前n项公式变形分析可得，解可得，又由，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，注意等比数列的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为，，，，即，．，又因为，．故选：A．根据夹角公式，根据已知条件求出，然后代入夹角公式求其余弦值，即可求出角．本题考查平面向量的夹角公式，以及数量积的运算．属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意，则由正弦定理得，，，则，、，，则，即，同理可证，，则是等边三角形，故选：A．根据正弦定理化简，利用两角差的正弦公式化简，利用内角的范围好特殊角的正弦值判断出A、B、C的关系，即可判断出的形状．本题考查了正弦定理的灵活应用，注意三角形内角的范围，属于基础题．8.答案：A解析：解：如图，为BD的中点且，故选：A．根据条件可画出图形，然后根据条件及向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可用，表示出向量本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：如图为直角三角形旋转而成的旋转体．；；故选：D．画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．10.答案：A解析：解：由可得，则，，当且仅当且即，时取等号，故选：A．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：因为，所以，即，所以，因为，所以，，由余弦定理可得，，所以，则的面积．故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C，然后结合已知及余弦定理可求ab，代入已知公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．12.答案：D解析：解：当且仅当时，取等号，因为三角形时锐角三角形，所以，所以所以，因为设，，所以，因为函数在上是减函数，在上是增函数，，，所以cos C的取值范围为故选：D．结合基本不等式得，当且仅当时，取等号，根据题意得，又因为，所以，因为设，，利用函数得单调性求出最值，进而得出结论．本题考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：1解析：解：单位向量夹角为，则．故答案为：1．利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查．14.答案：解析：解：由题意可得；，由回归直线方程的性质可知，回归直线直线必经过定点是样本中心．故答案为：．利用已知条件求出回归直线方程经过的样本中心坐标即可．本题考查回归直线方程的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：2020解析：解：，当，时，有，即，．故答案为：2020．先由当，时，有，再利用数列的相邻项的关系式求解即可．本题主要考查数列的递推关系式及利用对递推关系式的合理变形求数列的和，属于基础题．16.答案：解析：解：中，D是BC的中点，，，，又E，O，C三点共线，设，且三点A，O，D共线，，解得，，，．故答案为：．根据题意设，利用A，O，D三点共线求出的值，求出、，再计算的值．本题考查了平面向量的加法、减法和数乘的几何意义，以及平面向量数量积计算问题，是中档题．17.答案：解：等差数列中，，．，即，，由题意可得，，，所以，故解析：由已知结合等差数列的通项公式即可求解d，，然后结合等差数列的通项公式即可求解；由结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．18.答案：解：，，当且仅当即时取等号．．当汽车的平均速度为30千米小时时车流量最大，最大车流量为千辆小时．令，整理得：，解得：．解析：分子分母同除以v，再利用基本不等式求最大值；解不等式得出结论．本题考查了基本不等式的应用，不等式的解法，属于中档题．19.答案：解：由，解得，故平均值为；由直方图知，两组的频率分别为，，按分层抽样的方法从成绩不低于125得同学中抽取6名，则，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，共有15种，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，，有7种，故两名同学数学成绩落在同一组得概率为．解析：由频率之和为1，解得a，平均值为由直方图知，两组的频率分别为，，，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，再利用古典概型计算，即可．本题考查频率分布直方图的应用，古典概型，属于基础题型．20.答案：解：因为，由正弦定理可得，，即，所以，因为，故且，故B，由正弦定理可得，，即外接圆直径1，由正弦定理可得，，，由题意可得，，解可得，所以，．解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；由已知结合正弦定理可求2R，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．21.答案：解：，，，所以是以1为首项，公比为3的等比数列，；，，成立，即，解得，所以最小自然数n为200．解析：由，故是以1为首项，公比为3的等比数列，求出；先求出，再利用裂项相消法求出，然后求解不等式，找到最小的自然数n．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及裂项相消法求数列的和、解不等式等基础知识，属于基础题．22.答案：解：由题意知，，，所以；在中，由正弦定理得，，解得；由题意可得，，，，且，，所以，；在中，由正弦定理得，在中，，所以，解得；设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，又线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，所以，；在和中，由正弦定理得，，，所以；所以，且，所以，所以，即；由，；在和中，由正弦定理得：，；得，即；又，展开得，解得；又等腰中，，解得；把代入得，令，代入后平方整理得，，解得或不合题意，舍去，所以公比q的值为．解析：由题意中利用正弦定理求得QA的值；在中由正弦定理求得QB，再利用求出QB，列出等式求出的值；由等比数列求得QB、QC，利用正弦定理列出方程，应用三角恒等变换和方程的知识，求出公比q的值．本题考查了解三角形以及三角恒等变换的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。
重庆市第八中学高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
重庆市第八中学高一下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合, ,那么（ ）A. B. C. D.2．若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是（ ） A. 1b a < B. 22a b > C. 2211a bc c >++ D. a c b c >3．设的内角的对边分别为.若，、，则的面积为（ ）A. B. C. 3 D. 64．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（ ）A. B. C. D.5．设函数, 则（ ）A. -1B. 5C. 6D. 116．将的图象向左平移个单位长度，,再向下平移3个单位长度得到的图象，则（）A. B. C. D.7．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列,则的面积为（ ） A. 15 B. C. D.8．已知cos2π4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭1tan tan αα+等于（ ）A. 8-B. 8C. 18 D. 18-9．如图,在中，， ,,则（ ）A. B. C. D.10．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 911．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时， ()21,01{22,1x x x f x x -+≤<=-≥，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A. -1 B. 12- C. 13- D.-13 12．锐角中，为角所对的边，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.二、填空题13．已知向量,，若，则_________． 14．设等差数列的前项和为，且,则__________． 15．在中，为角所对的边，若，，则的最大值为__________．16．已知数列满足， ()，则__________．三、解答题17．已知是公差不为的等差数列，满足，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．在中，角所对的边分别为且.（1）求；（2）若，，，求.19．甲、乙两地相距，汽车从甲地行驶到乙地，速度不得超过，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 ()的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，（1）把全程运输成本(元)表示为速度()的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？20．如图，中，，是边上一点，，.（1）若，求；（2）求面积的最大值.21．已知为数列的前项和且满足，在数列中满足，（1）求数列的通项公式，并证明为等差数列；（2）设，令为的前项的和，求.22．在中，，，以边为一边长向外作正方体，为方形的中心，，分别为边，的中点.（1）若，求的长.（2）当变化时，求的最大值.重庆市第八中学高一下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合, ,那么（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先化简集合B,再求,再求. 详解：由题得或，∴. ∴=，故选D. 点睛：本题主要考查集合的化简与补集并集的运算，意在考查集合的基础知识和基本的运算能力.2．若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是（ ） A. 1b a < B. 22a b > C. 2211a b c c >++ D. a c b c > 【答案】C【解析】试题分析：取1,1a b ==-，排除选项A ，取0,1a b ==-，排除选项B ，取0c =，排除选项D ，显然2101c >+，对不等式a b >的两边同时乘211c +成立，故选C ． 【考点】不等式性质3．设的内角的对边分别为.若，、，则的面积为（ ）A. B. C. 3 D. 6【答案】B【解析】分析：先利用余弦定理求出a ，再利用面积公式求的面积. 详解：由余弦定理得 ∵，0＜A ＜π， ∴.∴故选B.点睛：本题主要考查余弦定理和三角形的面积计算，意在考查三角形基础知识掌握能力和基本运算能力. 4．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选D．【考点】等差数列的通项公式及前项和公式．【一题多解】由，得，所以，故选D．5．设函数, 则（）A. -1B. 5C. 6D. 11【答案】B【解析】分析：先确定的符号，再求的值.详解：∵＜0，∴=故选B.点睛：本题主要考查分段函数求值和对数指数运算，意在考查学生分段函数和对数指数基础知识掌握能力和基本运算能力.6．将的图象向左平移个单位长度，,再向下平移3个单位长度得到的图象，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出的图象向左平移个单位长度的解析式，再求向下平移3个单位长度的解析式，再求的值. 详解：将的图象向左平移个单位长度得到，再向下平移3个单位得到， 所以，故选A.点睛：本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数求值，意在考查三角函数图像变换的基础知识掌握能力和基本运算能力.7．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列,则的面积为（ ） A. 15 B. C. D.【答案】C【解析】分析：由三角形ABC 的三边构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a ，a+4，a+8（a 大于0），由三角形的边角关系得到a+8所对的角为120°，利用余弦定理列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出三角形的三边长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．详解：由△ABC 三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a ，a+4，a+8（a ＞0），∴a+8所对的角为120°，∴cos120°=整理得a 2﹣2a ﹣24=0，即（a ﹣6）（a+4）=0，解得a=6或a=﹣4（舍去），∴三角形三边长分别为6，10，12，则S △ABC =×6×10×sin120°=15．故选C ．点睛：此题考查了等差数列的性质、余弦定理、三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．8．已知cos2π4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭1tan tan αα+等于（ ） A. 8- B. 8 C.18 D. 18- 【答案】A【解析】由22cos2cos sin πcos 4sin αααααα-==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可得cos sin αα-=，∴512sin cos 4αα-=， 1sin cos 8αα=-，∴221sin cos 1tan 8tan sin cos sin cos αααααααα++===-，故选A ． 9．如图,在中，，,,则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意把转化为,再利用数量积公式求解． 详解: ∵AD⊥AB，，， ∴∵，∴. ∴.故选A.点睛：本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的三角形法则，意在考查平面向量的基础知识掌握能力和基本的运算能力.10．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 9【答案】A【解析】分析：由 a 7=a 6+2a 5 求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．详解：由各项均为正数的等比数列{a n }满足 a 7=a 6+2a 5，可得，∴q 2﹣q ﹣2=0，∴q=2． ∵，∴qm+n ﹣2=16，∴2m+n ﹣2=24，∴m+n=6，∴ =当且仅当即m=2,n=4时，等号成立．故 的最小值等于.故选A ．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的技巧，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如，再把常数6代换成已知中的m+n,即.常量代换是基本不等式里常用的一个技巧，可以优化解题，提高解题效率.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时， ()21,01{22,1xx x f x x -+≤<=-≥，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A. -1 B. 12- C. 13- D. 13【答案】C【解析】函数()f x 为偶函数,且当0x ≥时,函数为减函数, 0x <时,函数为增函数.若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则1x x m -≥+,即()()221x x m -≥+,所以()()()2111m x m m +≤+-.当10m +>时, 12m x -≤,所以112m m -+≤,解得13m ≤-,所以113m -<≤-.当10m +=,时,不等式成立,当10m +<时, 13m ≥,无解,故113m -≤≤-, m 的最大值为13-.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式恒成立问题的转化方法及利用分类讨论的方法解含有绝对值的不等式.函数的奇偶性的判断, ()()f x f x -=则函数为偶函数,若()()f x f x -=-则函数为奇函数.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.12．锐角中，为角所对的边，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.详解:由题得（当且仅当a=b时取等）由于三角形是锐角三角形，所以设因为函数f(x)在是减函数，在是增函数，所以f(x)的无限接近中较大的.所以所以的取值范围为.故选C.点睛：本题的难点在求函数的值域的上限.解答利用了函数的思想，以为自变量，先求自变量的取值范围，再利用余弦函数求函数的解析式，最后换元求新函数的值域得解，属于难题.重点考查学生的逻辑推理分析能力和运算能力.二、填空题13．已知向量,，若，则_________．【答案】【解析】分析:直接代向量平行的坐标公式即得x的值.详解：由题得2×（-2）-x=0，所以x=-4.故填-4.点睛：本题主要考查向量平行的坐标运算公式，属于基础题.14．设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.15．在中，为角所对的边，若，，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：由正弦定理可得得a=2sinA，c=2sinC，化为2a+c=5sinA+cosA，再利用辅助角公式化简求最大值.详解：由=4，得a=4sinA，c=4sinC，∴2a+c=8sinA+4sinC=8sinA+4sin（120°﹣A）=10sinA+cosA=sin（A+φ），∴2a+c的最大值是．故答案为．点睛：本题主要考查了正弦定理、两角差公式、辅助角公式和三角函数的最值，意在考查学生三角基础知识运用能力和基本的运算能力.16．已知数列满足， ()，则__________．【答案】【解析】分析：由 ()，可得：，于是，利用等比数列的通项公式即可得出．详解：由 ()，可得，于是，又，∴数列{﹣1}是以2为首项，为公比的等比数列，故﹣1=∴a n=（n∈N）．故答案为．点睛：本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系等知识，意在考查学生的数列基础知识的运用能力、推理能力与计算能力，解题的关键是通过变形构造等比数列{﹣1}.三、解答题17．已知是公差不为的等差数列，满足，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据已知求出公差d，再写出数列的通项公式. （2）先把裂项，再利用裂项相消求数列的前项和.详解：（1）设等差数列的公差为,由题意有，即因为，所以，解得或（舍）所以.（2）由题意有所以.点睛：本题主要考查等差数列的通项和裂项相消求和，意在考查学生数列基础知识的运用能力和基本的运算能力.18．在中，角所对的边分别为且.（1）求；（2）若，，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用正弦定理对已知边化角，整理得，即得B的值.(2)利用余弦定理求a. 详解：（1）因为，所以所以，而，故，所以.（2）由，化简得，解得或（舍）.故a=5.点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角恒等变换，意在考查学生解三角形的基础知识运用能力和基本的运算能力推理能力.19．甲、乙两地相距，汽车从甲地行驶到乙地，速度不得超过，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 ()的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，（1）把全程运输成本(元)表示为速度()的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？【答案】（1）,；（2）为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为.【解析】分析：（1）根据全程运输成本分为两部分把全程运输成本(元)表示为速度()的函数，写出其定义域.(2)分类讨论，利用基本不等式和函数的单调性求全程运输成本的最小值和汽车的速度.详解：(1)由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，所以全程运输成本为，.（2）由题知,都为正数，故有，当且仅当，即时上式等号成立；若，则当时，全程运输成本最小；若，由题得函数在单调递减，所以当时，全程运输成本最小.综上：为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为.点睛：本题第2问是一道易错题，学生容易直接利用基本不等式得到函数的最小值，而忽略了取等条件是否在函数的定义域内,所以此处要分类讨论.当取等条件不在函数的定义域内时，利用函数的单调性求函数的最小值.20．如图，中，，是边上一点，，.（1）若，求；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求，再利用正弦定理求AB,最后利用余弦定理求BC.(2)先求，再利用基本不等式求面积的最大值.详解：（1）在中，由，，得所以，由正弦定理，，所以.因为，所以.中，由余弦定理得所以.（2）记，则，且.因为，所以面积设，所以，在中，，所以所以面积取得最大值为.点睛：本题解题的关键在于转化，把求面积的最大值转化为求的最大值，再根据△ACD中的余弦定理结合基本不等式转化出xy的最大值.转化是高中数学最普遍的数学思想，大家遇到复杂的题目都要想到转化，把复杂的变简单，把陌生的变熟悉，从而完成解题目标.21．已知为数列的前项和且满足，在数列中满足，（1）求数列的通项公式，并证明为等差数列；（2）设，令为的前项的和，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析: (1)利用项和公式求数列的通项公式.证明即证明为等差数列.(2)先化简得，再利用错位相减求.详解：（1）当时，当时，.综上，是公比为2，首项为的2等比数列，.因为，所以，由题，所以，所以是等差数列，所以.（2）,由错位相减法得,,上述两式相减得,解得.点睛：利用错位相减求和时，要注意两点，一是结果一定要化成的形式，否则要进一步化简.二是结果要代值（n=1）检验，如果不正确，要检查更正.22．在中，，，以边为一边长向外作正方体，为方形的中心，，分别为边，的中点.（1）若，求的长.（2）当变化时，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用余弦定理求的长. (2) 取的中点为，连接，设.先求出OM、ON的长，再换元利用函数的单调性求的最大值.详解：（1）因为，所以，由余弦定理得,解得.（2）取的中点为，连接，设.在中，由正余弦定理得.在中，由余弦定理得，同理.设，所以，.由于函数在定义域内单调递增（增+增=增），所以OM+ON的最大值为.所以的最大值为.点睛：(1)本题的关键是思路，首先想到建立函数的模型求函数的最大值，由于本题是平面几何背景，所以选择作自变量建立函数模型，其次是得到OM+ON后要联想到换元利用函数的单调性求函数的最大值.(2)换元后要注意新元t 的范围，，这个地方容易漏掉或算错.21。
2019-2020学年重庆八中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年重庆八中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|x >0}，N ={x|x 2−4≥0}，则M ∪N =( )A. (−∞,−2]∪(0，+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [3,+∞)D. (0,+∞)2. f(x)=√x +4+1x 2−4的定义域为( )A. [−4,+∞)B. {x|x ≥−4且x ≠±2}C. {x|x ≥−4且x ≠2}D. {x|x ≥2}3. 已知f(x)={2x ,x <1f(x −1),x ≥1，则f(log 27)=( )A. 7B. 74C. 72D. 784. 若函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，f(2)=0，则f(3−x)>0的解集是( )A. (−2,2)B. (−∞,1)∪(5,+∞)C. (1,5)D. (−∞,−2)∪(2,+∞) 5. 函数f(x)=√x −1+√3−x 的最大值是( )A. 2B. 3C. √2D. √36. 已知函数ℎ(x)为奇函数，且当x >0时，ℎ(x)=x 2+1x ，则ℎ(−1)等于 ( )A. −2B. 0C. 1D. 27. 已知a =(13)3，b =313，c =log 133，则( ) A. a <b <c B. c <b <a C. c <a <b D. b <c <a 8. 已知函数g(x)=f(3x)+x 为偶函数，且f(−9)=4，则f(9)=( )A. −4B. 4C. −2D. 29. 若函数f(x)=x 3−x −1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下那么方程x 3−x −1=0的一个近似根(精确度为0，1)为( )A. 1.2B. 1.3125C. 1.4375D. 1.2510. 幂函数y =f(x)的图像过点(8,2√2)，则幂函数y =f(x)的图像是( )A. B. C. D.11.log214=()A. −2B. −12C. 12D. 212.已知a>2，函数f(x)={log a(x+1)+x−2,x>0x+4−(1a)x+1 x≤0，若函数f(x)有两个零点x1，x2，则()A. ∃a>2，x1−x2=0B. ∃a>2，x1−x2=1C. ∀a>2，|x1−x2|=2D. ∀a>2，|x1−x2|=3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A={a−3,2a−1}，且3∈A，实数a=______．14.计算：lg25+2lg2+823=______．15.函数f(x)=(12)x2+2x的单调递增区间是______．16.已知函数f(x)=x2+ax+7+ax+1，a∈R.若对于任意的x∈N∗，f(x)≥4恒成立，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|3<2x−1<19}，求：(1)A∪B(2)(∁R A)∩B．18.求函数f(x)=(4−3a)x2−2x+a在区间[0,1]上的最大值．19.已知定义域为R的函数f(x)=3x−a3x+1+b是奇函数．(1)求a,b的值；(2)若f(x)在R上是增函数，求不等式f(2x)+f(x−1)<0的解集．20.已知二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0;(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．21.已知a∈R，函数f(x)={1−1x, x>0(a−1)x+1, x≤ 0．(1)求f(1)的值；(2)证明：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(3)求函数f(x)的零点．22.已知函数f(x)=1．4x+1(1)若函数g(x)=f(x)+a是奇函数，求实数a的值；(2)若关于x的方程f(2x2−2tx)+f(−x2−3+2t)=1在区间(0,2)上有解，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合M ，N ，再利用并集定义求解． 【解答】解：∵集合M ={x|x >0}， N ={x|x 2−4≥0}={x|x ≥2或x ≤−2}，∴M ∪N ={x|x ≤−2或x >0}=(−∞,−2]∪(0，+∞)． 故选：A ．2.答案：B解析： 【分析】本题考查了二次根式的性质，求函数的定义域问题，是一道基础题． 根据二次根式的性质及分母不为0，从而求出x 的范围． 【解答】解：由题意得：{x +4≥0x 2−4≠0，解得：x ≥−4，且x ≠±2， 故选：B ．3.答案：B解析： 【分析】本题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题． 先判断与1的大小关系，再代入相应区间的解析式，求出函数值即可．【解答】 解：由于，则， 又由，则，又由，则．故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属基础题．关键是利用函数的奇偶性与单调性分析函数的符号，把f(3−x)>0转化为|3−x|>2，从而得解．【解答】解：因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，所以f(x)在[0,+∞)上是增函数，因为f(3−x)=f(|3−x|)，f(2)=0，由已知得f(3−x)=f(|3−x|)>f(2)，所以|3−x|>2，解得x>5或x<1．故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查求函数的最值，属于基础题．将已知函数平方，可得到一个二次函数，根据二次函数的性质即可得到原函数的最值．【解答】解：函数的定义域为[1,3]，f2(x)=2+2√(x−1)(3−x)=2+2√−x2+4x−3，由二次函数的性质可得当x=2时f2(x)取得最大值，最大值为4，所以f(x)的最大值为2．故选A．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，属于基础题．由奇函数定义得，ℎ(−1)=−ℎ(1)，根据x>0的解析式，求出ℎ(1)，从而得到ℎ(−1)【解答】，解：因为x>0时，h(x)=x 2+1x所以h(1)=1+1=2．又h(x)为奇函数，所以h(−1)=−h(1)=−2．故选A．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质，为基础题．利用指数函数与对数函数的性质求解即可．【解答】解：由指数函数的性质可得)3∈(0,1)，a=(13b=313>30=1，由对数函数的性质可得，所以c<a<b．故选C．8.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题，难度较小．由g(x)为偶函数，得g(3)=g(−3)=f(−9)+(−3)=1，从而得解．【解答】解：由题意，因为g(x)为偶函数，且f(−9)=4，所以g(3)=g(−3)=f(−9)+(−3)=1．所以g(3)=f(9)+3=1，解得f(9)=−2．故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．由二分法的定义进行判断，根据其原理--零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项．【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.25,1.375)中，观察四个选项，与其最接近的是B．故选B．10.答案：C解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．先利用已知条件求出函数y=f(x)的解析式，再由解析式确定f(x)的图像【解答】解：设f(x)=xα，根据题意有2√2=8α，，则α=12即f(x)=x12，结合选项可知C正确．11.答案：A解析：【分析】本题考查对数运算，属于基础题．【解答】解：log214=log22−2=−2log22=−2．故选A．12.答案：D解析：解：当x>0时，y=log a(x+1)+x−2，令y=0，则有log a(x+1)=3−(x+1)，不妨设其根为x1；当x≤0时，y=x+4−(1a )x+1，令y=0，则有(1a)x+1=3+(x+1)，即a−(x+1)=3−[−(x+1)]，不妨设其根为x2，则有(x1+1)+[−(x2+1)]=3，即：x1−x2=3；同理，若x>0时的零点为x2，x≤0时的零点为x1，则有x2−x1=3，因而答案为D．故选：D．【分析】通过当x>0时，不妨设其根为x1；当x≤0时，不妨设其根为x2，推出x1−x2=3；转化求出结果即可．本题考查函数的零点的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．13.答案：2或6解析：解：∵A={a−3,2a−1}，且3∈A；∴a−3=3时，a=6，A={3,11}，满足条件；2a−1=3时，a=2，A={−1,3}，满足条件；∴a=2或6．故答案为：2或6．根据3∈A，及A={a−3,2a−1}，从而得出a−3=3，或2a−1=3，解出a，并求出集合A，验证是否满足3∈A即可．考查列举法的定义，以及元素与集合的关系，集合元素的互异性．14.答案：6解析：解：原式=lg(25×22)+23×23=2+4=6． 故答案为：6．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：(−∞,−1)解析： 【分析】本题主要考查了复合函数的单调区间，以及指数函数及其性质，属于基础题． 根据复合函数的单调性，同增异减，得到答案． 【解答】解：设u =x 2+2x ，在(−∞,−1)上为减函数，在(−1,+∞)为增函数， 因为函数y =(12)u 是减函数， 所以函数f(x)=(12)x2+2x的单调递增区间(−∞,−1)，故答案为(−∞,−1)．16.答案：[13,+∞)解析：解：∵函数f (x)=x 2+ax+7+ax+1，且f (x)≥4，对于任意的x ∈N ∗恒成立 即a ≥−x 2−4x+3x+1=−(x+1)2−6(x+1)+8x+1=−[(x +1)+8x+1]+6令g(x)=−[(x +1)+8x+1]+6，则g(x)≤6−4√2，当且仅当x =2√2−1时g(x)取最大值 又∵x ∈N ∗，∴当x =2时，g(x)取最大值13 故a ≥13即a 的取值范围是[13,+∞) 故答案为：[13,+∞) 根据已知中函数f (x)=x 2+ax+7+ax+1，a ∈R.若对于任意的x ∈N ∗，f (x)≥4恒成立，我们可将其转化为a ≥−[(x +1)+8x+1]+6恒成立，进而将其转化为a ≥g(x)max =−[(x +1)+8x+1]+6，解不等式可得a 的取值范围．本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．17.答案：解：B ={x|3<2x −1<19}={x|2<x <10}，(1)集合A ={x|3≤x ≤7}，B ={x|2<x <10}，∴A ∪B ={x|2<x <10}；(2)∁R A ={x|x <3或x >7}，B ={x|2<x <10}，∴(∁R A)∩B ={x|2<x <3或7<x <10}．解析：化简集合B ，根据交集、并集和补集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．18.答案：当a >23时，f(x)max =a ；当a ≤23时，f(x)max =2−2a解析：①当4−3a =0，即a =43时，f(x)=−2x +43在[0,1]上为减函数，∴f(x)max =f(0)=a =43②当a >43时，4−3a <0，函数f(x)的图像开口向下，对称轴为直线x =14−3a <0，则函数f(x)在区间[0,1]上为减函数，∴f(x)max =f(0)=a.③当a <43时，4−3a >0，函数f(x)的图像开口向上，对称轴为直线x =14−3a >0当0<14−3a ≤12，即a ≤23时，f(x)max =f(1)=2−2a ；当14−3a >12，即23<a <43时，f(x)max =f(0)=a 。
重庆市第八中学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题
（2）若 均为正数且 ，求 最小值.
19.已知函数 ，用 表示 中 较大者，记为 .
（1）写出函数 的解析式，并画出它的图象；
（2）当 时，若函数 的最小值为 ，求实数 的取值集合.
20.北京2022年冬奥会和冬残奥会，向世界传递了挑战自我､积极向上 体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了进一步宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 （单位：元）与时间 （单位：天）的函数关系近似满足 ，该商品的日销售量 （单位：个）与时间 部分数据如下表所示：
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，分别求出 ，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
又 ，所以 三点共线，
即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 .
故选：B.
8.在锐角 中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若 ，且 ，则 的取值范围是（）
21.设函数 的定义域为 ，且满足： ，且当 时， .
（1）根据函数奇偶性和单调性的定义证明函数 在定义域上的奇偶性和单调性；
（2）求关于 不等式 的解集.
22.已知函数 .
（1）证明： ，并求函数 的值域；
（2）已知 为非零实数，记函数 的最大值为 .
①求 ；②求满足 的所有实数 .
万州二中高2021级高二上入学考试试题（数学）
重庆市第八中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若 P = {(1, 2),(1,3)} ，则集合 P 中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
2．命题“ "x Î R ， x2 - 2x +12 £ 0”的否定为（ ）
五、证明题 19．已知 VABC 的三边长为 a, b, c ，其中 a = 2 .求证： VABC 为等边三角形的充要条件
是 b2 + c2 - 2(b + c) = bc - 4 ．
六、解答题 20．如图，现将正方形区域 ABCD 规划为居民休闲广场，八边形 HGTQPMKL 位于正
方形 ABCD 的正中心，计划将正方形 WUZV 设计为湖景，造价为每平方米 20 百元；在 四个相同的矩形 EFUW ， IJVW ,VZON,UZRS 上修鹅卵石小道，造价为每平方米 2 百元；
22．若在函数 f ( x) 的定义域内存在区间[a,b] ，使得 f ( x) 在[a,b] 上单调，且函数值的
取值范围是[ma, mb] （ m 是常数），则称函数 f ( x) 具有性质 M ．
(1)当
m
=
1 2
时，函数
f
(
x)
=
x 否具有性质 M ?若具有，求出 a ， b ；若不具有，说明
理由；
(2)若定义在 (0, 2) 上的函数
f
(x) =
x+
4 x
-5
具有性质 M
m ，求 的取值范围．
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重庆市第八中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题
重庆八中2022-2023学年度（下）半期考试高一年级数学试题命题：熊盛吉汪蕴涵审核：谢强打印：熊盛吉校对：熊盛吉汪蕴涵一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列向量组中，能作为基底的是（）A ．()10,0e = ，()21,2e =-B ．()12,3e =- ，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()13,5e = ，()26,10e =D ．()11,2e =- ，()25,7e =2．复数1a iz i+=-在复平面内对应的点不可能在（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．已知平面向量a ，b 满足()1,1a = ，2b = ，4a b =+，则a b ⋅= （）A ．2B ．5C ．10D ．1124．若函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()xf x e =，则()23f =（）A ．1eB ．eC ．1D ．－e5．在△ABC 中，3AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，BD 为AC 边上的高，若BD AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．53-B ．13C ．13-D ．536．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm ，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos s =，[)0,t ∈+∞取210m /s g =，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s ，则线长约为（）cm ．（精确到0.1cm ）A ．12.7B ．25.3C ．101.3D ．50.77．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()2xf x e =-，则不等式()ln 0f x >的解集为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,12,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．如图，在等腰梯形ABCD 中，下底BC 长为2，底角C 为60°，腰AB 长为()02a a <<，E 为线段CD 上的动点，设BA BE ⋅的最小值为()f a ，若关于a 的方程()()212f a a k a k =+-+有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为（）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()(),01,-∞+∞ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =，b =，cos cos 2cos c A a C b B +=．则（）A ．3B π=B ．2C π=C ．2c -=D ．34ABC S ∆+=10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为()y f x =，降噪声波曲线函数为()y g x =，已知某噪声的声波曲线函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()()f x g x =-B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．曲线()y g x =的对称轴为62k x ππ=+，k Z ∈D ．将()y f x =图象向左平移π个单位后得到()y g x =的图象11．设1z ，2z 为复数，则下列结论中正确的是（）A ．若11R z ∈，则1z R ∈B ．若11z i -=，则1z 的最大值为1z C ．2121z z z z =D ．1212z z z z ++≤12．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在211,542ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调，且满足25f f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭415π⎛⎫- ⎪⎝⎭，71030ff ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若()f x 在()0,π有且仅有7个零点，则下列说法正确的是（）A ．3πϕ=B ．6ω=C ．()y f x =与1y =在()0,π上有且仅有4个公共点D ．()f x 在0,28π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知12z i =-的共轭复数为z ，则()z iz z +=．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，角α的终边过点()1,2P --，且()1tan 3αβ+=，则tan β=．15．已知0a >，0b >，1a b +=，则23aba b+的最大值为．16．已知正六边形ABCDEF 的边长为4，P 为正六边形所在平面内一点，则()PA PC PE⋅+的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()22cos 2f x x x m =++（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最小值为2，求()f x 在该区间上的最大值．18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2sin sin 2cos 21A A A +=．（1）求A ；（2）若△ABC 的面积()22312S a b =，求sin B ．。
重庆市第八中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷
重庆八中2021—2022学年度（上）半期考试高一年级数学试题命题：熊翼胡文琦审核：张秀梅打印：胡文琦校对：熊翼一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，记集合P A B = ，B A Q =，则A ．1P∈B ．4P∉C ．5Q∈D ．3Q∉2．命题“对x R ∀∈，都有1sin -≤x ”的否定为A ．对x R ∀∈，都有sin 1x >-B ．对x R ∀∈，都有sin 1x C ．0x R ∃∈，使得0sin 1x >-D ．0x R ∃∈，使得0sin 1x - 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A ．||y x x =B ．3y x =-C ．23y x =+D ．1y x=-4．函数111y x =-+的值域是A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．),1()1,(+∞---∞ D ．(,)-∞+∞5．函数2()(1)32x f x m x =-+-+在区间(]5,∞-上单调递增，则实数m 的取值范围是A ．(,6]-∞B ．[6,)+∞C ．[4,)-+∞D ．(,4]-∞-6．已知0>a ，0>b ，2=+b a ，则)2)(2(bb a a ++的最小值为A ．8B ．434-C ．9D ．434+7．如图所示，A ，B 是非空集合，定义集合#A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y R ∈，{|1A x y ==，{|2,0}B y y x x ==>，则#A B 为A ．{|03}x x <<B ．{|13}x x <C ．{|013}x x x 或D ．{|03}x x x =>或8．已知0a >，k R ∈，设函数2,,(),x x x s f x kx x s ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，若对任意的实数(2,2)s ∈-，都有()f x 在区间(,)-∞+∞上至少存在两个零点，则A ．4a ，且1k B ．4a ，且01k < C ．04a <<，且1k D ．04a <<，且01k < 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知集合{|||,}M y y x x x R ==-∈，12{|},0N y y x x ≠==，则下列选项错误的有A ．M N=B ．N M⊆C ．R M N=ðD ．R N MÜð10．下列各组函数中，表示同一函数的是A ．2()f t t =，2()g s s=B ．()1f x x =+，21()1x g x x -=-C ．()||f x x =，(0)()(0)t t g t t t ⎧=⎨-<⎩ D ．()f x x =，2()g x =11．已知1m n >>，下列不等式中正确的是A ．2m mn>B ．2n mn-<-C ．12n n+≤D ．1111m n <--12．已知集合0{|01}A x x =<<．给定一个函数()y f x =，定义集合{|()n A y y f x ==，1}n x A -∈．若1n n A A -=∅ 对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“p ”．则下列函数中具有性质“p ”的是A ．1y x =+B ．1y x=C ．2y x =D ．1y x x=+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则()2f 的值为．14．若||1x a -<成立的充分不必要条件是23x <<，则实数a 的取值范围是．15．已知()f x 为奇函数，当0x <时，2()31f x x x =+-；当0x >时，()f x 的解析式为()f x =．16．设x R ∈，对于使22x x M - 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界，若0a >，0b >，且11121a a b+=++，则2a b +的下确界为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知幂函数ax a a x f )22()(2--=（R a ∈）在),0(+∞上单调递增.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）解不等式)3()5(2x x f x f -<+18．（12分）已知集合{}042)23(22≤+++-=a a x a x x A ，{}106≤≤=x x B （1）当6=a 时，求B A ，)(B C A R （2）从①R A C B R =)( ；②“B x ∈”是“A x ∈”的必要不充分条件；③φ=)(B C A R 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若，求实数a 的取值范围.19．（12分）如图，边长为1的正三角形纸片ABC ，M 、N 分别为边AB 、AC 上的点，MN ∥BC ，将纸片沿着MN 折叠，使得点A 落至点1A ，1MA 交BC 于点P ，1NA 交BC 于点Q ，记x AM =，四边形MNQP 的面积为y ．（1）建立变量y 与x 之间的函数关系式)(x f y =，并写出函数)(x f y =的定义域；（2）求四边形MNQP 的面积y 的最大值以及此时的x 的值．20．（12分）已知关于x 的不等式052>+-n x mx 的解集为),3()2,(+∞-∞∈ x .（1）求实数n m ,的值；（2）当0>+y x ，1->z ，且满足11=+++z ny x m 时，有5222+-≥++t t z y x 恒成立，求实数t 的取值范围.21．（12分）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心精准发射，约582秒后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第21次飞行任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务。
重庆市第八中学数学高一下期中知识点总结(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 2．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（ ）A ．3B ．13C ．32D ．333．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形4．(0分)[ID ：12401]已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．32B ．4C ．6D ．32+ 5．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 6．(0分)[ID ：12378]已知平面//α平面β，直线m α，直线n β，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤ B ．a c b ≤≤ C ． c a b ≤≤ D ．c b a ≤≤7．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ）A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在8．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ）A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π 9．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．610．(0分)[ID ：12390]已知实数,x y 满足250x y ++=（ ）ABC．D．11．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a 12．(0分)[ID ：12371]若方程124kx k =-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,12413．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1014．(0分)[ID ：12415]已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π 15．(0分)[ID ：12334]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AF FA 的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 二、填空题16．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)17．(0分)[ID ：12473]在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________18．(0分)[ID ：12457]点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.19．(0分)[ID ：12471]若圆1C ：220x y ax by c 与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.20．(0分)[ID ：12440]圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．21．(0分)[ID ：12507]在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．22．(0分)[ID ：12497]直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．23．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.24．(0分)[ID ：12436]如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．25．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12590]已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标.27．(0分)[ID ：12580]如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值.28．(0分)[ID ：12556]如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥；（2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由. 29．(0分)[ID ：12544]已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．30．(0分)[ID ：12529]设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈.(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．C4．D5．B6．D7．A8．C9．B10．A11．B12．D13．D14．C15．B二、填空题16．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面ME F又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故17．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平18．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两19．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为20．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半21．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC在△BPD中有PB＋PD＞BD22．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题23．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【24．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系2．C解析：C【解析】【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解.【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA ADPA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥ 1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 111122332,213132222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯= 故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为32故选：C【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.3．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =，所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又 1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.4．D解析：D【解析】【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为3212+，PAB S ∆最大值为32 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0 ∴圆心到直线AB 32. ∴△PAB 面积的最大值是1321322||(1)222222AB +=⨯=2 故选D ．【点睛】 主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.5．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.6．D解析：D【解析】【分析】根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大.【详解】由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时,因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b .故选D.【点睛】本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P .【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.8．C解析：C【解析】【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】 SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =.ABC ∆的外接圆半径为42sin a r A ==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．B解析：B【解析】【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =. ()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B .【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.10．A解析：A【解析】由题意知，22x y +表示点(,)x y 到坐标原点的距离，又原点到直线250x y ++=的距离为225521d ==+，所以22x y +的距离的最小值为5，故选A.11．B解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．12．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.13．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =，所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14．C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在ABC 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆的圆心，∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=．故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.15．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题16．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故解析：④【解析】【详解】连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，则PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，故直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.17．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平解析：①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．18．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两解析：【解析】【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果.【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩， 所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙. 19．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为 解析：165-【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值.【详解】解：因为圆1C ：220x y ax by c ，即22224224a b a b c x y ，圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径2242a b c r +-=， 由题意，得111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称， 则112,122112221,22b a b a ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ，45b =，圆1C 的半径22422a b c r +-==， 解得165c =-. 故答案为：165- 【点睛】 本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.20．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可.【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60，所以母线长为2k 3k .由于轴截面的面积为1803，所以()46318032k k k +⨯=，解得6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12.所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=.故答案为：360π【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.21．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．22．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题解析：1-【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可.【详解】因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，所以110a ⨯+=解得1a =-.故填1-.【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.23．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【 解析：3π.【解析】【分析】当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．【详解】解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||OE =当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=⨯=， 故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．24．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答. 【解析】分析：设圆锥底面半径为r ，则高为2r ，由圆锥侧面积为π，可得25r =，结合a =，利用三角形面积公式可得结果.详解：设圆锥底面半径为r ，则高为2h r =，因为圆锥侧面积为π，r ππ∴⨯=，2r =设正方形边长为a ，则2224,a r a ==，=，∴正四棱锥的侧面积为21462a r ⨯⨯==，故答案为655. 点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存解析：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数m 的取值范围．【详解】解：由直线:0l x my m ++=可知直线过定点()0,1P -， 又()1,1A -，()2,2B ，如图∵()11201PA K --==---，123022PB K --==-， ∴由图可知，直线与线段相交，直线l 的斜率(]3,2,2k ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或斜率不存在， ∴(]13,2,2m ⎡⎫-∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或0m =， 即203m -≤<或102m <≤，或0m =， ∴21,32m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 故答案为：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题26．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0-【解析】【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.27．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由BC ⊥AC ，BC ⊥CD 得BC ⊥平面ACD ，证明四边形DCBE 是平行四边形得DE ∥BC ，故而DE ⊥平面ACD ，从而得证面面垂直；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC ，又DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACD ，∵DC ∥EB ，DC ＝EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE.（2）当C 点为半圆的中点时，AC ＝BC ＝22， 以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则D （0，0，1），E （0，22，1），A （22，0，0），B （0，22，0）， ∴AB =（﹣22，22，0），BE =（0，0，1），DE =（0，22，0），DA =（22，0，﹣1），设平面DAE 的法向量为m =（x 1，y 1，z 1），平面ABE 的法向量为n =（x 2，y 2，z 2），则00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00n AB n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111220220x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，222222200x y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩， 令x 1＝1得m =（1，0，22），令x 2＝1得n =（1，1，0）.∴cos 12632m n m n m n ⋅===⨯<，>. ∵二面角D ﹣AE ﹣B 是钝二面角，∴二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值为26-.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.28．（1）证明见详解（2）存在，95PM =【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理可证AD PH ⊥，再由BD PH ⊥即可求证；（2）要证HM ⊥平面PAD ，即证MH PD ⊥，可作HM PD ⊥，连接AM ，经几何关系验证，恰好满足直线HA 与平面PAD 35，求得95PM =； 【详解】（1）AD ⊥平面PBD ，PH 在平面PBD 上，所以，AD PH ⊥，又BD PH ⊥，AD 交BD 于D ，所以，PH ⊥平面ABCD ，所以，PH CD ⊥（2）由题可知，6BD =，又13BH BD =，所以4HD =，132PH BD ==，5PD =，要证HM ⊥平面PAD ，由题设可知AD ⊥平面PBD ，则AD HM ⊥，即证HM PD ⊥， 作HM PD ⊥，在PHD ∆中，由等面积法可知125PH HD HM PD ⋅==， 2245HA HD AD =+=,直线HA 与平面PAD 所成角正弦值即为12355sin 2545HAM ∠==，此时3393555PH PM ==⨯= 【点睛】本题考查线面垂直的证明，由线面垂直和线面角反求满足条件的点具体位置，逻辑推理与数学计算能力，属于中档题 29．(1) 13+24y x =46 【解析】【分析】 (1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解.【详解】（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ， ∵10=2112CP k -=--， ∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24y x = （2）当直线l 的倾斜角为45时，斜率为1，直线l 的方程为1+2y x =。
2020-2021学年八中高一上数学期中考试-含答案
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
C
A
B
A
B
解析：
【7】 x y (x 1) (y 1) 2 [(x 1) (y 1)]( 9 1 ) 1 2 x 1 y 1 2
……………5 分
（2）依题意有： ðR A={x | x 1 或 x 3} 于是： (ðR A) B {x 1 或 x 2}
……………7 分 …………10 分
【18】解：（1）记 t f (x) x2 2x 2 在[0,1] 上单调递减，在[1, 3] 上单调递增，
y 2t 在 t R 时单调递增，
题号
13
14
15
16
答案
1
3a6
[0, 2）
1 a 1 3
解析：
【16】依题意有：| ax 1 || x 2 | 2 x(1 x 3) ，于是 x 2 ax 1 2 x
2
2
由
ax
1
x
2
恒成立可得：
a
(1
3 x
)max
，于是
a
1
由
ax
1
2
x
恒成立可得：
a
(
1 x
1)min
，于是
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= 1 [150 (500 10x)]
2
x
……………8 分
2019-2020学年重庆八中高一(上)期中数学试卷试题及解析
2019-2020学年重庆八中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有-项是符合题目要求的.1．已知集合{|42}M x x =-<<，{|23}N x x =-<<，则(M N = )A ．{|43}x x -<<B ．{|42}x x -<<-C ．{|22}x x -<<D ．{|23}x x <<2．函数1()3f x x =+的定义域为( ) A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]3．已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…，若f （a ）12=，则实数a 的值为( )A ．1-BC ．1-D ．1或4．设()f x 是定义城为R 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则( ) A ．(2)f f ->（1）f >（3） B ．(2)f f ->（3）f >（1） C ．f （1）(2)f f >->（3） D ．f （3）f >（1）(2)f >-5．函数()f x x =，则( ) A ．函数的最小值是0．无最大值 B ．函数的最大值是1，无最小值 C ．函数的最小值是0，最大值为1D ．函数无最大值，也无最小值6．若()f x 为奇函数，当0x >时，2()f x x x =-+，则当0x <时，()(f x = ) A ．2x x --B ．2x x -C ．2x x +D ．2x x -+7．设120.6a =，130.6b =，2log 0.6c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>8．若函数3()()g x f x x =+是偶函数且(1)2f -=，则f （1）(= ) A ．0B ．1C ．2D ．39．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1)为( ) A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.510．幂函数()()f x x R αα=∈的图象过点(8,4)，则幂函数()f x 的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足121252Em m lg E -=，其中星等为1m 的星的亮度为1E ，星等为2m 的星的亮度为2E ．已知太阳的星等是26.7-，小熊座λ星的星等是6.55，则太阳与小熊座λ星的亮度的比值为( ) A ．13.3B ．13.310C ．13.3lnD ．13.3lg12．己知函数()|(1)|(01)x f x lg x a a =--<<有两个零点1x ，2x ，则有( ) A ．121x x <B ．1212x x x x <+C ．1212x x x x =+D ．1212xx x x >+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．已知集合{|20}A x x a =+>，若1A ∉，则实数a 的取值范围是 ． 14．计算42log2= ．15．函数y =的增区间是 ．16．已知函数27()()1x ax f x a R x ++=∈+．若对于任意的(0x ∈，)()3f x +∞…恒成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合{|14}A x x =剟，3{|log 1}B x x =>，全集为R ．（Ⅰ）()R AB ð，（Ⅱ）已知集合{|1}M x x a =<<，若M A M =，M ≠∅，求实数a 的取值范围．18．已知二次函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且(0)0f =，且()f x 的最大值为1． （Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）求()f x 在区间[0，](0)a a >上的最大值．19．已知函数2()4xx f x a =+在R 上总有()()f x f x -=成立．（Ⅰ）求a 的值，（Ⅱ）求()f x 在[1，2]上的值域．20．已知函数2()21()f x x ax a R =++∈． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x >，（Ⅱ）若方程()0f x =有两个不相等实根1x ，2x ，且12214x x x x +<，求实数a 的取值范围．21．已知函数212,(0,1)2()(),[1,)x mx x f x m R m x x x ⎧+-∈⎪⎪=∈⎨⎪+∈+∞⎪⎩（Ⅰ）当2m =时，判断()f x 的零点个数并说明理由：（Ⅱ）若()f x 在区间(0,)+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．22．已知函数222()log ()(0a f x x a a =->且1)a ≠． （Ⅰ）当2a =时，解不等式f （3）(3)f x <-，（Ⅱ）关于x 的方程(2)log (2)x x a f at =-有解，求实数t 的取值范围．2019-2020学年重庆八中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有-项是符合题目要求的.1．已知集合{|42}M x x =-<<，{|23}N x x =-<<，则(M N = )A ．{|43}x x -<<B ．{|42}x x -<<-C ．{|22}x x -<<D ．{|23}x x <<【解答】解：集合{|42}M x x =-<<，{|23}N x x =-<<， 则{|43}MN x x =-<<．故选：A ．2．函数1()3f x x =+的定义域为( ) A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]【解答】解：由题意1030x x -⎧⎨+≠⎩…，解得1x …且3x ≠-，故选：D ．3．已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…，若f （a ）12=，则实数a 的值为( )A ．1-BC ．1-D ．1或【解答】解：当0x >时，21log 2x =，x ∴= 当0x …时，122x =，1x ∴=-．则实数a 的值为：1- 故选：C ．4．设()f x 是定义城为R 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则( ) A ．(2)f f ->（1）f >（3） B ．(2)f f ->（3）f >（1） C ．f （1）(2)f f >->（3）D ．f （3）f >（1）(2)f >-【解答】解：根据题意，()f x 是定义城为R 的偶函数，则(2)f f -=（2）， 又由()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，则f （1）f >（2）f >（3），则有f （1）(2)f f >->（3）， 故选：C ．5．函数()f x x =，则( ) A ．函数的最小值是0．无最大值 B ．函数的最大值是1，无最小值 C ．函数的最小值是0，最大值为1D ．函数无最大值，也无最小值【解答】解：函数()f x x =，1()2x …，令t =，(0)t …，则221t x =-， ∴21122x t =+， 那么()f x 转化为22111()(1)222g t t t t =-+=-，可知()g t 的最小值为0，没有最大值， 故选：A ．6．若()f x 为奇函数，当0x >时，2()f x x x =-+，则当0x <时，()(f x = ) A ．2x x --B ．2x x -C ．2x x +D ．2x x -+【解答】解：当0x <时，0x ->，则 由当0x >时，2()f x x x =-+， 即有2()f x x x -=--，又()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 则有2()f x x x =+，(0)x >． 故选：C ．7．设120.6a =，130.6b =，2log 0.6c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解答】解：00.61<<，∴指数函数0.6x y =在(,)-∞+∞单调递减，11023>>，1132006061∴<<<， 01a b ∴<<<，21>，∴对数函数2log y x =在(0,)+∞单调递增，0.61<，22log 0.6log 10∴<=， 0c ∴<， c a b ∴<<，故选：B ．8．若函数3()()g x f x x =+是偶函数且(1)2f -=，则f （1）(= ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：若函数3()()g x f x x =+是偶函数， 则()()g x g x -=， 即33()()f x x f x x --=+， 则(1)1f f --=（1）1+， 得21f -=（1）1+， 得f （1）0=， 故选：A ．9．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1)为( ) A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.4065,1.438)中，观察四个选项，与其最接近的是C ， 故选：C ．10．幂函数()()f x x R αα=∈的图象过点(8,4)，则幂函数()f x 的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：幂函数()()f x x R αα=∈的图象过点(8,4)， 48α∴=，解得23α=，21233()()f x x x ∴==，由幂函数的图象可知C 正确， 故选：C ．11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足121252Em m lg E -=，其中星等为1m 的星的亮度为1E ，星等为2m 的星的亮度为2E ．已知太阳的星等是26.7-，小熊座λ星的星等是6.55，则太阳与小熊座λ星的亮度的比值为( ) A ．13.3B ．13.310C ．13.3lnD ．13.3lg【解答】解：设太阳的星等是126.7m =-，天狼星的星等是2 6.55m =， 1256.5526.72Elg E ∴+=，1213.3E lg E ∴=， ∴13.31210E E = 故选：B ．12．己知函数()|(1)|(01)x f x lg x a a =--<<有两个零点1x ，2x ，则有( ) A ．121x x <B ．1212x x x x <+C ．1212x x x x =+D ．1212x x x x >+【解答】解：因为函数()f x 有两个零点，故方程|(1)|(01)x lg x a a -=<<有两个解1x ，212()x x x <．设函数()|(1)|g x lg x =-，函数()x h x a =，则()|(1)|g x lg x =-与()x h x a =的图象有两个交点， 由图象知，1202x x <<<，所以11(1)x lg x a --=，22(1)x lg x a -=，因为01a <<，所以12x x a a >，得12(1)(1)lg x lg x -->-，12(1)(1)0lg x x --<，即12(1)(1)1x x --<，整理得，1212x x x x <+． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．已知集合{|20}A x x a =+>，若1A ∉，则实数a 的取值范围是 (-∞，2]- ． 【解答】解：由题意可得 集合A 的解集为{|}2a x x >-，又1A ∉， 由此解得12a-…，解得2a -…，故答案为：(-∞，2]-． 14．计算42log2= 16 ．【解答】解：42log42216==．故答案为：16．15．函数y =的增区间是 1[1,]2- ．【解答】解：令22192()24t x x x =-++=--+，由0t …可得12t -剟，函数u =[1-，1]2，减区间是1[2，2]，2u y =在R 上单调递增，∴函数y =[1-，1]2，故答案为：[1-，1]2．16．已知函数27()()1x ax f x a R x ++=∈+．若对于任意的(0x ∈，)()3f x +∞…恒成立，则a 的取值范围是 [1-，)+∞ ．【解答】解：根据题意及0x >，则由()3f x …，得2733x ax x +++…， 整理得4()3a x x-++…，由函数4()y x x=-+的最大值为4-，得[1a ∈-，)+∞．故答案为：[1-，)+∞．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合{|14}A x x =剟，3{|log 1}B x x =>，全集为R ． （Ⅰ）()R AB ð，（Ⅱ）已知集合{|1}M x x a =<<，若M A M =，M ≠∅，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）{|14}A x x =剟，{|3}B x x =>， {|3}R B x x ∴=…ð，(){|13}R AB x x =剟ð；（Ⅱ）M A M =，M A ∴⊆，且M ≠∅，{|1}M x x a =<<， 14a ∴<…，∴实数a 的取值范围为(1，4]．18．已知二次函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且(0)0f =，且()f x 的最大值为1． （Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）求()f x 在区间[0，](0)a a >上的最大值．【解答】解（1）由已知设2()(1)1(0)f x m x a =-+<，又(0)10f m =+=，则1m =-，2()2f x x x ∴=-+；（2）由题知：()f x 的对称轴为1x = ①当01a <<时，2()()2max f x f a a a ==-+；②当1a …时，()max f x f =（1）1=． 19．已知函数2()4xx f x a =+在R 上总有()()f x f x -=成立．（Ⅰ）求a 的值，（Ⅱ）求()f x 在[1，2]上的值域． 【解答】解（1）()()f x f x -=恒成立，即2222414444141x x x xx x xx xx a a a a a --=⇒=⇒+=+++++， 1a ∴=；（2）令2x t =，则24t 剟， 则11y t t=+，1h t t =+在[2t ∈，4]上为增函数，∴1517[,]24t t +∈，故所求值域为42[,]175．20．已知函数2()21()f x x ax a R =++∈． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x >，（Ⅱ）若方程()0f x =有两个不相等实根1x ，2x ，且12214x x x x +<，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由题及1a =，得2230x x +->，解得1x >或3x <-，则不等式()4f x >的解集为(-∞，3)(1-⋃，)+∞．（2）由方程2210x ax ++=有两个不相等实根1x ，2x ，则△2440a =->，即21a >，得122x x a +=-，121x x =，因为12214x x x x +<，得2212124x x x x +<， 化简得22124x x +<，即21212()24x x x x +-<，代入得232a <． 综上，2312a <<，则实数a的取值范围6(1)(1,)-．21．已知函数212,(0,1)2()(),[1,)x mx x f x m R m x x x ⎧+-∈⎪⎪=∈⎨⎪+∈+∞⎪⎩（Ⅰ）当2m =时，判断()f x 的零点个数并说明理由： （Ⅱ）若()f x 在区间(0,)+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．【解答】解（Ⅰ）当2m =时，214,(0,1)2()2,[1,)x x x f x x x x ⎧+-∈⎪⎪=⎨⎪+∈+∞⎪⎩， 2219()4(2)22f x x x x =+-=+-，故当01x <<，在(0,1)上单增，且1(0)02f =-<，9(1)02f =>． 由零点存在性定理，21()42f x x x =+-在(0,1)上有一个零点． 当1x >时，()0f x >．综上，()f x 有一个零点．（Ⅱ）由()f x 在区间(0,)+∞上为增函数，0001,1212m m m m m m ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪++⎩或或…… 解得102m 剟． 22．已知函数222()log ()(0a f x x a a =->且1)a ≠．（Ⅰ）当2a =时，解不等式f （3）(3)f x <-， （Ⅱ）关于x 的方程(2)log (2)x x a f at =-有解，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当2a =时，()f x 是偶函数，在(2,)+∞上单增，由f （3）(3)f x <-，得f （3）(|3|)f x <-进而3|3|x <-，得6x >或0x <，所以不等式的解集为(-∞，0)(6⋃，)+∞；（2）因为关于x 的方程(2)log (2)x x a f at =-有解， 所以22(4)(2)x x a a log a log at -=-，化简得22log (4)log (2)x x a a a at -=-，得2224(2)4020x x x x a at a at ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩，因为224(2)x x a at -=-，则22(1)22x t a at +=， 所以0t >，因为0a ≠，所以22(1)222x t a t at +=>， 解得2212t t +>，即01t <<．。
2019-2020学年重庆八中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020 学年重庆八中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 => 0}， =− 4 ≥ 0}，则∪ = ( )2 A. B. (−∞, −2] ∪ (0，+∞) (−∞, −2] ∪ [2, +∞) C. D. [3, +∞)(0, +∞)2.= √ + 4 +1的定义域为( )2−4A. C.B. [−4, +∞) ≥ −4且 ≠ ±2} D.≥ −4且 ≠ 2} ≥ 2} 2 , < 13. 已知= { − 1), ≥ 1，则27) = ()C. D. A. B. 74727874. 若函数 =解集是( )是定义在 上的偶函数，且在(−∞, 0]上单调递减，= 0，则 − > 0的R A. B. (−2,2) (−∞, 1) ∪ (5, +∞) C. D. (1,5)(−∞, −2) ∪ (2, +∞)5. 函数= − 1 + 3 −的最大值是( )√ √ A. B. C. C. D. 23√3√2=+ 1，则ℎ(−1)等于 ( )6. 已知函数为奇函数，且当 > 0时，2A. B. D. −21 2= (1) 7. 已知 3， ， ，则( ) 1 3 = log3 = 3 1 33A. B. C. D. < << << << <)8. 已知函数=+ 为偶函数，且= 4，则= (A. B. C. D.2−44−29. 若函数=− − 1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下 311.5 1.25 1.375 1.3125 −10.875−0.29690.2246−0.05151那么方程 3 −− 1 = 0的一个近似根(精确度为 0，1)为( )A. B. C. D. 1.2 1.3125 1.4375 1.2510. 幂函数 =的图像过点(8,2 2)，则幂函数 =的图像是( )√B. B.D. D.11.12.1)log=(24A.12C.1−2−22+1)+−2,>0已知>2，函数={，若函数有两个零点，，则()+4−(1)≤012B.D.A.C.−=0>2，=1−>2，>2，1212−|=2>2，−|=31212二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.14.已知集合=−−1}，且3∈，实数=______．______．+8=计算：函数2+315.16.1)2=(2的单调递增区间是______．2已知函数=，∈若对于任意的∈∗，f≥4恒成立，则的取值范围是a______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知集合=≤≤7}，=<−1<19}，求：∪(2)(∁∩．18.求函数=(4−2−+在区间[0,1]上的最大值．19. 3 已知定义域为 的函数R=是奇函数．3(1)求 的值；(2)若在 上是增函数，求不等式 R1) < 0的解集．20. 已知二次函数 = 22∈ ．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式 1 ≥ 0;2 2(2)若关于 的方程1 = 0的两个实根均大于2 且小于 4，求实数 的取值范围． x 22t= {11,> 021. 已知 ∈ ，函数．1,≤ 0(1)求的值；(2)证明：函数 在(0, ∞) 上单调递增；的零点．(3)求函数22.1已知函数=．41(1)若函数=是奇函数，求实数的值；a(2)若关于的方程−−32=1在区间(0,2)上有解，求实数的取值范2x t 围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合M，N，再利用并集定义求解．【解答】解：∵集合=−4≥0}=>0}，=≥2或≤−2}，2∴∪=故选：A．2.答案：B≤−2或>0}=(−∞,−2]∪(0，+∞)．解析：【分析】本题考查了二次根式的性质，求函数的定义域问题，是一道基础题．根据二次根式的性质及分母不为0，从而求出x的范围．【解答】+4≥0解：由题意得：{，−4≠02解得：≥−4，且≠±2，故选：B．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题．先判断与1的大小关系，再代入相应区间的解析式，求出函数值即可．【解答】解：由于又由，则，则，则，，又由．故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属基础题．关键是利用函数的奇偶性与单调性分析函数的符号，把【解答】−>0转化为|3−>2，从而得解．解：因为函数=是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，所以()在[0,+∞)上是增函数，因为(3−)=(|3−|)，=0，由已知得(3−)=(|3−|)>(2)，所以|3−|>2，解得>5或<1．故选：B．5.答案：A解析：【分析】本题考查求函数的最值，属于基础题．将已知函数平方，可得到一个二次函数，根据二次函数的性质即可得到原函数的最值．【解答】解：函数的定义域为[1,3]，=2+2√−1)(3−=2++2−3，2由二次函数的性质可得当=2时2取得最大值，最大值为4，所以的最大值为2．故选A．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，属于基础题．由奇函数定义得，ℎ(−1)=−ℎ(1)，根据>0的解析式，求出ℎ(1)，从而得到ℎ(−1)【解答】解：因为x>0时，h(x)=x 2+1，所以h(1)=1+1=2．又h(x)为奇函数，所以h(−1)=−h(1)=−2．故选A．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查指数函数与对数函数的性质，为基础题．利用指数函数与对数函数的性质求解即可．【解答】解：由指数函数的性质可得=(1)∈(0,1)，331，=3>3=13由对数函数的性质可得，所以<<．故选C．8.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题，难度较小．由为偶函数，得==+(−3)=1，从而得解．【解答】解：由题意，因为为偶函数，且=+(−3)=1．=4，所以=所以=+3=1，解得=−2．故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．由二分法的定义进行判断，根据其原理--零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项．【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.25,1.375)中，观察四个选项，与其最接近的是B．故选B．10.答案：C解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．先利用已知条件求出函数=的解析式，再由解析式确定的图像【解答】解：设=，根据题意有22=8，√1则=，2即12，结合选项可知C正确．=11.答案：A解析： 【分析】本题考查对数运算，属于基础题． 【解答】1= log 2 = 422 = 2．解：log 2 故选 A ．2 212.答案：D解析：解：当 > 0时， = log + 1) + 2，令 = 0，则有log + 1) = 3 + 1)，不妨设= 3 + 1)]，其根为 ；1 当 ≤ 0时， = + 4 (1)，令 = 0，则有(1)= 3 ++ 1)，即 + 1)] = 3，即： = 3；不妨设其根为 ，则有 + 1) +2 1212 = 3，因而答案为 D ．同理，若 > 0时的零点为 ， ≤ 0时的零点为 ，则有 2 1 21故选：D ． 【分析】通过当 > 0时，不妨设其根为 ；当 ≤ 0时，不妨设其根为 ，推出 = 3；转化求出结果1 2 1 2即可．本题考查函数的零点的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．13.答案：2 或 6解析：解：∵ = 1}，且3 ∈ ；∴3 = 3时， = 6， = {3,11}，满足条件； 1 = 3时， = 2， = {1,3} ，满足条件；∴ = 2或 6． 故答案为：2 或 6． 根据3 ∈ ，及 = 证是否满足3 ∈ 即可．1}，从而得出3 = 3，或1 = 3，解出 a ，并求出集合 A ，验考查列举法的定义，以及元素与集合的关系，集合元素的互异性．14.答案：6解析：解：原式 2． = lg(25 × 2 ) + 23× = 2 + 4 = 6 2 3故答案为：6．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：(−∞, −1)解析： 【分析】本题主要考查了复合函数的单调区间，以及指数函数及其性质，属于基础题． 根据复合函数的单调性，同增异减，得到答案． 【解答】 解：设 =2 + ，在(−∞, −1)上为减函数，在(−1, +∞)为增函数，1) 因为函数 = ( 是减函数，21) 2所以函数= ( 2的单调递增区间(−∞, −1)，故答案为(−∞, −1)．1, +∞)316.答案：[ 2解析：解：∵函数 =，且 ≥ 4，对于任意的 ∈ ∗恒成立f f 2= − 2= + 1) +8] + 6即 ≥ − 令=+ 1) +8 ] + 6，则≤ 6 − 4√2，当且仅当 = 2√2 − 1时取最大值又∵ ∈∗，∴当 = 2时， 取最大值131故 ≥ 31, +∞)3即 的取值范围是[ a 1, +∞)3故答案为：[ 2根据已知中函数 =， ∈ 若对于任意的 ∈ ∗，f≥ 4恒成立，我们可将其转化 f + 1) +8 ] + 6恒成立，进而将其转化为 ≥=+ 1) +8 ] + 6，解不等式为 ≥可得 的取值范围．a 本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时 的亮点，应引起大家的注意．17.答案：解： =< − 1 < 19} = < < 10}，(1)集合 = ≤ ≤ 7}， =<< 10}， ∴ ∪ = << 10}；(2)∁ ∴ (∁= < 3或 > 7}， =<< 10}，∩ =<< 3或7 < < 10}．解析：化简集合 ，根据交集、并集和补集的定义计算即可．B本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．218.答案：当 > 时，≤ 2 = ；当 时， = 2 −m a xm a x3 344= == ②4 解析：①当4 − = 0，即 = 时， =+ 在[0,1]上为减函数，∴ m a x33341< 0，则函数当 > 时，4 −< 0，函数的图像开口向下，对称轴为直线 = 在区间3=③当 < 时，4 −4 [0,1]上为减函数，∴ = > 0，函数的图像开口向上，对 m a x 31> 0当0 <1≤ 1 ≤ 2当1> 1 2<<3称轴为直线 =，即 时，= = 2 −； ，即 m a xm a x232 43> 2≤ 2 时， = = 。
重庆市第八中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
重庆市第八中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 中，21a =，356a a +=，则该数列公差为（ ） A. 12B. 1C.32D. 2【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式和题设条件，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为21a =，356a a +=，可得111266a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得10,1a d ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的通项公式是解答的关键，意在考查运算与求解能力.2.太阳能是一种资源充足的理想能源，我玉近12个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时）的茎叶图如图，若其众数为x ，中位数为y ，则x y +=（ ）A. 144B. 141C. 142.5D. 11.5【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图的构造，结合众数和中位数的定义进行求解即可.【详解】由茎叶图可以看出77出现三次最多，因此众数为77，即77x = 一共是12个数据，因此中位数是64，67两个数的平均数，即646765.52y +==， 所以142.5x y +=. 故选：C【点睛】本题考查了由茎叶图求中位数和众数，考查了数学运算能力.3.已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),4c m =.若()//2c a b +，则m =（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出m 的值． 【详解】解：向量()1,2a =，()2,2b =-， 则2(4,2)a b +=，又向量(,4)c m =，且()//2c a b +， 所以4420m ⨯-=，解得8m =． 故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，属于基础题． 4.下列说法中，一定成立的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若a b <，则0b a -> C. 若a b >，则22a b > D. 若11a b>，则a b < 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举反例说明．【详解】例如42,23>->-，但4(2)2(3)⨯-<⨯-，A 错；a b <，则b a >且b a >-，所以0b a ->，B 正确；若12->-，但22(1)(2)-<-，C 错； 若1123>-，但仍然有23>-，D 错． 故选：B ．【点睛】本题考查不等式的性质，特别是不等式的两边同乘一个数时，这个数要分正数和负数，不能轻易下结论．5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .且54S =，1012S =，则15S =（ ） A. 16 B. 19 C. 28 D. 36【答案】C 【解析】 【分析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1012S =，所以1058S S -=，151016S S -=，故15121628S =+=. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题. 6.若向量a ，b 满足2a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）A.4π B.34π C. 6π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直可得()·0a a b -=，化简可得22a b a ==，代入求夹角公式即可求解.【详解】因为()a a b ⊥-，所以()·0a a b -=，即2()0a a b -=，所以20a a b -=，即22a b a ==，所以cos ,22a b a b a b<>===⨯， 又由,[0,]a b π<>∈，所以,4a b π<>=.故选：A.【点睛】本题考查向量的垂直及向量夹角的求解，属基础题. 7.在△ABC 中，cos cos cos a b cA B C==,则△ABC 一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先利用正弦定理边化角，然后结合正切函数的性质即可确定△ABC 的形状. 【详解】由cos cos cos a b c A B C==结合正弦定理可得：sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，即tan tan tan A B C ==，结合正切函数的性质可知：A B C ==， 则△ABC 是等边三角形. 故选D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形形状的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.ABC 中，D 在边AC 上满足3AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ） A.1588BA BC - B.5188BA BC - C. 5188BA BC + D.1588BA BC + 【答案】A 【解析】 【分析】由于向量BA ，BC 不共线，所以将其作为基底，再利用向量的加减法法则把向量CE 用基底表示出来即可.【详解】解：如图，CE BE BC =-,因为 E 为BD 的中点，所以11()22BE BD BA AD ==+, 因为3AD DC =，所以33()44AD AC BC BA ==-，所以11315()22488CE BA BC BA BC BA BC =+⨯--=-，故选：A【点睛】此题考查了平向量基本定理，向量的加减法法则，利用了数形结合的思想，属于基础题.9.将两直角边长分别为1，2的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的体积为（ ） A.()83525π 554545【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可． 【详解】解：如图为直角三角形旋转而成的旋转体．22||125AC =+∴11125||22BD ⨯⨯=⨯，25||BD ∴=22121112545()()5333V S h h R AC ππ=+==⨯⨯=．故选：D ．【点睛】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．属于基础题． 10.已知实数x ，y 满足1x y +=，且11x -<<，则141x y++的最小值为（ ） A.92 B.143C. 5D. 2【答案】A 【解析】 【分析】 根据141x y++的形式，对1x y +=进行变形，最后利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为11x -<<，所以有012x <+<，因为1x y +=，11x -<<，所以有11102y y -<-<⇒<<， 因为1x y +=，所以有(1)2x y ++=，于是有：11411414(1)14(1)2()[(1)]()[14][5],21212121x y x y x y x y x y y x y x++⋅+=+++=+++=++++++因为210,20x y >+>>>，所以14(1)19[5]5)2122x y y x +++≥=+（当且仅当4(1)=1x y y x ++时取等号，即当14,33x y =-=时取等号）. 故选：A【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了代数式恒等变形能力，考查了数学运算能力. 11.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =()cos 3cos 0c B b a C ++=，且222 4c a b --=，则ABC 的面积为（ ）B.D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得cos C ，再结合已知及余弦定理，求得ab 的值，代入已知公式，即可求解. 【详解】由题意，因为()cos 3cos 0c B b a C ++=，所以()sin cos sin 3sin cos 0C B B A C ++=，即sin()3sin cos 0B C A C ++=，又由sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos 0A A C +=，由因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以13cos 0C +=，即1cos 3=-C ， 因为2224c a b --=，由余弦定理可得22241cos 223a b c C ab ab +--===-，解得6ab =，则ABC 的面积为S ===故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题.12.锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2224a b c +=，则cos C 的取值范围为（ ）A. 12⎡⎢⎣⎭B. 34⎡⎢⎣⎭C. 1,25⎡⎢⎣⎭D. 345⎡⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理，求得()222223cos 28a b a b c C ab ab++-==，再结合基本不等式和函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，因为2224a b c +=，所以()22222222233234cos 22884a b a b a b a b c ab C ab ab ab ab ++-++-⋅===≥=， 又由222222222222444a b a b a b b a a b a b ⎧++>⎪⎪+⎪+>⎨⎪⎪++>⎪⎩，得223553b a<<，则53b a << 所以()222222222334cos 2288a b a b a b a b c a b C ab ab ab b a ++-++-⎛⎫====+ ⎪⎝⎭，令bx a =，则,53x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以函数()318f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在1,3⎛ ⎝⎭单调递增，又535f f ⎛⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()314f =，所以3cos 4C ⎡∈⎢⎣⎭. 故选：D.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及基本不等式和函数的单调性的应用，其中解答中熟记应用运算定理得到cos C 的表达式，结合基本不等式和函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题一相应位置上. 13.已知单位向量a b ，夹角为3π，则a b -=_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则求解即可． 【详解】单位向量a b ，夹角为3π，则222121a b a a b b -=-⋅+=-⨯=1． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积以及向量的模的求法，属于容易题. 14.已知x 与y 之间的一组数据如表所示：当m 变化时，回归直线直线y bx a =+必经过定点______. 【答案】3(,4)2【解析】 【分析】 求出,x y 即得解. 【详解】由题得13(0123)42x =+++=， 1(1357)44y m m =++-++=，所以当m 变化时，回归直线直线y bx a =+必经过定点3(,4)2. 故答案为：3(,4)2【点睛】本题主要考查回归直线的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 15.已知数列{}n a 的前项和为n S ，13a =，()()112nn n a a +=--，则2020S =______.【答案】2020 【解析】 【分析】 由()()112nn n a a +=--，当n 为正奇数时有：12n n a a ++=，可用并项求和求出2020S .【详解】由()()112nn n a a +=--，当n正奇数时有：12n n a a ++=，则2020S =123420192020()()()a a a a a a +++++101022020=⨯=.故答案为: 2020.【点睛】本题考查了根据递推关系式用并项求和法求前n 项和，解题关键是根据递推关系找到数列的特征，考查了分析能力和推理能力.16.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在边AB 上，2AC =，2BE EA =，AD 与CE 的交点为O .若22AB =，则AO BC ⋅=______.【答案】1- 【解析】【分析】由E ，O ，C 三点共线，设()()21213BO BE BC BA BD λλλλ=+-=+-，且三点A ，O ，D 共线，则()22113λλ+-=，求得λ值，根据线性运算，将,AO BC 用基底,AC AB 表示出来，计算即可得解. 【详解】解析：D 是BC 的中点，2BE EA =，23BEBA ∴→=，2BC BD =， E ，O ，C 三点共线，设()()21213BO BE BC BA BD λλλλ=+-=+-，且三点A ，O ，D 共线，()22113λλ∴+-=，解得34λ=，1124BO BA BC ∴=+，22AB =()111244AO AB BO AB BA BC AB AC ∴=+=++=+，()()()()22211141444AO BC AB AC AC AB AC AB AB ∴⋅=+⋅-=-=-=-，故答案为：1-.【点睛】本题主要考查平面向的数量积和平面向量的线性运算，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.等差数列中{}n a ，11a =，623a a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n S 为数列{}n b 前n 项的和，若126m S =，求m .【答案】（1）n a n =，n *∈N ；（2）6m =. 【解析】 【分析】（1）求出公差d 后可得通项公式；（2）由等比数列前n 项和公式表示出m S ，解方程126m S =可得．【详解】解：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a n d =+-，612a a =，()15212d d ∴+=+，解得1d =， n a n ∴=，n *∈N .（2）由（1）知，1222nn n b -==⋅，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等差数列，11222212n n n S ++-∴==--，由126m S =，可得122126m +-=，解得6m =.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，属于基础题，掌握等差数列和等比数列的基本量运算是解题关键．18.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：27002900vy v v =++（0v >）.（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？ 【答案】（1）当30km /h v =时，车流量最大，最大车流量约为35031千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于18km /h 且小于50km /h . 【解析】 【分析】（1）化简得270070090029002vy v v v v ==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解； （2）解不等式2700102900vv v >++即得解.【详解】（1）依题得270070070035090029006231900222vyv vv vv v==≤==++⎛⎫+++⋅⎪⎝⎭.当且仅当900vv=，即30v=时，上时等号成立，max35031y∴=（千辆/时）.∴当30km/hv=时，车流量最大，最大车流量约为35031千辆/时；（2）由条件得2700102900vv v>++，因为229000v v++>，所以整理得2689000v v-+<，即()()18500v v--<，解得1850v<<.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于18km/h且小于50km/h.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和解决实际问题的能力.19.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生（满分150分，且抽取的学生成绩都在[]95,145内）的成绩并制成频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）（2）用分层抽样的方法从成绩在[)125,135和[]135,145的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率. 【答案】（1）123.6；（2）715. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得0.02a =，再利用频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求得这50名同学的数学平均成绩.（2）由直方图得到从[)125,135，[)135,145分别抽取4人，2人，利用列举法求得基本事件的总数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得()0.0040.0280.0320.016101a ++++⨯=， 解得0.02a =则这50名同学的数学平均成绩为：()1000.0041100.021200.0281300.0321400.01610123.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）由直方图知：[)125,135，[)135,145两组的频率分别为0.32，0.16. 按分层抽样的方法从成绩不低于125的同学中抽取6名，则[)125,135，[)135,145分别抽取4人，2人，分别记为1A ，2A ，3A ，4A ，1B ，2B 随机抽取2名的总抽法有{}121314111212,,,,,,A A A A A A A B A B B B ；15种，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有{}12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ；7种故两名同学数学成绩在同一组的概率为715p =. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图、分层抽样的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及利用“列举法”求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.20.锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若b =且()2cos cos cos +=B a C c A b .（1）求ABC 的外接圆直径；（2）求a c +的取值范围. 【答案】（1）1；（2）32⎛+∈ ⎝a c . 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角函数化简题中等式可得1cos 2B =，从而求出3B π=，然后再利用正弦定理求出外接圆直径即可；（2）由正弦定理将a c +变形为sin sin A C +，然后利用三角函数即可求出取值范围. 【详解】（1）因为()2cos cos cos ⋅+=B a C c A b ，由正弦定理可得，()2cos sin cos sin cos sin +=B A C C A B ， 即()2cos sin sin +=B A C B ，所以2cos sin sin B B B =， 因为sin 0B ≠，故1cos 2B =， 又()0,B π∈，故3B π=，由正弦定理得21sin ===bR B ，即ABC 的外接圆直径为1； （2）由正弦定理可得，21sin sin a cR A C===，∴3sin sin sin sin sin cos 3226a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又由题意可得022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 62A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，∴32⎛+∈ ⎝a c . 【点睛】本题综合考查了三角函数与解三角形的应用，属于中档题，综合性较强.在解三角形题中，常利用基本不等式或者三角函数求最值，本题也可考虑用基本不等式结合三边关系求范围.21.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，12n n a S +=（n *∈N ）. （1）求n S ；（2）设3log n n b S =，求使得2334451211110.995n n b b b b b b b b ++++++>成立的最小自然数n .【答案】（1）13n n S -=；（2）200.【解析】 【分析】（1）由11n n n a S S ++=-可得13n n S S +=，即可得到{}n S 是等比数列，从而得到13n n S -=；（2）由（1）得3log 1n n b S n ==-，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，12n n a S +=（n *∈N ）.所以13n n S S +=，所以{}n S 是等比数列，首项为1，公比为3等比数列.13n n S -=.（2）3log 1n n b S n ==-，()23344312111111111223341n n b b b b b b b b n n ++++++=++++⨯⨯⨯+1111111122311n n n =-+-++-=-++， 2334451211110.995n n b b b b b b b b ++++++>成立，即110.9951n ->+，解得199n >，所以最小自然数n 为200.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，裂项相消法求和，属于中档题.22.三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利·勃劳卡德（Henri .Brocard ）命名的，他在1875年曾描述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角θ，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q ，如图所示.（1）研究发现：等腰直角三角形中1tan 2θ=，若ABC 是斜边10AB 的等腰直角三角形，求线段QA 的长度；（2）若ABC 中，2C π∠=，3A π∠=，2AB =，求tan θ的值；（3）若ABC 中，若线段QA ，QB ，QC 的长度是1为首项，公比为q （1q >）的等比数列，当3tan θ=时，求公比q 的值. 【答案】（1）2QA =（2）3tan θ=；（3）3q =【解析】 【分析】（1）由题意可得5AC BC ==135AQC BQA ∠==︒，然后在AQC 中利用正弦定理可求出QA 的长；（2）在AQB 中由正弦定理求得QB ，再利用Rt BQC △求出QB ，列出等式求出tan θ的值；（3）由等比数列求出QB ，QC ，在ABQ △和BCQ △中由正弦定理得sin sin QB q QA ABQ θ==∠，sin sin QC q QB BCQθ==∠，由此可得出ABQ BCQ ∠=∠，得到b c =，再由正弦定理得()sin sin q B θθ=-，再对此式化简得tan sin cos tan q B q B θθ=-，然后在表示出sin cos B B ，的值代入化简可得结果【详解】（1）由题意可知，5AC BC ==45QAC QBA θ∠=∠=︒-，于是135AQC BQA ∠==︒，在QAC中，由正弦定理得sin sin QA ACAQCθ=∠，得15sin 52sin 22AC QA AQCθ⨯⋅===∠.（2）由题意可得2AB =，3BC =，1AC =由已知，30QBA θ∠︒=-，90QCB θ∠=︒-，故150AQB ∠=︒，90BQC ∠=︒， 在AQB 中，有正弦定理得sin 4sin sin AB QB AQBθθ⋅==∠，在Rt BQC △中，cos 3cos QB BC θθ=⋅=所以4sin 3cos θθ=，解得3tan 4θ=.（2）设ABC 的三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C.由于线段QA ，QB ，QC 的长度是1为首项，则QB q =，2QC q =在ABQ △和BCQ △中由正弦定理得sin sin QB q QA ABQ θ==∠，sin sin QC q QB BCQθ==∠所以sin sin sin sin ABQ BCQθθ=∠∠，于是sin sin ABQ BCQ ∠=∠，且0AB BC Q Q π<∠+∠<所以ABQ BCQ ∠=∠，所以B C =，所以b c =注意到()sin sin sin AQB B B π∠=-=，()sin sin sin BQC C C π∠=-= 在ABQ △和BCQ △中由正弦定理得()1sin sin sin q cB Bθθ==-①()2sin sin sin q q aC Cθθ==-②①÷②得aq c=，即a cq =，且有()sin sin q B θθ=-（θ是已知的） 展开得()sin sin cos cos sin tan sin cos tan q B B q B q B θθθθθ=-⇒=-又等腰三角形ABC 中，cos 22a q B c ==，sin B ⇒=5θ=代入得2152q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2122q t =>，代入平方整理得2284430t t -+=解得32t =或114t =（舍去），所以q =【点睛】此题考查了解三角形以及三角恒等变换的应用问题，考查了运算能力，属于中档题.。
重庆市学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
重庆市高2026届高一上期期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}0,2,4,6,8,10,1,0,1,2,3A B ==-，则A B = （）A.{}4,8 B.{}0,2,6 C.{}0,2 D.{}2,4,6【答案】C 【解析】【分析】根据交集概念进行求解.【详解】{}{}{}0,2,4,6,8,101,0,1,2,30,2A B =-= .故选：C2.全称量词命题“2,54x x x ∀∈+≠R ”的否定是（）A.2,54x x x ∃∈+=RB.2,54x x x ∀∈+=RC.2,54x x x ∃∈+≠RD.2,54x x x ∀∈+≠R 【答案】A 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“2,54x x x ∀∈+≠R ”否定是“2,54x x x ∃∈+=R ”.故选：A3.函数()3f x x =-的定义域为（）A.()1,-+∞ B.[)1,-+∞ C.[)1,3- D.[)()1,33,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据解析式的特征，直接列式即可得解.【详解】因为()3f x x =-，所以1030x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且3x ≠.所以函数的定义域是[)()1,33,-⋃+∞.故选：D.4.若函数)1fx =，则()f x 的解析式为（）A.()()20f x x x x =+≥ B.()()21f x x x x =+≥C.()()20f x x x x =-≥ D.()()21f x x x x =-≥【答案】D 【解析】【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数的定义域.【详解】令1t =+，则()21x t =-，1t ≥，因为)1fx +=+，所以()()()()22111f t t t t t t =--+=≥-，则()()21f x x x x =-≥，故选：D.5.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，当[]0,5x ∈时，函数()y f x =的图象如图所示，则使()0f x <的x 的取值集合为（）A.()3,5 B.()()5,30,3-- C.()5,3-- D.()()3,00,3- 【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的图象特征补全()f x 的图象，从而结合图象即可得解.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()y f x =在[]5,5-上的图象关于坐标原点对称，由()y f x =在[]0,5x ∈上的图象，知它在[]5,0-上的图象，如图所示，所以使()0f x <的x 的取值集合为()()5,30,3-- .故选：B.6.若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.112ab > B.111a b+≤ C.2≥ D.4194a b +≥【答案】D 【解析】【分析】根据特殊值以及基本不等式求得正确答案.【详解】当1,3a b ==时，3ab =，113ab =，1114133a b +=+=，所以112ab <，111a b+>2<，ABC 选项错误.()4114114544b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19544⎛≥+= ⎝，当且仅当2484,,,433a b b a a b a b a b =⎧===⎨+=⎩时等号成立，D 选项正确.故选：D7.设m 为给定的一个实常数，命题[]2:0,3,40p x x x m ∀∈-+≥，则“6m >”是“命题p 为真命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求出命题p 为真命题时4m ≥，进而判断出答案.【详解】由题意得24m x x ≥-+对[]0,3x ∀∈恒成立，其中()22424y x x x =-+=--+，故24y x x =-+在2x =处取得最大值，最大值为4，故4m ≥，即命题p 为真命题时4m ≥，由于64m m >⇒≥，但4m ≥⇒6m >，故则“6m >”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件.故选：A8.已知函数()f x 满足条件：()()()()()11,,2f f x y f x f y f x =+=⋅在R 上是减函数，若[]1,4x ∃∈，使()()216f x f mx ≤成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),5-∞ B.(],5-∞ C.(),4-∞ D.(],4∞-【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为24mx x ≤+能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解.【详解】因为()()()()11,2f f x y f x f y =+=⋅，所以()()()12114f f f =⋅=，()()()141622f f f =⋅=，所以()()216f x f mx ≤，可化为()()()()()22214164f mx f x f f x f x ≥==+⋅，因为()f x 在R 上是减函数，所以24mx x ≤+，所以问题转化为[]1,4x ∃∈，使24mx x ≤+成立，即4m x x ≤+，则max 4m x x ⎛⎫+ ⎪⎝≤⎭，因为对勾函数4y x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，所以当1x =或4x =时，4y x x=+取得最大值5，所以5m ≤，即(],5m ∈-∞.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列各项中，()f x 与()g x 表示的函数相等的是（）A.()(),f x x g x ==B.()()f x g x ==C.()()32,x f x x g x x== D.()()1,11,1,1x x f x x g x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩【答案】BD 【解析】【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.【详解】对于A ，()f x x =，定义域为R ，()||g x x ==，定义域为R ，但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A 错误；对于B ，由210x -≥得11x -≤≤，故()f x =[]1,1-，由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x -≤≤，故()g x =的定义域为[]1,1-，又两者对应法则相同，故两函数相等，故B 正确；对于C,()f x x =定义域为R ，3()x g x x =定义域为{|0}x x ≠，故两函数不相等，故C 错误；对于D ，1,1()11,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，()1,11,1x x g x x x -≥⎧=⎨-<⎩，两函数相等，故D 正确.故选：BD.10.若集合()20,,5x A x B a x ∞⎧⎫-=<=+⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 可能是（）A.3- B.1C.2D.5【答案】ABC 【解析】【分析】解不等式求得集合A ，根据A B ⊆求得a 的取值范围，进而求得正确答案.【详解】由205x x -<-解得25x <<，所以()2,5A =，由于A B ⊆，所以2a ≤，所以ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC11.下列说法正确的是（）A.函数4(0)y x xx=+<的最大值是4- B.函数2y =的最小值是2C.函数16(2)2y x x x =+>-+的最小值是6 D.若4x y +=，则22x y +的最小值是8【答案】ACD 【解析】【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，对于函数4(0)y x x x=+<，()444x x x x ⎡⎤+=--+≤--⎢-⎣⎦，当且仅当4,2x x x -==--时等号成立，所以A 选项正确.B 选项，22y ==≥=，=B 选项错误.C 选项，对于函数16(2)2y x x x =+>-+，20x +>，1616222622x x x x +=++-≥-=++，当且仅当162,22x x x +==+时等号成立，所以C 选项正确.D 选项，由基本不等式得22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以222222282x y x y +⎛⎫≥⨯=⨯= ⎪⎝⎭+，当且仅当2x y ==时等号成立，所以D 选项正确.故选：ACD12.德国数学家狄里克雷（Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805～1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（）A.()00D = B.()D x 的值域为{}0,1C.()D x 图象关于直线1x =对称 D.()D x图象关于点12⎫⎪⎭对称【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项可根据题意直接得到，C 可分x 为有理数和无理数两种情况推导；D 选项，可举出反例.【详解】A 选项，因为0为有理数，故()01D =，A 错误；B 选项，由题意得()D x 的值域为{}0,1，B 正确；C 选项，当x 为有理数时，()1D x =，此时()D x 图象关于直线1x =对称，当x 为无理数时，()0D x =，此时()D x 图象关于直线1x =对称，综上，()D x 图象关于直线1x =对称，C 正确.D 选项，由于()()01,21D D ==，且()()0,1,2,1不关于12⎫⎪⎭对称，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设函数3,0()6,0x x f x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则((3))f f -=__________．【答案】6【解析】【分析】代入分段函数解析式求解即可.【详解】由题意，()()()63263f f f f ⎛⎫-=-== ⎪-⎝⎭.故答案为：614.重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是_________．【答案】69%【解析】【分析】根据集合的知识求得正确答案.【详解】设只喜欢“大阅读”的有x 人，两者都喜欢的有y 人，只喜欢“科技嘉年华”的有z 人，则0.960.780.87x y z x y y z ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得0.69y =.故答案为：69%15.已知实数()111,3,,84a b ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，则a bb +的取值范围是_________．【答案】()5,25【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可得解.【详解】因为11,84b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以148b <<，又(1,3)a ∈，所以424a b <<，故5125ab<+<所以1a b ab b+=+的取值范围为()5,25.故答案为：()5,25.16.已知函数()220x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，，若关于x 的方程()()0f f x =有8个不同的实根，则a 的取值范围__________.【答案】()8,+∞【解析】【分析】先讨论0a ≤，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论0a >，画出()f x 的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果.【详解】若0a ≤，当0x <时，()20f x x a =+<恒成立；当0x ≥时，由()()20f x x ax x x a =-=-=得0x =；即()0f x =仅有0x =一个根；所以由()()0ff x =可得()0f x =，则0x =；即方程()()0f f x =仅有一个实根；故不满足()()0ff x =有8个不同的实根；若0a >时,画出()2200x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，的大致图象如下，由()()0f f x =可得()12f x a =-，()20fx =，()3f x a =，又()()0ff x =有8个不同的实根，由图象可得，()20f x =显然有三个根，()3f x a =显然有两个根，所以()12f x a =-必有三个根，而20a -<，2222244a a a y x ax x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，为使()12f x a =-有三个根，只需224a a ->-，解得8a >；综上可知，8a >.故答案为：()8,+∞.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．17.设m ∈R ，集合{}2280A x x x =--≤，{}2B x m x m =≤≤+．（1）若3m =，求()R A B ð；（2）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23x x -≤<（2）()(),44,∞∞--⋃+【解析】【分析】（1）解不等式得到{}24A x x =-≤≤和R B =ð{3x x <或}5x >，利用交集概念求出答案；（2）根据交集为空集得到不等式，求出实数m 的取值范围.【小问1详解】{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，3m =时，{}35B x x =≤≤，故R B =ð{3x x <或}5x >，故(){}R 24A B x x ⋂=-≤≤ð{3x x ⋂<或}5x >{}23x x =-≤<；【小问2详解】显然B ≠∅，因为A B ⋂=∅，所以22m +<-或4m >，解得4m <-或4m >，故实数m 的取值范围为()(),44,∞∞--⋃+.18.已知函数()21f x ax bx =++（,a b 为实数），()10f -=，且_________．请在下列三个条件中任选一个，补充在题中的横线上，并解答.①()()31f f -=；②()f x 的值域为[)0,∞+；③()0f x <的解集为∅；（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②③，答案均为()221f x x x =++（2）(][),26,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）选①，得到方程组求出1a =，2b =，求出解析式；选②，根据函数值域及()10f -=得到方程组，求出解析式；选③，由二次函数图象分析得到20Δ40a b a >⎧⎨=-≤⎩，结合()10f -=得到1a =，2b =，求出答案；（2）转化为()()221g x x k x =+-+在[]2,2x ∈-上单调，结合函数对称轴得到不等式，求出答案.【小问1详解】选①，()()31f f -=，因为()10f -=，所以109311a b a b a b -+=⎧⎨-+=++⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，故()221f x x x =++；选②，()f x 的值域为[)0,∞+，即2404a b a-=由于()10f -=，所以10a b -+=，解得12a b =⎧⎨=⎩，故()221f x x x =++；选③，()0f x <的解集为∅，故20Δ40a b a >⎧⎨=-≤⎩，由于()10f -=，所以10a b -+=，即1b a =+，故()()221410a a a +-=-≤，解得1a =，故2b =，解析式()221f x x x =++.【小问2详解】()()221g x x k x =+-+在[]2,2x ∈-上单调，其中()()221g x x k x =+-+的对称轴为22k x -=，故需满足222k -≥或222k -≤-，解得6k ≥或2k ≤-，故实数k 的取值范围是(][),26,-∞-+∞ .19.已知函数()()()221,12ax b x f x g x f x x x ++==⋅++．若()f x 为R 上的奇函数且()112f =.（1）求,a b ；（2）判断()g x 在(),2-∞-上的单调性，并用单调性的定义证明.【答案】（1）1a =，0b =；（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的函数式，利用奇函数的定义求出b ，由()112f =求出a 即得.（2）由（1）求出()g x 并判断单调性，再利用定义证明即得.【小问1详解】由()f x 为R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，即22()011a xb ax b x x -+++=++，则2201b x =+，解得0b =，又()112f =，则21(1)112a f ==+，解得1a =，所以1a =，0b =.【小问2详解】由（1）知2()1x f x x =+，则212()()1222x x g x f x x x x +=⋅==-+++，函数()g x 在(),2-∞-上的单调递增，()12,,2x x ∞∀∈--，121221122()22()()22(2)(2)x x g x g x x x x x --=-=++++，因为122x x <<-，则1220,20x x +<+<，120x x -<，有12122()0(2)(2)x x x x -<++，即12()()<g x g x ，所以函数()g x 在(),2-∞-上的单调递增.20.我校在一个月内分批购入每张价值为200元的书桌共360张，若每批都购入x 台（x 是正整数），且每批均需付运费400元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比.若每批购入40张书桌，则该月需用的运费和保管费共5200元．（1）求该月购入书桌时需用的运费和保管费的总费用()f x ；（2）为使得该月购入书桌所需的运费和保管费最少，应如何安排每批进货的数量？【答案】（1）()36040040f x x x=⨯+，*Z x ∈（2）每批进货的数量为60【解析】【分析】（1）假设题中比例为k ，由题意列出()f x 关于k 的表达式，再代入已知条件求得k ，从而得解.（2）结合（1）中解析，利用基本不等式即可得解.【小问1详解】设题中的比例系数设为k ，每批购入x 台，则共需分360x 批，每批书桌价值200x 元，则()360400200f x k x x =⨯+⨯，*Z x ∈，因为当40x =时，5200y =，所以36040020040520040k ⨯+⨯⨯=，解得15k =，所以()36040040f x x x =⨯+，*Z x ∈.【小问2详解】由（1）可得：()036040040480f x x x =≥=⨯+（元）当且仅当36040040x x⨯=，即60x =时，等号成立，所以每批进货的数量为60.21.已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．（1）若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值；（2）若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．【答案】（1）a ＝﹣1，b ＝2（2）见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；【小问2详解】当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0，即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-；当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.22.对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“最美区间”.（1）求函数()2f x x =的“最美区间”；（2）若()f x k =存在最美区间[],a b 函数，求实数k 的取值范围．【答案】（1）[]0,1（2）9,4a ⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）推导出0a ≥，0b >，结合()f x 在[],a b 上单调递增，得到()f b b =，()f a a =，求出0a =，1b =，得到答案；（2）根据()f x k =+在[)2,-+∞上单调递增，得到()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，转化为,a bk x =在[)2,-+∞上两个不等的实根，且k a b ≤<，平方后，数形结合得到不等式，求出实数k 的取值范围.【小问1详解】因为()20f x x =≥，()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，故0a ≥，因为a b <，所以0b >，故()f x 在[],a b 上单调递增，所以()f b b =，即2b b =，解得1b =或0（舍去），所以1a <，同理()f a a =，解得0a =或1（舍去），综上，()2f x x =的“最美区间”是[]0,1；【小问2详解】令20x +≥，解得2x ≥-，故()f x k =的定义域为[)2,-+∞，且()f x k =在[)2,-+∞上单调递增，故()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，k a k b==，即,a b为方程k x =在[)2,-+∞上两个不等的实根，且k a b ≤<，x k =-，两边平方得()222120x k x k -++-=，令()()22212g x x k x k =-++-，需满足()()()222122Δ2142020k x k k g k a +⎧=>-⎪⎪⎪=+-->⎨⎪-≥⎪⎪≤⎩，解得94k a -<≤，故实数k 的取值范围是9,4a ⎛⎤- ⎥⎝⎦．。
2019-2020学年重庆八中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年重庆八中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合U ={1,2，3，4，5，6}，A ={1,3，5}，B ={3,4，5}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {2,6}B. {3,6}C. {1,3，4，5}D. {1,2，4，6} 2. 函数f(x)=a x (a >2) 恒过定点( )A. (1,0)B. (0,1)C. (1,1)D. (1,a ) 3. 已知f(x +1)=x 2−2x +2，则f(1)=( )A. 2B. 1C. 0D. −24. 设函数f(x)={x,(x >0)−x 3,(x ≤0)，若f(a)=8，则a =( )A. −8或−2B. −2或2C. −8或2D. −2或8 5. 下列函数中与y =x 图像完全相同的是( )A. y =√x 2B. y =x 2xC. y =a log a xD. y =log a a x6. 法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部分对数表中，16和256对应的幂指数分别为4和8，幂指数的和为12，而12对应的幂为4096，因此16×256=4096.根据此表，推算128×1024=( )x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y =2x 24 8 16 32 64 128 256 512 1024 x11121314151617181920y =2x 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 10485767. 函数f(x)=−3|x|+1的图象大致是( )A.B.C.D.8. 设a =lge,b =(lge)2,c =lg √e ，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足条件；①对任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)；②对任意的x 1<x 2，且x 1,x 2∈[0,2]，都有f(x 1)<f(x2)；③对任意的x ∈R ，都有f(x +2)=f(2−x)；则下列结论正确的是( )A. f(4.5)<f(7)<f(6.5)B. f(7)<f(4.5)<f(6.5)C. f(4.5)<f(6.5)<f(7)D. f(7)<f(6.5)<f(4.5)10. 函数f(x)=ln(x 2−3x +2)的单调递增区间为( )A. (32,+∞) B. (−∞,32)C. (2,+∞)D. (−∞,1)11. 已知偶函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，则关于x 的不等式xf(x)<0的解集是( )A. (−2,2)B. (−2,0)∪(0,2)C. (−2,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)12. 已知函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ⩽−1)，若a <b,f(a)=f(b),则实数a −2b 的取值范围为( )A. (−∞,1e −1)B. (−∞,−1e ]C. (−∞,−1e −2)D. (−∞,−1e −2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合M ={2,3，5}，集合N ={3,4，5}，则M ∪N =______． 14. 函数y =2−x2x+1的值域是________．15. 已知f(x)=g(x)+2函数．g(x)是定义在R 上的奇函数，若f(2019)=2019，则f(−2019)=_________．16. 已知函数f(x)={x 2−4x +5,x ≤2log 12(x −1)+1,x >2，若f(a 2−3a)>f(2a −6)，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 求值或化简：(1)log 2√2+log 927+3log 316； (2)0.25−2+(827)−13−12lg16−2lg5+(12)0．18. 已知集合A ={x|3≤x ≤7}，B ={x|2<x <10}，C ={x|x <a}，全集为实数集R ．(1)求A ∪B ，(∁R A)∩B ；(2)如果A ∩C =A ，求实数a 的取值范围．19. 已知函数f(x)=x 2+2ax +3，x ∈[−4,6](1)当a =−2时，求f(x)的最值．(2)求实数a 的取值范围，使y =f(x)在区间[−4,6]上是单调函数． (3)当a =1时，求f(|x|)的单调区间．20. 已知函数f(x)={x +2,(x ≤−1)x 2,(−1<x <2)2x,(x ≥2)．(Ⅰ)求f(−3)，f(4)，f(f(−2))的值； (Ⅱ)若f(m)=8，求m 的值．21. 已知函数f(x)=−x 3+3x 2+9x +a.若f(x)在区间[−2,2]上的最大值为20，求实数a 的值．22.已知指数函数y=g(x)满足g(2)=16，定义域为R的函数f(x)=c−g(x)是奇函数．d+4g(x)(1)求函数y=g(x)，y=f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈(2,5)，不等式f(3t−2)+f(k−2t)>0恒成立，求实数k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∁U A ={2,4，6}，∁U B ={1,2，6}； ∴(∁U A)∩(∁U B)={2,6}． 故选：A ．进行补集、交集的运算即可．考查列举法表示集合的概念，以及补集、交集的运算．2.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了指数函数的恒过定点的问题，属于基础题． 令x =0，求得f(0)=1，可得函数的图象恒过的点的坐标． 【解答】解：令x =0，a 0=1即f(0)=1， f(x)=a x (a >2)恒过定点为(0,1)． 故选B ．3.答案：A解析： 【分析】本题考查了根据函数的解析式求值，属于基础题.由题意得f(1)=f(0+1)，代入即可求解． 【解答】解：因为f(x +1)=x 2−2x +2， 所以f(1)=f(0+1)=0−0+2=2， 故选A ．4.答案：D解析：解：函数f(x)={x(x >0)−x 3(x ≤0)，若f(a)=8，x >0时a =8，成立．x ≤0时，−a 3=8，解得a =−2，所以a=8或−2．故选：D．直接利用函数的解析式求解即可．本题考查函数的零点分段函数的应用，基本知识的考查．5.答案：D解析：【解答】选项A中，y=√x2=|x|，所以两函数的解析式不同，故两函数的图象不同。
2024-2025学年重庆八中高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆八中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x∈R，x2−x+1>0”的否定是( )A. ∃x∈R，x2−x+1>0B. ∃x∈R，x2−x+1≤0C. ∀x∈R，x2−x+1>0D. ∀x∈R，x2−x+1≤02.已知全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥3}，则A∩∁U B=( )A. {4,5}B. {3,4,5}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}3.下列各组函数表示同一函数的是( )A. f(x)=1，g(x)=xB. f(x)=x,g(x)=x2xC. f(x)=x,g(x)=3x3D. f(x)=x2,g(x)=(x)24.已知函数f(x)=ax2+bx+c，若a>b>c，且a+b+c=0，则函数f(x)的图象可能是( )A. B. C. D.5.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[2]=2，[−1.2]=−2，则“x>y”是“[x]>[y]”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.对任意两个实数a，b，定义min{a,b}={a,a≤bb,a>b，若f(x)=2−x2，g(x)=x2−2，则下列关于函数m(x)=min{f(x),g(x)}的说法错误的是( )A. 函数m(x)是偶函数B. 方程m(x)=−2有两个根C. 不等式m(x)>−x的解集为(1,2)D. 函数m(x)的值域为(−∞,0])<f(−2)，则实数x的取值7.已知函数f(x)是定义在[−4,a−1]上的偶函数，在[−4,0]上单调递增.若f(x+a5范围是( )A. (−∞,−3)∪(1,+∞)B. (−3,1)C. [−5,−3)∪(1,3]D. [−3,1)∪(3,5]8.对于函数f(x)，若存在x0∈R，f(x0)=x0，则称x0为f(x)的不动点.若函数f(x)=mx2+(n−1)x+n−8对∀n∈R恒有两个相异的不动点，则实数m的取值范围是( )A. (−∞,0]∪[6,+∞)B. (−∞,0)∪(6,+∞)C. (0,6]D. (0,6)二、多选题：本题共3小题，共18分。
重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足2(1i)2z -=，则2024z =（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．用斜二测画法画水平放置的ABC V 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''．已知点O '是斜边B C ''的中点，且2O A ''=，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．3．当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角θ与飞机的速度v 、音速c 满足关系式sin2cvθ=.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点30m 处的截面圆面积为（ ）A ．2100πmB ．2300πmC ．2600πmD ．2900πm4．在△ABC 中，3AB =，4BC =，60B ∠=o ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．12B ．6C ．6-D ．12-5．某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别()1221m,m a a a a >，两次观测时镜子间的距离为m a ，人的“眼高”为m h ，则建筑物的高度为（ ）A ．21m aha a - B ．()21m a a h a -C ．()21m a a a h -D ．221m ah a a - 6．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，2AE ED =u u u r u u u r，则BE =u u u r （ ）A ．5166AB AC -+u u ur u u u rB ．1566AB AC --u u ur u u u rC ．5166AB AC --u u ur u u u rD ．1566AB AC -+u u ur u u u r7．已知0ω>，函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()π2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω为（ ）A ．43B ．83C ．4D ．2038．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且()223S a b c =--，则bc 的取值范围为（ ）A ．725,257⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,25∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2425,2524⎛⎫⎪⎝⎭D ．24,25∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、多选题9．用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ） A ．四棱台B ．四棱柱C ．三棱柱D ．三棱锥10．设1z ，2z 为复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z -≤+C ．若11z 为虚数，则1z 也为虚数D ．若1i 1z +=，则1z 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，其外接圆半径为R ，内切圆半径为1r =，满足cos cos cos 3Ra Ab Bc C ++=，△ABC 的面积3ABC S =V ，则（ ） A ．6a b c ++= B ．1sin 2sin 2sin 26A B C ++=C ．R =D ．sin sin sin A B C ++=三、填空题12．已知a r ，b r 是两个不共线的向量，若m a kb =-r r r与23n a b =+r r r 共线，则实数k 的值为.13．如图所示，已知6AB =，10BC =，120ABC ∠=o ，将这个三角形以AB 所在直线为轴旋转180o 得到一个几何体，则该几何体的表面积为．14．在ABC V 中，1621b c =，60A =︒四、解答题15．已知()()2229xf x a a a b =--⋅+-（0a >且1a ≠）是指数函数．(1)求关于x 的不等式()()0.5log 23f x a b a -+->的解集； (2)函数()()()242F x f x f x =--在区间[)1,2-上的值域．16．在直角梯形ABCD 中，已知//AB DC ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E ，F 分别在线段BC 和DC 上，线段AE 和BF 相交于点M ，且B E B C λ=u u r uu r ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r，R λ∈． (1)当3AE BF ⋅=-u u u r u u u r时，求λ的值；(2)当23λ=时，求FMMB的值； 17．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π4AOB ∠=，弓形花园的弦长AB =π,4M MAB MBA ∠∠==，设ππ,42OBA ∠θθ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)将,OA OB 用含有θ的关系式表示出来；(2)该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计,OA OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？18．已知函数()()sin 1f x x ωϕ=+-（0ω>，0πϕ<<）的图像两相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图像上每个点先向左平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数()g x 为偶函数． (1)求()f x 的解析式；(2)若对任意π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2220f x m f x m ⎡⎤-+++≤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若函数()()21h x f x =+的图像在区间[],a b （a ，b ∈R 且a b <）至少有10个零点，在所有满足条件的区间[],a b 中，求b a -的最小值． 19．已知,,a b c 分别是ABC V 对边，且cos πsin 2cos 6A C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．点P 为三角形内部一点，且满足BPA ∠=120APC CPB ∠=∠=︒． (1)求角B ；(2)若()226b a c --=，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 的值；(3)若b =PA PB PC -+的最小值．。
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重庆八中2013—2014学年度(上)半期考试高一年级数 学 试 题数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）集合{1,2,3,4}U =，{1,2}M =，{2,3}N =，则()U C M N =U（A ）{2}（B ）{4}（C ）{1,2,3}（D ）{1,3,4}（2）下列函数中，与函数y x =有相同图象的是（A ）y （B ）2y =（C ）y（D ）2x y x=（3）“0a =”是“(2)0a a -=”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）函数223xxy -=的单调递增区间为 （A ）(,0)-∞（B ）(,1)-∞（C ）(1)+∞，（D ）(2)+∞，（5）函数y =（A ）3()2+∞， （B ）3(,2]2（C ）[2)+∞，（D ）3(,2)(2)2+∞U ，（6）已知32x=，39log 4y =, 则2x y +的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）9（7）已知0.1 1.35log 0.3,5,0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（A ）a b c << （B ）b c a << （C ）c a b <<（D ）a c b <<（8）设10<<a ，在同一直角坐标系中，函数xay -=与)(log x y a -=的图象是（9）设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，又(1)0f -=，则()0xf x <的解集是（A ）(1,1)-（B ）(1,)+∞ （C ）(1,0)(1,)-+∞U（D ）(,1)(0,1)-∞-U（10）不等式22121log ()2x x x x ->-+的解集为（A ）1313⎫⎛-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U（B ）1313⎛⎫-+-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U（C ）13⎫-⎪⎪⎝⎭（D ）13⎛+ ⎝⎭二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上（11）已知3(0)()4(0)5(0)x f x x x >⎧⎪==⎨⎪<⎩，则[](1)f f -=_______.（12）二次函数223x y x -+=在区间[0,3]的最大值为 .（13）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x =-，则当0x <时，()f x = ____ .（14）函数1()(0)1x f x x x -=≥+的值域是 . （15）设定义在R 上的函数1(0)()lg (0)x f x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有3个不同的实数解321,,x x x ，则222123x x x ++= .三. 解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （16）（本小题满分13分） 已知集合{}220A x x x =+-≤，{}21B x a x a =≤≤+.若B A ⊆，求实数a 的取值范围.（17）（本小题满分13分）解关于x 的不等式219x x ++-<.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．） 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C ). （Ⅰ）求y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w 最大？最大利润是多少？（19）（本小题满分12分，（I ）小问6分，（II ）小问6分）设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意实数,x y 均有()()()f x y f x f y -=-.（Ⅰ）求(0)f ，并证明()f x 是R 上的奇函数；（Ⅱ）若(1)2f =，解关于x 的不等式()(8)4f x f x --≤.（20）（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）设函数())f x x a R =+∈.4 8（Ⅰ）若1a =，求()f x 的值域；（Ⅱ）若不等式()2f x ≤对[8,3]x ∈--恒成立，求实数a 的取值范围.（21）（本题满分12分，（I ）小问4分，（II ）小问8分）已知函数4()log (4)4mx f x x x -=>+,01m <<. （Ⅰ）判断()f x 在定义域上的单调性，并用定义法证明；（Ⅱ）若存在4βα>>使得()f x 在[],αβ上的值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，求m 的取值范围.重庆八中2013—2014学年度(上)半期考试考高一年级数学试题参考答案【10】令2u x x =-，不等式221122log ()log 22x x x x u u ->-+⇔>+.在同一直角坐标系中画函数112log y x =和212y x =+的图象，由图象可知满足12y y >的x 的范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，即要求2102u x x <=-<，解得x ⎫⎛∈⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ，故选A. 二、填空题：11.3 12.613.21x +-14.[)1,1-15.200【15】由函数1(0)()lg (0)x f x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩的图象知，满足()1f x =的x 有3个为110x =-，20x =，310x =；而对任意1u ≠，满足()f x u =的x 均有2个. 令()u f x =，方程0)()(2=++c x bf x f20u bu c ⇔++=. 由于方程0)()(2=++c x bf x f 恰有3个不同的实数解，所以20u bu c ++=只能有唯一解1u =，即()1f x =，所以()22222212320010010x x x ++=++=-. 三、解答题：【16】解：{}21A x x =-≤≤...........................(3分)A B B B A =⇔⊆I ,..................................(4分) 当21a a >+即1a >时，B =∅，满足B A ⊆.............(7分)当1a ≤时，若B A ⊆则221011a a a ≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩............(12分)综上，a 的取值范围为[]()1,01,-+∞U ......................(13分) 【17】解：219x x ++-<⇔2(2)(1)9x x x ≤-⎧⎨-+--<⎩或21(2)(1)9x x x -<<⎧⎨+--<⎩或1(2)(1)9x x x ≥⎧⎨++-<⎩.... (6分) 解得52x -<≤- 或21x -<< 或14x ≤<................(12分) 即原不等式的解集为()5,4-............................................(13分) 【18】解：（Ⅰ）当0 < x ≤ 20时，y = 8000......... (2分)当20 < x ≤40时，设BC 满足的函数关系式为y = kx + b ，则⎩⎨⎧20k + b = 8 00040k + b = 4 000，解得k = −200，b = 12 000，∴y = −200x + 12 000......... (5分) 所以8000(020)20012000(2040)x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩..................... (6分)（Ⅱ）当0 < x ≤20时，老王获得的利润为w = (8000 − 2800)x =5 200x ≤104 000，此时老王获得的最大利润为104 000元........................ (8分) 当20 < x ≤40时，老王获得的利润为w = (−200x + 12 000 − 2800)x = −200(x 2 − 46x ) = −200(x − 23)2+ 105 800， 所以，当x = 23时，利润w 取得最大值，最大值为105 800元....... (11分)因为105 800 > 104 000，所以当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105 800元.................................. (13分) 【19】解：（Ⅰ）令x y =得(0)0f =.............................. (2分)令0x =得，对任意实数y 有()(0)()()f y f f y f y -=-=-，故()f x 是R 上的奇函数........................................................... (6分)（Ⅱ）令1,1x y ==-得(2)(1)(1)(1)(1)4f f f f f =--=+=.............. (8分)[]()()(8)4(8)(2)28(2)f x f x f x x f f x f --≤⇔--≤⇔-≤，由()f x 是R 上的增函数知()28(2)282f x f x -≤⇔-≤，解得(],5x ∈-∞...(12分)【20】解：（I ）1a =时()f x x =21x t =-，则()2215()1(0)24y f x t t t t ⎛⎫==-+=--+≥ ⎪⎝⎭，故5,4y ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦........... (5分)（II）令t =2()1y f x t at ==-++，则不等式()2f x ≤对[8,3]x ∈--恒成立212t at ⇔-++≤对[2,3]t ∈恒成立...(7分) （法一）：1a t t⇔≤+对[2,3]t ∈恒成立，令1()g t t t =+，[2,3]t ∈，由鞍性函数图象性质知min 5()(2)2g t g ==， 所以min 5()2a g t ≤=即a 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.......................... (12分)（法二）：210t at ⇔-+≥对[2,3]t ∈恒成立，令2()1g t t at =-+，[2,3]t ∈， ()g t 的对称轴为2at =. 若22a<即4a <，min()(2)52g t g a ==-，由min45()5202a a g t a <⎧⇒≤⎨=-≥⎩， 若232a ≤≤即46a ≤≤，2min ()()124a a g t g ==-，由2min 46()104a a a g t ≤≤⎧⎪⇒∈∅⎨=-≥⎪⎩， 若32a>即6a >，min ()(3)103g t g a ==-，由min 6()1030a a g t a >⎧⇒∈∅⎨=-≥⎩， 综上，a 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦...................................... (12分)【21】解：（I ）()f x 是()4,+∞上的单调减函数......................... (1分)下用定义法证明：任取124x x <<，12121244()()log log 44m m x x f x f x x x ---=-++， 而12124444x x x x ---++()()()()()()()()()1212121212444484444x x x x x x x x x x -+-+--==++++， 124x x <<Q ，120x x ∴-<，121244044x x x x --∴-<++即12124444x x x x --<++， 又01m <<，121244log log 44m m x x x x --∴>++， 即12()()0f x f x ->，所以()f x 是()4,+∞上的单调减函数.............. (4分) （II ）若()f x 在[],αβ上的值域为[]log (1),log (1)m m m m βα--，由()f x 在()4,+∞上是减函数知4()log log (1)44()log log (1)4m m mm f m f m ββββαααα-⎧==-⎪+⎪⎨-⎪==-⎪+⎩，即22(31)4(1)0(31)4(1)0m m mm m mββαα⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩，即方程2(31)4(1)0mx m x m+---=有两个大于4的不相等实根，所以2012522103142(4)240mm mmmf m<<⎧⎪∆=-+>⎪⎪⎨-->⎪⎪=>⎪⎩，解得0m<<........(12分)。