《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习

《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习
【基础练习】
一、选择题
1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2
+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）
A.1
B.﹣1
C.0
D.无法确定 2．一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2=14 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x +3）2=14 D ．（x +3）2=4
3．某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A ．2% B ． 5% C ． 10% D ． 20%
4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2
+q 的形式（ ）
A.（x-2）2+3
B.（x+2）2-4
C.（x+2）2-5
D.（x+2）2
+4 5．若关于x 的一元二次方程2
210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠0 6．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2
，则原来铁片的面积是( )
A.64 cm 2
B.100 cm 2
C.121 cm 2
D.144 cm 2
7．若t 是一元二次方程的根，则判别式
和
完全平方式
的关系是( )
A.△=M
B. △＞M
C. △＜M
D. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ．
B ．
C ．
且
D ．
且
二、填空题
9．已知关于x 的方程x 2+x +2a ﹣1=0的一个根是0，则a= ．
10．有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积
是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．
11．关于x 的一元二次方程22
(1)10a x x a -++-=有一个根为0，则a = .
12．阅读材料：设一元二次方程似2
0ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-
，12c
x x a
=g ，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2
630x x ++=的两实数根，则
21
12
x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.
14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2
-3x-2＝0的两个实数根，则22
11223x x x x ++的值
为______．
15．问题1：设a 、b 是方程x 2
＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2
＋2a ＋b 的值为 ；
问题2：方程x 2
－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝ ；
问题3：已知一元二次方程x 2
－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2
（x 1＋x 2）＝3，则m 的值是 ；
问题4：已知一元二次方程x 2
-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 .
16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 . 三、解答题
17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.
18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从
十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其
图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160
元？
【提高练习】
一、选择题
1. 关于x 的一元二次方程（a －1）x 2
＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）
A.－1
B.0
C.1
D.－1或1 2．已知a 是方程x 2
+x ﹣1=0的一个根，则
22
21
1a a a
---的值为（ ） A.152
-+
B.152
-± C.﹣1
D.1
3．若一元二次方程x 2
+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ． a≤4 C ． a≤1 D ． a≥1 4．已知关于x 的方程2
(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（ ）
A ．2m ≠
B ．6m ≤且2m ≠
C ．6m <
D ．6m ≤
5．如果是α、β是方程2
234x x +=的两个根，则2
2
αβ+的值为（ ）
A ．1
B ．17
C ．6.25
D ．0.25
6．有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A ．x （x ﹣1）=45
B ．x （x +1）=45
C ．x （x ﹣1）=45
D ．x （x +1）=45
7. 方程x 2
+ax+1=0和x 2
-x-a=0有一个公共根，则a 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 若关于x 的一元二次方程的两个实数根分别是，且满
足
．则k 的值为（ ） A.－1或 B.－1 C.
D.不存在
二、填空题
9．关于x 的方程2
()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a
≠0），则方程2
(2)0a x m b +++=的解是 .
10．已知关于x 的方程x 2
+2(a+1)x+(3a 2
+4ab+4b 2
+2)＝0有实根，则a 、b 的值分别为 ．
11．已知α、β是一元二次方程2
430x x --=的两实数根，则(α-3)(β-3)__． 12．当m=_________时，关于x 的方程
是一元二次方程；当
m=_________时，此方程是一元一次方程.
13．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2
=n 的形式是____________；若多项
式x 2
-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 14．（2015•绥化）若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣1=0无解，则a 的取值范围是 . 15．已知
，那么代数式
的值为________.
16．当x=________时，既是最简二次根式，被开方数又相同.
三、解答题
17.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（2m +1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．
18．设(a ，b)是一次函数y ＝(k-2)x+m 与反比例函数n
y x
=
的图象的交点，且a 、b 是关于x 的一元二次方程2
2(3)(3)0kx k x k +-+-=的两个不相等的实数
根，其中k为非负整数，m、n为常数．
（1）求k的值；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式．
19. 长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房
地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠?
20．已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元. (1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.
【基础答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选B．
2.【答案】A
【解析】x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．3.【答案】D；
【解析】设平均每月增长的百分率为x，
根据题意，得50（1+x）2=72，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
故选D．
4.【答案】C；
【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计
算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．
5.【答案】D；
【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，
即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；
【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，
即正方形面积为64 cm2.
7.【答案】A；
【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.
8．【答案】B；
【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程. 二、填空题
9.【答案】．
【解析】根据题意得：0+0+2a﹣1=0，解得a=．
10．【答案】15m，10m；
【解析】设留空宽度为xm，则（20﹣2x）（15﹣2x）=20×15×，
整理得：2x2﹣35x+75=0，即（2x﹣5）（x﹣15）=0，
解得x1=15，x2=2.5，
∵20﹣2x＞0，∴x＜10，
∴x=2.5，
∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．
∴地毯的长、宽分别为15m和10m．
11．【答案】-1；
【解析】把x=0代入方程得1
a=±,因为10
a-≠，所以1
a=-. 12．【答案】10；
【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式21
12
x x
x x
+变形为
222
121212
1212
()2
x x x x x x
x x x x
++-
=，再整体代
换．
具体过程如下：由阅读材料知 x1+x2＝-6，x1x2＝3．
而
2222
21121212
121212
()2(6)23
10
3
x x x x x x x x
x x x x x x
++---⨯
+====．
13．【答案】3和5或-3和-5；
【解析】注意不要丢解.
14．【答案】7；
【解析】∵ x1，x2是一元二次方程2320
x x
--=的两实数根，
∴ x1+x2＝3，x1x2＝-2
∴
2222
22112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+-=
15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=3
4
.
【解析】由于a ，b 是方程x 2
+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，
并且a 2+a-2012=0，然后把a 2+2a+b 可以变为a 2
+a+a+b ，把前面的值
代入即可求出结果． 16．【答案】50%； 【解析】
设该校捐款的平均年增长率是x ，
则，
整理，得，
解得
，
答：该校捐款的平均年增长率是50%.
三、解答题
17.【答案与解析】
设原两位数的十位数字为x ，则个位数字为（5－x ）， 由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x ］=736. 整理,得x 2
－5x+6=0,解得x 1=2,x 2=3. 当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23. 当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.
18.【答案与解析】
设这两个月的平均增长率是x ．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x )2
＝193.6，
即(1+x )2
＝1.21，解这个方程，得x 1＝0.1，x 2＝－2.1（舍去）． 答：这两个月的平均增长率是10%． 19.【答案与解析】
解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2
﹣（2m+3）x+m 2
+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m 2
+2）≥0，
∴m≥﹣
；
（2）根据题意得x 1+x 2=2m+3，x 1x 2=m 2+2，
∵x 12+x 22
=31+|x 1x 2|，
∴（x 1+x 2）2
﹣2x 1x 2=31+|x 1x 2|，
即（2m+3）2﹣2（m 2+2）=31+m 2
+2， 解得m=2，m=﹣14（舍去）， ∴m=2．
20.【答案与解析】
⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元） ⑵ ①依题意得：（100－80－x ）（100+10x ）＝2160 即x 2
－10x+16=0 解得：x 1=2,x 2=8
经检验：x 1=2,x 2=8都是方程的解，且符合题意.
答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元. ②依题意得：y=（100－80－x ）（100+10x ） ∴y= －10x 2
+100x+2000=－10(x －5)2
+2250 画草图（略）
观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160
∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．
【提高答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A ；
【解析】先把x ＝0代入方程求出a 的值，然后根据二次项系数不能为0，把a ＝1舍去． 2．【答案】D ； 【解析】先化简
22
211a a a
---，由a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，得a 2
+a ﹣1=0，则a 2
+a=1，
再整体代入即可．
解：原式=2(1)(1)(1)a a a a a -++-=1
(1)
a a +，
∵a 是方程x 2
+x ﹣1=0的一个根，
∴a 2
+a ﹣1=0，
即a 2
+a=1， ∴原式=
1
(1)
a a +=1．
故选D ．
3．【答案】C ；
【解析】∵ 关于x 的一元二次方程有实根，
∴ △=b 2
﹣4ac=4﹣4a≥0， 解之得a≤1． 故选C ．
4.【答案】D ；
【解析】△≥0得6m ≤，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根. 5．【答案】C ； 【解析】2
2
+=+-=6.25αβαβαβ2
（）2.
6.【答案】A ．
【解析】∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x （x ﹣1）， ∴共比赛了45场， ∴x （x ﹣1）=45，
故选A ．
7．【答案】C ；
【解析】提示：先求公共根m=-1,再把这个公共根m=-1代入原来任意一个方程可求出a=2. 8．【答案】C ； 【解析】由题意，得：
22
1212111k k k k x x x x k ⎧⎪⎧⎪=-=-⎨⎨
+=⎩⎪=-⎪⎩V 4≤≥045 当时，不符合≤，舍去，故35或
4
.
二、填空题 9．【答案】x 1=﹣4，x 2=﹣1．
【解析】解：∵关于x 的方程a （x +m ）2
+b =0的解是x 1=﹣2，x 2=1，（a ，m ，b
均为常数，a ≠0），
∴则方程a （x+m +2）2
+b =0的解是x 1=﹣2﹣2=﹣4，x 2=1﹣2=﹣1． 故答案为：x 1=﹣4，x 2=﹣1． 10.【答案】a ＝1，12
b =-
． 【解析】 判别式△＝[2(a+1)]2
-4(3a 2
+4ab+4b 2
+2)
＝4(a 2+2a+1)-(12a 2+16ab+16b 2
+8)
＝-8a 2-16ab-16b 2
+8a-4
＝-4(2a 2+4ab+4b 2
-2a+1)
＝-4[(a 2+4ab+4b 2)+(a 2
-2a+1)]．
＝-4[(a+2b)2+(a-1)2
]．
因为原方程有实根，所以-4[(a+2b)2+(a-1)2
]≥0，
(a+2b)2+(a-1)2
≤0，
又∵ (a+2b)2≥0，(a-1)2
≥0，
∴ a-1＝0且a+2b ＝0， ∴ a ＝1，1
2
b =-． 11．【答案】-6；
【解析】∵ α、β是一元二次方程2
430x x --=的两实数根，
∴ α+β＝4，αβ＝-3．
∴ (3)(3)3()933496αβαβαβ--=-++=--⨯+=-． 12．【答案】-3；
．
13．【答案】；2或6.
【解析】即2
(-)232
a
a =-.a=2或6. 14.【答案】a ＜﹣1； 15.【答案】-2； 【解析
】原方程化为：
.
16.【答案】-5；
【解析】由x 2+3x=x+15解出x=-5或x=3,
当x=3时，
不是最简二次根式，x=3舍去.故
x=-5.
三、解答题
17.【答案与解析】 解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m +1）≥0， 解得m ≤4；
（2）根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=2m +1，
而2x 1x 2+x 1+x 2≥20，
所以2（2m +1）+6≥20，解得m ≥3， 而m ≤4，
所以m 的范围为3≤m ≤4． 18. 【答案与解析】
(1)因为关于x 的方程2
2(3)(3)0kx k x k +-+-=有两个不相等的实数根，
所以22
0,44(3)4(3)0,
k b ac k k k ≠⎧⎨=-=--->⎩△ 解得k ＜3且k ≠0， 又因为一次函数y ＝(k-2)x+m 存在，且k 为非负整数，所以k ＝1． (2)因为k ＝1，所以原方程可变形为2
420x x --=，于是由根与系数的关系知a+b ＝4，ab ＝-2，
又当k ＝1时，一次函数y x m =-+过点(a ，b)，所以a+b ＝m ，于是m ＝4，同理可得n ＝-2，
故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为4y x =-+与
2y x
=-．
19. 【答案与解析】
(1)设平均每次下调的百分率是x ．
依题意得5000(1-x)2
＝4050． 解得x 1＝10%，x 2＝
19
10
(不合题意，舍去)． 答：平均每次下调的百分率为10%．
(2)方案①优惠：4050×100×(1-0.98)＝8100(元)；
方案②优惠：1.5×100×12×2＝3600(元) ∵ 8100＞3600．∴ 选方案①更优惠. 20. 【答案与解析】
(1) 设甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成需要(2x －10)天. 根据题意,有
11121012
x x +=-，
解得x1=3，x2=20. 经检验均是原方程的根，x1=3不符题意舍去.故x=20.
∴乙队单独完成需要 2x－10=30(天).
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天.
(2) 设甲队每天的费用为y元，则由题意有
12y+12(y－150)=138 000，解得y=650 .
∴ 选甲队时需工程费用650×20=13 000，选乙队时需工程费用500×30=15 000.
∵ 13 000 <15 000，
∴ 从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.。